"Einführung in die Integralrechnung" - Mathematik- Leistungskurs, Klassenstufe 12


Unterrichtsentwurf, 2009

17 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Der didaktische Ansatz

2. Bedingungsanalyse

3. Didaktische Analyse
3.1 Verortung der Unterrichtsstunde
3.1.1 Verortung im Unterrichtsverlauf der Lerngruppe
3.1.2 Verortung im Lehrplan.
3.2 Begründung und Eingrenzung des Themas
3.2.1 Begründung.
3.2.2 Sachanalyse
3.3 Die didaktische Reflexion.
3.4 Stundenziele

4. Verlaufsplanung

Folie 1

Folie 2

Arbeitsblatt

Tafelbild

Literaturverzeichnis

1. Der didaktische Ansatz

Der didaktische Ansatz, auf dem meine Unterrichtsplanung basiert, ist die lernzielorientierte Didaktik. Dieser Ansatz ist der curricularen Didaktik zuzuordnen: In einem Plan, dem Curriculum, werden Lernziele, Lernorganisation und Lernkontrolle formuliert.

Folgende Annahmen werden dabei vorausgesetzt: Die Lernziele haben eine herausgehobene Bedeutung und die Erstellung dieser Ziele ist ein Prozess, der von dem Curriculumentwickler selbst durchgeführt werden muss und nicht von einer anderen Person übernommen werden kann.[1] Weiterhin müssen diese Ziele sowohl das Verhalten des Lernenden, als auch den Inhalt, an dem das Verhalten gezeigt werden soll, beschreiben. Die Wirkung des Lernens wird dann letztlich anhand der gesetzten Ziele überprüft.

Der lernzielorientierte Ansatz ist präskriptiv, beinhaltet folglich genaue Anweisungen für die Planung, Durchführung und Analyse von Unterricht.[2] Die Planung von Unterricht und somit die Entwicklung eines Curriculums lässt sich in folgende Schritte gliedern:

1. Lernplanung: Erstellung der Lernziele, die das „Lern-Soll-Verhalten“ beschreiben.
2. Lernorganisation: Auswählen von Lernstrategien und Methoden, mit denen die Ziele erreicht werden sollen.
3. Lernkontrolle: Konstruktion von Kontrollverfahren, mit denen das „Lern-Ist-Verhalten überprüft wird, also ob die Lernziele erreicht wurden und die eingesetzten Methoden sinnvoll waren.[3]

Im Folgenden werde ich auf diese drei Punkte genauer eingehen. Am Anfang der Lernplanung steht die Sammlung von Lernzielen. Anhand des Lehrplanes können diese grob festgelegt werden und z.B. anhand von Texten, Lernsystemen, Lehrpersonen und Eltern ergänzt werden, mit dem Hintergrundgedanken sie nicht alle in das Curriculum aufzunehmen.[4] Anschließend erfolgt die explizite und eindeutige Beschreibung der Lernziele nach Inhalts- und Verhaltensteil. Das bedeutet eine klare Formulierung der Zielvorstellungen, die den Lernenden mitgeteilt wird und die sowohl die Endverhaltensbeschreibung, den situativen Rahmen als auch den Beurteilungsmaßstab des Verhalts beinhalten.[5] Danach erfolgt die Ordnung der Lernziele nach einem bestimmten Schema, z.B. nach dem Verhaltens- oder Inhaltsaspekt.[6] Abschließend müssen aus der geordneten Liste der präzise beschriebenen Lernziele die ausgewählt werden, die verwirklicht werden sollen.[7]

Daran schließt sich die Lernorganisation an, an deren Anfang die Beschreibung der Unterrichtsmethoden steht. Bei diesem Prozess müssen die möglichen Methoden, die dem Erreichen der Lernziele dienen könnten, explizit formuliert werden. An diese Beschreibung knüpft die Ordnung der Unterrichtsmethoden, die nach vielen Schemata erfolgen kann. Auch hier ist der Inhalts- und Verhaltensaspekt ein mögliches Merkmal, um eine Ordnung herzustellen. Darüber hinaus können Schüler- und Lehrermerkmale hinzugenommen werden, wodurch sich eine mehrdimensionale Methodenordnung ergeben würde. Wie bei der Lernorganisation schließt diese Phase mit der Entscheidung für bestimmte Unterrichtsmethoden. Dabei sollten zum einen die Lernziele im Vordergrund stehen, da gewisse Methoden besonders gut mit bestimmten Zielen vereinbar sind und auf der anderen Seite die Lernenden, da durch eine genaue Abstimmung der Vorkenntnisse, Fähigkeiten und Art des Lernens hinsichtlich der Methoden, die Unterrichtsziele besser erreicht werden können.[8]

Den Abschluss bildet die Lernkontrolle, bei der mit bestimmten Kontrollverfahren überprüft wird, ob die Lernenden die anfangs aufgestellten Lernziele erreicht haben. Bei der Aufgabenerstellung für mögliche Testate sollten folglich die geordneten Ziele die Grundlage bilden.[9]

Zusammenfassend kann man sagen, dass bei der curricularen Didaktik die Lernziele den Ausgangspunkt des gesamten Prozesses der Planung, Durchführung und Analyse des Unterrichts bilden und das Kriterium für die Wirkung bzw. den Erfolg sind.

2. Bedingungsanalyse

Vor dem Hintergrund der fiktiven Unterrichtsplanung werde ich eine fiktive Zusammenstellung der Klasse durchführen.

Da sich der Unterrichtsentwurf auf einen Mathematik Leistungskurs der zwölften Klasse eines Gymnasiums bezieht, kann grundsätzlich von einem leistungsstarken und interessierten Kurs ausgegangen werden. Aufgrund des Wahlsystems in der Oberstufe kam es allerdings dazu, dass vier von den 18 Schülern den Leistungskurs belegen mussten, obwohl sie eigentlich den Grundkurs belegen wollten. Bei diesen vier Schülern gehe ich davon aus, dass sie etwas schwächer sind als die anderen, aber mit ausreichendem Lernaufwand in der Lage sein müssten, gute Leistungen zu erreichen. Trotzdem müssen diese vor dem Hintergrund der lernzielorientierten Didaktik besonders beachtet werden, da im Blick auf sie eventuell bestimmte Methoden angewandt werden müssen, damit auch sie die gesetzten Lernziele erreichen. Insgesamt gehe ich von einem engagierten und motivierten Leistungskurs aus.

Das soziale Umfeld der SuS ist ähnlich. Sie stammen aus der Mittelschicht und es sind keine Schüler mit Migrationshintergrund vertreten.

Bei einer realen Klasse könnte man eine genauere und differenziertere Beschreibung und Analyse der einzelnen SuS vornehmen, die ich aufgrund des fiktiven Kurses nicht machen kann, da dadurch der Realitätsbezug verloren ginge.

3. Didaktische Analyse

3.1 Verortung der Unterrichtsstunde

3.1.1 Verortung im Unterrichtsverlauf der Lerngruppe

Die Unterrichtsstunde ist eine Einführungsstunde zum Thema „Integralrechnung“. In der ersten Hälfte des ersten Schulhalbjahres der zwölften Klasse haben die SuS die Differentialrechnung anhand von Kurvendiskussionen wiederholt und ihr Wissen in diesem Bereich erweitert. Die SuS haben gelernt, Funktionen mit mehreren Summanden abzuleiten und die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel anzuwenden. Weiterhin ist ihnen bekannt, dass die erste Ableitung die Steigung einer Tangenten im Punkt angibt und wie man mittels dieser Ableitung auf die Maxima und Minima einer Funktion schließt. Außerdem verfügen sie über die Kenntnis, dass die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion beschreibt und wie man mithilfe dieser Ableitung die Wendepunkte bestimmt. Schließlich sind die SuS in der Lage, von der grafischen Darstellung einer Funktion, auf die graphische Darstellung der Ableitung zu schließen. Mit Hilfe dieser Kenntnisse ist es den SuS möglich, den Prozess des Zeichnens der Ableitung umzukehren und die zugehörige Stammfunktion zu zeichnen, die ihnen unter dem Namen Stammfunktion allerdings noch nicht bekannt ist. Eng verwandt mit der Differentialrechnung, bei der die SuS lokale Veränderungen von Funktionen berechnet haben, ist die Integralrechnung. Aus diesem Grund setzte ich die Einführung dieses Themas an diese Stelle des Unterrichtsverlaufs. In der jetzigen Thematik sollen die SuS lernen, den Vorgang des Differenzierens umzukehren und Funktionen zu integrieren. Nachdem die Flächenberechnung, durch Integration, gelehrt wurde, folgt der Zusammenhang zwischen Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit und wie man zeichnerisch von einer Funktion auf ihre Stammfunktion schließt. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit über Integrale werden sie ein Verfahren zur numerischen Integration, Beziehung zwischen Ableitungs- und Integrationsregeln, bestimmte Integrale und ihre Eigenschaften, den Hauptsatz der Integralrechnung und unbestimmte Integrale kennen lernen.

Meine Unterrichtsstunde soll als Einführungsstunde der Integralrechnung dienen, in der die Herleitung des Integrals über Änderungseffekte erfolgt und den SuS somit den Praxisbezug des Integrals verdeutlicht. Mittels einer praxisbezogenen Aufgabe sollen sie sich den Begriff des Integrals erarbeiten.

3.1.2 Verortung im Lehrplan

Das Thema „Integralrechnung“ ist in dem Lehrplan für die Jahrgangsstufen zwölf bzw. dreizehn vorgesehen.[10]

Eine mögliche Sequenz, die in dem Lehrplan für die Jahrgänge elf bis dreizehn angegeben ist, stellt den Integralbegriff an den Anfang dreizehnten Jahrgangs.[11] Da die Themenzuteilung für den zwölften oder dreizehnten Jahrgang aber nur grob gesetzt ist und der Zeitraum zur Behandlung dieses Themas der Lehrperson in einem gewissen Rahmen frei steht, entscheide ich mich dafür, das Thema in der Mitte des ersten Halbjahres der zwölften Klassenstufe einzuführen. Die Gründe dafür sind zum einen, dass die Integralrechnung eine wichtige Grundlage für den weiteren Verlauf des Unterrichts darstellt und zum anderen, dass diese Thematik nah an der Differentialrechnung liegt, die in den ersten Wochen wiederholt wurde.

Der Integralbegriff wird in dem Lehrplan mit einem möglichen Praxisbezug zur Erdkunde genannt. Dieser Bezug soll den SuS die praktischen Ziele der Integralrechnung deutlich machen und einen Gegenwartsbezug vermitteln. Die zugrunde liegende Frage ist, „wie der Beckeninhalt einer Talsperre gesteuert werden muss, um einerseits in Zeiten anhaltender Trockenheit genügend Wasser abgeben zu können und andererseits in Zeiten von Hochwasser genügend Stauraum zu besitzen“[12].

Diese Frage werde ich in der Einführungsstunde nicht direkt übernehmen, aber die grundsätzliche Idee, die damit verbunden ist, bleibt in der Aufgabe, die den Kern der Stunde bildet, erhalten.

Nach der Herleitung des Integralbegriffes über Änderungseffekte folgt die numerische Integration.[13]

Im weiteren Verlauf des Schuljahres stehen bestimmte Integrale und ihre Eigenschaften, der Hauptsatz der Integralrechnung und unbestimmte Integrale auf dem Lehrplan.[14]

3.2 Begründung und Eingrenzung des Themas

3.2.1 Begründung

Da das Thema der Integralrechnung von vielen Seiten her begonnen werden kann, wähle ich die Eingrenzung des Themas so, wie sie im Lehrplan beschrieben ist. Ich übernehme den Praxisbezug zur Erdkunde bzw. zur Technik. Dieser Bezug bildet den Ausgangspunkt für die inhaltliche Begründung des Themas. Die Begründung für den didaktischen Ansatz wird in der späteren didaktischen Reflexion deutlich. Mithilfe der Integralrechnung lassen sich kontinuierliche und dynamische Prozesse, die in der Natur oder Technik ablaufen, auf mathematischem Wege präzise beschreiben und berechnen. Mit einem solchen Problem werde ich die Einführungsstunde beginnen, da die Herleitung über Änderungseffekte verlaufen soll. Wobei bis zu diesem Zeitpunkt im Unterrichtsverlauf mit Hilfe der Ableitung die momentane Änderungsrate einer Größe bestimmt wurde, wird bei der Integralrechnung dieses Problem umgekehrt und von der momentanen Änderungsrate einer Größe auf die Gesamtänderung der Größe geschlossen. Deshalb ist es sinnvoll, die Stunde direkt im Anschluss an die Differentialrechnung anschließen zu lassen. Der Praxisbezug in der Einführungsstunde erfolgt an dem Beispiel einer Ölpipeline. An einer Messstelle einer solchen Pipeline wird die momentane Durchflussmenge gemessen. Nun liegt das Problem darin, zu bestimmen, wie viel Erdöl in einem bestimmten Zeitraum durch das Rohr geflossen ist. Weitere Beispiele, an denen die SuS die Integralrechnung verwenden könnten, wären z.B. der Schadstoffausstoß von Autos oder Flugzeugen pro Zeiteinheit oder Geschwindigkeit-Zeit Abhängigkeiten bei der Berechnung einer Strecke. Besonders die Bestimmung von Schadstoffmengen ist nah an der Lebenswelt der SuS, da sie zum einen gegenwärtig bzw. in naher Zukunft selbst daran beteiligt sind, in dem sie mit dem Autofahren beginnen. Zum anderen können sie Erkenntnisse darüber gewinnen, wie hoch die Mengen in Deutschland und Europa bzw. auch in anderen Ländern und Kontinenten sind. Hiermit ist die Begründung des Themas im Bezug auf die Praxis und die Gegenwart gegeben

Weiterhin legt das Integral eine wichtige theoretische Grundlage in der Mathematik. Dabei sind die Kernpunkte die Berechnung von Flächeninhalten, besonders von Flächen unter nicht linearen Funktionen, von Rotationskörpern und die Längen von Kurven. Darüberhinaus bietet das Integrieren den SuS nun die Möglichkeit bei der Infinitesimalrechnung in weitere Bereiche vorzudringen.

[...]


[1] Vgl. Möller, 1987, 63.

[2] Vgl. ebd., 64.

[3] Vgl. ebd., 65.

[4] Vgl. ebd., 66.

[5] Vgl. Möller, 1987, 66-67.

[6] Vgl. ebd., 67-68.

[7] Vgl. ebd., 70.

[8] Vgl. ebd., 71-73.

[9] Vgl. ebd., 73.

[10] Vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung, Wissenschaft und Forschung, 1999, 51.

[11] Vgl. ebd., 60-62.

[12] Ebd., 51.

[13] Vgl. ebd., 51.

[14] Vgl. ebd., 19.

Ende der Leseprobe aus 17 Seiten

Details

Titel
"Einführung in die Integralrechnung" - Mathematik- Leistungskurs, Klassenstufe 12
Hochschule
Universität Paderborn  (Institut für Erziehungswissenschaften)
Veranstaltung
Planung und Durchführung von Unterricht
Note
1,3
Autor
Jahr
2009
Seiten
17
Katalognummer
V160319
ISBN (eBook)
9783640751877
ISBN (Buch)
9783640752355
Dateigröße
1281 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Unterrichtsentwurf Mathematik, Unterrichtsentwurf, Einführung Integralrechnung, Planung und Durchführung von Unterricht
Arbeit zitieren
Ruben Loest (Autor), 2009, "Einführung in die Integralrechnung" - Mathematik- Leistungskurs, Klassenstufe 12, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/160319

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