Entwurf einer Stromregelung mit definiertem dynamischem Verhalten für einen Permanentmagnet-Synchronmotor mit eingebetteten Magneten (IPMSM)

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Permanentmagnet-Sychronmotor (PMSM)
2.1 Aufbau und Bauformen
2.2 Modellierung
2.2.1 Koordinatensysteme und Raumzeiger
2.2.2 Allgemeine Spannungsgleichungen
2.2.3 Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten
2.2.4 Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten . .
2.2.5 Drehmomentbildung
2.2.6 Wirkungsplan
2.3 Betriebsgrenzen eines IPMSM
2.3.1 Stromgrenze
2.3.2 Spannungsgrenze
2.3.3 Typische Motorkennlinien eines IPMSM

3 Betriebsstrategien eines IPMSM
3.1 Ein Überblick
3.2 Herleitung der MTPC-Strategie
3.3 Betriebsstrategie für den Flussschwächbereich
3.3.1 Unterer Flussschwächbereich
3.3.2 Oberer Flussschwächbereich
3.4 Vorstellung einer Gesamtbetriebsstrategie

4 Feldorientierte Stromregelung
4.1 Anforderungen an die Regelungsstruktur
4.2 Konzept der feldorientierten Stromregelung
4.2.1 Gesamtstruktur der feldorientierten Regelung .
4.2.2 Erste Reglersynthese nach dem Symmetrischen Optimum (SO)
4.2.3 Anti-Reset-Windup (ARW)
4.2.4 Erste Simulationsergebnisse
4.3 Adaptive Stromregelung
4.3.1 Umsetzung am Beispiel eines PI-Reglers nach dem SO

5 Stromregelung mit definiertem dynamischem Verhalten
5.1 Erster Ansatz: Führungsglättung
5.2 Zweiter Ansatz: Internal Model Control
5.2.1 Theoretische Grundlagen
5.2.2 Implementierung des IMC-Reglers im IPMSM Stromregelkreis
5.2.3 Reduzierung der Auswirkung von Entkopplungsfehlern
5.3 Kombination der Ansätze

6 Implementierung und Validierung am Prüfstand
6.1 Versuchsaufbau
6.2 Überprüfung des Ansatzes mit Führungsglättung
6.3 Überprüfung des Ansatzes nach dem IMC-Verfahren
6.4 Überprüfung des kombinierten Ansatzes

7 Fazit und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang A: Anmerkungen zum beiliegendem Datenträger

Anhang B: Optimale Filterzeitkonstantenkombination im IMC-Regelkreis

Anhang C: Zusätzliche Messschriebe

1 Einleitung

Verbrennungsmotoren dominieren seit über einem Jahrhundert in ihrer Funktion als Traktions- antriebe in Automobilien und werden erst seit einigen Jahren aufgrund ihrer schlechten ökolo- gischen und ökonomischen Perspektiven stärker hinterfragt. Der Trend zu möglichst sparsamen und umweltfreundlichen Fahrzeugen setzt sich in Politik, Gesellschaft und Automobilindustrie immer stärker durch. Nicht zuletzt aufgrund des Klimawandels und der absehbaren Verknap- pung und Verteuerung von Rohöl, erfreuen sich Elektromotoren als alternative Antriebstechno- logie wachsender Beliebtheit. Zum einen stellt die Kombination von Verbrennungs- und Elek- tromotor ein Antriebskonzept dar, mit dem eine höhere Effizienz gegenüber einem reinen Ver- brennungsmotor erreicht werden kann. Zum anderen wecken rein elektrisch angetriebene Fahr- zeuge zunehmend das Interesse der Öffentlichkeit und stellen z.B. als Mega City Vehicle, inbe- sondere bei zunehmend regenerativem Energiemix, ein klimafreundliches Fahrzeugkonzept in Großstädten dar.

Der Permanentmagnet-Synchronmotor mit eingebetteten Magneten (IPMSM) zeichnet sich durch eine vergleichsweise hohe Leistungs- und Drehmomentdichte aus und wird daher zunehmend als Traktionsantrieb in Hybrid- und Elektrofahrzeugen eingesetzt. Ein wesentlicher Grund für die gesteigerte Leistungs- und Drehmomentdichte von IPMSM sind verbesserte Magnetmate- rialien aus Metallen der Seltenen Erden mit denen sich sehr hohe Energiedichten realisieren las- sen. Um diesen Motor als Traktionsantrieb einzusetzen, bedarf es einer Regelung, welche dem Motor ein gefordertes Verhalten aufprägt. Dabei kommt meist eine feldorientierte Stromrege- lung zum Einsatz, der weitere Regelkreise wie z.B. eine Drehzahlregelung, eine Schlupfrege- lung oder eine aktive Schwingungsdämpfung überlagert werden. Der Fokus dieser Arbeit liegt dabei auf der feldorientierten Stromregelung. Insbesondere aufgrund von Sättigungseffekten so- wie Stellgrößenbegrenzungen weist die Stromregelung jedoch eine stark arbeitspunktabhängige Dynamik auf. Dies erschwert die Auslegung überlagerter Regelungsfunktionen, da für diese das Verhalten der unterlagerten Stromregelung bekannt sein muss. Im Gegensatz dazu soll im Zu- ge dieser Arbeit eine Stromregelung entworfen werden, welche dem betrachteten System ein weitgehend lineares und somit arbeitspunktunabhängiges Verhalten aufprägt. Dieses definierte Verhalten kann dann hinsichtlich überlagerter Regelkreise vorausgesetzt werden. Hierdurch ist ein erleichterter Entwurf und eine bessere Regelgüte für die überlagerten Regelfunktionen zu erwarten.

In Kapitel 2 werden die theoretischen Grundlagen für das Verständnis von IPMSM dargestellt. Dabei wird motiviert warum der IPMSM als Traktionsantrieb besonders geeignet ist und es findet eine Abgrenzung zu weiteren Bauformen von Permanentmagnet-Synchronmotoren statt. Bei der mathematischen Beschreibung des Motors liegt ein besonderer Fokus auf der Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten. Darüberhinaus werden die Betriebsgrenzen als Randbedingung der späteren Betriebsstrategie und Stromregelung betrachtet.

In Kapitel 3 werden mögliche Betriebsstrategien diskutiert und eine Arbeitspunktsteuerung, die der Stromregelung vorgelagert ist, vorgestellt. Dabei wird erläutert, warum eine Optimierung der Arbeitspunktsteuerung für das maximale Drehmoment pro Strom eine geeignete Annähe- rung einer wirkungsgradoptimalen Strategie ist. Desweiteren werden die Begriffe des Ankerstell- und Flussschwächbereichs erläutert. Außerdem wird eine Implementierung der Arbeitspunkt- steuerung durch Kennlinienfelder, welche am Fachgebiet für Leistungelektronik und Elektri- sche Antriebstechnik der Universität Paderborn erarbeitet wurde, beschrieben.

In Kapitel 4 wird das feldorientierte Regelungskonzept vorgestellt. Dabei wird u.a. auf die Ver- kopplung der Stromregelkreise des IPMSM bedingt durch die rotatorisch induzierte Spannung und durch Eisen-Sättigungseffekte eingegangen. Es werden entsprechende Entkopplungsmaß- nahmen vorgestellt, die dazu führen, dass die Statorstromkomponenten weitgehend unabhängig voneinander geregelt werden können. Zudem findet eine erste Reglersynthese statt und simu- lativ wird dieses Regelungskonzepts weiter untersucht. Das stark arbeitspunktabhängige Sys- temverhalten kann dabei beobachtet werden. Desweiteren wird auf die arbeitspunktabhängige Parameterveränderung der Regelstrecke eingegangen und eine adaptive Regelung vorgestellt.

In Kapitel 5 werden dann drei Ansätze zum Aufprägen eines definierten dynamischen Verhaltens auf die Stromregelung vorgestellt. Dabei wird ein einfacher Ansatz mit Führungsglättung, ein Ansatz nach dem Intenal Model Control Verfahren und ein kombinierter Ansatz aus diesen beiden verfolgt. Simulativ findet hier bereits eine erste Validierung statt.

In Kapitel 6 werden die vorgestellten Verfahren durch Messungen am Prüfstand untersucht und verglichen. Dafür findet zunächst eine Diskretisierung statt, da der Reglerentwurf von einer quasi-kontinuierlichen Auslegung ausgegangen ist. Zudem werden eine Reihe von Einflussfak- toren, welche die Regelgüte und die Messergebnisse negativ beeinflussen, diskutiert.

Abschließend wird in Kapitel 7 ein Fazit gezogen. Hierfür werden sowohl wichtige Ergeb- nisse der Arbeit zusammengefasst und bewertet als auch ein Ausblick für zukünftige Arbeiten gegeben.

Kapitel 2 Permanentmagnet-Sychronmotor (PMSM)

In diesem Kapitel wird zunächst eine Übersicht über die Formen und den Aufbau verschiede- ner PMSM Typen gegeben. Darauf aufbauend soll motiviert werden, warum der Schwerpunkt dieser Arbeit auf der Bauform mit eingebetteten Magneten (IPMSM) liegt. In Kapitel 2.2 erfolgt dann die Modellierung des Motors. Dafür werden zunächst geeignete Koordinatensysteme und -transformationen vorgestellt, die dann in 2.2.1 zur mathematischen Beschreibung des Motors herangezogen werden. In Kapitel 2.2.2 und 2.2.5 werden dann die Spannungs- und Drehmomentgleichungen in statorfesten als auch in rotorfesten Koordinaten hergeleitet. Hierbei wird u.a. auf die Modellierungsschwierigkeiten von Eisen-Sättigungseffekten eingegangen, welche für diesen Maschinentyp charakteristisch sind. Die Berücksichtigung die- ser Effekte mittels Kennfeldern basierend auf auf gemessenen oder durch FEM-Simulation ge- wonnenen Daten wird vorgestellt.

Im Kapitel 2.2.6 werden dann die bisherigen Ergebnisse zusammengefasst und zur übersichtlichen Darstellung in einem Wirkungsplan wiedergegeben.

Danach werden in Kapitel 2.3 die Betriebsgrenzen der Maschine unter Einbeziehung des speisenden Umrichters hergeleitet und diskutiert. Im letzten Kapitel 2.3.3 werden dann die typischen Motorkennlinien eines IPMSM vorgestellt und abschließend zwei wichtige Kenngrößen sowie deren Bedeutung für die Kennlinienverläufe betrachtet.

2.1 Aufbau und Bauformen

Die Synchronmotor (SM) besteht im Wesentlichen aus einem feststehenden Stator und einem rotierenden Polrad bzw. Rotor. Der Stator besitzt eine dreiphasige Drehstromwicklung. Das Polrad dient als Erregereinrichtung. Die Erregung erfolgt entweder durch eine mit Gleichstrom gespeiste Wicklung oder durch Permanentmagnete. Die Besonderheit der Synchronmaschine liegt darin, dass der Rotor synchron mit dem Drehfeld im Stator umherläuft.

Sychronmaschinen mit Permanentmagneten haben gegenüber mit Gleichstrom gespeisten Sy- chronmaschinen wesentliche Vorteile. So sind diese weitestgehend wartungsfrei und zeichnen sich durch eine hohe Leistungsdichte und kompaktere Bauweisen aus [9]. Daher werden gleich- stromgespeiste Synchronmaschinen in dieser Arbeit nicht weiter untersucht.

Ein PMSM hat auch einen höheren Wirkungsgrad als ein Synchronmotor mit Erregerwick- lung, da keine elektrische Leistung für die Erregung notwendig ist. Der Wirkungsgrad ist eben- falls höher als bei Asynchronmaschinen, da keinerlei Strom zur Magnetisierung benötigt wird, der zu Wärmeverlusten im Rotor führt. Aufgrund dieser Eigenschaften erreichen PMSM hohe Drehmomente bei geringer Baugröße und niedrigem Gewicht und weisen einen sehr guten Wir- kungsgrad auf[20].

In Bild 2.1 sind die wesentlichen Bauformen von PMSM für die Polpaarzahl p = 2 darge- stellt. Der Stator ist bei allen drei Bauformen gleich und die Unterschiede beschränken sich lediglich auf die Ausführungsform des Rotors. Hierbei unterscheidet man Bauformen bei denen die Magnete aufgebracht (Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor - SPMSM) oder eingebettet (Interior Permanent Magnet Sychnronous Motor - IPMSM) sind [2]. Weitere Bauformvarianten der hier vorgestellten drei Grundtypen findet man u.a. in [9] oder [20]. Da Permanentmagnete nahezu die gleiche Permeabilität wie Luft aufweisen (μ r ≈ 1) unterschei- den sich die betrachteten Bauformen dadurch, dass bei den in den Abbildungen 2.1b und 2.1c dargestellten Bauformen der effektive Luftspalt über dem Rotorumfang nicht konstant ist. Aus diesem Grund sind die Ständerinduktivitaten der drei Statorstränge bei diesen Bauformen von der Rotorstellung abhängig. Auf diese Eigenschaft wird im Kapitel 2.2 näher eingegangen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Bauformen von Permanentmagnet-Sychronmotoren

Die Permanentmagneten von PMSM werden typischerweis aus Ferriten, Alnico (eine Legie- rung, die hauptsächlich aus Aluminium, Nickel und Cobalt besteht) oder Metallen der Selte- nen Erden, wie z.B. Neodym-Eisen-Bor (NeFeB) oder Samarium-Kobald (SmCo), hergestellt [5][9]. Dabei werden die Metalle der Seltenen Erde für IPMSM als Traktionsantrieb bevorzugt, da diese sehr hohe Remanenzflussdichten (über 1 T) sowie hohe Koerzitivfeldstärken (bis zu 1 kA/cm) besitzen [17]. Permanentmagnete aus Metallen der Seltenen Erden können sehr dünn gefertigt werden, was zu einer Verringerung der Baugröße und einem niedrigeren Massenträgheitsmoment des Rotors führt.

Beim weiteren Vergleich zwischen SPMSM und IPMSM kann festgestellt werden, dass die Rotorstruktur mit eingebetteten Magneten eine sowohl höhere Leistungsdichte als auch einen besseren Wirkungsgrad besitzt. Dies hängt insbesondere mit den bauformabhängigen Statorinduktivitäten zusammen, welche beim IPMSM ein zusätzliches Drehmoment, das sog. Reluktanzmoment, erzeugen. Daher fällt insbesondere die Baugröße der IPMSM bei ähnlichen Leistungsdaten im Vergleich zur SPMSM kleiner aus [20]. Dieser Motortyp wird daher vor allem in Anwendungen, bei denen der Bauraum begrenzt ist, bevorzugt. IPMSM werden insbesondere verstärkt als Traktionsantriebe im Bereich der elektrischen Automobiltantriebe eingesetzt [14]. Für diese Arbeit soll daher auch davon ausgegangen werden, dass der betrachtete Motortyp als Traktionsantrieb im Automobilbereich eingesetzt wird.

Aufgrund der zuvor beschriebenen positiven Eigenschaften wird sich diese Arbeit daher auf PMSM konzentrieren, die Charakteristika von IPMSM entsprechend Abbildung 2.1b bzw. 2.1c aufweisen. Im Folgenden findet eine einfache mathematische Modellierung des IPMSM statt, die zunächst das Wirkprinzip dieses Drehstrommotors verdeutlichen soll. Hierbei wird u.a. auf die charakteristischen Unterschiede zwischen IPMSM und SPMSM bezüglich der Induktivi- tätsverteilung eingegangen.

2.2 Modellierung

2.2.1 Koordinatensysteme und Raumzeiger

Es ist bekannt, dass ausgehend von einem PMSM angeschlossen an einem symmetrischen Dreh- stromsystem ohne Nullleiter, sich die drei Strangkomponenten einer komplexen Größe x (z.B. die Ströme) im arithmetischen Mittel zu Null ergeben: x a + x b + x c = 0. Dies bedeutet, dass bei Kenntnis zweier der drei Signale einer Größe x das dritte Signal aufgrund der Nullbedingung berechnet werden kann, d.h. zur Beschreibung der Dreiphasen-Größen ge- nügen jeweils nur zwei Elemente. Daher sind die Einheitsvektoren der drei Elemente von x nicht linear unabhängig und können sowohl vollständig als auch eindeutig durch die zwei Ele- mente eines orthogonalen Koordinatensystem, im Folgenden α-β -Koordinatensystem genannt, beschrieben werden [11][18]. Die Umrechnung in ein orthogonales Koordinatensystem ver- einfacht dabei die Rechenwege und erleichtert die Darstellung wesentlicher Zusammenhänge. Die Umrechnung der dreisträngigen Größen in das α-β -Koordinatensystem kann anhand der Abbildung 2.2a verdeutlicht werden. Die Berechnung erfolgt über die Vorschrift 2.1, die Rück- transformation über die Berechungsvorschrift 2.2.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.2: Koordinatensysteme und Raumzeiger

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine alternative Betrachtung kann nach [1] über die Außenleitergrößen erfolgen. Dabei gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Transformation in das orthogonale α-β -Koordinatensystem erfolgt dann über die Vorschrift 2.3, die entsprechende Rücktransformation in die Außenleitergrößen erfolgt über die Berechnungsvorschrift 2.4.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das hergeleitete α-β -Koordinatensystem orientiert sich am Stator und kann somit als ortsfest oder auch statorfest bezeichnet werden. Betrachtet man einen PMSM im stationären Zustand bei einer Drehzahl ungleich Null, liegen im statorfesten Koordinatensystem die Ströme, Span- nungen und Flüsse in Form von sinusförmigen Wechselgrößen vor. Bei einer Transformation in ein rotorfestes Koordinatensystem, welches am Permanentfluss ψ p ausgerichtet ist, liegen die betrachteten Größen als Gleichgrößen vor. Eine Darstellung des PMSM im rotorfesten Ko- ordinatensystem vereinfacht die mathematische Modellierung daher enorm und sie ermöglicht eine Übertragung der bekannten Regelungsstrukturen von Gleichstrom- auf Drehfeldmaschinen [14].

Die Achse des Koordinatensystems, die mit der Richtung des Permanentflusses ψ p übereinstimmt wird dabei als d -Achse (direct Axis), die Achse die senkrecht dazu steht als q -Achse (quadrature axis), bezeichnet.

Abbildung 2.2b veranschaulicht die Transformation zwischem dem statorfesten und rotorfes- ten Koordinatensystem. Die Transformation zwischem den beiden Koordinatensystem erfolgt durch die Gleichung 2.5 und 2.6 bzw. Gleichung 2.7 , die sog. Park-Transformation für die der Rotorwinkel ε RS bekannt sein muss. ε RS beschreibt dabei den Drehwinkel zwischen der α- Achse und der Magnetisierungsrichtung der Permanentmagnete, also der d -Achse. Die Trans- formation der einzelnen Komponeten einer Größe x zwischen dem statorfesten und rotorfesten Koordinatensystem erfolgt durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine alternative Darstellungsform kann über die Raumzeiger erreicht werden. Die Transformation erfolgt entsprechend über:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei werden durch die Indizes S (ständesfest) und R (rotorfest) gekennzeichnet in welchem Koordinatensystem ein Raumzeiger beschrieben ist. Die Raumzeigerdarstellung ist dabei äquivalent zu der zuvor benutzen vektoriellen Schreibweise. Sie stellt daher allgemein eine räumliche und zeitliche Darstellung von Signalen dar [18].

Da diese Transformation vom Winkel ε RS abhängt, der wiederum zeitabhängig ist, muss bei der Transformation der zeitlichen Ableitung einer Größe die Produktregel entsprechend 2.8 beachtet und angewendet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Satz von Transformationsgleichungen wird im Folgenden verwendet, um eine mathe- matische Modllierung des PMSM im rotorfesten d - q -Koordinatensysten herzuleiten. Auch bil- det sie die Grundlage für die anschließenden Überlegungen zur feldorientierten Regelung des PMSM.

2.2.2 Allgemeine Spannungsgleichungen

Nach [1] oder auch [18] lautet die allgemeine Spannungsdifferentialgleichung einer Statorwicklung von Drehfeldmaschinen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Index S symbolisiert wiederum, dass es sich um Statorgrößen handelt. Wendet man diese Gleichung auf das dreisträngige Modell aus Abbildung 2.3 an, so erhält man für die Strangspannungen in vektorieller Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Demnach ist ersichtlich, dass sich die Strangspannungen jeweils aus einem ohmschen Span- nungsabfall am Innenwiderstand der Statorwicklungen sowie einer induzierten Spannung auf- grund des verketteten magnetischen Flusses zusammensetzen. Der verkettete Fluss besteht ei- nerseits aus einem Anteil der durch die Permanentmagnete hervorgerufen wird, sowie aus ei- nem Anteil, der jeweils durch den Statorstrom entsteht. Der durch die Statorströme induzierte Flussanteil kann auch in Analogie zur Gleichstrommaschine als Ankerrückwirkung bezeichnet werden [14].

Wendet man die zuvor beschriebene Transformation vom dreisträngigen ins orthogonale Koordinatensystem an, welche durch Gleichung 2.1 gegeben ist, ändert sich die grundsätzliche Form der Spannungsgleichung nicht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie im vorherigen Unterkapitel gezeigt, ist es nun sinnvoll, die Spannungsgleichung vom sta- torfesten α-β - ins rotorfeste d - q -Koordinatensystem zu transformieren, da so die wesentlichen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: PMSM in α-β und d - q Koordinaten

Größen im eingeschwungenen Zustand als Gleichgrößen vorliegen. Wendet man die Gleichung

2.5 unter Berücksichtung der Ableitungsregel aus Gleichung 2.8 an, so erhält man die Spannungsgleichung des PMSM im d - q -Koordiatensystem:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gleichung 2.12 ist dabei unabhängig vom Auftreten von Eisen-Sättigungseffekten bzw. KreuzSättigungseffekten gültig. Durch die Transformation ins rotorfeste Koordinatensystem tritt nun allerdings einer Verkopplung der Spannungsdifferntialgleichungen über das Produkt von verkettetem Fluss und Winkelgeschwindigkeit auf.

2.2.3 Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten

Können oder sollen (z.B. aus Vereinfachungsgründen) Eisen-Sättigungseffekte vernachlässigt werden, so ergibt sich die Flussverkettung in d - q -Koordinaten als Summe des Permanent- flusses ψ P und der Ankerrückwirkung als Produkt von Strom und Induktivität der jeweiligen

Richtung[18]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Permanentfluss ψ P hat definitionsgemäß nur eine Komponente in d -Richtung (siehe Abbil- dung 2.3). Die Induktivitäten L d und L q sind jeweils der Längs- oder Querrichtung zugeordnet und sind aufgrund des rotorfesten d - q -Koordinatensystem unabhängig von der Lage des Rotors ε RS. Dabei kann im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass bei einem IPMSM typischer- weise L q > L d gilt.

Dementsprechend kann nun mit der bereits bekannten allgemeinen Spannungsgleichung 2.12 das Statorspannungsmodell unter Vernachlässigung von Sättigungseffekten beschrieben wer- den:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.4: Ersatzschaltbild des vereinfachten PMSM in d - q -Koordinaten

Den einzelnen Summanden auf der rechten Seite von Gleichung 2.14 können folgende physikalische Bedeutungen zugeordnet werden:

- Ohmscher Spannungsabfall
- Selbstinduktionsspannung (durch die Felder des Ständerstroms induziert)
- Rotatorisch gebildete Polradspannung (von den Flusskomponenten induziert)

Durch die Spannungsdifferentialgleichungen 2.14 ergibt sich das in Abbildung 2.4 dargestellte Ersatzschaltbild der PMSM in rotorfesten d - q -Koordinaten. Dieses gibt das elektrische Verhal- ten des vereinfachten PMSM wieder und berücksichtigt die Wechselwirkung mit dem mechani- schen Teilsystem über die durch Spannungsquellen symbolisierten induzierten Polradspannun- gen.

2.2.4 Modellierung von Eisen-Sättigungseffekten

Die Berücksichtigung von Sättigungseffekten bzw. Kreuzsättigungseffekten spielt insbesondere bei hochausgenutzen IPMSM im Einsatzgebiet der elektrischen Traktionsantriebe eine wesent- liche Rolle. Diese liegen vor, sofern arbeitspunktabhängige Fluss- und damit einhergehende Flussdichteänderungen zu einer Veränderung der relativen Permeabilität bzw. Reluktanz des Eisens im Flusspfad führen. Das Auftreten und die Modellierung derartiger Sättigungseffek- te ist Untersuchungsgegenstand zahlreicher Veröffentlichungen der letzten Dekade. So werden z.B. in [3] [4] [14] [21] verschiedene Methoden vorgestellt dieses Phänomen zu behandeln. Die Untersuchungen zeigen dabei deutliche nichtlineare Sättigungseffekte, die sowohl durch Finite-Elemente-Methode (FEM)-Analysen oder durch Vermessung des Motors am Prüfstand nachgewiesen wurden.

Die in Kapitel 2.2.3 vorgestellte Beschreibung der magnetischen Flüsse mittels konstanter In- duktivitäten in d - und q -Richtung ist für eine genaue Modellierung nicht ausreichend. In die- ser Arbeit sollen daher die Eisen-Sättigungseffekte über Kennlinienfelder in den magnetischen Flüssen und Strömen modelliert werden. Dieser Ansatz basiert auf den Arbeiten [14] und [21]. Dabei wird der Gesamtfluss nicht in Permanent- und Ankerrückwirkungsanteil aufgespalten (wie in Gleichung 2.13), sondern als Funktion beider Stromkomponenten ausgedrückt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktionen f d und f q sind dabei bijektiv und besitzen somit eine Umkehrfunktion. Mit den Funktionen f − [1] d und q kanndaherauchvondenaktuellenFlusswertenaufdieStromwerte

geschlossen werden. Die Funktionen können im Vorfeld durch eine Vermessung der Maschine oder durch FEM-Analysen gewonnen werden. In einer simulativen Untersuchung mit dem Programm MATLAB/Simulink können diese dann über Look-Up Tables (LUTs) im Programmspeicher hinterlegt und während der Laufzeit abgerufen werden. In einer realen Untersuchung können die Daten entsprechend im Speicher eines digitalen Signalprozessors (DSP) oder dessen Speicher-Peripherie hinterlegt werden.

Auf Basis der oben beschriebenen Gesamtflussverkettung lassen sich differentielle Induktivitäten definieren, die sich aus den partiellen Ableitungen der Flussverkettungen nach den beiden Stromkomponenten in d - und q -Richtungen ergeben und in der differentiellen Induktivitätsmatrix zusammengefasst werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Diagonalelemente der differentiellen Induktivitätsmatrix L dq , diff werden als differenti- elle Selbstinduktivitäten und die Nebendiagonalelemente als dynamische Kreuzkopplungsin- dukdivitäten bezeichnet [14]. Die differentiellen Induktivitäten lassen sich dabei graphisch als Steigungen der Flüsse in d - und q -Richtung interpretieren. Die arbeitspunktabhängingen Wer- te der differentiellen Induktivitätsmatrix können aus den Kennlinienfeldern der Gleichungen 2.15 (z.B. per MATLAB -Skript) berechnet werden, welche aus der Vermessung oder FEMSimulation der Maschine stammen.

Jetzt kann auf Basis von Gleichung 2.12 bzw. 2.14 eine Spannungsgleichung der Maschine an- gegeben werden, welche sowohl die Sättigungs- als auch Kreuzsättigungseffekte der Maschine berücksichtigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der rechte Term in Gleichung 2.18 stellt die bekannten rotatorisch induzierten Polradspannun- gen dar, welche die Verkopplung der d - und q -Achse bewirken und aus Sicht einer Stromrege- lung als Störgrößen aufzufassen sind. Diese werden daher in der feldorientierten Stromregelung aus Kapitel 4.2 vorgesteuert.

Die differentiellen Selbstinduktivitäten sind im Verbund mit dem ohmschen Statorwiderstand R S für die Streckendynamik der Maschine maßgeblich verantwortlich. Für den betrachteten Motor sind dynamische Kreuzkopplungseffekte nicht zu vernachlässigen, sodass neben der Ver- kopplung durch die Polradspannungen in Gleichung 2.18 eine zusätzliche Verkopplung durch die dynamischen Kreuzkopplungsinduktivitäten auftritt. Für die Stromregelung des Motors be- deutet dies, dass auch die dynamische Kreuzverkopplung am Stromreglerausgang vorgesteuert werden muss, um eine ideale Entkopplung der d - und q -Richtung zu bewirken.

In Bild 2.5 sind die differentiellen Induktivitäten des betrachteten Motors in normierter Form dargestellt. Dabei ist zu beobachten, dass die Selbstinduktivitäten ungefähr um den Faktor 20 größer als die dynamischen Kreuzkopplungsinduktivitäten sind. Auch ist die Selbstinduktivität in q -Richtung deutlich größer als in d -Richtung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.5: Differentielle Induktivitäten in Abhängigkeit der Statorströme

Liegen keine Sättigungseffekte vor, sind die dynamichen Kreuzkopplungsinduktivitäten gleich null und die absoluten Induktivitäten sind gleich den differentiellen Selbstinduktivitäten. Im Fall der Vernachlässigung von Eisen-Sättigungseffekten gilt daher:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.6: Flussverkettung in d - und q -Richtung in Abhängigkeit der Statorströme

In Abbildung 2.6 sind zwei typische Kennfelder für die Flussverkettung sowohl in d - als auch q - Richtung in Abhängigkeit der Statorströme i d und i q in normierter Form dargestellt. Auffällig an der Kennlinie von ψ q ist die fast vollständige Unabhängigkeit von der Stromkomponente i d. ψ d ist zwar ebenfalls primär von der Stromkomponente der selben Raumorientierung geprägt, zeigt aber im Unterschied zum Fluss in q -Richtung dennoch eine gewisse Abhängigkeit vom Strom i q. Auch kann man feststellen, dass der Fluss in q -Richtung je nach Betriebspunkt betragsmäßig größer ist als der in d -Richtung. Dieses kann man allerdings durch die größere absolute bzw. differentiele Selbstinduktivität in dieser Richtung erklären.

2.2.5 Drehmomentbildung

Betrachten wir nun das elektromechanische Zusammenspiel des PMSM. Als eine Ursache für die Drehmomentbildung bei elektrischen Maschinen ist die Lorentzkraft zu nennen, wobei beim PMSM kein elektrisches Feld vorhanden ist und daher vernachlässigt wird:

F = q (E + v × B) ≈ qv × B (2.20)

Neben dem Drehmoment basierend auf der Lorentzkraft wirkt im PMSM mit asymmetrischer Induktivitätsverteilung ein Reluktanzdrehmoment, welches aufgrund des unterschiedlichen magnetischen Wiederstands in d - und q -Richtung und der damit verbundenen Kraftwirkung auftritt. Ausgehend von diesen beiden Drehmomentanteilen kann, wie in [18] beschrieben, die Drehmomentgleichung für den PMSM hergeleitet werden. Ein alternativer Ansatz, der in [1] beschrieben wird, wählt den Zugang über die Leistungsbilanz. Beide Ansätze führen letztendlich allerdings zu dem selben Ergebnis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei kennzeichnet ψ S den Vektor der Ständerflussverkettung und i S den Vektor des Ständerstroms. p steht wiederum für die Polpaarzahl der Maschine.

Da durch das Kreuzprodukt nicht die absolute Lage der Vektoren, sondern nur deren relative Lage zueinander betrachtet wird, ist es unerheblich, in welchem Koordinatensystem die Gleichung 2.21 beschrieben wird. Sie bleibt auch in einem beliebig orientierten Koordinatensystem K gültig, sofern beide Vektoren im selben Koordinatensystem dargestellt sind. Dies gilt insbesondere auch für das d - q -Koordinatensystem.

Anschaulich lässt sich das Kreuzprodukt aus Fluss- und Stromzeiger der Gleichung 2.21 als Flächeninhalts eines Parallelogramms interpretieren, welches durch die beiden Vektoren aufgespannt wird. Dies ist in Abbildung 2.7 dargestellt. Die aufgespannte Fläche ist entsprechend proportional zum Drehmoment T M.

Werden die Vektoren ins rotorfeste d - q -Koordinatensystem überführt so folgt aus Gleichung

2.21 unmittelbar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.7: Anschauliche Interpretation der Drehmomentgleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese transformierte Drehmomentgleichung gilt allgemein für den PMSM und ist unabhängig vom Auftreten möglicher Eisen-Sättigungseffekte.

Vernachlässigt man nun wiederum die Eisen-Sättigungseffekte und setzt für die Flüsse in d - und q -Richtung die Gleichung 2.13 an, so erhält man die Drehmomentgleichung des PMSM unter Vernachlässigung von Sättigungseffekten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anhand der Gleichung 2.23 lässt sich feststellen, dass sich das Gesamtdrehmoment aus zwei Termen zusammensetzt: Der erste Term erzeugt das sog. Hauptdrehmoment. Der zweite Term beschreibt das sog. Reluktanzdrehmoment.

Für L d = L q (typischerweise ist dies bei SPMSM der Fall), entfällt das Reluktanzdrehmo- ment und allein der Strom in q -Richtung ist für die Drehmomentbildung verantwortlich. Solche Maschinen werden für einen verlustoptimalen Betrieb im Ankerstellbereich üblicherweise mit i d = 0 betrieben.

Liegt eine asymmetrische Induktivitätsverteilung vor (L d = L q), so muss das Reluktanzdreh- moment mit in die Berechnung einbezogen werden. Demzufolge ist ein Strom i d = 0 für den verlustoptimalen Betrieb erforderlich. Da wie bereits erwähnt beim IPMSM von L d < L q aus- gegangen werden kann, muss für ein positives Drehmoment ein Strom i d < 0 eingeprägt werden.

Es kann demnach festgehalten werden, dass die i.d.R. höhere Leistungsdichte und der höhe- re Wirkungsgrad eines IPMSM im Vergleich zu einem SPMSM durch ein nichtlineares Über- tragungsverhalten der Gleichung 2.22 bzw. Gleichung 2.23 erkauft werden muss. Dieses wird die späteren Überlegungen zum Betriebsverhalten und zur Regelung eines IPMSM wesentlich beeinflussen.

2.2.6 Wirkungsplan

Das dynamische Verhalten des PMSM soll nun anhand eines Wirkungsplans veranschaulicht werden. Dabei wird von einer asymmetrischen Induktivitätsverteilung ausgegangen. Die Be- trachtung erfolgt in rotorfesten d - q -Koordinaten, daher müssen die drei Eingangs-Strangspan- nungen des Motors in das entsprechende Koordinatensystem transformiert werden. Dazu wer- den die bereits bekannten Transformationsgleichungen 2.1 und 2.5 herangezogen. Das elektri- sche Teilsystem wird mit der Gleichung 2.12 bzw. 2.14 in Kombination mit Gleichung 2.15 beschrieben.

Um das mechanische Teilsystem des PMSM vollständig beschreiben zu können, müssen noch die Dynamik-Differentialgleichungen angegeben werden. Dieses können z.B. aus [18] entnom- men werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist J das Trägheitsmoment und T L das Lastdrehmoment. Die elektrische Winkelgeschwindigkeit ω RS und die Winkellage ε RS können über die Polpaarzahl p in die mechanischen Größen umgerechnet werden:

p ω mech = ω RS und p ε mech = ε RS (2.25)

Nun liegen alle elektrischen und mechanischen Gleichungen vor, um den Wirkungsplan des PMSM zu skizzieren. In Abbildung 2.8 ist der Wirkungsplan unter Einbeziehung des Ansatzes aus Kapitel 2.2.4 dargestellt. Dieser basiert auf den Fluss Differentialgleichungen und die Flüsse sind somit Zustandsgrößen. Der Wirkungsplan modelliert die Sättigungseffekte über LUTs anhand von Gleichung 2.15.

Desweiteren ist in Abbildung 2.9 ein Wirkungsplan basierend auf den absoluten Induktivitäten und somit unter Vernachlässigung von Sättigungseffekten dargestellt. Dieser beinhaltet die Strö- me als Zustandsgröße und dient der besseren Anschaung zur Modellierung der Regelstrecke in Kapitel 4.2.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.8: Wirkungsplan des PMSM in rotorfesten d - q -Koordinaten unter Einbeziehung von Eisen-Sättigungseffekten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.9: Wirkungsplan des PMSM in rotorfesten d - q -Koordinaten unter Vernachlässi- gung von Eisen-Sättigungseffekten

2.3 Betriebsgrenzen eines IPMSM

Die Betriebsgrenzen eines IPMSM werden durch die Strom- und Spannungsgrenze definiert. Zulässige Arbeitspunkte müssen innerhalb dieser Grenzen liegen, um einen sicheren Betrieb zu gewährleisten. Die speisende Umrichterleistungselektronik ist dabei in die Überlegungen mit einzubeziehen.

Im Folgenden soll daher die Strom- und Spannungsgrenze in Abhängigkeit der rotorfesten Stromkomponenten i d und i q vorgestellt werden, wobei die Betrachtung der Spannungsgrenze vom stationären Betrieb der Maschine ausgeht. Die Grenzen ergeben sich dabei aus der Konstruktionsform von Motor und Umrichter.

2.3.1 Stromgrenze

Die Stromgrenze basiert auf der maximalen thermischen Belastbarkeit der Maschine und des speisenden Umrichters. Um eine thermische Überlastung der Maschine zu vermeiden, sollte die Statorstromamplitude einen maximalen Betrag von I max nicht überschreiten. Aus dieser thermischen Auslegung ergibt sich daher eine Beschränkung des Statorstrombetrags:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Stromgrenze I max ist dabei als Grenze für den Dauerbetrieb zu verstehen. Eine kurzfristige Überschreitung ist in Abhängigkeit der thermischen Zeitkonstanten i.d.R. zulässig. Danach ist es aber notwendig, den Strom auf einen zeitweise geringeren Betrag als I max einzustellen, um eine thermische Überlastung zu verhindern.

2.3.2 Spannungsgrenze

Die Spannungsgrenze des IPMSM ist auf die maximal vorhandenen Zwischenkreisspannung U dc, welche am Umrichter anliegt, zurückzuführen. Geht man von einer einfachen Pulswei- tenmodulation mit Dreiecksmodulationsträger nach [1] aus, ergibt sich das in Abbildung 2.10 dargestellte Hexagon, welches durch die sechs aktiven Spannungszeiger u 1 , ..., u 6 eines drei- phasigen Umrichters aufgespannt wird. Die beiden Nullspannungsvektoren u 7 und u 8 sind als Punkt in der Mitte des Hexagons angedeutet. Wie aus der Skizze ersichtlich ist die Länge der sechs aktiven Spannungszeiger [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Alle stellbaren Spannungszeiger liegen innerhalb bzw. auf der Grenze des Hexagons.

Da der IPMSM sinusförmig gespeist werden soll (Voraussetzung für die Gültigkeit der Annahme des Betriebes am symmetrischen Drehstrom in Kapitel [2].[2].[1]) stellt nach [[1]] der grau markierte Innenkreis des Hexagons die relevante Spannungsgrenze für den stationären Betrieb dar. Diese kann beschrieben werden durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.10: Spannungsgrenze und realisierbare Spannungsvektoren bei Dreiecks- modulation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der jeweils benötigte Spannungsbedarf eines IPMSM wird durch Gleichung 2.12 ausgedrückt. Betrachtet man den stationären Betrieb, so ergibt sich der Bedarf als Summe des ohmschen Spannungsabfalls am Statorwiderstand R S und der jeweiligen rotatorisch induzierten Polrad- spannung. Der Betrag der Polradspannung ist dabei das Produkt aus elektrischer Kreisfrequenz ω RS und verkettetem Fluss. Nach [1] und [14] bestimmt die Polradspannung im oberen Dreh- zahlbereich hauptsächlich den Spannungsbedarf der Maschine. Da IPMSM als Traktionsantrie- be im Leistungsbereich einiger kW typischerweise einen relativ kleinen Widerstand aufweisen, kann entsprechend der ohmsche Spannungsabfall gegenüber der rotatorisch induzierten Polrad- spannung vernachlässigt werden. Daher kann der Spannungsbedarf mit guter Genaugikeit durch Gleichung 2.29 angenähert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus den Gleichungen 2.27 und 2.29 folgt unmittelbar, dass bei gegebener Zwischenkreisspannung U dc und elektrischer Kreisfrequenz ω RS die Spannungsgrenze als maximale Flusszeigerlänge ψ max interpretiert werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichungen 2.29 und 2.30 sind dabei allgemein gültig und unabhängig vom Auftreten möglicher Eisen-Sättigungseffekte. Vernachlässigt man nun wiederum die Sättigungseffekte, ergibt sich der Betrag des Gesamtflusses zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gesamtflussverkettung wird nach Gleichung 2.31 durch eine Ellipse in der Stromebene be- schrieben. Der Mittelpunkt und die Exzentrizität der Ellipsen konstanten Flussbetrages können durch Gleichung 2.32 angegeben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3.3 Typische Motorkennlinien eines IPMSM

In Abbildung 2.11 sind typische Motorkennlinien eines IPMSM in normierten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -Koordinaten abgebildet. Die Stromgrenze ist als roter Kreis zu erkennen. Die Ellipsen konstanter Flusswer- te sind blau. Sie wurden nach der Gleichung 2.31 ermittelt. Ihr Mittelpunkt ist mit einem roten Punkt angedeutet, der durch den Kurzschlusstrom [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definiert wird. In grün sind die Kurven konstanten Drehmoments dargestellt, welche anhand von Gleichung 2.23 berechnet wur- den. Diese wurden nach dem vereinfachten Maschinenmodell erstellt, sodass Sättigungseffekte nicht berücksichtigt und von konstanten Induktivitätswerten ausgegangen wurde. An dieser Stelle sollen noch zwei für IPMSM charakteristische Kennzahlen genannt werden: Nach [14] ist die sog. Polfühligkeit (Saliency) g definiert als Verhältnis der Induktivitäten in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -Richtung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.11: Typische Motorkennlinien eines IPMSM

[...]