Das Ruinproblem beschäftigt sich mit der Frage, wie hoch bei einem Gewinnspiel die Wahrscheinlichkeit ist, all sein verfügbares Kapital zu verspielen, bevor ein gewünschter Gewinn eingetreten ist. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse dieser Wahrscheinlichkeit, sowie ihrer Anwendungsmöglichkeiten in der Insolvenzprognose.
Das Ruinproblem versucht die Wahrscheinlichkeit des Ruins des Spielers vorauszusagen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit werden zunächst die historischen Ursprünge des Ruinproblems beleuchtet und anschließend eine allgemeine Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit für ein Glücksspiel hergeleitet. Diese Formel wird dann zum Abschluss des zweiten Kapitels mithilfe einer Computersimulation auf ihre Richtigkeit überprüft.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Ruin des Spielers
2.1 Historische Wurzeln
2.2 Ruinwahrscheinlichkeit
2.2.1 Der fair case
2.2.2 Der biased case
2.2.3 Prüfung der Ruinwahrscheinlichkeit anhand einer Computersimulation
3 Anwendung in der Finanzmathematik zur Insolvenzprognose
3.1 Bedeutung von Insolvenzprognoseverfahren
3.2 Vorüberlegungen für ein Grundmodell
3.3 Ermittlung des Zustandes S_N
3.4 Ermittlung der Übergangswahrscheinlichkeiten p und q
3.5 Anwendung am Beispiel der Beiersdorf AG
3.6 Grenzen und notwendige Verbesserungen des Grundmodells
4 Zusammenfassung
5 Anhänge
5.1 Abkürzungsverzeichnis
5.2 Symbolverzeichnis
5.3 Verwendete Internetseiten
5.4 Bedienung der Computersimulation
5.5 Quellcode der Computersimulation
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht das mathematische Ruinproblem, ausgehend von historischen Ursprüngen in der Wahrscheinlichkeitstheorie bis hin zu praktischen Anwendungen in der modernen Finanzmathematik, insbesondere bei der Prognose von Unternehmensinsolvenzen.
- Historische Herleitung und mathematische Fundierung des Ruinproblems
- Differenzierung zwischen fairen und verzerrten (biased) Spielen
- Entwicklung eines Modells zur Insolvenzprognose auf Basis von Unternehmensdaten
- Praktische Fallstudie anhand der Beiersdorf AG und quantitative Computersimulation
Auszug aus dem Buch
2.2 Ruinwahrscheinlichkeit
Die Ruinwahrscheinlichkeit bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie allgemein die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler sein gesamtes Kapital verliert und somit nicht mehr in der Lage ist an dem Spiel teilzunehmen (vgl. Wikimedia Foundation Inc., 2020b).
Zur Herleitung der Ruinwahrscheinlichkeit wird folgendes Spiel angenommen. Zwei Spieler Anna und Bob besitzen jeweils ein Kapital von a bzw. b Euro, dabei gilt a, b ∈ ℕ. Das gesamte im Spiel befindliche Kapital beträgt somit M = a + b. Spieler Anna gewinnt eine Runde mit einer Wahrscheinlichkeit von p ∈ (0,1) und Spieler Bob mit einer Wahrscheinlichkeit von q = 1 - p. Die Spielrunden seien dabei voneinander unabhängig. Der Gewinner einer Runde erhält von dem Verlierer einen Euro. Im Falle eines Gewinns von Anna hat sie nach der Runde ein Kapital von a + 1 und im Falle eines Gewinns von Bob ein Kapital von a - 1. Das Kapital von Bob verhält sich dazu analog. Das Spiel endet, sobald das Kapital einer der Spieler den Wert 0 erreicht. Zu diesem Zeitpunkt tritt für den Spieler also der Ruin ein. Das Spiel endet demnach sobald entweder a = 0, in diesem Fall hat Anna verloren, oder a = M, in diesem Fall hat Bob das Spiel verloren. Das Ereignis, in dem Anna ruiniert ist, bezeichnen wir als R und das Ereignis, in dem Bob ruiniert ist, bezeichnen wir als G. Das Spiel dauert solange bis R oder G eingetreten sind. Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für R und G zu bestimmen (vgl. Georgii, 2015, S. 169f.; vgl. Kabluchko, 2013, S. 175). Im Folgenden ist mit der Ruinwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von R gemeint und analog dazu mit der Gewinnwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von G. Da die Wahrscheinlichkeiten also aus der Sicht von Anna ermittelt werden, wird diese ab sofort als der Spieler bezeichnet.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung stellt die Motivation durch ein filmisches Beispiel dar und skizziert den Aufbau der Seminararbeit von der mathematischen Theorie bis zur praktischen Anwendung.
2 Ruin des Spielers: In diesem Kapitel werden die historischen Wurzeln des Problems beleuchtet und die allgemeine mathematische Formel für die Ruinwahrscheinlichkeit unter verschiedenen Bedingungen hergeleitet sowie durch Simulation überprüft.
3 Anwendung in der Finanzmathematik zur Insolvenzprognose: Das Kapitel überträgt das Ruin-Modell auf die Wirtschaftswissenschaften, um ein Prognoseinstrument für die Zahlungsunfähigkeit von Unternehmen zu entwickeln, das an einem realen Beispiel getestet wird.
4 Zusammenfassung: Die Arbeit schließt mit einer Rekapitulation der gewonnenen Formeln und einer kritischen Würdigung der Anwendbarkeit des Modells auf reale Unternehmensdaten ab.
Schlüsselwörter
Ruinproblem, Wahrscheinlichkeitstheorie, Insolvenzprognose, Finanzmathematik, Markov-Kette, Ruinwahrscheinlichkeit, Unternehmensbewertung, Beiersdorf AG, Zerschlagungswert, Simulation, Stochastik, Kapital, Bilanzanalyse, Wirtschaftswissenschaften, Insolvenzgefährdung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit dem mathematischen Ruinproblem, welches ursprünglich die Wahrscheinlichkeit des Verlusts des gesamten Spielkapitals bei Glücksspielen analysiert und auf die Insolvenzprognose von Unternehmen übertragen wird.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden stochastische Methoden (Markov-Ketten), ein mathematisches Grundmodell für Insolvenzen sowie eine rechnergestützte Computersimulation zur Verifizierung der theoretischen Formeln genutzt.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, zu zeigen, wie ein klassisches spieltheoretisches Modell zur Bewertung von finanziellen Risiken und zur Einschätzung der Insolvenzgefährdung in Unternehmen eingesetzt werden kann.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Zentrale Themen sind die mathematische Ruinwahrscheinlichkeit bei fairen und verzerrten Spielen, die Klassifizierung von Unternehmen mittels Kennzahlen sowie die Grenzen solcher Modelle bei der Anwendung auf reale Marktdaten.
Was wird im Hauptteil der Arbeit analysiert?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematische Herleitung der Ruin-Formeln unter Verwendung von Markov-Ketten und die praktische Anwendung dieses Modells am Beispiel der Beiersdorf AG zur Bestimmung der Illiquiditätswahrscheinlichkeit.
Was charakterisiert die Arbeit in Bezug auf ihre Schlüsselwörter?
Die Arbeit verknüpft stochastische Begriffe wie "Ruinwahrscheinlichkeit" und "Markov-Kette" mit wirtschaftswissenschaftlichen Themen wie "Insolvenzprognose" und "Bilanzanalyse".
Warum wird das Ruinproblem als Basis für eine Insolvenzprognose verwendet?
Das Ruinproblem eignet sich als strukturgleiches Modell, da der finanzielle Ruin eines Unternehmens analog zum Verlust des Spielkapitals bei einem Glücksspiel betrachtet werden kann, wobei der "Absorbierende Rand" den Zustand der Insolvenz darstellt.
Welche Ergebnisse liefert die Computersimulation im zweiten Kapitel?
Die Simulation von 500.000 Spielverläufen zeigt, dass die empirisch simulierten Ruinquoten auf mehrere Nachkommastellen genau mit den theoretisch berechneten Ruinwahrscheinlichkeiten übereinstimmen, was die Korrektheit der Formeln bestätigt.
Was sind die kritischen Grenzen des Modells bei der Anwendung auf Unternehmen?
Zu den Grenzen zählen die Annahme einer festen Gewichtung von Bilanzposten, die Vernachlässigung von Zuführungen bzw. Entnahmen von Eigenkapital sowie die vereinfachte Annahme, dass das Unternehmen keine Zustände überspringen kann (Binomialverteilung).
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- Anonym (Author), 2021, Das Ruinproblem in der Mathematik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1499444
