Bei der Bearbeitung von Funktionen in der gymnasialen Oberstufe wird auch auf die Berechnung von Tangenten und Normalen an den Graphen einer Funktion eingegangen. Wird ein Punkt in der Form P(x/f(x)) vorgegeben, so stellt es in der Regel kein Problem für die Schüler dar, über die Punkt-Steigungs-Form die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt P zu ermitteln. Auch mit der Normalen sind meist keine Probleme verbunden, sofern die Schüler die Beziehung mT*mn=-1 kennen.
Deutlich mehr Schwierigkeiten treten auf, wenn der Punkt nicht mehr auf dem Graphen der Funktion liegt, sondern in allgemeiner Lage vorgegeben ist. Der Übergang
P(x/f(x)) -> P(x/y)
führt häufig dazu, dass für die Lösung der Aufgabe kein schlüssiges Konzept mehr erstellt werden kann. Es werden dann verschiedene Rechenwege angegangen, die, wenn überhaupt dann nur zufällig, zum richtigen Ergebnis führen.
Ziel des vorliegenden Skripts ist es, den Schülern ein allgemein anwendbares Vorgehen für die Lösung dieser Problemstellungen an die Hand zu geben. Insbesondere wird hierbei darauf geachtet, dass eine immer wieder kehrende Struktur in den Aufgaben erkennbar wird und damit dem Schüler eine entsprechende Sicherheit in der folgerichtigen Bearbeitung gegeben wird. Damit ist es dann möglich, auch andere Funktionen und bisher nicht berücksichtigte Problemstellungen erfolgreich anzugehen.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Aufgaben
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Aufgabe 13
Aufgabe 14
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
Aufgabe 18
Aufgabe 19
Aufgabe 20
Aufgabe 21
Aufgabe 22
Aufgabe 23
Aufgabe 24
Zielsetzung & Themen
Das vorliegende Skript verfolgt das Ziel, Schülern ein allgemein anwendbares Vorgehen zur Berechnung von Tangenten und Normalen an Funktionsgraphen zu vermitteln, wenn der gegebene Punkt nicht auf dem Graphen der Funktion liegt.
- Systematische Bestimmung von Tangentengleichungen für ganzrationale Funktionen
- Umgang mit Funktionen, die Parameter enthalten
- Berechnung von Tangenten an gebrochen-rationale Funktionen unter Berücksichtigung von Polstellen und Asymptoten
- Anwendung des Verfahrens auf Wurzelfunktionen durch Umkehrfunktionen
- Ermittlung von Normalengleichungen als senkrechte Geraden zum Funktionsgraphen
Auszug aus dem Buch
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f(x) = x². Berechnen Sie alle Tangentengleichungen t(x) an den Funktionsgraphen, die durch den Punkt P(1/-3) gehen, sowie die zugehörigen Berührpunkte.
Lösung: Am Berührpunkt B gilt:
f(x) = t(x) [1.1]
Für die Tangente t gilt die Gleichung:
t(x) = mx + b [1.2]
und damit folgt für den Achsenabschnitt b die Gleichung
b = y - mx
mit P(1/-3)
b = -3 - m*1
b = -3 - m [1.3]
Da am Berührpunkt B der Funktionsgraph und die Tangente die gleiche Steigung haben, gilt:
f'(x) = m
2x = m [1.4]
Wir setzen nun die Gleichungen [1.2], [1.3] und [1.4] in Gleichung [1.1] ein und erhalten:
f(x) = t(x)
x² = mx + b
x² = mx + (-3 - m)
x² = 2x*x - 3 - 2x
x² = 2x² - 2x - 3
x² - 2x - 3 = 0 [1.5]
Gleichung [1.5] wird nach x aufgelöst und wir erhalten damit die Berührpunkte.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Dieses Kapitel erläutert die Problemstellung der Tangenten- und Normalenberechnung bei Punkten außerhalb des Funktionsgraphen und stellt den didaktischen Ansatz des Skripts vor.
Aufgaben: In diesem Hauptteil wird anhand von 24 detailliert durchgerechneten Beispielen, von ganzrationalen über gebrochen-rationale bis hin zu Wurzelfunktionen, ein systematischer Lösungsweg vermittelt.
Schlüsselwörter
Tangenten, Normalen, Funktionsgraph, Berührpunkt, Steigung, Ableitung, Parameterfunktion, ganzrationale Funktionen, gebrochen-rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Achsenabschnitt, Polstellen, Asymptoten, Umkehrfunktion, Schnittpunkt
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Berechnung von Tangenten- und Normalengleichungen an einen Funktionsgraphen, wobei der Punkt, durch den die Geraden verlaufen, nicht auf dem Graphen selbst liegt.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentral sind die Differentialrechnung, die Bestimmung von Tangenten- und Normalensteigungen sowie der Umgang mit verschiedenen Funktionstypen wie ganzrationalen, gebrochen-rationalen und Wurzelfunktionen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, den Schülern ein einheitliches, allgemein anwendbares algorithmisches Vorgehen an die Hand zu geben, um komplexe Tangentenprobleme strukturiert zu lösen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine deduktive Methode angewandt, bei der aus dem formalen Gleichsetzen von Funktions- und Tangentengleichung sowie der Bedingung der gleichen Steigung (Ableitung) die Lösung systematisch hergeleitet wird.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil besteht aus 24 Aufgaben, die von einfachen quadratischen Funktionen bis hin zu komplexen Parameterfunktionen und Wurzelfunktionen reichen und die Anwendung der hergeleiteten Methodik demonstrieren.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Tangenten, Normalen, Berührpunkt, Funktionsgraph, Ableitung, Parameter und Umkehrfunktion.
Wie wird bei Wurzelfunktionen verfahren?
Da diese Funktionen schwer elementar lösbar sind, wird mit der Umkehrfunktion gearbeitet, der Punkt gespiegelt, die Tangente an der Umkehrfunktion berechnet und das Ergebnis anschließend zurücktransformiert.
Was passiert, wenn der Punkt bei einer gebrochen-rationalen Funktion die Polstelle betrifft?
Die Arbeit zeigt auf, wie durch die Einteilung der Ebene in verschiedene Bereiche anhand von Asymptoten und Polstellen Aussagen über die Existenz und Anzahl der möglichen Tangenten getroffen werden können.
- Quote paper
- Dr. Udo Seemann (Author), 2010, Tangenten und Normalen an Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/145401
