Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Neben einer Zusammenstellung aller benötigten Hilfsmittel und der Ausarbeitung der theoretischen Hintergründe besteht ein großer Teil der Arbeit aus der Implementierung der theoretischen Fakten. Die Programme zur Symmetrisierung und zur Berechnung von Zerlegungsmatrizen wurden im Computeralgebrasystem GAP implementiert.
Im ersten Kapitel werden alle für die nachfolgenden Kapitel wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie erläutert. Neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen werden im Verlauf dieses Kapitels elementare Definitionen gegeben und Zusammenhänge ausgearbeitet.
Das zweite Kapitel beinhaltet die Theorie der Symmetrisierung. Hierbei wird unterschieden, ob gewöhnliche oder modulare Charaktere (Brauer-Charaktere) symmetrisiert werden. Bei der Symmetrisierung von Brauer-Charakteren wird zwischen der gewöhnlichen und der verfeinerten Symmetrisierung differenziert.
Bei der Berechnung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere sind die Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren von großer Wichtigkeit. Das folgende dritte Kapitel befaßt sich zunächst mit den dazu in der Literatur existierenden Konventionen. Anschließend wird ein möglicher Weg für die Berechnung der Matrizen erklärt und an einem Beispiel verdeutlicht.
Im vierten Kapitel werden die für die Symmetrisierung implementierten Programme kurz vorgestellt. Hierbei spielen die Programme zur Berechnung der Zerlegungsmatrizen eine entscheidende Rolle.
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Partitionen
1.2 Moduln und p-modulare Systeme
1.3 Grothendieck-Gruppen
1.4 Endomorphismenringe
1.5 Gitter und Zerfällungskörper
1.6 Permutationsmoduln
1.7 Schur-Algebren
2 Symmetrisierung
2.1 Symmetrisierung gewöhnlicher Charaktere
2.2 Gewöhnliche Symmetrisierung modularer Charaktere
2.3 Verfeinerte Symmetrisierung modularer Charaktere
3 Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
3.1 Konventionen
3.2 Regeln und Sätze
3.3 Berechnung
3.4 Beispiel
4 Implementierung
4.1 Grundlegende Programme
4.1.1 Das Paket UnionOfMatrices.g
4.1.2 Das Paket SortMatrix.g
4.1.3 Das Paket DeleteColumns.g
4.1.4 Das Paket PrintMatrix.g
4.2 Berechnung der Zerlegungsmatrizen
4.2.1 Das Paket CoresAndQuotients.g
4.2.2 Das Paket LittlewoodRichardson.g
4.2.3 Das Paket Littlewood.g
4.2.4 Das Paket FasterFilling.g
4.3 Symmetrisierung
4.3.1 Das Paket MyFunctions.g
4.3.2 Das Paket ModularSymmetrizations
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit widmet sich der Symmetrisierung von Charakteren sowie der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Zentrales Ziel ist die theoretische Ausarbeitung dieser Symmetrisierungsprozesse und deren praktische Umsetzung durch die Entwicklung spezialisierter Computerprogramme.
- Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere
- Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren
- Implementierung der theoretischen Verfahren im Computeralgebrasystem GAP
- Analyse von Partitionen, Moduln und Darstellungstheorie
- Untersuchung der verfeinerten Symmetrisierung für Brauer-Charaktere
Auszug aus dem Buch
1.1 Partitionen
Es seien n, m ∈ N.
1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge natürlicher Zahlen λ = (λ1, . . . , λm) heißt Partition von n, geschrieben λ ⊢ n, falls gilt: (i) λ1 ≥ . . . ≥ λm > 0. (ii) Σ m i=1 λi = n. Mit ai := |{j | λj = i, 1 ≤ j ≤ m}, 1 ≤ i ≤ n, verwenden wir als abkürzende Schreibweise λ = (n^an, (n − 1)^an−1, . . . , 1^a1), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit ak = 0 ausgelassen werden. Es ist l(λ) := m die Länge von λ.
(b) Für λ = (λ1, . . . , λm) ⊢ n sei die konjugierte Partition λ' = (λ'1, . . . , λ'λ1) definiert durch λ'i := |{j | λj ≥ i, 1 ≤ j ≤ m}|, 1 ≤ i ≤ λ1. Insbesondere ist λ' ⊢ n.
Zusammenfassung der Kapitel
Grundlagen: Einführung der wesentlichen theoretischen Grundlagen aus der Algebra und Darstellungstheorie, einschließlich Partitionen und Moduln.
Symmetrisierung: Theoretische Behandlung der Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere unter Unterscheidung von gewöhnlicher und verfeinerter Symmetrisierung.
Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren: Erläuterung der Konventionen und Regeln zur Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen, illustriert durch ein praktisches Beispiel.
Implementierung: Vorstellung der im System GAP entwickelten Softwarepakete zur Durchführung der Berechnungen.
Schlüsselwörter
Symmetrisierung, Schur-Algebren, Zerlegungsmatrizen, Brauer-Charaktere, Darstellungstheorie, Partitionen, GAP, Computeralgebrasystem, Moduln, Sn, Young-Diagramm, p-modulares System, Gitter, Charaktertheorie, Implementierung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe, der Theorie der Schur-Algebren und der algorithmischen Umsetzung dieser mathematischen Konzepte.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist die theoretische Durchdringung der Symmetrisierungsprozesse und die Bereitstellung effizienter Computerprogramme für die Berechnung der Zerlegungsmatrizen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es wird die Theorie der Darstellung, insbesondere Brauer-Charaktere und Schur-Algebren, genutzt und mittels des Computeralgebrasystems GAP implementiert.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in theoretische Grundlagen, die Theorie der Symmetrisierung, die Berechnung von Zerlegungsmatrizen und die praktische Software-Implementierung.
Welche Schlüsselbegriffe sind charakteristisch?
Wichtige Begriffe sind Schur-Algebren, Symmetrisierung, Partitionen, Zerlegungsmatrizen und Brauer-Charaktere.
Wie spielt das System GAP eine Rolle?
GAP dient als Computeralgebrasystem, in dem die Programme zur Symmetrisierung und Berechnung der Zerlegungsmatrizen implementiert wurden.
Warum sind Zerlegungsmatrizen so wichtig?
Sie sind entscheidend für die Durchführung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere und ermöglichen komplexe Berechnungen in der Darstellungstheorie.
- Quote paper
- Daniel Bauten (Author), 2002, Symmetrisierung gewöhnlicher und modularer Charaktere und modulare Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/158192
