Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung

Brandenburgisch Technische Universität Cottbus
Diplomarbeit im Studiengang Mathematik am Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie & Statistik

Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung

von Anett Weber
2007

Inhaltsverzeichnis

Einleitung ... 5

1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell ... 7
1.1 Das Modell ... 7
1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens ... 7
1.2.1 Erwartungswert und Varianz ... 7
1.2.2 Faltung ... 9
1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen ... 15

2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen ...  28
2.1 Charakterisierung ... 28
2.2 Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall ... 32
2.3 Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall ... 39

3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse ... 43
3.1 Annuitätenverteilungen und ihre Existenz ... 43
3.2 Eigenschaften von Annuitätenverteilungen ... 47
3.2.1 Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung ... 47
3.2.2 Zusammengesetzte Poissonverteilung ... 55
3.3 Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung ... 66
3.4 Anwendung der Annuitätenverteilung ... 72

A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme ...  82
A.1 Exakte Verteilung des Gesamtschadens ... 82
A.2 Panjer-Rekursion: Diskreter Fall ... 82
A.3 Panjer-Rekursion: Stetiger Fall ... 84
A.4 Parameterschätzung ... 86
A.5 Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens ... 89

B Verzeichnis über Verteilungen ...  94

Symbolverzeichnis ...  96

Abbildungsverzeichnis ...  97

Literaturverzeichnis ...  98

Einleitung

Die Risikotheorie beschäftigt sich unter anderem mit der Frage, wie man die Verteilung aller auftretenden Schäden in einem bestimmten Zeitraum, für die ein Versicherungsunternehmen zu zahlen hat, bestimmen kann.

Im Mittelpunkt des ersten Kapitels der vorliegenden Arbeit steht das kollektive Modell von F. Lundberg und H. Cramér, welches davon ausgeht, dass der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist.
Zunächst wird gezeigt, wie der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens bestimmt werden können. Anschließend werden zwei Wege aufgezeigt, mit denen die Verteilung des Gesamtschadens berechnet werden kann. Dabei verwendet die erste Methode Faltungsformeln, während die zweite Methode die Gesamtschadenverteilung über charakteristische beziehungsweise erzeugende Funktionen ermittelt.

Nach einem Ansatz von H. Panjer werden im zweiten Kapitel verschiedene Verteilungen für die zufällige Schadenanzahl über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der sogenannten Panjer-Klasse) zusammengefasst. Damit kann man dann Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell herleiten, welche im Fall diskret verteilter Schadenhöhen (mit Computerunterstützung) exakt und im Fall stetig verteilter Schadenhöhen numerisch berechnet werden kann.

Kapitel 1 und 2 stellen im Wesentlichen eine Zusammenfassung bekannter Ergebnisse der Risikotheorie dar. Die aufgeführten Beispiele wurden jedoch selbständig durchgerechnet und programmiert.

Wie der Titel schon sagt, ist die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse das eigentliche Thema der Arbeit. Grundlage hierfür bilden die Artikel Annuity distributions, A new class of compound Poisson distributions und On an integral equation for discounted compound-annuity distributions von Colin M. Ramsay (siehe [14] und [15]).
Im ersten Abschnitt des dritten Kapitels wird die sogenannte Annuitätenverteilung vorgestellt. Diese erhält man, wenn man in die Rekursionsformel für die Verteilung der Schadenzahl aus der Panjer-Klasse eine spezielle Folge einsetzt. Weiterhin wird untersucht, unter welchen Voraussetzungen eine solche Verteilung existiert. Der dazugehörige Beweis ist bei Ramsay [15], S. 16, nur in Ansätzen vorhanden und wurde daher gröÿtenteils selbständig durchgeführt.
Abschnitt 3.2 zeigt, welche Form die erzeugende Funktion einer annuitätenverteilten Schadenzahl hat. Auÿerdem wird bewiesen, dass eine annuitätenverteilte Zufallsgröÿe unter gewissen Voraussetzungen einer zusammengesetzten Poissonverteilung unterliegt. Die Beweise der dabei auftretenden Zwischenergebnisse sind fast alle bei Ramsay [15] nachzulesen. Diese sind jedoch meist sehr knapp gehalten, so dass sie in der vorliegenden Arbeit ausführlicher (und übersichtlicher) gestaltet wurden.
Mit Hilfe der erzeugenden Funktion werden im nächsten Abschnitt Erwartungswert und Varianz einer annuitätenverteilten Schadenzahl bestimmt. Dabei wird ein anderer Ansatz verwendet als bei Ramsay [15] (siehe S. 20, 21). Auf der Grundlage einer konkreten Stichprobe für die Schadenzahl kann man dann die Parameter einer Annuitätenverteilung nach der Momentenmethode schätzen. Ein entsprechendes Maple-Programm wurde eigenständig entwickelt.
Im letzten Teil des dritten Kapitels wird das kollektive Modell etwas abgewandelt, um einen Diskontierungsfaktor einbeziehen zu können. Anschließend werden Erwartungswert und Varianz des diskontierten Gesamtschadens bestimmt. Die Formel für die Varianz ist bei Ramsay [14], S. 194, fehlerhaft und wurde korrigiert. Mit einer annuitätenverteilten Schadenzahl kann man schließlich eine Rekursionsformel für die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens herleiten. Die Vorgehensweise wird bei Ramsay [14] deutlich, jedoch sind auch hier eine Reihe von Unkorrektheiten beziehungsweise Fehlern zu finden. Zum Beispiel spricht der Autor an manchen Stellen von Verteilungsfunktionen, verwendet aber die Notation von Dichten (vgl. [14], S.194 unten, S. 195 Formeln (10) und (12)). Darüber hinaus fehlen in mehreren Formeln Faktoren (siehe [14], S. 194 unten, S. 195 Formeln (10) und (12), S. 196 Formel (13) und der dazugehörige Beweis, S. 197 Formel (17)). Zur Berechnung der Verteilung des diskontierten Gesamtschadens wird ein Verfahren zur Lösung einer Volterraschen Integralgleichung zweiter Art (vgl. Jerri [7], S. 134-136) auf den Fall abgewandelt, dass die Integrationsobergrenze noch einen konstanten Faktor besitzt. In einem selbständig entwickelten Maple-Programm wird das Verfahren durch Anwendung der Simpson-Regel vereinfacht, um überhaupt Ergebnisse zu erhalten.
Den Abschluss der Arbeit bilden zwei Anhänge. Die Quelltexte aller Maple-Programme, die zur Berechnung der Beispiele verwendet wurden, sind in Anhang A nachzulesen. Im Anhang B ndet man eine Übersicht über alle in dieser Arbeit auftretenden Verteilungen und deren Symbole.

Alle Beweise, die aus der Literatur entnommen wurden, sind entsprechend gekennzeichnet. Die Zahlen in eckigen Klammern stehen für den jeweiligen Eintrag im Literaturverzeichnis.

Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Wolfgang Freudenberg (BTU Cottbus) für seine Betreuung und Unterstützung.

1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell

Ein wichtiges Thema der Versicherungsmathematik ist die Modellierung aller auftretenden Schäden in einer bestimmten Beobachtungsperiode, die ein Versicherungsunternehmen an die Versicherungsnehmer zu zahlen hat. Aus diesem Grund wird im ersten Abschnitt dieses Kapitels das zugrundeliegende Modell von F. Lundberg und H. Cramér vorgestellt.

Anschließend wird gezeigt, wie man Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens berechnen kann und es werden zwei Methoden betrachtet, mit deren Hilfe man die Verteilung des Gesamtschadens unter gewissen Voraussetzungen explizit bestimmen kann.

1.1 Das Modell

Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Zahlungen richtig kalkulieren zu können, ist das Ausmaß aller auftretenden Schäden von großer Bedeutung. Dazu betrachtet man das folgende, sogenannte kollektive, Modell:

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