Die Seminararbeit „Modellierung und Schätzung von ARMA-Prozessen“ bietet einen übersichtlichen Einstieg in stochastische Prozesse sowie ARMA-Prozesse als Methode zur Modellierung von Zeitreihen. Es werden zudem mehrere Schätzmethoden vorgestellt und miteinander verglichen.
Heutzutage ist die Analyse von Zeitreihendaten in fast allen Wissenschaftsgebieten von großer Bedeutung, sei es in der Wirtschaft, in der Industrie, in der Demografie oder in Naturwissenschaften.
Eine Zeitreihe kann als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefasst werden. Es wird angenommen, dass eine Familie von Zufallsvariablen des Prozesses eine bestimmte Verteilung besitzt und die Zufallsvariablen zu gewissen Wahrscheinlichkeiten Werte eines kontinuierlichen Intervalls annehmen. Wichtig für die Charakterisierung der stochastischen Prozesse sind die Momentfunktionen (Erwartungswert, Varianz, Autokovarianz, Autokorrelation). Durch Schätzer dieser Funktionen kann man auf den Prozess zurückschließen, der die Zeitreihe erzeugt hat. Dabei müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein, die unter den Begriffen „Stationarität“ und „Ergodizität“ zusammengefasst werden.
In Kapitel 2 werden spezielle lineare Prozesse behandelt, die sich als Kombination von Zufallsvariablen und Schockterm ausdrücken lassen: White-Noise-Prozesse, autoregressive und Moving-Average-Prozesse sowie deren Kombination in ARMA-Prozessen. Dabei werden die Momentfunktionen der Prozesse hergeleitet sowie Invertierbarkeit und Kausalität erläutert.
In Kapitel 3 wird in einer Einführung die Box-Jenkins-Methode als Ansatz zur Modellierung von Zeitreihen erklärt. In den folgenden Abschnitten werden drei Schätzer für die Parameter von ARMA-Prozessen vorgestellt: Yule-Walker-Schätzer, Maximum-Likelihood-Schätzer und Kleinst-Quadrate-Schätzer. Anschließend wird deren Güte anhand einer Realisation eines ARMA-Prozesses verglichen. Zuletzt wird auf Schätzmethoden für die Ordnung eingegangen. Hierzu bedient man sich der Vektorkorrelationen, welche die wechselseitigen Eigenschaften von ACF und PACF von ARMA-Prozessen ausnutzen. Eine Alternative stellen die Modell-Selektionskriterien (AIC, BIC, HQ) dar.
Im Fazit werden Anwendungsgebiete von ARMA-Prozessen, Vor- und Nachteile deren Modellierung und Schätzung zusammengefasst.
Im Anhang sind Definitionen für Schätzer von Momentfunktionen, Tabellen-, Abbildungs-, Symbol- und Literaturverzeichnis.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Deskriptive Zeitreihenmodelle
- Stochastische Prozesse
- Momentfunktionen stochastischer Prozesse
- Stationarität und Ergodizität
- Gauß-Prozesse
- Einführung in ARMA-Modelle
- White-Noise-Prozesse
- Moving-Average-Prozesse
- Autoregressive Prozesse
- Invertierbarkeit und Kausalität
- Yule-Walker-Gleichungen
- ARMA-Prozesse
- Modellschätzung
- Yule-Walker-Schätzung
- Maximum-Likelihood-Schätzung
- Kleinste-Quadrate-Methoden
- Vergleich der Schätzungsverfahren anhand eines Beispiels
- Schätzung der Ordnungen p und q
- Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit befasst sich mit der Modellierung und Schätzung von ARMA-Prozessen. Sie bietet eine Einführung in die Theorie der Zeitreihenanalyse und untersucht verschiedene Methoden zur Schätzung von ARMA-Modellen. Die Arbeit richtet sich an Studenten der Ökonometrie und Wirtschaftswissenschaften, die sich mit der Analyse von Zeitreihendaten beschäftigen möchten.
- Deskriptive Zeitreihenmodelle
- Stochastische Prozesse und ihre Eigenschaften
- Einführung in ARMA-Modelle und ihre Komponenten
- Schätzungsverfahren für ARMA-Modelle
- Vergleich der Schätzungsverfahren anhand eines praktischen Beispiels
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Dieses Kapitel liefert eine kurze Einführung in die Bedeutung der Zeitreihenanalyse in verschiedenen Wissenschaftsbereichen und stellt verschiedene Beispiele für Zeitreihendaten vor. Es wird der Zweck der Zeitreihenanalyse erläutert, der sowohl in der Beschreibung von zeitlichen Vorgängen, der Beobachtung der Kontrolle als auch in der Prognose zukünftiger Entwicklungen liegt.
- Deskriptive Zeitreihenmodelle: Dieses Kapitel behandelt traditionelle, deskriptive Zeitreihenmodelle, die die Zeitreihe als Verknüpfung von Trend-, Konjunktur-, Saison- und Restkomponenten beschreiben. Es wird erläutert, wie die Zeitreihe durch geeignete Filter in ihre Komponenten zerlegt wird und der Abstand von geeigneten Funktionen zu den Zeitreihenkomponenten minimiert werden kann. Die Kleinste-Quadrate-Methode, bei der die Summe der quadrierten Abstände minimiert wird, wird als ein Beispiel für die Minimierung erläutert.
- Stochastische Prozesse: Dieses Kapitel behandelt die moderne Variante der Auffassung einer Zeitreihe als endliche Realisation stochastischer Prozesse. Es wird erläutert, was unter einem stochastischen Prozess verstanden wird und wie er formal definiert ist. Die unterschiedlichen Interpretationsweisen des Symbols X,(@) in Abhängigkeit von t und @ werden erklärt.
- Momentfunktionen stochastischer Prozesse: Dieses Kapitel stellt wichtige Größen vor, die auch als Momentfunktionen bezeichnet werden und für die Analyse von stochastischen Prozessen relevant sind. Es werden die Erwartungswertfunktion, Varianzfunktion, Kovarianzfunktion und Korrelationsfunktion definiert und ihre Bedeutung erläutert.
- Stationarität und Ergodizität: Dieses Kapitel behandelt wichtige Eigenschaften von stochastischen Prozessen, die für die Schätzbarkeit von Modellen relevant sind. Es wird erläutert, wie die zeitliche Heterogenität und das Gedächtnis des Prozesses die Schätzbarkeit beeinflussen.
- Einführung in ARMA-Modelle: Dieses Kapitel führt in die Thematik der ARMA-Modelle ein. Es werden die Komponenten White-Noise-Prozesse, Moving-Average-Prozesse und Autoregressive Prozesse vorgestellt und ihre Eigenschaften erläutert. Die Kapitel behandelt auch die Themen Invertierbarkeit und Kausalität und erklärt die Yule-Walker-Gleichungen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit behandelt die folgenden Schlüsselwörter und Themenbereiche: Zeitreihenanalyse, stochastische Prozesse, ARMA-Modelle, White-Noise-Prozesse, Moving-Average-Prozesse, Autoregressive Prozesse, Yule-Walker-Gleichungen, Schätzungsverfahren, Maximum-Likelihood-Schätzung, Kleinste-Quadrate-Methoden, Stationarität, Ergodizität.
- Arbeit zitieren
- Klaus Hartmann (Autor:in), 2010, Modellierung und Schätzung von ARMA-Prozessen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/155502