En éste trabajo se presenta la construcción de las funciones simétricas y propiedades que relacionan sus diferentes familias.
Dentro de las matemáticas muchas ramas están entrelazadas y sus avances vienen de la mano, la teoría combinatoria ha formado parte del desarrollo de estructuras algebraicas específicas como las funciones simétricas.
La relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación ha sido bastante trabajada, dando paso a nuevas áreas con objetos propios de éstas, una estructura derivada de la teoría de ecuaciones, son las funciones simétricas. En matemáticas la simetría entrelaza la similitud entre figuras geométricas, y algebraicamente las invarianzas de algún tipo. Una función es simétrica respecto a cualquier cantidad de variables, si un intercambio de éstas variables no cambia la función, este concepto se verá más a profundidad en el capítulo 2. Cualquier ecuación polinómica está determinada por sus coeficientes, por ende sus raíces también, y el intentar establecer fórmulas que permitan determinar dichas raíces fue en su momento un problema matemático de importancia.
Indice general
1. Preliminares
1.1. Modulo de Permutación
1.2. Modulos Specht
1.3. Algoritmo Robinson-Schensted
2. Funciones simétricas y multisimétricas
2.1. Anillo de funciones simetricas
2.2. Funciones simetricas homogeneas
2.3. Funciones simetricas de potencias
2.4. Funciones simetricas elementales
2.5. Funciones multisimetricas
Introducción
Dentro de las matemáticas muchas ramas están entrelazadas y sus avances vienen de la mano, la teoría combinatoria ha formado parte del desarrollo de estructuras algebraicas específicas como las funciones simetricas.
La relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación ha sido bastante trabajada, dando paso a nuevas íareas con objetos propios de íestas, una estructura derivada de la teoría de ecuaciones, son las funciones simetricas. En matematicas la simetría entrelaza la similitud entre figuras geomíetricas, y algebraicamente las invarianzas de alguín tipo. Una funciíon es simíetrica respecto a cualquier cantidad de variables, si un intercambio de íestas variables no cambia la funcion, este concepto se vera más a profundidad en el capítulo 2. Cualquier ecuacion polinomica esta determinada por sus coeficientes, por ende sus raíces tambien, y el intentar establecer formulas que permitan determinar dichas raíces fue en su momento un problema matemíatico de importancia [16]. Un punto de partida en el desarrollo de dicho problema se da en mitad del siglo XVI con el matemaítico italiano Girolano Cardano (1501-1576), cuyo nombre tiene una conexiíon directa con la primera soluciíon para una ecuaciíon cuíbica, su trabajo Ars Magna fue publicado en 1545, en este, el da la ecuacion Abb. in Leseprobe nicht enthalten , con las raíces Abb. in Leseprobe nicht enthalten aunque las correctas son Abb. in Leseprobe nicht enthalten este pequeno error no opaca el trabajo realizado por Girolano, quien tambien dice que la diferencia entre la suma las raíces con terminos positivos y la suma de raíces con terminos negativos es siempre igual al coeficiente del segundo termino, bajo esta idea sumo Abb. in Leseprobe nicht enthalten con 3, y le resto v Abb. in Leseprobe nicht enthalten para obtener 11, que es el coeficiente de Abb. in Leseprobe nicht enthalten en la ecuaciíon, y en concordancia con esta idea el tambiíen mostrío que cuando el segundo termino no existe, la sumas de las raíces negativas y positivas es igual. Trece anos despues Jacques Peletier (1517-1582), da un metodo para encontrar las raíces de una ecuación entre los divisores del termino absoluto, cuando la raíz es racional [10], por ejemplo 3 es divisor de 72, y raíz de la ecuacion Abb. in Leseprobe nicht enthalten.
El matematico frances Vieta (1540) (François Viète) [4], aporto resultados importantes que relacionan coeficientes con raíces de ecuaciones, el primer teorema de Vieta establece que si Abb. in Leseprobe nicht enthalten, entonces x = a o b, para la ecuacion cúbica, bicuadratica, y quíntica se dan de una forma similar, lo que muestra el gran conocimiento de Vieta en el íarea, que llevo a otros a lograr avances aun mías importantes, como Albert Girard (15951632), quien dijo: “Si los coeficientes de los términos segundo, tercer, cuarto, ect..., son A, B, C, etc..., entonces en cualquier ecuación de grado,
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
seróan la suma de las soluciones cuadróaticas, cubicas, bicuadróaticas, etc...”.
Charles Hutton (1737-1823) [5], aclamío a Girard por ser la primera persona quien com- prendio la doctrina general de coeficientes y sumas de raíces y los productos. Por varias díecadas posteriores, muy poco se consiguioí en cuanto a funciones simíetricas, pero Thomas Harriot, William Oughtred, Jhon Wallis, y Rene Descartes re-evaluaron las ideas de Hutton. El Dr Edwar Waring, profesor Lucasiano en Cambridge desde 1760 hasta 1798, fue el responsable de desarrollar tres teoremas importantes sobre funciones simíetricas, su primer teorema es una fíormula para encontrar en funciíon de los coeficientes la suma de las n —esimas potencias de las raíces. La primera presentacion de las funciones simetri- cas de forma moderna, es gracias a Meyer Hirsch (1765-1851), íel construyío las primeras tablas de funciones simíetricas que se convirtieron en una generalizacioín y han seguido siendo usadas, las formo a partir de las funciones como potencias de las raíces, dando la demostraciíon de su míetodo en su trabajo [13].
Las simetrías ocurren a lo largo de las matemáticas y las ciencias. La teoría representaciones busca comprender todas las formas posibles en que puede surgir una colección abstracta de simetrías. La teoría de representaciones del siglo XIX ayudo a explicar la estructura de los orbitales de electrones, y en la decada de 1920 está fue el corazon de la cromodinamica cuantica [18]. En terminos generales, la teoría de representaciones investiga cíomo los sistemas algebraicos pueden actuar sobre los espacios vectoriales. Cuando los espacios vectoriales son finitos-dimensionales, esto permite expresar explícitamente los elementos del sistema algebraico mediante matrices, por lo tanto, se puede explotar el íalgebra lineal para estudiar sistemas algebraicos “abstractos”. De esta manera se puede estudiar la simetría, a traves de acciones grupales. Tambien se pueden estudiar procesos irreversibles. Las íalgebras y sus representaciones proporcionan un marco natural para esto [23].
En cuanto a las aplicaciones de las funciones simíetricas, muchos problemas combinatorios tienen funciones simíetricas como punto central, por ejemplo Abb. in Leseprobe nicht enthalten cuenta la cantidad de grafos por los grados de los víertices, tambiíen son uítiles para contar particiones planas, estían ligadas a la representaciíon de grupos simíetricos y lineales, se utilizan tambien en teoría de George Polya [14], quien fue un matematico hungaro que realizo contribuciones fundamentales en teoría de námeros, combinatoria, sistemas de votacion y probabilidad [7].
Actualmente se trabajan las funciones simíetricas en diversos campos y se usan como herramienta en el estudio de otras estructuras y analisis de problemas. Artículos como el de Ali Boussayoud [2], muestran usos mías puntuales de las funciones simíetricas, en este específicamente se propone un enfoque alternativo para la determinacion de los Námeros de Fibonacci y algunos resultados de Foata, Ramanujan, sobre Polinomios de Chebychev. Darij Grinberg profesor asistente en la Universidad de Drexel hasta el 2019 [21], en su trabajo Petrie symmetric functions [15], presentado en el 2021, realizío estudios con funciones simíetricas de Petrie, G (m, k), en honor a Flinders Petrie, que son sumas de monomios, concepto que se vera en el capítulo 2, con grado m un entero no negativo, y con coeficientes menores que k.
Los coeficientes de Kronecker son definidos como la expansion de coeficientes Abb. in Leseprobe nicht enthalten , donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten es un modulo Specht, concepto explicado en el capítulo 1, del grupo simetrico Abb. in Leseprobe nicht enthalten . Ruoyu Wang, estudiante de doctorado en el departamento de matemáticas de la Universidad de Uppsala ubicada en Suecia, quien se ha enfocado en el area de teoría de probabilidad y combinatoria [22], en 2021 tambien mostró en su texto Symmetric Functions and Kronecker Coefficients [25], un análisis de coeficientes de Kronecker por medio de funciones simetricas.
El presente trabajo se centra en presentar las funciones simáetricas de manera que si el lector no estáa demasiado familiarizado con áestas, le sea confortable la lectura y de com- presion sencilla; el capítulo 1 aborda el grupo simetrico, las permutaciones y estructuras algebraicas, con resultados tomados de Bruce E. Sagan [19], siendo el principal el algoritmo Robinson-Schensted, el lector puede encontrar las pruebas de estos resultados en el mismo documento de donde fueron tomados. El capítulo 2, muestra como se construye el anillo de funciones simetricas en n variables, familias de funciones que lo componen y pueden generar, relaciones entre estas familias, y resultados vistos principalmente en Bergeron [1], los cuales relacionan dichas familias de funciones simetricas. El capítulo finaliza con una generalizaciáon de dichas funciones, la cual se basada en los textos de Emmanuel Briand [3] e Ian Mcdonald [17] que trabajan las funciones multisimáetricas a profundidad.
Capitulo 1
Preliminares
En primera instancia se introducirán algunos conceptos y resultados de interés para el desarrollo de la lectura, entre ellos se destacan las tablas de Young basadas en las particiones de un número natural n cualquiera, con el objetivo de formar un modulo M x relacionado a una partición fija A, luego se presentaran otras estructuras y propiedades similares.
1.1. Modulo de Permutación
Un nuúmero entero positivo n puede entender como el resultado de sumar diferentes combinaciones de nuúmeros que son al igual que n enteros positivos.
Definición 1. Dado un número natural n, una partición de n es un k-tupla Abb. in Leseprobe nicht enthalten Denotaremos por Abb. in Leseprobe nicht enthalten aunque no tan comunmente, también se escribe Abb. in Leseprobe nicht enthalten donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten es la cantidad de veces que aparece i en la particióon.
Ejemplo 2. Tomemos n =11 , algunas particiones son (4 , 3 , 2 , 2) , (10 , 1) , (9 , 1 , 1) .
Si n =17 las siguientes son particiones de n, (10 , 5 , 1 , 1) , (8 , 5 , 3 , 1) , (17) , (13 , 4) , (4 , 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 1) .
Definición 3. Sea Abb. in Leseprobe nicht enthalten n una partición de n Abb. in Leseprobe nicht enthalten. Un diagrama de Ferrer para Abb. in Leseprobe nicht enthalten es un arregló de n puntos escalonado a izquierda en k filas, donde la fila i tiene Abb. in Leseprobe nicht enthalten puntós.
Para ilustrarlo, considere n = 9 con la partición A = (3 , 3 , 2 , 1), su diagrama de Ferrer es dado por
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Generalmente se representa de tal forma que entre más puntos tenga la fila, mas arriba se encuentra en el arreglo.
Se asocia una particion Abb. in Leseprobe nicht enthalten con un subgrupo del grupo simetrico S n , de acuerdo con la definiciáon 4.
Definición 4. Sea Abb. in Leseprobe nicht enthalten n, el subgrupo de Young asociado a Abb. in Leseprobe nicht enthalten esta dado por
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
teniendo en cuenta que S X representa el grupo de permutaciones asociado a un conjunto X.
Cabe resaltar que en general Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Ejemplo 5. Dada A = (3 , 3 , 2 , 1) particion de 9 , entonces se tiene
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Retomando los diagramas de Ferrer, a partir de estos se definen unos arreglos similares, con los cual se construye un S n -moádulo.
Definición 6. Dada la particion Abb. in Leseprobe nicht enthalten una tabla de Young es un arreglo obtenido al reemplazar los puntos en los diagramas de Ferrer por los nuomeros de 1 hasta n si repetir ninguno. Se denota por Abb. in Leseprobe nicht enthalten también suele denotarse la forma de una tabla t, por Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 7. Sea X Abb. in Leseprobe nicht enthalten una partición de 3 , todas las posibles tablas de Young
•
con dicha particioén son
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Observe que sh (t) = (2 , 1) .
Definición 8. Dos Abb. in Leseprobe nicht enthalten-tablas 1 1 , 1 2, es decir sh (1 1) = sh (1 2) , son equivalentes por fila, (t 1 ~ 1 2), si su correspondientes filas tienen los mismos elementos. Se puede comprobar que esta es una relación de equivalencia.
Bajo la relación de la definición 8, las clases de equivalencia para el ejemplo 7 , también
llamadas tabloides son
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
La acción Abb. in Leseprobe nicht enthalten se establece para Abb. in Leseprobe nicht enthalten entonces Abb. in Leseprobe nicht enthalten es decir se permutan los nómeros de 1 a n bajo Abb. in Leseprobe nicht enthalten.
Veamos un ejemplo con Abb. in Leseprobe nicht enthalten act´ua sobre cada entrada de t dando paso a la acci´on sobre t
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Est´a acci´on induce otra sobre los tabloides donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten la cual est´a bien definida. Usando los tabloides, se genera un S n-m´odulo a partir de estos.
Definición 9. Sea Abb. in Leseprobe nicht enthalten y considere
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
El Abb. in Leseprobe nicht enthalten se llama modulo de permutación correspondiente a Abb. in Leseprobe nicht enthalten, siendo Abb. in Leseprobe nicht enthalten numero de clases de equivalencia o tabloides y la dimensión de dicho modulo. Cada {t i}, con Abb. in Leseprobe nicht enthalten es una clase de equivalencia dentro de todas las tablas con forma Abb. in Leseprobe nicht enthalten.
Ejemplo 10. Si Abb. in Leseprobe nicht enthalten , su correspondiente moódulo de permutacioón Abb. in Leseprobe nicht enthalten tiene como base
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con n clases de equivalencia, donde cada una estóa determinada solamente por la segunda fila, asó con o Abb. in Leseprobe nicht enthalten la acción de σ sobre algún tabloide Abb. in Leseprobe nicht enthalten para todo i =1 , 2 ,...,n. Definiendo luego
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
la aplicación n se extiende por linealidad a un S n-isomorfismo de Abb. in Leseprobe nicht enthalten
1.2. Módulos Specht
A continuación se presentan mas a detalle los módulos irreducibles en S n, los cuales se denotan por Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Definición 11. Sea t una tabla de Young, con R 1 ,R 2,... ,R k sus filas y C 1 , C 2,... ,C p sus columnas, entonces a
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
se les conoce como estabilizadores fila y columna de t.
Cada clase de equivalencia o tabloide {t} se puede expresar como Abb. in Leseprobe nicht enthalten , la forma de actuar de los elementos de R t y C t sobre t se ilustra en el ejemplo 12.
Ejemplo 12. Considere Abb. in Leseprobe nicht enthalten sus estabilizadores fila y columna son Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Es posible relacionar estos grupos a elementos en Abb. in Leseprobe nicht enthalten , en general para un subconjunto Abb. in Leseprobe nicht enthalten se le relaciona con
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
De forma particular Abb. in Leseprobe nicht enthalten se denotara como Abb. in Leseprobe nicht enthalten , es decir
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
cabe resaltar que si las columnas de t son C 1, C 2,..., C p, entonces k t factoriza como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 13. Usando la tabla t del ejemplo 12, se tiene que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Luego
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
el cual se puede expresar como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ahora bajo la acción ya establecida de S n sobre tabloides, se define un modulo para una partición A.
Definición 14. Sea λ una partición, el correspondiente modulo Specht, Sλ x, es el submódulo de Mλ x generado por los elementos {k t {t}}, con t una tabla de forma A.
Ejemplo 15. Si A = (n — 1 , 1) , usando el isomorfismo del ejemplo 10 cada tabloide se puede identificar como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
para este tabloide el elemento k t {t} es equivalente a m - i y el espacio generado por todos los elementos de esta forma es
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
de dimension n — 1 , el conjunto
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es base para este mismo espacio S (n - [1] , [1]) .
En general se puede determinar una base para estos módulos.
Definición 16. Una tabla t es estándar si sus filas y columnas están ordenadas de forma
creciente en sentido de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo. Si t es estándar, se dice tambiáen que su correspondiente tabloide es estaándar.
Ejemplo 17. La tabla Abb. in Leseprobe nicht enthalten
La importancia de estas tablas estándar se refleja en el teorema 18.
Teorema 18. El conjunto
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es una base para S λ.
1.3. Algoritmo Robinson-Schensted
Al trabajar con el grupo simetrico S n, muchas veces los resultados obtenidos para modulos basados en este, se consiguen utilizando teoría combinatoria.
En esta seccion se hablara sobre el algoritmo Robinson-Schensted [19], el cual da paso a la igualdad
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
siendo f x el número de tablas estándar para la partición A. Dicha igualdad permite ver que existe una biyección
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Sea P una tabla parcial, es decir un arreglo con entradas distintas, donde sus elementos Abb. in Leseprobe nicht enthalten,(por lo tanto una tabla parcial es tambiúen estúandar, si en sus entradas estúan todos los elementos desde 1 hasta n), y con x un elemento que no esta en P, se procede con lo siguiente.
Entrada: x, P (elemento x y una tabla parcial), Salida: P * (tabla con x adicionado),
1. in: x, P,
2. R:= R 1 (R se define inicialmente como la primera fila de P),
3. Mientras que x<b para alguún b E R:
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
ii. y ^ x (y toma el valor de x en R y x guarda como nuevo valor el de y, es decir que intercambian valores),
iii. R:= R +1 (R pasa a ser la siguiente fila respecto a a la actual),
4. Ahora x > a ∀a E R, y se agrega al extremo derecho de R,
5. out: P *.
Al final se obtiene una tabla parcial P * con el elemento original x insertado, lo que lleva a la notación r x (P) = P *.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 19. Se considera Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Un procedimiento mas simple que la insercion es la colocacion de un elemento x en una tabla parcial.
Si Q es una tabla parcial con sh (Q) = μ, e (i,j) es la ubicacion correspondiente a la derecha de una esquina de p. Siempre y cuando x sea mayor que cada elemento de Q, este se posicionara en dicha ubicacion, manteniendo a Q como una tabla parcial.
Ejemplo 20. Sea la posicioón (2 , 3) , el elemento x =9 y
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
entonces la colocacióon de x =9 se puede efectuar y su resultado es
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Con esto dada una σ E S n, se genera la sucesiónAbb. in Leseprobe nicht enthalten, definiendo (P k , Q k) a partir de Abb. in Leseprobe nicht enthalten, de la siguiente manera
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con Abb. in Leseprobe nicht enthalten la colocación del elemento k dentro de Q k- 1 en la posición (i,j), que corresponde a la misma que tiene σ (k) en P k. Esta forma de generar la sucesion asegura que sh (P k) = sh (Q k). Definiendo así la asignación Abb. in Leseprobe nicht enthalten , para la cual P = P n y Q = Q n.
Ejemplo 21. Considere σ = Abb. in Leseprobe nicht enthalten en S 7 , y aplicando el procedimiento descrito se tiene
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Por lo tanto
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
22. La correspondencia Abb. in Leseprobe nicht enthalten es una biyeccián entre el grupo S n y el conjunto de pares de tablas estándar con igual forma, sh P = sh (Q).
Demostración:
Para probar la biyectividad basta con encontrar una inversa de R-S. Dado un par (P, Q) se establece (P, Q) = (P n, Q n) , luego se aplica el algoritmo que sigue, para 1 < k < n, empezando por k = n, para obtener la misma sucesioán con orden contrario y hallando los a (k) 's.
Entrada: (P k ,Q k) (par de tablas parciales del paso k),
Salida: a (k) , (P k- 1 , Q k- 1) ,
1. in: (P k,Q k) ,
2. (i, j):= posicioán donde se encuentra k en Q k ,
3. x:= P k (i, j)(x guarda el valor de la casilla (i, j) de P k) ,
4. Se elimina la entrada (i, j) de P k,
5. Se elimina la entrada (i, j) de Q k,
6. R:= R i- 1 (R se define como la i — 1 -ásima fila de P k, que sera vacia cuando está sea R 0) ,
7. Mientras que R = R 0 :
i. y:= max {a E R: a < x},
ii. y ^ x (y toma el valor de x en R y x guarda como nuevo valor el de y, es decir que intercambian valores) ,
iii. R:= Siguiente fila hacia arriba de la actual (R pasa a ser la fila que esta arriba respecto a a la actual, y en algún punto sera R 0 = 0) ,
8. Finalmente se tiene a(k) = x, la tabla Q k- 1 sin k, y P k- 1 sin x,
9. out: a(k) , (P k— 1 ,Q k— 1) .
Realizando el proceso completo
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es como llegan a ser conocidos los valores de cada Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 23. Para ejemplificar el procedimiento presentado en la demostraciíon anterior, Abb. in Leseprobe nicht enthalten , donde es claro que k =5 , y aplicando el algoritmo
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Capítulo 2 Funciones simétricas y multisimíetricas
En este capítulo se expone como construir funciones simétricas en n variables, algunas relaciones que existen entre ellas, y propiedades del anillo que dichas funciones componen y se finalizara con una generalización de este.
2.1. Anillo de funciones simíetricas
El grupo simetrico actúa sobre diversos elementos algebraicos, como es el caso de los monomios, elementos de la forma Abb. in Leseprobe nicht enthalten , donde para cada i con 1 < i < n, a i es un número natural, y a = (a 1 ,..., a n) en N n, x = (x 1 ,..., x n); Se define la accion del grupo simetrico, S n, sobre el conjunto de monomios con n variables, dado un o E S n como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
siendo Abb. in Leseprobe nicht enthalten
La accion es simplemente el intercambio de x i por x . (i ) para todo Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Comprobar que esta es en efecto una acciúon es sencillo.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Mostrando que cumple los dos axiomas debidos.
Continuando con esta notación se considera el anillo de polinomios con n variables, y coeficientes reales, R [x], donde sus elementos son de la forma Abb. in Leseprobe nicht enthalten , para la cual se debe cumplir que el conjunto de coeficientes Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es finito, y si el grado de un monomio x a cualquiera es deg Abb. in Leseprobe nicht enthalten entonces el de un polinomio p (x) es deg(p) = max { deg(x a) : c a = 0 }. Algunos ejemplos de estos polinomios son Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
La accion presentada para monomios se amplía para polinomios, en la cual si se toma un Abb. in Leseprobe nicht enthalten se tiene
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Se puede verificar facilmente que es una accion tal y como se hizo para la version de monomios.
Definición 24. Un polinomio p E R [x] se dice que es simétrico, si para toda a E S n se cumple
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 25. Los siguientes polinomios son siméetricos.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
El conjunto de todas estas funciones simétricas con n variables forma un anillo conocido precisamente de esta manera, denotado por A n, el cual es graduado, es decir que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten consiste del polinomio 0, junto con todos los polinomios simetricos homogeneos de grado d, a los cuales mas adelante conoceremos con el nombre de polinomios homogeneos completos [17].
Definición 26. UJn polinomio Abb. in Leseprobe nicht enthalten de grado deg(q) = k, se dice que es homogéneo si para todo numero real c, se cumple que Abb. in Leseprobe nicht enthalten . Equivalente a decir que cada monomio x a que conforma a q, es de grado k.[8]
Ejemplo 27. Polinomios homogéeneos son
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
2.2. Funciones simétricas homogéneas
Existen varias formas de construir familias de polinomios simetricos capaces de generar a A n, una de ellas es mediante d un número natural, y una partición A F d, a dicha A se le puede asociar un polinomio simétrico conocido como polinomio monomial, de la siguiente manera
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con D el conjunto de vectores en N n que son un reordenamiento del vector (A 1 , A 2 ,..., A k, 0 ,..., 0) de longitud n; Por ejemplo
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
para la partición (3 , 1), y n = 3.
Cabe aclarar que si la longitud de la permutacion (l (A)) es mayor que n, su correspondiente polinomio construido de esta forma es m x = 0.
Un hecho importante es que el conjunto Abb. in Leseprobe nicht enthalten es linealmente independiente, esto como consecuencia de que si se considera el vector de variables ordenado Abb. in Leseprobe nicht enthalten , entonces Abb. in Leseprobe nicht enthalten es único para cada Abb. in Leseprobe nicht enthalten , y ademas el conjunto genera a Abb. in Leseprobe nicht enthalten , con lo cual Abb. in Leseprobe nicht enthalten es base para este, luego por como un generador de Abb. in Leseprobe nicht enthalten , teniendo en cuenta que Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Ahora si tomamos todos los elementos en B d y los sumamos, se consigue formar un nuevo polinomio homogeneo de grado d, que se conoce con el nombre de polinomio homogéneo completo, formalmente definido como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten . Desarrollando un poco esta expresiúon, se llega a que es equivalente
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
siendo esta misma su representacioún en la base B d.
Estos polinomios tambiúen se pueden encontrar mediante su funcioún generatriz, dada para d > 0 por la la expresion
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
La idea de polinomio homogéneo completo se extiende a las particiones; A una partición Abb. in Leseprobe nicht enthalten , se le asocia el polinomio Abb. in Leseprobe nicht enthalten , el cual es homogeneo desde que cada Abb. in Leseprobe nicht enthalten , lo es, y su grado claramente es d.
Ejemplo 28. Como polinomios homogéneos completos dada una partición de 5 , se tienen
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
2.3. Funciones simétricas de potencias
Otra familia de funciones simetricas es la de funciones simetricas de potencias, definidas como polinomios de la forma
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con k > 0, y así como se ha hecho antes se extienden a las particiones mediante p \ = P X 1 P X 2 ■ ■ ■ P x r, para A = (A 1 ,... ,A r), particion de un número cualquiera.
Ejemplo 29. Presentamos funciones simóetricas de potencias escritas como sumas de polinomios monomiales.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Las funciones simétricas de potencias se generan mediante la serie generatriz Abb. in Leseprobe nicht enthalten Abb. in Leseprobe nicht enthalten , al relacionarla con la función generadora Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
con lo cual
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Trabajando de forma rigurosa la expresion como serie de Z, se obtiene que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten , si se escribe p en la notacion alterna tiva mencionada al inicio del capítulo 1, Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
2.4.Funciones simétricas elementales
La serie generatriz
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
permite deducir los polinomios e k (x) de grado k, a los que se les llama polinomios elementales; La noción se amplía para permutaciones dada una A = (A 1 , A 2,..., A r) F t, partición de un numero cualquiera, entonces e \ = e \ 1 e \ 2 ■■■ e \ r, y si algún X i > n se tendría que e \ = 0.
Ejemplo 30. Con n =2 , algunos polinomios elementales son
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Pero construir estos polinomios elementales es maús sencillo al definir primero Cmb (n,k) , como el conjunto formado por todas las posibles combinaciones para el producto de k ele- mentos tomados de Abb. in Leseprobe nicht enthalten , el cual tendría cardinal Abb. in Leseprobe nicht enthalten , entonces Abb. in Leseprobe nicht enthalten = para k > 1, pues e 0 siempre es 1.
Como dato relevante, los polinomios elementales permiten escribir cualquier otra funciúon simúetrica como un polinomio en funciúon de e =(e 1 ,e 2 ,...,e n).
Teorema 31 (Teorema fundamental de las funciones simetricas). Toda función simétrica puede ser escrita como un polinomio en términos de las funciones simétricas elementales de e k, con k > 0 [1].
Un ejemplo sencillo del teorema 31 es que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
se puede escribir como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
donde e i está en función de Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Y cada polinomio en términos de las funciones elementales e k s es ánico para un correspondiente polinomio simáetrico.
Proposicion 32. El anillo A n de polinomios simétricos en n variables, es isomorfo al anillo R [ e 1 , ..., e n ] de polinomios en e k con k =1 , 2 ,...,n.
Ahora tal y como se hizo en la seccioán 2.3 con las funciones simáetricas de potencias y homogáeneas, la serie generatriz de las funciones elementales se relaciona con la serie generatriz de las funciones simáetricas de potencias y homogáeneas.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
luego por la ecuacioán (2.1) tenemos
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Y mediante un análisis de la serie, se llega a que un polinomio elemental puede ser escrito como funciones simetricas de potencias
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ademas teniendo en cuenta que Abb. in Leseprobe nicht enthalten , y derivando ambas ecuaciones con seguidas en (2.1), y (2.3) de áesta secciáon para H y E, obtenemos las relaciones
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Estas relaciones implican que una funciáon simáetrica se puede escribir de diferentes maneras.
Ejemplo 33. La siguiente tabla muestra en sus filas un mismo polinomio.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Y como conjuntos cada familia genera al anillo completo de funciones simétricas A n.
Teorema 34. Los siguientes conjuntos son bases para A n
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
2.5. Funciones multisimetricas
Dado R un anillo conmutativo, n y m dos números enteros positivos, se conforma Abb. in Leseprobe nicht enthalten , el anillo de polinomios con coeficientes en R, definido en las variables Abb. in Leseprobe nicht enthalten , o en terminos de los vectores de variables Abb. in Leseprobe nicht enthalten para 1 Abb. in Leseprobe nicht enthalten .El grupo simetrico S n actúa sobre Abb. in Leseprobe nicht enthalten de forma que si a E S n, la acción de este es sobre Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Definición 35. Se dice que Abb. in Leseprobe nicht enthalten -invariante, si para todo Abb. in Leseprobe nicht enthalten , se cumple que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Ejemplo 36. Con n = m =2 , las funciones S n -invariantes son todas aquellas funciones Abb. in Leseprobe nicht enthalten , tales que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
El conjunto de todos los elementos invariantes bajo la acciúon de S n, forma el anillo Abb. in Leseprobe nicht enthalten que es comúnmente llamado anillo de funciones multisimetri- cas, tambiúen es una generalizacioún de las funciones simúetricas con coeficientes en R, donde m = 1, y así mismo admite conjuntos que hacen de base para el.
Definición 37. Un Abb. in Leseprobe nicht enthalten es un monomio, si Abb. in Leseprobe nicht enthalten , donde Abb. in Leseprobe nicht enthalten son vectores en Abb. in Leseprobe nicht enthalten de exponentes, con Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Se forma la matriz de tamaño n x m, usando los vectores exponente de un monomio p.
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
La matriz V E M nXm (N), y S n actua sobre M nXm (N) por la permutación de las filas según una a E S n, es decir
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Y de igual manera se escribe la matriz de n x m variables dando paso a una nueva notaciúon para el monomio p = XV .
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Observación 38. Estos monomios tienen como multigrado la suma de las filas de su n matriz de exponentes V , denotado mdeg Abb. in Leseprobe nicht enthalten , que es un vector en Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Definición 39. Sea Abb. in Leseprobe nicht enthalten , se define la función mutisimétrica monomial asociada a L , o simetrización del monomio Abb. in Leseprobe nicht enthalten , como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
de forma maós compacta si v 1 , v 2 ,..., v k son las filas de L distintas del vector 0 E N m, entonces M L = M v1 , v2 ,..., vk , esta uóltima se conoce como notacioón de Mcdonald [17].
Ejemplo 40. Con m =2 y cualquier valor de n
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Se distinguen dos familias dentro de estas funciones multisimetricas monomiales. Las funciones multisimetricas elementales, que son simplemente simetrizaciones de monomios cuya matriz de exponentes V tiene la cualidad de sumar 1o0encadafila,es decir que si una fila v i de V es no nula, esta tiene un único elemento distinto de 0, el cual debe ser un 1, y en contraste las funciones multisimetricas de potencias, formadas a partir de la simetrizacioún de monomios para los que su matriz de exponentes U, tiene solamente una fila no nula, esto quiere decir que para un uúnico i E{ 1 , 2 ,...,n} se cumple que ui = 0, y para todo j = i, la fila u j = 0.
Ejemplo 41. La funcióon
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es una funcióon multisimóetrica elemental, y
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
es una funcióon multisimóetrica de potencias.
Ahora haciendo una analogía con las particiones del capítulo 1, se tiene la definición 42.
Definición 42. Sea fi G N m distinto de 0 , se llama vector partición de fi al arreglo de k vectores no nulos en N m, sin importar el orden en el que aparecen,
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
que cumple con Abb. in Leseprobe nicht enthalten se denota Abb. in Leseprobe nicht enthalten
i = 1
La longitud de un vector partición p puede llegar a ser mayor a n, por lo que se le asociaría un Abb. in Leseprobe nicht enthalten ; pero en el caso contrario, donde k < n, es claro que existe una matriz Abb. in Leseprobe nicht enthalten , originada al agregar n — k filas nulas a la matriz que tiene como filas los elementos de p.
Mas claramente se quiere dar a entender que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
donde la cantidad de vectores Abb. in Leseprobe nicht enthalten .
Así a un vector particion Abb. in Leseprobe nicht enthalten , se le asocia la funcion multisimetrica monomial
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
y continuando la idea se definen las funciones homogéneas multisimetricas [9], para un vector Abb. in Leseprobe nicht enthalten , como
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Por ejemplo para Abb. in Leseprobe nicht enthalten , la funcion homogenea multisimetrica asociada es
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
Por lo tanto toda función multiseimetrica es construida a partir de un Abb. in Leseprobe nicht enthalten , y elementos del conjunto de sus vectores particion Abb. in Leseprobe nicht enthalten , siendo precisamente P el multigrado de dicha funcion.
Bajo ciertas condiciones pasa que una familia de funciones multisimetricas genera a Abb. in Leseprobe nicht enthalten . Los teoremas 43 y 44 son un ejemplo de esto.
Teorema 43. Las funciones multisimetricas elementales generan Abb. in Leseprobe nicht enthalten si y solo si n ! es invertible en R. Salvo en los siguientes casos:
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
En estos tres casos las funciones multisimeetricas elementales generan A n,m (R) , incluso si n ! no es invertible en R [20].
Teorema 44. Sea R un anillo en el cual n ! es invertible. Entonces las funciones multi- simeetricas de sumas de potencias generan A n,m (R) [12].
De igual manera se puede decir cuando no lo hacen.
Teorema 45. Si A n,m (R) no es generado por las funciones multisimeetricas elementales, entonces A n,m +1(R) y A n +1 ,m (R) tampoco lo son.
Lema 46. Sea k> 2 un neumero impar, y R un anillo en el cual k no es invertible, entonces las funciones multisimeetricas elementales no generan a A k, 2 (R) [3].
El lema 46 parte de hecho de que
Abb. in Leseprobe nicht enthalten
no se encuentra en el subanillo de Abb. in Leseprobe nicht enthalten generado por las funciones multisimetricas elementales [11].
Tambien ocurre que las funciones multisimetricas de potencias potencias no se puedan generar a partir de funciones elementales.
Ejemplo 47. Se tienen los dos siguientes casos si 2 no es invertible en R. La función p (3 , 2) no se encuentra en el subanillo de Abb. in Leseprobe nicht enthalten generado por las funciones elementales, Abb. in Leseprobe nicht enthalten no estaó en el subanillo de Abb. in Leseprobe nicht enthalten que las funciones multisimóetricas elementales generan [6].
Existen diversos trabajos que hablan sobre funciones multisimetricas, en esta sección se hizo especial enfasis en los resultados presentados por Emmnuel Briand en su artículo When is the Algebra of Multisymmetric Polynomials Generated by the Elementary Multisymmetric Polynomials? [3].
Bibliografia
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[3] Emmanuel Briand. When is the algebra of multisymmetric polynomials generated by the elementary multisymmetric polynomials? Beiträge Algebra Geom., 45(2):353- 368, 2004.
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[12] P. Fleischmann. On invariant theory of finite groups. In Invariant theory in all characteristics, volume 35 of CRM Proc. Lecture Notes, pages 43-69. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.
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[25] Ruoyu Wang. Symmetric functions and kronecker coefficients. Department of Mathe- maticsUppsala University, Abril 2021.
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- Diego Avendaño (Author), 2022, Una introducción a las funciones simétricas, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1592215
