La géométrie est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre différents objets. Par objets, on entend les points, les droites, les courbes, les surfaces et les volumes dans un plan ou dans un espace donné.
La géométrie est étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne, par exemple). Certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique, par exemple.
Il est donc difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie de manière à englober toutes ces géométries, l'unité de ces géométries étant dans leur origine historique plutôt que dans leurs méthodes ou leurs objets.
Inhaltsverzeichnis
- Introduction
- Espaces vectoriels euclidiens
- Norme euclidienne
- Caractérisation des normes euclidiennes.
- Sous espaces vectoriels orthogonaux
- Orthogonal d'un sous espace vectoriel
- Bases orthonormées.
- Projection et symétrie orthogonales
- Matrices orthogonales
- Orientation d'un espace vectoriel euclidien
- espace vectoriel dual
- Produit vectoriel
- Adjoint d'un endomorphisme .
- Endomorphismes symétriques
- Formes quadratique sur un espace vectoriel euclidien
- Réduction des matrices symétriques réelles
- Norme euclidienne
- Géométrie affine
- Rappels: actions de groupes
- Espaces affines
- Barycentres.
- Applications affines
- Sous-espaces affines
- Intersection de sous-espaces affines
- Repères
- Quelques problèmes de géométrie affine
- Utilisation des barycentres
- Projections et symétries
- Le théorème fondamental de la géométrie affine
- Le groupe affine . .
- Rappel sur les suites exactes et scindées
- Structure du groupe affine
- Le groupe affine.
- Espaces affines euclidiens
- distance et orthogonalité
- Projection orthogonale, problémes de distances
- Symétrie orthogonale, réflexion, hyperplan médiateur.
- projection sur un convexe fermé, séparation de convexes
- Sphéres
- Isométries, similitudes
- Généralités
- Décomposition en produit de réflexions
- Classification des isométries planes
- Groupe d'isométries conservant une figure
- Similitudes
- distance et orthogonalité
- Courbes et Surfaces
- courbes paramétrées : Généralités et étude métrique .
- Définition des courbes paramétrées
- Reparamétrisation
- Courbes régulières espace tangent
- Longueur d'une courbe
- Paramétrisation par abscisse curviligne .
- Allure locale des courbes planes
- Allure locale des courbes gauches
- Binormale et repère de serret-Frenet
- Surfaces paramétrées
- Définition des Surfaces paramétrées
- Espace tangent à une surface
- Longueur et aire
- Allure locale d'une surface
- courbes paramétrées : Généralités et étude métrique .
- Travaux dirigés
- Exercices.
- Solutions.
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieses Werk befasst sich mit grundlegenden Konzepten der Geometrie, insbesondere der euklidischen und affinen Geometrie. Es zielt darauf ab, den Leser mit den wesentlichen Definitionen, Theoremen und Konzepten vertraut zu machen, die für ein fundiertes Verständnis dieser Gebiete unerlässlich sind.
- Euklidische Vektorräume
- Affine Räume
- Orthogonalität und Abstände
- Isometrien und Ähnlichkeiten
- Kurven und Flächen
Zusammenfassung der Kapitel
- Introduction: Der erste Teil des Buches bietet einen Überblick über die verschiedenen Bereiche der Geometrie, von der euklidischen über die affine bis hin zur projektiven und nicht-euklidischen Geometrie. Es wird auf die historische Entwicklung und die Bedeutung der verschiedenen Bereiche hingewiesen.
- Espaces vectoriels euclidiens: Dieses Kapitel behandelt wichtige Konzepte von euklidischen Vektorräumen, wie z. B. die euklidische Norm, Orthogonalität, Basisvektoren, Projektionen und Symmetrien.
- Géométrie affine: Der Fokus dieses Kapitels liegt auf affinen Räumen und ihren Eigenschaften. Es werden wichtige Konzepte wie Baryzentren, affine Abbildungen, Untervektorräume und das Theorem der affinen Geometrie behandelt.
- Espaces affines euclidiens: Dieses Kapitel baut auf den vorhergehenden Kapiteln auf und kombiniert Konzepte aus der euklidischen und der affinen Geometrie. Es behandelt Themen wie Abstand, Orthogonalität, Isometrien und Ähnlichkeiten in affinen Räumen.
- Courbes et Surfaces: Dieses Kapitel widmet sich der Untersuchung von Kurven und Flächen, einschließlich ihrer Definition, ihrer Parameterdarstellung, ihrer geometrischen Eigenschaften und ihrer Tangentenräume.
Schlüsselwörter
Die zentralen Begriffe dieses Werkes sind euklidische Vektorräume, affine Räume, Orthogonalität, Abstände, Isometrien, Ähnlichkeiten, Kurven und Flächen. Es werden grundlegende Definitionen, Theoreme und Beispiele behandelt, die ein umfassendes Verständnis dieser geometrischen Konzepte ermöglichen.
- Arbeit zitieren
- Hakima Degaichia (Autor:in), 2024, Géométrie euclidienne et affine, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1466404
