Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren


Diplomarbeit, 2002

71 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

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Kapitel 1

Grundlagen

Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie. Dabei werden neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen im Verlauf des Kapitels elementare Definitionen und Zusammenh¨ ange formuliert.

1.1 Partitionen

Es seien n, m N.

1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt Partition von n, geschrieben λ n, falls gilt:

(i) λ 1 . . . λ m > 0.

m (ii) i=1 λ i = n.

Mit a i := |{j | λ j = i, 1 j m}, 1 i n, verwenden wir als abk¨ urzende Schreibweise λ = (n an , (n 1) a n−1 , . . . , 1 a 1 ), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit a k = 0 ausgelassen werden.

Es ist l(λ) := m die L¨ ange von λ.

)

λ 1

definiert durch

i := |{j | λ j i, 1 j m}|, 1 i λ 1 .

Insbesondere ist λ n.

1.1.2 Definition Definiere auf P(n) := {λ | λ n} die lexikographische Ordnung < wie folgt. F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ), µ = (µ 1 , . . . , µ m ) ∈ P(n) ist λ < µ genau dann, wenn ein i ∈ {1, . . . , max{m, m }} existiert, so daß

λ j = µ j f¨ ur alle 1 j i 1 und λ i < µ i .

Dabei wird λ j := 0 f¨ ur alle j > m und µ j := 0 f¨ ur alle j > m gesetzt.

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1.1.10 Bemerkung Seien λ ∈ P(n) und p N. Der p-Kern, das p-Gewicht, die p-Signatur und der p-Quotient von λ sind eindeutig durch λ bestimmt.

1.1.11 Definition Sei p N.

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1.1.12 Bemerkung Sei p N. Eine Partition ist genau dann p-spaltensingul¨ ar, wenn die zu dieser Partition konjugierte Partition p-zeilensingul¨ ar ist.

1.2 Moduln und p-modulare Systeme

Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A eine (als R-Linksmodul endlicherzeugte) R-Algebra. Des weiteren sei M ein (endlich-erzeugter) A-Linksmodul. 2

1.2.1 Schreibweise Seien R 1 und R 2 zwei Ringe. Die Schreibweise R 1 = R 2

bedeutet, daß R 1 und R 2 als Ringe isomorph sind.

Seien X und Y zwei A-Linksmoduln. Die Schreibweise X A = Y bedeutet, daß

X und Y als A-Linksmoduln isomorph sind.

1.2.2 Definition (a) Ein Untermodul U von M heißt echt, falls {0} < U < M .

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[James & Kerber, Satz 2.7.37] ¨ aquivalent zum p-Quotienten (im Sinne von James & Kerber) ist.

2 Alle Aussagen dieses Abschnitts lassen sich analog auch f¨ ur A-Rechtsmoduln formulieren.

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1.2.10 Definition (a) M heißt freier A-Linksmodul, falls eine Menge S exi-

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1.2.11Definition Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring, J(R) das Jacobson-Radikal von R, K := Quot(R) der Quotientenk¨ orper von R und k := R mit char(k) = p P. Dann heißt das Tripel (K, R, k) ein p-modulares System.

1.3 Grothendieck-Gruppen

Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring und A ein Ring mit 1.

1.3.1 Bezeichnungen Sei X A ein Vetretersystem der Isomorphieklassen der endlich-erzeugten A-Rechtsmoduln, das heißt X A sei eine (nicht eindeutig bestimmte) Menge, so daß zu jedem A-Rechtsmodul 3 M genau ein A-Rechtsmodul M X X A existiert mit M = A M X .

F¨ ur einen A-Rechtsmodul M bezeichne M X den (eindeutig bestimmten) A- Rechtsmodulmit

M = A M X . M X X A und

1.3.2 Definition Es heißt

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die freie abelsche Gruppe ¨ uber X A .

1.3.3 Definition Sei

F 0 := N + Q M | N, Q, M X A und es existiert eine kurze exakte Folge {0} → N M Q → {0}} F ab (X A ).

Dann heißt

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die Grothendieck-Gruppe von A. F¨ ur einen A-Rechtsmodul M sei

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und

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m (b 1 b 2 ) = m ϕ(b 1 b 2 )

Also ist der A-Rechtsmodul M auch ein B-Rechtsmodul.

(ii) Seien M, N A-Rechtsmoduln und ψ : M N ein A-Modulhomomor- phismus.Wegen (i) sind M und N zwei B-Rechtsmoduln und ψ ist ein B-Modulhomomorphismus.

(iii) Wegen (i) und (ii) wird jede exakte Folge von A-Modulhomomor- phismenzu einer exakten Folge von B-Modulhomomorphismen.

Ende der Leseprobe aus 71 Seiten

Details

Titel
Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
Hochschule
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen  (Lehrstuhl D für Mathematik)
Note
1,7
Autor
Jahr
2002
Seiten
71
Katalognummer
V158192
ISBN (eBook)
9783640711246
ISBN (Buch)
9783640711567
Dateigröße
783 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Symmetrisierung, Algebra, Algebren, Schur, Brauer, Mathematik Diplomarbeit, Zerlegungsmatrix, Zerlegungsmatrizen
Arbeit zitieren
Daniel Bauten (Autor), 2002, Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/158192

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