Analyse und Umgang mit der Sensitivität effizienter Portfolios

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Formelzeichen

1 Einleitung
1.1 Einführung in die Portfolioselektion
1.2 Die Portfolioselektion in der Praxis
1.3 Problematik bei der Anwendung der Portfolioselektion
1.4 Zielsetzung und Aufgabenstellung der Diplomarbeit

2 Analyse der Sensitivität
2.1 Das 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiel
2.2 Portfolio-Selektion des 1-Anleihe-2-Wertpapier-Beispiels
2.3 Quantifizierung der Sensitivität im 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiel
2.3.1 Numerische Quantifizierung
2.3.2 Analytische Quantifizierung
2.4 Ursachenanalyse der Sensitivität
2.4.1 Der Auslöschungseffekt
2.4.2 Nachweis des Auslöschungseffekts
2.4.3 Analyse weiterer Ursachen der Sensitivität
2.4.4 Fazit der Ursachenanalyse
2.5 Maßzahlen für die Sensitivität effizienter Portfolios

3 Strategien zur Verringerung der Sensitivität
3.1 Bewertung der Strategien
3.2 Klassifikation der Strategien
3.3 Workaround-Strategie
3.3.1 Erläuterung der Workaround-Strategie
3.3.2 Anwendung der Workaround-Strategie
3.4 Conjoint-Strategie
3.5 Cluster-Strategie
3.5.1 Erläuterung der Cluster-Strategie
3.5.2 Anwendung der Cluster-Strategie
3.6 Fazit zu den vorgestellten Strategien

4 Praxistest der Strategien
4.1 Vorstellung und orthodoxe Lösung des Fallbeispiels
4.2 Anwendung ausgewählter Strategien auf das Fallbeispiel
4.2.1 Anwendung der Workaround-Strategie
4.2.2 Anwendung der Cluster-Strategie
4.3 Bewertung der Strategien

5 Zusammenfassung und Ausblick
5.1 Zusammenfassung der Ergebnisse
5.2 Ausblick

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1-1: Risiko- und Renditeverteilung einer Auswahl möglicher Investments

Abbildung 1-2: Effizienzlinie und Assetklassen im Rendite-Risiko-Diagramm

Abbildung 1-3: Faktoren für den Anlageerfolg und deren Gewichtung

Abbildung 1-4: Effizientes Portfolio aus Inputparametern

Abbildung 1-5: Effizientes Portfolio bei Veränderung eines Inputparameters

Abbildung 2-1: Effizienzlinie und Investments des 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiels

Abbildung 2-2: Gewichtsänderung des EP_{8.0 %} bei relativer Senkung von p,2 um 10 %

Abbildung 2-3: Verhältnis von relativem Eingabefehler zu relativem Ausgabefehler

Abbildung 2-4: Algorithmus zur Berechnung der Gesamtsensitivität

Abbildung 3-1: Allgemein einsetzbare Lösungsmethoden

Abbildung 3-2: Mögliche Charakteristika der Sensitivität effizienter Portfolios

Abbildung 3-3: Investmentgewichte als Funktion der Sollrendite effizienter Portfolios

Abbildung 3-4: Gewichtsänderung des EP_{8.5 %} bei relativer Erhöhung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um 10 %

Abbildung 3-5: Spezifische Renditesensitivität und Effizienzlinie

Abbildung 3-6: Gewichtsänderung des EP_{7.0 %} bei relativer Erhöhung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um 10 %

Abbildung 3-7: Dreidimensionales Rendite-Risiko-Sensitivitäts-Diagramm

Abbildung 3-8: Primärer Reduktionsschritt und Entwicklung des Fehlerwertes

Abbildung 3-9: Vergleich der Effizienzlinien verschiedener Cluster

Abbildung 4-1: Effizienzlinie und Investments des Fallbeispiels

Abbildung 4-2: Spezifische Sensitivität und Effizienzlinie des Fallbeispiels

Abbildung 4-3: Dendrogramm und Fehlerwert bei Clusterung der Investments

Abbildung 4-4: Vergleich von Effizienzlinien und Sensitivität

Abbildung 4-5: Gewichtsänderung des EP_{5.o %} bei relativer Erhöhung von um 10 %

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1.1: Wertpapierparameter

Tabelle 2.1: Parameter des 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiels

Tabelle 3.1: Beispiele für provisorische Lösungen/ Workarounds

Tabelle 4.1: Parameter der Investmentmöglichkeiten des Fallbeispiels

Tabelle 4.2: Korrelationen zwischen den Investmentmöglichkeiten des Fallbeispiels

Tabelle 4.3: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Distanzmatrix der Investmentmöglichkeiten des Fallbeispiels

Tabelle 4.4: Qualitativer Vergleich der Strategien

Formelzeichen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

1.1 Einführung in die Portfolioselektion

Harry Max Markowitz formulierte die Anforderungen an ein gutes Portfolio wie folgt: „A good portfolio is more than a long list of securities. It is a balanced unity which similarly offers the investor chance and protection below a variety of possible future developments. The investor should therefore aim at an integrated portfolio which takes his individual requirements into account."¹ Die sogenannten individuellen Erfordernisse sind dabei aus der Risikoeinstellung des Anlegers ermittelbar. Quantitativ lässt sich diese Risikoeinstellung des Anlegers aus der geforderten Risikoprämie oder aus der Antwort auf die Frage nach der Risikobereitschaft für eine bestimmte Rendite ablesen.² Als Rendite und Risiko werden im Folgenden der Erwartungswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und die Standardabweichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Wertsteigerung eines Investments verstanden. Die Faktoren Risiko und Rendite können dabei nicht getrennt voneinander betrachtet oder optimiert werden, da sie unmittelbar Zusammenhängen und kein dominantes Einzelinvestment, d.h. höchste Rendite bei minimalem Risiko, existiert. Demnach ist eine Betrachtungsweise des Portfolios erforderlich, in der sämtliche Investments integriert sind. Auf Basis dieser Überlegungen entwickelte Markowitz das Portfolio-Selection-Modell und erweiterte somit die bis zu diesem Zeitpunkt vorherrschende eindimensionale Betrachtungsweise um eine weitere Dimension: Das Risiko.³ Das Portfolio-Selection-Modell ist mathematisch als Optimierungsproblem aufzufassen, in dem wahlweise die Rendite bei vorgegebenem Risiko maximiert oder das Risiko bei vorgegebener Rendite minimiert wird. Der Ansatzpunkt der Optimierung liegt dabei in der Subadditivität des Risikos bei Verwendung mehrerer Investments. Das heißt, dass sich das Portfoliorisiko in der Regel nicht analog zur Portfoliorendite, die sich aus den gewichteten Einzelrenditen ergibt, verhält. Bei geschickter Gewichtung der Investments kann das Portfoliorisiko geringer als die Risiken der einzelnen Investments sein.⁴ Das Ergebnis der Optimierung besteht in einem Vektor, der die Gewichte aller zugänglichen Investmentmöglichkeiten beinhaltet. Ein solcher Gewichtsvektor beschreibt jeweils ein effizientes Portfolio. Effiziente Portfolios stellen Rendite­Risikokombinationen dar, die von keinem Portfolio bei gleichem Risiko in Rendite überboten oder bei gleicher Rendite in Risiko unterboten werden können. Anhand eines einfachen Beispiels⁵ können die Begrifflichkeiten effizientes Portfolio und Subadditivität sehr gut verdeutlicht werden:

Ein Investor habe die in Tabelle 1.1 dargestellten Investmentmöglichkeiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1.1: Wertpapierparameter

Des Weiteren soll für die Korrelation der Investmentmöglichkeiten gelten:

ρ₁₂ = 0.1

Bedient sich der Investor der Möglichkeit beide Wertpapiere unterschiedlich stark, unter Anwendung der Portfolio-Selektion, in seinem Portfolio zu gewichten, so lassen sich die effizienten Portfolios, bzw. effizienten Gewichtungen der Wertpapiere, durch Lösung von Gleichung 1.1 ermitteln. Die Optimierung erfolgt unter den in Gleichung 1.2 (Erfüllung der Soll-Rendite), Gleichung 1.3 (Solvenzbedingung) und Gleichung 1.4 (Leerverkaufsverbot) dargestellten Nebenbindungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Abbildung 1-1⁶ ist eine Auswahl von Rendite-Risiko-Kombinationen gezeigt, die sich durch Variation der Soll-Rendite, unter Beachtung von Solvenzbedingung und Leerverkaufsverbot, ergibt. Die effizienten Portfolios befinden sich dabei auf dem rechten Ast der Risikoparabel und bilden die sogenannte Effizienzlinie, die für das jeweils betrachtete Wertpapieruniversum charakteristisch ist. Die auf dem linken Ast der Risikoparabel befindlichen Portfolios sind nicht effizient, da deren rechtsseitige „Schwesterportfolios“ bei

gleichem Risiko eine höhere Rendite erreichen. Die Subadditivität des Risikos kann man in diesem Beispiel daran erkennen, dass das Portfoliorisiko deutlich unter 10 % gesenkt werden kann, obwohl die Wertpapiere 10 % und 12 % Risiko aufweisen. Die typische Darstellung der Effizienzlinie und die Position gängiger Assetklassen im Rendite-Risiko-Diagramm sind in Abbildung 1-2⁷ dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1-1: Risiko- und Renditeverteilung einer Auswahl möglicher Investments

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1-2: Effizienzlinie und Assetklassen im Rendite-Risiko-Diagramm

1.2 Die Portfolioselektion in der Praxis

Aufgrund der hohen Anzahl der notwendigen Inputdaten ist die Praktikabilität des Portfolio- Selection-Modells begrenzt. Je zusätzlichem Investment eines Wertpapieruniversums sind nicht nur ein Erwartungswert und eine Standardabweichung, sondern auch Korrelationen zu allen bisher vorhandenen Wertpapieren erforderlich. Mithilfe der gauß’schen Summenformel kann die Anzahl der erforderlichen Inputparameter zur Durchführung der Portfolio-Selektion in einem Wertpapieruniversum mit n Wertpapieren mit Gleichung 1.5 berechnet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Anwendungsgebiet für die Portfolio-Selektion ist insbesondere der Bereich der Investment- und Anlageberatung. Die plastische Darstellung der Risiken eines Portfolios kann, eine gute Datenbasis vorausgesetzt, sowohl für institutionelle als auch private Kunden der Entscheidungsfindung dienlich sein.⁸ Der Abstand des Portfolios zur Effizienzlinie verdeutlicht wie gut der Anleger diversifiziert ist. „Klumpenrisiken“⁹ können identifiziert und Maßnahmen zur Ausbalancierung des Portfolios gefunden werden. Die Lage des Portfolios, bzw. bestimmter Investments, im Rendite-Risiko-Diagramm verdeutlicht dem Anleger inwiefern er „spekulativ“ oder „sicher“ positioniert ist. Die Portfolioselektion wird überwiegend zur Bearbeitung strategischer Aufgaben, wie zum Beispiel der Asset Allocation oder der oben beschriebenen Portfoliooptimierung/-beurteilung, verwendet. Die taktischen Aufgaben, also die Auswahl konkreter Investments und des richtigen Kauf- beziehungsweise Verkaufszeitpunkts, werden durchweg mit anderen Methoden gelöst. Die in Abbildung 1-3¹⁰ dargestellten Ergebnisse der empirischen Forschung verdeutlichen, dass die Bedeutung der strategischen Komponenten für den Anlageerfolg von größerem Gewicht als die der Taktischen ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1-3: Faktoren für den Anlageerfolg und deren Gewichtung

1.3 Problematik bei der Anwendung der Portfolioselektion

Wie in Abschnitt 1.2 erläutert, wird die Portfolio-Selektion bisher nicht in der Form genutzt, dass nach Analyse eines bestimmten Wertpapieruniversums, unter Vorgabe eines Rendite­oder Risikoziels effiziente Portfolios, ermittelt werden und nach deren Gewichtsvektor investiert wird. Die Problematik bei dieser Anwendungsform ist dabei im Wesentlichen auf zwei Punkte zurückzuführen:

1. Der optimale Verkaufszeitpunkt des Portfolios wird nicht betrachtet.
2. Geringe Schwankungen der unbeobachtbaren¹¹ Inputparameter können zu großen Schwankungen in der Zusammensetzung der effizienten Portfolios führen.

Abbildung 1-4: Effizientes Portfolio aus Inputparametern

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die unter 2. beschriebene sogenannte Sensitivität kann anhand der Veränderung der Zusammensetzung eines effizienten Portfolios in Abbildung 1-4¹² und Abbildung 1-5¹³ nachvollzogen werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1-5: Effizientes Portfolio bei Veränderung eines Inputparameters

In beiden Fällen handelt es sich um sogenannte Eckportfolios, die nur einen geringen Teil des möglichen Anlagespektrums ausnutzen. Eine geringe Erhöhung der Renditeerwartungen aus Anleiheinvestitionen (absolut: + 0.3 %) führt zu einem „Umkippen“ des mittels Portfolio-Selektion berechneten effizienten Portfolios: Die Assetklasse „Hedgefonds“ wird komplett durch die Assetklasse „Anleihen“, bei verhältnismäßig geringen Änderungen des Anteils von „Private-Equity“ am Portfolio, substituiert.

1.4 Zielsetzung und Aufgabenstellung der Diplomarbeit

Die anhand des Beispiels aus Abschnitt 1.3-2. erläuterte Sensitivität soll im Rahmen der vorliegenden Arbeit genauer untersucht werden. Die diesbezügliche Zielsetzung kann zunächst anhand von vier zentralen Fragestellungen veranschaulicht und anschließend durch die entsprechenden Aufgabenpakete konkretisiert werden:

1. Wie kann man die beschriebene Sensitivität erklären?
2. Wie kann man die Sensitivität eines Portfolios abschätzen?
3. Welche Strategien zur Verringerung der Sensitivität effizienter Portfolios bestehen?
4. Sind die erarbeiteten Strategien in der Praxis umsetzbar?

Die daraus ableitbaren Aufgabenschwerpunkte sind im Folgenden erläutert:

1. Analyse der Sensitivität

Zur Bearbeitung der weiteren Punkte muss ergründet werden welche Effekte die Ursache für die Sensitivität darstellen.

2. Maß zur Abschätzung der Sensitivität

Bevor Strategien zur Verringerung der Sensitivität erarbeitet und bewertet werden können muss diese zunächst konkret quantifizierbar sein. Zu diesem Zweck muss ein Maß zur Abschätzung der Sensitivität bestimmt werden.

3. Strategien zur Verringerung der Sensitivität

Aufbauend auf die vorhergehenden Punkte sollen schließlich Strategien zur Verringerung der Sensitivität erarbeitet und hinsichtlich ihrer Umsetzung erläutert werden.

4. Praxistest der Strategien

Zur Bewertung der Strategien sollten diese anhand eines praxisnahen Beispiels angewendet und bewertet werden.

2 Analyse der Sensitivität

In diesem Kapitel soll gemäß der in den Abschnitt 1.4 erläuterten Ziele und der diesbezüglichen Vorgehensweise der Systematik der Sensitivität anhand eines vereinfachten Beispiels auf den Grund gegangen werden. Nach Vorstellung des Beispiels und der Anwendung der Portfolio-Selektion wird die Sensitivität bezüglich eines einzelnen Inputparameters exemplarisch berechnet. Abschließend werden Maßzahlen zur Bemessung der Gesamtsensitivität eines effizienten Portfolios vorgestellt und begründet.

2.1 Das 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiel

Dem 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiel liegt ein Wertpapieruniversum mit den in Tabelle 2.1 dargestellten Investmentmöglichkeiten zugrunde. Es setzt sich aus zwei unterschiedlich spekulativen Wertpapieren und der Möglichkeit einer sicheren Anleihe zusammen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2.1: Parameter des 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiels

Für die Korrelationen der Investmentmöglichkeiten soll gelten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für das Risiko und Erwartungsrendite, beziehungsweise Sollrendite, eines beliebigen Portfolios gelten Gleichung 2.1 und Gleichung 2.2 analog zu Abschnitt 1.1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Portfolio-Selektion des 1-Anleihe-2-Wertpapier-Beispiels

Zur Portfolio-Selektion muss nun das aus Zielfunktion und Nebenbedingungen (vgl. Abschnitt 1.1) gebildete Lagrangefunktional nach den Komponenten des Gewichtsvektors und nach den Lagrangeoperatoren differenziert werden. Das Leerverkaufsverbot soll in diesem Fall nicht als Nebenbedingung berücksichtigt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Berücksichtigung der fehlende Korrelation zwischen Wertpapieren und Anleihe, sowie deren Risikolosigkeit, ergibt die Differenzierung des Lagrangefunktionals das folgende Gleichungssystem für die effizienten Portfolios des 1-Anleihe-2-Wertpapier-Beispiels:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variation der Sollrendite des effizienten Portfolios oberhalb der Erwartungsrendite der Anleihe ergibt die charakteristische Effizienzlinie in Abbildung 2-1 für das vorliegende Wertpapieruniversum.

2.3 Quantifizierung der Sensitivität im 1-Anleihe-2-Wertpapierbeispiel

Ohne ein geeignetes Sensitivitätsmaß können Strategien zur Verringerung der Sensitivität nicht sinnvoll verglichen werden. Das nach Abschnitt 1.4-2. erforderliche Sensitivitätsmaß wird in den folgenden Abschnitten hergeleitet und erläutert.

2.3.1 Numerische Quantifizierung

Die Sensitivität als unverhältnismäßige Empfindlichkeit der Komponenten des Gewichtsvektors gegenüber Schwankungen der Inputparameter kann anhand der Zusammensetzung des effizienten Portfolios mit einer Sollrendite von 8 % aufgezeigt werden. Die auf der linken Seite von Abbildung 2-2 dargestellten Gewichtsvektorkomponenten leiten sich aus den unveränderten Inputparametern ab, während die rechte Seite das Ergebnis für eine Verringerung der Erwartungsrendite von Wertpapier₂ um 10 % (also von 6.0 % auf 5.4 %) darstellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2-2: Gewichtsänderung des EP8.0 % bei relativer Senkung von μ₂ um 10 %

Nominal betrachtet ist die Änderung des Gewichts von Wertpapier₂ nicht sehr aussagekräftig. Quantifiziert man die Sensitivität als prozentuale Veränderung einer abhängigen Variable (x₂) im Verhältnis zur ebenfalls prozentualen Veränderung einer unabhängigen Variablen (ρ₂), analog zu den in der Volkswirtschaftslehre häufig verwendeten Elastizitäten¹⁴, so kann der diesbezügliche Kennwert durch Berechnung von Gleichung 2.7 bestimmt werden. Der hochgestellte Index der Elastizität gibt die relative Änderung der unabhängigen Variable an und steht damit für den Fehler bei numerischer Ermittlung der Elastizitäten. Je kleiner y umso genauer ist die numerische Berechnung der Elastizität.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

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¹ Markowitz, H. M., Portfolio Selection, 2. Auflage, Oxford, Blackwell Publishing 1991, S. 3.

² Vgl. von Nitzsch, R., Entscheidungslehre, 3. Auflage, Stuttgart, Verlag der Augustinus Buchhandlung 1996, S. 112.

³ Vgl. Bruns, C., Meyer-Bullerdiek, F., Professionelles Portfoliomanagement, 2. Auflage, Stuttgart, Schäffer-Poeschel Verlag 2000, S. 69.

⁴ Vgl. von Nitzsch, R., Kapitalmarktorientierte Unternehmensführung, 4. Auflage, Aachen, Wissenschaftsverlag Mainz 2008, S. 31 ff.

⁵ Vgl. Breuer, W., u.a., Portfoliomanagement, Wiesbaden, Gabler Verlag 1999, S. 46 ff.

⁶ Vgl. Breuer, W., u.a., a.a.O. S. 47.

⁷ Vgl. von Nitzsch, R., Folien zur Vorlesung Finanzdienstleistungen, RWTH Aachen 2009, Teil B, F. 109.

⁸ Vgl. o. V., Depotcheck: Chancen nutzen – Risiko minimieren in HWI-Kurier, Jg. 2004, Oktober No. 4., 2004, S. 4.

⁹ Vgl. o.V., Hofmann & Hiergeist, Finanzberatung und Vermögensbetreuung GmbH, Portfoliooptimierung, München 2003 – Firmenschrift.

¹⁰ Vgl. o. V., Busse Asset-Optimizer® GmbH, Asset Optimizer - Ihr Lotse zum perfekten Portfolio, Rosenheim 2007 – Firmenschrift.

¹¹ Vgl. Pruß, V., Asset-Allokation von Privatinvestoren unter Berücksichtigung von Steuern, 1. Auflage, Lohmar-Köln, EUL Verlag 2007, S.40.

¹² Vgl. von Nitzsch, R., Folien zur Vorlesung Finanzdienstleistungen, RWTH Aachen 2009, Teil B, F. 112.

¹³ Vgl. von Nitzsch, R., a.a.O. S. 113.

¹⁴ Vgl. Feess, E., Mikroökonomie, 3. Auflage, Metropolis Verlag, Marburg 2004, S. 212.