Bei der Bearbeitung von Funktionen in der gymnasialen Oberstufe wird auch auf die Berechnung von Tangenten und Normalen an den Graphen einer Funktion eingegangen. Wird ein Punkt in der Form P(x/f(x)) vorgegeben, so stellt es in der Regel kein Problem für die Schüler dar, über die Punkt-Steigungs-Form die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt P zu ermitteln. Auch mit der Normalen sind meist keine Probleme verbunden, sofern die Schüler die Beziehung mT*mn=-1 kennen.
Deutlich mehr Schwierigkeiten treten auf, wenn der Punkt nicht mehr auf dem Graphen der Funktion liegt, sondern in allgemeiner Lage vorgegeben ist. Der Übergang
P(x/f(x)) -> P(x/y)
führt häufig dazu, dass für die Lösung der Aufgabe kein schlüssiges Konzept mehr erstellt werden kann. Es werden dann verschiedene Rechenwege angegangen, die, wenn überhaupt dann nur zufällig, zum richtigen Ergebnis führen.
Ziel des vorliegenden Skripts ist es, den Schülern ein allgemein anwendbares Vorgehen für die Lösung dieser Problemstellungen an die Hand zu geben. Insbesondere wird hierbei darauf geachtet, dass eine immer wieder kehrende Struktur in den Aufgaben erkennbar wird und damit dem Schüler eine entsprechende Sicherheit in der folgerichtigen Bearbeitung gegeben wird. Damit ist es dann möglich, auch andere Funktionen und bisher nicht berücksichtigte Problemstellungen erfolgreich anzugehen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Aufgaben
- Aufgabe 1
- Aufgabe 2
- Aufgabe 3
- Aufgabe 4
- Aufgabe 5
- Aufgabe 6
- Aufgabe 7
- Aufgabe 8
- Aufgabe 9
- Aufgabe 10
- Aufgabe 11
- Aufgabe 12
- Aufgabe 13
- Aufgabe 14
- Aufgabe 15
- Aufgabe 16
- Aufgabe 17
- Aufgabe 18
- Aufgabe 19
- Aufgabe 20
- Aufgabe 21
- Aufgabe 22
- Aufgabe 23
- Aufgabe 24
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Skript soll Schülern ein allgemein anwendbares Vorgehen zur Berechnung von Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen vermitteln, insbesondere wenn der vorgegebene Punkt nicht auf dem Graphen der Funktion liegt. Der Fokus liegt dabei auf der Erkennung einer wiederkehrenden Struktur in den Aufgaben, um den Schülern Sicherheit in der Bearbeitung zu geben.
- Berechnung von Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen
- Anwendbarkeit auf verschiedene Funktionsarten (ganzrationale, gebrochen rationale, Funktionen mit Parametern)
- Erkennung und Nutzung einer wiederkehrenden Struktur in den Aufgaben
- Sicheres und effektives Bearbeiten von Aufgaben
- Vertiefung des Verständnisses durch Analyse von Funktionen mit Parametern und gebrochen rationalen Funktionen
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Das Skript behandelt die Berechnung von Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen, wobei der Fokus auf die Fälle liegt, in denen der vorgegebene Punkt nicht auf dem Graphen liegt. Der Schwerpunkt liegt auf der Vermittlung einer systematischen Herangehensweise, um Schülern Sicherheit in der Bearbeitung der Aufgaben zu geben.
Aufgaben
Die Aufgaben umfassen die Berechnung von Tangenten und Normalen für verschiedene Funktionsarten, darunter ganzrationale, gebrochen rationale und Funktionen mit Parametern. Die Aufgaben sind in ihrer Komplexität steigend aufgebaut und zielen darauf ab, den Schülern eine wachsende Routine im Umgang mit den Problemstellungen zu vermitteln. Die Lösungen basieren auf dem im Skript dargestellten Vorgehensmodell.
Schlüsselwörter
Tangenten, Normalen, Funktionsgraphen, Punkt-Steigungs-Form, ganzrationale Funktionen, gebrochen rationale Funktionen, Parameterfunktionen, Struktur, Sicherheit, Routine, Asymptoten, Polstellen, Einteilung der Ebene, Anzahl der Tangenten, Parameterfunktion, zweimaliger Berührungspunkt.
- Quote paper
- Dr. Udo Seemann (Author), 2010, Tangenten und Normalen an Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/145401
