In dieser Bachelorarbeit werden die Wassernetzwerke mithilfe von Algebro-Differentialgleichungen (DAE) modelliert und die Lösung anhand eines selbstgewählten Beispiel veranschaulicht.
Heutzutage ist das Leben in modernen Industriestaaten ohne stabile Wasser-, Strom- und Gasversorgung kaum denkbar. Diese zivilisatorische Leistung wird permanent durch die zahlreiche funktionierenden Netzwerke wie Wassernetzwerke, Stromnetze, Gasnetze und elektronische Schaltungen vollbracht. Einerseits fordern wir die Zuverlässigkeit der Systeme, aber andererseits wollen wir im Zuge der nachhaltigen Entwicklung stärker auf den effizienten Umgang mit Ressourcen setzen. Insbesondere ist diese Herausforderung bei Wassernetzwerken gewaltig, da Wasser für unsere Existenz unverzichtbar ist. Eine gute mathematische Modellierung soll beim Lösen dieses Problems helfen. Somit betrachten wir in dieser Arbeit nur die Wassernetzwerke, obwohl einige Konzepte auch auf die anderen Netzwerktypen anwendbar sind.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen der DAEs
2.1 Grundlagen
2.2 Dissection Index
3 Modellierung des Wassernetzwerkes
3.1 Netzwerktopologie
3.2 Modellierung der einzelnen Elemente
3.3 Komplette Netzwerkgleichungen
3.4 Beispiel für ein Wassernetzwerk
4 Analyse der Netzwerktopologie
4.1 Splitting der Kanten
4.2 Entkopplungsmatrizen der DAE
4.3 Analyse der Netzwerktopologie - Beispiel
5 Lösung der DAE
5.1 Koordinatentransformation
5.2 Entkopplung der DAE
5.3 Check der berechneten Lösung
6 Fazit
7 Anhang
7.1 Graphentheorie
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung und der effizienten numerischen Lösung von Systemen, die als Algebro-Differentialgleichungen (DAEs) den Wasserfluss in Rohrleitungsnetzwerken beschreiben. Ziel ist die Entwicklung einer Methode zur Entkopplung dieser DAEs, um eine konsistente Initialisierung der Anfangswerte für Druck und Fluss zu ermöglichen.
- Mathematische Fundierung von DAEs im Kontext stationärer und quasi-stationärer Systeme.
- Anwendung der Graphentheorie zur Strukturierung und Analyse von Netzwerktopologien.
- Herleitung physikalischer Modelle für Wassernetzwerk-Elemente (Rohre, Reservoirs, Junctions).
- Entwicklung von Entkopplungsmatrizen zur Vereinfachung des DAE-Systems.
- Numerische Strategien zur Bestimmung konsistenter Anfangsbedingungen.
Auszug aus dem Buch
3.1 Netzwerktopologie
Jedes Flussnetzwerk etwa wie Gasnetzwerk, Herz-Kreislaufsystem, Stromnetz, elektronische Schaltung und Wassernetzwerk lässt sich mithilfe der Graphentheorie modellieren [9]. Wir definieren den zusammenhängenden gerichteten Graph G = (N, E) (siehe Anhang), wobei die Knoten N = {v1,...,vnN} die nN Flussnetzwerk-Knoten und die Kanten E = {e1,...,enE} die nE Rohre repräsentieren. Im Folgenden bezeichnen wir die "Flussnetzwerk-Knoten" einfach als "Knoten". Des Weiteren teilen wir die Knoten N disjunkt in die Reservoirs Np und die junctions Nq ein, so dass es N = Np ∪ Nq mit Nq = {v1,...vnNq} und Np = {vnNq+1,...vnN} gilt.
Jede Kante ei ∈ E mit i = 1,...,nE besitzt eine Orientierung, wobei sie o.B.d.A vom linken Knoten viL ∈ N zum rechten Knoten viR ∈ N hin gerichtet ist. Dies hat jedoch keine Auswirkungen auf den tatsächlichen Fluss des Mediums im Rohr, denn der Fluss in die entgegengesetzte Richtung wird einfach mit dem negativen Vorzeichen versehen. Da wir das Strömungsverhalten in den Rohren als laminar annehmen und Verwirbelungen in Richtungen längs dem Rohrquerschnitt vernachlässigen, können wir die Rohre als ein 1-dimensionales Objekt mit Ii := [viL, viR] ⊂ R ansehen.
Dann lässt sich der Zusammenhang zwischen den Kanten E und Knoten N mithilfe der Inzidenzmatrizen AL, AR, A ∈ RnE×nN eindeutig beschreiben:
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Beschreibt die Bedeutung stabiler Netzwerke und definiert das Ziel, quasi-stationäre Wasserflüsse mittels DAE-Modellen abzubilden.
2 Grundlagen der DAEs: Führt theoretische Definitionen semi-linearer DAEs, der properen Formulierung sowie des Index-Konzepts (dissection index) ein.
3 Modellierung des Wassernetzwerkes: Herleitung der physikalischen Gleichungen für Schaltelemente und Zusammenführung zu einem gekoppelten DAE-System.
4 Analyse der Netzwerktopologie: Untersuchung der Netzwerkstruktur mit Methoden der Graphentheorie zur Vorbereitung der DAE-Entkopplung.
5 Lösung der DAE: Anwendung der Koordinatentransformation zur mathematischen Entkopplung der DAE und Berechnung der konsistenten Anfangswerte.
6 Fazit: Fasst die Ergebnisse zur effizienten numerischen Berechenbarkeit des Modells zusammen und gibt Ausblicke auf zukünftige Erweiterungen.
7 Anhang: Bietet eine Zusammenstellung der verwendeten graphentheoretischen Basisbegriffe.
Schlüsselwörter
DAE, Algebro-Differentialgleichungen, Wassernetzwerk, Dissection Index, Netzwerktopologie, Inzidenzmatrizen, Konsistente Initialisierung, Graphentheorie, Modellierung, Flussdynamik, Entkopplungsmatrizen, Wasserversorgung, Quasi-stationäre Systeme.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Publikation erörtert die mathematische Modellierung von Trinkwassernetzwerken als System von Algebro-Differentialgleichungen (DAEs) und deren analytische sowie numerische Handhabung.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen umfassen die Graphentheorie zur Modellierung von Netzstrukturen, die physikalische Modellierung von Rohrelementen und die effiziente Entkopplung komplexer DAE-Systeme.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Der Fokus liegt auf der Bestimmung einer konsistenten Initialisierung, also der Berechnung physikalisch korrekter Anfangswerte für Druck und Fluss, damit eine DAE-Lösung existieren kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden methodisch Techniken wie der "dissection index" zur Strukturanalyse und spezielle Koordinatentransformationen mittels Entkopplungsmatrizen (basierend auf Spannbäumen und Fundamentalkreisen) eingesetzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Modellierung der Elemente, die graphentheoretische Vorbereitung der Netzstruktur sowie die eigentliche mathematische Entkopplung der DAE in eine ODE und zugehörige algebraische Bedingungen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen zählen DAE, Wassernetzwerke, Dissection Index, Netzwerktopologie und die konsistente Initialisierung.
Warum ist die konsistente Initialisierung bei DAEs so kritisch?
Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen existieren bei DAE-Systemen algebraische Nebenbedingungen, die Anfangswerte einschränken; eine unbedachte Wahl führt dazu, dass gar keine gültige Lösung existiert.
Welchen Vorteil bietet der gewählte "dissection index"?
Der dissection index erlaubt eine strukturierte Entkopplung der DAE, welche die Symmetrie des Problems erhält und numerisch vorteilhafter gegenüber anderen Indexkonzepten ist.
- Arbeit zitieren
- Artem Chernykh (Autor:in), 2017, Konsistente Initialisierung von Netzwerk-DAEs, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1472201
