Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren

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Kapitel 1

Grundlagen

Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie. Dabei werden neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen im Verlauf des Kapitels elementare Definitionen und Zusammenh¨ ange formuliert.

1.1 Partitionen

Es seien n, m ∈ N.

1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt Partition von n, geschrieben λ − n, falls gilt:

(i) λ 1 ≥ . . . ≥ λ m > 0.

m (ii) i=1 λ i = n.

Mit a i := |{j | λ j = i, 1 ≤ j ≤ m}, 1 ≤ i ≤ n, verwenden wir als abk¨ urzende Schreibweise λ = (n ^an , (n − 1) ^{a n−1} , . . . , 1 ^{a 1} ), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit a k = 0 ausgelassen werden.

Es ist l(λ) := m die L¨ ange von λ.

)

^λ 1

definiert durch

i := |{j | λ j ≥ i, 1 ≤ j ≤ m}|, 1 ≤ i ≤ λ 1 .

Insbesondere ist λ − n.

1.1.2 Definition Definiere auf P(n) := {λ | λ − n} die lexikographische Ordnung < wie folgt. F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ), µ = (µ 1 , . . . , µ m ) ∈ P(n) ist λ < µ genau dann, wenn ein i ∈ {1, . . . , max{m, m }} existiert, so daß

λ j = µ j f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ i − 1 und λ i < µ i .

Dabei wird λ j := 0 f¨ ur alle j > m und µ j := 0 f¨ ur alle j > m gesetzt.

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1.1.10 Bemerkung Seien λ ∈ P(n) und p ∈ N. Der p-Kern, das p-Gewicht, die p-Signatur und der p-Quotient von λ sind eindeutig durch λ bestimmt.

1.1.11 Definition Sei p ∈ N.

1.1.12 Bemerkung Sei p ∈ N. Eine Partition ist genau dann p-spaltensingul¨ ar, wenn die zu dieser Partition konjugierte Partition p-zeilensingul¨ ar ist.

1.2 Moduln und p-modulare Systeme

Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A eine (als R-Linksmodul endlicherzeugte) R-Algebra. Des weiteren sei M ein (endlich-erzeugter) A-Linksmodul. 2

1.2.1 Schreibweise Seien R 1 und R 2 zwei Ringe. Die Schreibweise R 1 ∼ = R 2

bedeutet, daß R 1 und R 2 als Ringe isomorph sind.

Seien X und Y zwei A-Linksmoduln. Die Schreibweise X A ∼ = Y bedeutet, daß

X und Y als A-Linksmoduln isomorph sind.

1.2.2 Definition (a) Ein Untermodul U von M heißt echt, falls {0} < U < M .

[James & Kerber, Satz 2.7.37] ¨ aquivalent zum p-Quotienten (im Sinne von James & Kerber) ist.

² Alle Aussagen dieses Abschnitts lassen sich analog auch f¨ ur A-Rechtsmoduln formulieren.

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1.2.10 Definition (a) M heißt freier A-Linksmodul, falls eine Menge S exi-

1.2.11Definition Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring, J(R) das Jacobson-Radikal von R, K := Quot(R) der Quotientenk¨ orper von R und k := R mit char(k) = p ∈ P. Dann heißt das Tripel (K, R, k) ein p-modulares System.

1.3 Grothendieck-Gruppen

Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring und A ein Ring mit 1.

1.3.1 Bezeichnungen Sei X A ein Vetretersystem der Isomorphieklassen der endlich-erzeugten A-Rechtsmoduln, das heißt X A sei eine (nicht eindeutig bestimmte) Menge, so daß zu jedem A-Rechtsmodul ³ M genau ein A-Rechtsmodul M X ∈ X A existiert mit M ∼ = A M X .

F¨ ur einen A-Rechtsmodul M bezeichne M X den (eindeutig bestimmten) A- Rechtsmodulmit

M ∼ = A M X . M X ∈ X A und

1.3.2 Definition Es heißt

die freie abelsche Gruppe ¨ uber X A .

1.3.3 Definition Sei

F 0 := N + Q − M | N, Q, M ∈ X A und es existiert eine kurze exakte Folge {0} → N → M → Q → {0}} F ^ab (X A ).

Dann heißt

die Grothendieck-Gruppe von A. F¨ ur einen A-Rechtsmodul M sei

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und

m (b 1 b 2 ) = m ◦ ϕ(b 1 b 2 )

Also ist der A-Rechtsmodul M auch ein B-Rechtsmodul.

(ii) Seien M, N A-Rechtsmoduln und ψ : M → N ein A-Modulhomomor- phismus.Wegen (i) sind M und N zwei B-Rechtsmoduln und ψ ist ein B-Modulhomomorphismus.

(iii) Wegen (i) und (ii) wird jede exakte Folge von A-Modulhomomor- phismenzu einer exakten Folge von B-Modulhomomorphismen.