Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Neben einer Zusammenstellung aller benötigten Hilfsmittel und der Ausarbeitung der theoretischen Hintergründe besteht ein großer Teil der Arbeit aus der Implementierung der theoretischen Fakten. Die Programme zur Symmetrisierung und zur Berechnung von Zerlegungsmatrizen wurden im Computeralgebrasystem GAP implementiert.
Im ersten Kapitel werden alle für die nachfolgenden Kapitel wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie erläutert. Neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen werden im Verlauf dieses Kapitels elementare Definitionen gegeben und Zusammenhänge ausgearbeitet.
Das zweite Kapitel beinhaltet die Theorie der Symmetrisierung. Hierbei wird unterschieden, ob gewöhnliche oder modulare Charaktere (Brauer-Charaktere) symmetrisiert werden. Bei der Symmetrisierung von Brauer-Charakteren wird zwischen der gewöhnlichen und der verfeinerten Symmetrisierung differenziert.
Bei der Berechnung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere sind die Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren von großer Wichtigkeit. Das folgende dritte Kapitel befaßt sich zunächst mit den dazu in der Literatur existierenden Konventionen. Anschließend wird ein möglicher Weg für die Berechnung der Matrizen erklärt und an einem Beispiel verdeutlicht.
Im vierten Kapitel werden die für die Symmetrisierung implementierten Programme kurz vorgestellt. Hierbei spielen die Programme zur Berechnung der Zerlegungsmatrizen eine entscheidende Rolle.
Inhaltsverzeichnis
- Grundlagen
- Partitionen
- Moduln und p-modulare Systeme
- Grothendieck-Gruppen
- Endomorphismenringe
- Gitter und Zerfällungskörper
- Permutationsmoduln
- Schur-Algebren
- Symmetrisierung
- Symmetrisierung gewöhnlicher Charaktere
- Gewöhnliche Symmetrisierung modularer Charaktere
- Verfeinerte Symmetrisierung modularer Charaktere
- Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
- Konventionen
- Regeln und Sätze
- Berechnung
- Beispiel
- Implementierung
- Grundlegende Programme
- Das Paket Union OfMatrices.g
- Das Paket SortMatrix.g
- Das Paket DeleteColumns.g
- Das Paket PrintMatrix.g
- Berechnung der Zerlegungsmatrizen
- Das Paket CoresAndQuotients.g
- Das Paket Littlewood Richardson.g
- Das Paket Littlewood.g
- Das Paket Faster Filling.g
- Symmetrisierung
- Das Paket MyFunctions.g
- Das Paket Modular Symmetrizations
- Grundlegende Programme
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Diplomarbeit befasst sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Die Arbeit kombiniert theoretische Grundlagen mit der praktischen Implementierung dieser Konzepte im Computeralgebrasystem GAP.
- Symmetrisierung von gewöhnlichen und modularen Charakteren
- Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
- Implementierung der theoretischen Konzepte im Computeralgebrasystem GAP
- Anwendung der entwickelten Programme zur Symmetrisierung und Berechnung von Zerlegungsmatrizen
- Ausarbeitung der theoretischen Hintergründe und Zusammenhänge
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Grundlagen
- Einführung der grundlegenden Konzepte aus der Algebra und Darstellungstheorie, einschließlich Definitionen, Bezeichnungen und Zusammenhängen.
- Kapitel 2: Symmetrisierung
- Diskussion der Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere, einschließlich der Unterscheidung zwischen gewöhnlicher und verfeinerter Symmetrisierung.
- Hervorhebung der Bedeutung von Zerlegungsmatrizen bei der Berechnung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere.
- Kapitel 3: Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
- Präsentation der in der Literatur etablierten Konventionen.
- Beschreibung eines möglichen Vorgehens zur Berechnung der Matrizen.
- Verdeutlichung der Berechnungsmethode anhand eines Beispiels.
- Kapitel 4: Implementierung
- Kurze Vorstellung der für die Symmetrisierung implementierten Programme.
- Besondere Betonung der Programme zur Berechnung von Zerlegungsmatrizen.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit den Kernthemen der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren, wobei die Implementierung im Computeralgebrasystem GAP eine wichtige Rolle spielt. Die Arbeit verwendet grundlegende Konzepte aus der Algebra und Darstellungstheorie sowie spezifische Werkzeuge wie Permutationsmoduln, Grothendieck-Gruppen, und Endomorphismenringe. Der Schwerpunkt liegt auf der praktischen Anwendung der entwickelten Programme zur Analyse und Bearbeitung von Charakteren und Zerlegungsmatrizen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Thema dieser mathematischen Diplomarbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der Symmetrisierung von gewöhnlichen und modularen Charakteren sowie der Berechnung von Zerlegungsmatrizen für Schur-Algebren.
Was ist der Unterschied zwischen gewöhnlicher und verfeinerter Symmetrisierung?
Bei modularen Charakteren (Brauer-Charakteren) wird zwischen der Standard-Symmetrisierung und einer verfeinerten Methode unterschieden, bei der Zerlegungsmatrizen eine zentrale Rolle spielen.
Welche Rolle spielt das Computersystem GAP in der Arbeit?
Ein großer Teil der Arbeit bestand darin, die theoretischen Konzepte in GAP zu implementieren, um Zerlegungsmatrizen und Symmetrisierungen automatisiert berechnen zu können.
Welche mathematischen Grundlagen werden vorausgesetzt?
Wichtige Konzepte sind Partitionen, p-modulare Systeme, Grothendieck-Gruppen, Endomorphismenringe und Permutationsmoduln.
Was sind Schur-Algebren im Kontext dieser Forschung?
Schur-Algebren sind spezifische Strukturen in der Darstellungstheorie, deren Zerlegungsmatrizen für die Symmetrisierung modularer Charaktere berechnet werden müssen.
- Arbeit zitieren
- Daniel Bauten (Autor:in), 2002, Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/158192
