Lösungsstrategien im Mathematikunterricht der Grundschule

Analyse empirischer Fälle


Examensarbeit, 2009
83 Seiten, Note: 1,7

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Hauptteil
2.1. Psychologische Grundlagen der Problemlöseprozesse
2.1.1. Definition: Problem
2.1.2. Problemlösen und Denken
2.1.3. Kognitionspsychologie
2.1.3.1. Entwicklung der kognitiven Forschung
2.1.3.2. Kognitive Psychologie heute
2.1.4. Heuristik
2.1.4.1. Heuristik und die Problemlösung
2.1.4.2. Heuristische Prinzipien
2.1.4.3. Heuristische Strategien
2.1.4.4. Heuristische Hilfsmittel
2.2. Lösungsstrategien im Mathematikunterricht der Grundschule
2.2.1. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Addition und Subtraktion
2.2.1.1. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Addition
(a) Zählstrategien
(b) Eingeprägte Gleichungen/ Grundaufgaben
(c) Heuristische Strategien für die Grundaufgaben der Addition
2.2.1.2. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Subtraktion
(a) Zählstrategien
(b) Heuristische Strategien für die Grundaufgaben der Subtraktion
2.2.1.3. Abschließende Hinweise für Lösungsstrategien der Grundaufgaben Addition und Subtraktion
2.2.2. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Multiplikation und Division
2.2.2.1. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Multiplikation
(a) Zählstrategien
(b) Heuristische Strategien
2.2.2.2. Lösungsstrategien für Grundaufgaben der Division
(a) Informelle Lösungsstrategien
(b) Heuristische Strategien
2.2.2.3. Abschließende Hinweise für Lösungsstrategien der Grundaufgaben Multiplikation und Division
2.3. Analyse empirischer Fälle
2.3.1. Unterrichtstranskript eines Teils einer Mathematikstunde in der Grundschule (1. Klasse)
2.3.1.1. Inhaltszusammenfassung
2.3.1.2. Analyse der Lösungsstrategien
2.2.1. Denk- und Sachaufgaben für Klassenstufe 2
2.2.2. Inhaltszusammenfassung
2.2.3. Analyse der Lösungsstrategien
2.3.3. Unterrichtstranskript eines Teils einer Mathematikstunde an einer Grundschulklasse (3. Klasse)
2.3.3.1. Inhaltszusammenfassung
2.3.3.2. Analyse der Lösungsstrategien
2.3.4. Unterrichtstranskript einer Mathematikstunde an einer Grundschule (4. Klasse)
2.3.4.1. Inhaltszusammenfassung
2.3.4.2. Analyse der Lösungsstrategien

3. Fazit

4. Quellenangabe

1. Einleitung

Seit der im Jahr 2000 erstmals durchgeführten PISA-Studie hat sich das öffentliche Bewusstsein für das Schulfach Mathematik in Deutschland stark gewandelt. Diese Studie, die mathematischen Kompetenzen der Schüler neben der Lese- und der naturwissenschaftlichen Kompetenz als expliziten

Forschungsschwerpunkt ausweist, sorgte in der deutschen Bildungslandschaft für Aufsehen. Im Bereich der Mathematik schnitten deutsche Schüler im Vergleich zu den anderen 31 teilnehmenden Staaten unterdurchschnittlich schlecht ab und auch bei den anderen beiden zentralen Kompetenzen wurde ein Ergebnis erzielt, welches die Verantwortlichen für die Bildung in Deutschland nicht zufrieden stellte. Da die Politik die wirtschaftliche Zukunftsfähigkeit des deutschen Staates gefährdet sah, und auch aufgrund der enormen öffentlichen Resonanz auf die ersten Ergebnisse der Pisa-Studie, sahen sich die Kultusministerkonferenzen zu schnellem Handeln gezwungen.

Die eingeleiteten Maßnahmen führten zu geringem Erfolg. Auf positiver Seite ist festzuhalten, dass sich die Leistungen der deutschen Schüler im Mathematikbereich nicht verschlechterten. Im Vergleich zur Pisa­Studie 2000 wurde in den folgenden Erhebungen in den Jahren 2003 und 2006 sogar ein leichter Anstieg registriert, sodass sich die Leistungen im Durchschnitt bzw. leicht über dem Durchschnitt aller teilnehmenden Staaten befinden.1

Zu den Ursachen, warum die Schüler im Bereich der mathematischen Kompetenz keine Spitzenwerte erreichen, entwickelte der Gießener Mathematikprofessor Albrecht Beutelspacher eine sehr interessante These. Seiner Meinung nach könnten sich Schüler heute immer schlechter mit dem Schulfach Mathematik identifizieren.

Es präsentiere sich dem Schüler „[...] als sinnleeres, formelhaftes Gebilde, zu dem sie überhaupt keinen Zugang haben.“2 Beutelspacher kritisiert also, dass der Schüler keinen Bezug mehr zwischen den im Mathematikunterricht vermittelten Inhalten und seinem Alltag herstelle. Dabei eigne sich die Mathematik sehr gut dazu, um die uns umgebende Welt mit neuen Augen sehen. Sie stecke voller Symmetrien und Strukturen, die sich mathematisch erfassen lassen würden.3 Um dem Schüler die Identifikation mit dem Fach zu erleichtern, müssten zum einen mehr interdisziplinäre Beispiele und Aufgaben in den Unterricht mit einbezogen werden. Zum anderen müsse bei den Lehrern ein grundlegender Kurswechsel stattfinden.4 Der Mathematikunterricht dürfe nicht mehr länger vor allem als Disziplinierungswerkzeug verstanden werden, indem die Schüler weitestgehend passiv und still mathematische Formeln und Lösungswege rezipieren.5 Vielmehr müsse der Schüler dazu angeregt werden, auf eigener Initiative Gedanken und Lösungsansätze zu entwickeln. Der Schüler müsse „[...] in der Mathematik auch selber argumentieren können.“6

Zusammengefasst fordert Beutelspacher, dass dem Schüler eine aktivere Rolle zuerkannt wird.

Bei der Frage, wie dieses Ziel zu erfüllen sei, ist die Auseinandersetzung mit Lösungsstrategien, die dem Schüler im Unterricht vermittelt werden sollen, notwendig.

Welche Strategien fördern das eigenständige Denken der Schüler? Kann ich den Schüler, beim Lösen mathematischer Probleme, vollkommen sich selbst überlassen oder ist das gelegentliche Eingreifen des Lehrers gefordert, um Fehlentwicklungen zu verhindern? Welches Vorwissen braucht ein Schüler überhaupt, um eigenständig Lösungsansätze entwickeln zu können? Solche Fragen sollte sich ein Lehrer bei der Vorbereitung seines Unterrichts stellen.

Die Frage nach der Vermittlung der „richtigen“ Problemlösestrategien nimmt also eine zentrale Rolle bei der Unterrichtsgestaltung ein.

Daher möchte ich mich mit diesem Themenfeld in dieser Examensarbeit auseinandersetzen. An dieser Stelle sei die Frage erlaubt, in welchem Zusammenhang die Verwendung von Problemlösungsstrategien und deren analytische Untersuchung im Bereich der Grundschule, mit den Ergebnissen der Pisa-Studie und den Ausführungen Professor Beutelspachers, die sich beide auf Schüler der Mittelstufe konzentrieren, stehen. Hierbei ist zu erwähnen, dass die Vermittlung von Kompetenzen (Problemlösungsfähigkeiten) in der Grundschule einen entscheidenden Einfluss auf die spätere schulische Entwicklung eines jeden Schülers hat.

Im Folgenden gebe ich eine Übersicht über meine Herangehensweise an das Themengebiet.

Zunächst möchte ich mit Definitionen der Begriffe „Problem“ und „Problemlösung“, den Kern des Untersuchungsgegenstandes festlegen. Danach werde ich mich den psychologischen Faktoren der Problemlösungsstrategien zuwenden. Mit einem kurzen Abriss über die geschichtliche Entwicklung der Kognitionspsychologie werde ich darstellen, wie anhand von unterschiedlichen Menschenbildern grundlegende Theorien über das Vorgehen des Menschen beim Lösen von Problemen entstanden sind. So dachten etwa die Behavioristen dem Menschen eine weitestgehend passive Rolle bei der Lösung von Problemen zu, da sie dem Menschen nur die Reaktion auf Reize von Außen zubilligten.

Den Abschluss dieses geschichtlichen Überblicks soll dann die Vorstellung des Informationsverarbeitungsansatzes bilden. Auf diesem kognitionspsychologischen Ansatz aufbauend, möchte ich dann eine Einführung in die Heuristik geben. Dabei soll zusätzlich eine Unterscheidung zwischen heuristischen und algorithmischen Problemlösungsstrategien vorgenommen werden.

Im zweiten Teil dieser Arbeit sollen dann konkrete Problemlösungsstrategien für alle vier Grundrechenarten vorgestellt werden, wie sie in der Grundschule zum Einsatz kommen.

Dabei möchte ich auch auf die Vorgaben des hessischen Rahmenplans für den Mathematikunterricht kurz eingehen.

Anhand der Analyse von Transkripten bzw. eines Unterrichtsbeispiels werde ich anschließend versuchen aufzuzeigen, welche Problemlösungsstrategien in konkreten Unterrichtssituationen zum Einsatz kommen und auf welche Schwierigkeiten die Schüler dabei stoßen.

In einem abschließenden Fazit soll dann schwerpunktmäßig darauf eingegangen werden, wie sinnvoll der Einsatz heuristischer Strategien im Unterricht ist und welche Besonderheiten in diesem Zusammenhang zu beachten sind.

2. Hauptteil

2.1. Psychologische Grundlagen der Problemlöseprozesse

Wie in der einschlägigen Fachliteratur zu lesen ist, sollten die Faktoren eines Problems erst möglichst genau definiert sein, um dieses erfolgreich lösen zu können.7 Ich möchte an dieser Stelle jedoch noch einen Schritt weiter zurückgehen und eine Antwort auf die Frage suchen: „Was ist überhaupt ein Problem?“ Diese Vorarbeit erscheint mir für ein effizientes Problemlösen von großer Wichtigkeit, denn ein möglichst rasches Entdecken eines Problems führt auch zu einer schnellen Lösung.

Daher möchte ich mich zunächst mit der Definition von Problemen befassen.

2.1.1. Definition: Problem

Um die Frage nach einer eindeutigen Definition von Problemen zu beantworten, soll eine grundlegende Unterscheidung vorgenommen werden, nämlich die zwischen „Aufgabe“ und „Problem“.

Beide Begriffe werden oftmals synonym gebraucht und tatsächlich sind die Übergänge sehr fließend. Genau genommen drücken die beiden Begriffe aber etwas grundlegend Unterschiedliches aus. So muss in einer Aufgabe in gewissem Sinne „nur“ eine Problemlösung, die bereits in der Vergangenheit erarbeitet wurde, „reproduziert“ werden“.8 Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Soll in einer Autofabrik ein Auto konstruiert werden, so steht zunächst der Ingenieur vor dem „Problem“ herauszufinden, wie die einzelnen Konstruktionsschritte sinnvoll ausgeführt werden können und wie man die Fabrik am besten auf die Konstruktion des neuen Autos anpasst. Diejenige Person, welche dann damit betraut wird, das Fahrzeug nach den Anweisungen des Ingenieurs zusammenzubauen, führt „nur“ die Aufgabe aus: es werden die zuvor entwickelten Produktionsschritte wiederholt.

Übertragen auf den Unterricht in Mathematik bedeutet diese Definition von „Aufgabe“, dass ein Schüler eine Rechenoperation ausführt, dessen Lösungsschema er vollkommen beherrscht. Er reproduziert die zuvor erlernten Arbeitsschritte.

Komplett anders verhält es sich, wenn eben dieser Schüler vor einem mathematischen Problem steht. In diesem Fall sind diesem nicht alle Schritte bekannt, um die Rechenoperation vollständig auszuführen.

Doch der Begriff des Problems soll nun der Reihe nach beschrieben werden.

Sell unterteilt das Problem grundlegend in drei Segmente9:

1. Anfangszustand = IST

- im Regelfall gegeben und unbeeinflussbar

2. Endzustand = SOLL

- im Regelfall gefordert

3. Weg vom Anfangszustand zum Endzustand = TRANSFORMATION

- die Lösung als geistige Handlung

Eine plastischere, leichter verständliche Bezeichnung verwendet Tücke in seiner Beschreibung der Grundstruktur des Problems. Analog zu dem oben angeführten Schaubild, spricht er von einer

Ausgangssituation und einer Zielsituation. Zwischen dem Erreichen steht die Barriere. Dieser Begriff beschreibt sehr anschaulich die Kernhandlung der Problemlösung.10 Es gilt eine Barriere zu überwinden und den Horizont seiner Handlungsmöglichkeiten zu erweitern. Es gilt eine produktive Handlung auszuführen, bildlich gesprochen, die Barriere niederzureißen.

Ich möchte nun Sells Modell auf eine mathematische Problemstellung im Unterricht übertragen. Der Ausgangs- oder IST-Zustand wird in der Regel durch das Lehrpersonal vorgegeben und ist in der Regel durch den Schüler auch nicht beeinflussbar. Beim Erreichen des Endzustandes, der Lösung der mathematischen Problemstellung, ist der Schüler oftmals auf die Rückmeldung des Lehrpersonals angewiesen, jedoch nicht in allen Fällen.

Bei einigen zu lösenden mathematischen Problemen sind sowohl Ausgangspunkt sowie Lösung bereits vorgegeben und es müssen lediglich die Zwischenschritte, die zu dieser Lösung führen, gefunden werden.

Ein Beispiel für den ersten Fall wäre etwa die Fortsetzung einer Zahlenreihe.

Beispiel:

Arbeitsauftrag: Führe die Zahlenreihe fort!

1,3,5,7,9,11,?

In diesem Fall wird dem Schüler nur der IST-Zustand vorgegeben. Ob der SOLL-Zustand von dem Schüler erreicht wird, kann nur durch den Lehrer oder gegebenenfalls durch ein Lösungsblatt eindeutig festgestellt werden.

Ein Beispiel für den zweiten Fall könnte eine Aufgabe darstellen, in der dem Schüler der Arbeitsauftrag erteilt wird, eine bestimmte Anzahl von Objekten in bestimmte Gruppierungen anzuordnen.

Hierbei ist es dem Schüler selbst möglich, die Korrektheit seines Ergebnisses zu überprüfen, vorausgesetzt, die Aufgabenstellung ist präzise und eindeutig formuliert. Ein Beispiel:

„Ordne die Äpfel auf dem Arbeitsblatt in 5er-Gruppen an. Es dürfen keine Reste übrig bleiben. “

Mit diesem Verständnis der Struktur eines Problems wird dem Lehrer, aber auch dem Schüler eine grundlegende Handlungsstruktur an die Hand gegeben, um Probleme zu erkennen und einen Lösungsplan zu entwerfen.

2.1.2. Problemlösen und Denken

Wie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben, handelt es sich bei der Lösung eines Problems um einen produktiven Prozess. Im Falle der Mathematik ist aber nicht das Herstellen eines Gegenstandes gemeint, wie etwa in dem vorangegangenen Beispiel das Zusammensetzen eines Autos, sondern der mentale Denkprozess.

Auf die Verbindung zwischen Problemlösens und Denken aus psychologischer Sicht möchte ich nun im folgenden Abschnitt eingehen. Dass der psychologische Faktor in den Ausführungen dieser Examensarbeit nicht zu kurz kommen darf, erklärt sich durch den enormen Einfluss, den unsere Psyche auf unsere Denkleistungen und somit auch auf unsere Problemlösefähigkeit hat.

Als ein Beispiel sei hier der Faktor Stress erwähnt. Dieser kann nicht nur beim Lösen von schulischen Aufgaben unsere Fähigkeiten, uns zu erinnern oder logische Rückschlüsse zu ziehen, enorm einschränken. Diese Tatsache wurde bereits in wissenschaftlichen Experimenten nachgewiesen.11

In seinen Ausführungen über das Denken und Problemlösen führt Hussy vier Bedingungen auf, die erfüllt sein müssen, damit das Denken auch zu einer Problemlösung führt.

„Zum Denken und Problemlösen zählen alle geistigen Vorgänge, die

a) zielgerichtet sind,
b) nicht alleine auf das Entdecken und Erkennen von Reizen beschränkt sind,
c) nicht alleine auf das Speichern oder Abrufen im bzw. aus dem Gedächtnis beschränkt sind und
d) - teilweise als Folge davon - das Verarbeiten von Faktoren erforderlich machen.“12

Zum besseren Verständnis dieser Bedingungen folgen nun einige Erläuterungen.

Zu Punkt a) sind keinerlei weitere Erklärungen notwendig, denn auch wenn sich im Verlaufe des Lebens das ein oder andere Problem durch Zufall lösen lassen mag, so erfordert die Lösung eines mathematischen Problems immer zielgerichtetes Denken.

Anhand der Punkte b) und c) lässt sich die im vorherigen Kapitel angeführte Definition von „Problem“ noch einmal bestätigen.

Diese beiden Punkte sagen zusammengenommen aus, dass es bei einer Problemlösung immer darauf ankommt, nicht nur vorhandenes Wissen anzuwenden, sondern mit Hilfe von logischen Denkprozessen sich ein neues Wissen zu erschließen und somit das vorliegende Problem zu lösen. Dieser Vorgang wird unter Punkt d) erklärt.

Mit dem Verarbeiten von vorliegenden Fakten und der Einordnung in einen neuen Kontext wird der logische Denkprozess vollzogen, welcher oben angesprochen wurde.

Aus der Tatsache, dass Problemlösen einen Denkprozess darstellt ergeben sich Schwierigkeiten für den Unterricht, denn der Denkprozess ist in der Regel nicht von außen beobachtbar. Die Verknüpfung „alter“ mit „neuer“ Informationen bzw. die Erarbeitung eines Lösungsweges erfolgt zunächst als „innere Repräsentation“ im Gedächtnis des Schülers.13 Durch diese Schlussfolgerung ergeben sich weitreichende Konsequenzen für den Unterricht.

Einen Schüler zu einer Problemlösung hinzuführen, bedeutet einen erheblichen Zeit- und Arbeitsaufwand für den Lehrer, denn er muss in eine intensive Kommunikation mit dem Schüler treten, um die Denkschritte des Schülers wiederum nachvollziehen und gegebenenfalls korrigieren zu können.

Einen weiteren Anhaltspunkt für die Komplexität und den hohen Anspruch dieser Aufgabe stellt der oben erwähnte Zusammenhang zwischen Psyche und Problemlösefähigkeit dar. Ihre Bedeutung lässt sich nämlich auch umgekehrt anwenden. Genau so, wie sich Stress negativ auf die Problemlösefähigkeit auswirkt, führen negative Erfahrungen beim Problemlösen zu einem erhöhten Stresspotenzial und dem Entstehen von Frust. Im schlimmsten Fall kann es zu einer regelrechten Versagensangst kommen, die spätere Lernprozesse und das Lösen von Problemen erheblich behindern kann.

Es bedeutet also für den Lehrer eine große Verantwortung, für die Schüler die richtige Problemstellung zu finden, die auf der einen Seite die Entwicklung von schulischen Kompetenzen der Kinder fördert, aber sie auf der anderen Seite nicht überfordert und ihre Entwicklung damit blockiert.

Die Größe der Unterrichtsklassen steht mit der persönlichen Entwicklung der Kinder in direktem Zusammenhang. Je größer die Anzahl der Schüler, desto weniger Zeit kann der Lehrende für den einzelnen Schüler aufwenden. Da sich der Entwicklungsstand von Schüler zu Schüler stark unterscheidet, wird es also mit einer großen Unterrichtsklasse immer schwieriger, eine ideale Aufgaben- und Problemstellung für jeden Schüler individuell zu finden.

Ich möchte mich nun im Folgenden der Problemlösung annähern, indem ich einen Überblick über die wichtigsten Forschungsströmungen der Kognitionspsychologie gebe, welche sich unter anderem mit Problemlösungsstrategien befasst. Anschließend werde ich auf die aktuellen Ansätze eingehen und heuristische Denk- und Problemlösungsstrategien beschreiben.

2.1.3. Kognitionspsychologie

2.1.3.1. Entwicklung der kognitiven Forschung

Bereits im antiken Griechenland wurden Überlegungen zu kognitiven Prozessen und dem Lösen von Problemen angestellt.14 Aristoteles stellte Überlegungen zur Struktur kognitiver Prozesse an. Am Anfang stehe immer die Idee, ein Gedanke, der letzten Endes zur Assoziation, der Verknüpfung, zweier oder mehrerer Elemente führt.15 Diese grundlegende Annahme sollte für die Erforschung der Kognition nie an Aktualität verlieren.

Die Darstellung der Strategien, die Menschen zum Problemlösen benutzen, geht auf diese grundlegenden Überlegungen Aristoteles' zurück. Es wandelte sich jedoch das zugrunde liegende Menschenbild. Sowohl die Vertreter des Strukturalismus Ende des 19. Jahrhunderts, wie etwa Wilhelm Wundt oder Hermann Ebbinghaus, als auch die Anhänger des Behaviorismus Anfang des 20. Jahrhunderts hielten höhere kognitive Prozesse für unerforschbar.16

Wichtige Vertreter des Behaviorismus, wie etwa John B. Watson erklärten diese Vorgänge gar für irrelevant, da nur beobachtbares Verhalten solide empirisch erforschbar sei. Und dies reiche vollkommen aus, um das gesamte menschliche Verhalten zu erklären.17 Sogar elementare menschliche Handlungen wie das Denken und Lernen wurden mithilfe eines Stimuli-Reaktions-Schemas erklärt.

Kognitive Handlungen „interpretierte man als die Anwendung des Versuchs- und Irrtumsprinzips.“18 Problemlösen beschränke sich aus behavioristischer Sicht auf das Abändern der Reaktionshierarchie durch den Erfolg oder Misserfolg einer ausprobierten Handlung.19

Daher würde ein Behaviorist den Entwurf kreativer, individueller Problemlösungsstrategien eher verneinen. Aus behavioristischer Sicht würden sich die Problemlösungsstrategien im Mathematikunterricht entweder auf stures Auswendiglernen oder das zufällige Ausprobieren und Finden der richtigen Lösung beschränken. Auch wenn durch die behavioristische Forschung eine Vielzahl von interessanten Entdeckungen gelang, so konnte sich diese Position, als Einzige, dem Menschenbild zugrunde liegende, nicht lange halten. Vor allem das dem Behaviorismus zugrunde gelegte mechanische, passive Menschenbild20 sorgte für mehr und mehr Kritik an dieser Forschungsströmung. Es entstand eine Gegenbewegung, die ein „aktives, selbstbestimmtes, geistig produktives (menschliches) Individuum“21 in den Mittelpunkt stellte: die Gestaltenpsychologie.

Für den zentralen Gegenstand der Problemlösungsstrategien sind zwei Aspekte dieser Denkrichtungen von Bedeutung.

Zum einen das bereits gerade erwähnte „aktive“ Menschenbild, welches dem Menschen die Fähigkeit zugesteht, eigene Lösungswege zu finden, die abseits von einem definierten Reiz-Reaktionsschema liegen. Durch aktives Denken, Erleben, Auseinandersetzen etc. findet der Mensch zu einer Lösung und nicht durch ein passives Reagieren auf einen Reiz.

Zum anderen betrachteten die Vertreter dieses Ansatzes, wie etwa Max Wertheimer oder Wolfgang Köhler, den Prozess des Denkens und Problemlösens als ganzheitliche Einheit und untergliederten diesen nicht - wie die Behavioristen - in Reiz, Reaktion und Assoziation bzw. Assimilation.22 Der Prozess des Denkens ergibt also mehr als die Summe seiner Einzelteile, er bildet eine abgeschlossene Gestalt. Aus dieser Bezeichnung resultierte die Namensgebung für die Gestaltenpsychologie.

Auch bei Problemlösungsstrategien wurde eine ähnliche Terminologie verwendet. Ein Problem zu lösen bedeutete, eine „defekte“ Gestalt in eine „gute“ Gestalt zu überführen.

Dabei könne man erst dann von einem Problem sprechen, wenn „einfaches Agieren“ (im Sinne der Behavioristen sollte man wohl sagen: „ausprobieren“) nicht mehr ausreicht.23 Eine Problemlösungsstrategie würde erst dann eine sein, wenn konkrete Handlungen geplant sind, um den gewünschten Zustand zu erreichen.24

Wichtig ist, dass von Anhängern der Gestaltenpsychologie erstmals Experimente unternommen wurden, um den produktiven Charakter eines Problemlösungsprozesses zu verdeutlichen.

Als Beispiel ein Experiment, das Katona 1940 durchgeführt hat (genauere Informationen zum Durchführungsort und Anzahl der Teilnehmer liegen in der Literatur nicht vor):

Er stellte drei Gruppen von Versuchspersonen vor Problemstellungen, die mit Logik zu lösen waren.

Eine Gruppe durfte vorher den Lösungsweg von einigen der Problemstellungen passiv beobachten.

Einer zweiten Gruppe wurden die Lösungswege von den gleichen Aufgaben nicht nur gezeigt, sondern auch aktiv erklärt.

Der dritten Kontrollgruppe wurden diese Vorerfahrungen gänzlich vorenthalten.

Die Ergebnisse zeigten, dass die Kontrollgruppe bei allen Aufgaben ein gleichmäßig schlechtes Resultat bei der Lösung der Problemstellungen erzielte, da sämtliche Aufgaben für sie neu waren.

Die erste Gruppe der passiven Beobachter zeigte bei den beobachteten Aufgaben eine sehr hohe Erfolgsquote. Neue Problemstellungen lieferten für sie jedoch ein ähnliches Ergebnis wie dies bei der Kontrollgruppe der Fall war. Das durchschnittlich beste Resultat lieferte die zweite Gruppe, die Gruppe der aktiven Lerner. Sowohl bereits bekannte Problemstellungen, als auch neue wurden mit einer ähnlich hohen Erfolgsquote gelöst.

Es stellte sich heraus, dass die zweite Gruppe durch die Erklärungen im Vorfeld ein gewisses Grundverständnis für diese Art von Problemen erlangt hatte und ihr Wissen auf alle Problemstellungen dieses Typs anwenden konnte. Diese Gruppe hatte die Lösungen durch produktives Denken selbstständig erarbeitet.25

Übrigens möchte ich bereits an dieser Stelle erwähnen, dass hier der Grundsatz der Heuristik zum Tragen kommt, nämlich das erlangte Verständnis über die Lösung eines Problems auf ein Ähnliches anzuwenden (siehe Kapitel 2.1.4. Heuristik).

Durch das Experiment wird deutlich, dass die Gestaltenpsychologie einige heute noch gültige Ansätze für Problemlösungsstrategien hervorbrachte.

Dennoch konnte sich diese Strömung nicht richtig durchsetzen und wurde Mitte des vergangenen Jahrhunderts aufgegeben. Hussy nennt hierzu zwei Hauptgründe.

Zum einen wurde die Terminologie der Gestaltenpsychologie oftmals als zu unpräzise kritisiert. Gerade der namensgebende Begriff „Gestalt“ konnte nie wirklich durch die Anhänger der Gestaltenpsychologie eindeutig definiert werden.

Zum anderen wurden die Ansätze dieser Strömung zu keinem abgeschlossenen Theorienkonstrukt vervollständigt. Dies wird durch Hussy damit begründet, dass man sich oftmals damit begnügte, eine Gegenposition zum Behaviorismus zu entwickeln und nicht versuchte, ein eigenes Theoriensystem zu entwickeln.26 Es wurden jedoch zentrale Gedanken und Ansätze der Gestaltenpsychologie in den heute aktuellen kognitionspsychologischen Ansatz übernommen.

2.1.З.2. Kognitive Psychologie heute

Nach der lange andauernden Auseinandersetzung zwischen Behavioristen und Anhängern der Gestaltenpsychologie wurde versucht, die brauchbaren Lehren und Ansätze beider Forschungsströmungen in einen neuen Ansatz zu übernehmen und die Mängel hingegen zurück zu lassen.

Auf der einen Seite sollte, wie in der Gestaltenpsychologie vorgeschlagen, der kognitive Prozess als Ganzes, mehr als die Summe der Einzelabschnitte betrachtet werden. Auf der anderen Seite sollte, wie im Behaviorismus, eine ähnlich präzise Terminologie gefunden werden, um kognitive Prozesse eindeutig beschreiben und erforschen zu können.

Um die Zusammenführung nachvollziehbar zu machen, wird einleitend eine möglichst genaue Definition von „Kognition“ stehen, auf die sich auch die Ausführungen über die Problemlösungsstrategien stützen werden.

Nach Hussy wird der Begriff Kognition am ehesten mit „Erkenntnis“ übersetzt.27 Die kognitive Forschung untersucht alle jene Prozesse, die zu einem Erkenntnisgewinn führen.

Darunter fallen die Prozesse der Wahrnehmung, des Denkens, Erinnerns und eben auch des Problemlösens. Eine sehr treffende Beschreibung formulierte Neisser, einer der führenden Köpfe des kognitionspsychologischen Ansatzes:

„Kognition ist die Aktivität des Wissens, der Erwerb, die Organisation und der Gebrauch von Wissen.“28

Kognition bedeutet also der aktive Einsatz der Lern- und Denkstrukturen, aus der neue Erkenntnisse hervorgehen. „Neue Erkenntnisse“ können neben der Generierung von neuem Wissen auch die Entwicklung einer Problemlösungsstrategie bedeuten.

Im Gegensatz zum Behaviorismus, der eine Erforschung komplexerer kognitiver Prozesse kategorisch ausschloss, vertraten Neisser und andere die Ansicht, dass dies zumindest teilweise doch möglich sei.

Hierfür galt es zunächst eine präzise Terminologie und damit verbunden eindeutige Modelle von kognitiven Prozessen zu entwickeln. Im Zuge der aufkommenden elektronischen Datenverarbeitung entstand ein Ansatz, der sich stark an den neutralen Ausdrücken der Informatik orientierte. Daher auch der Name: Informationsverarbeitungsansatz. Dieses Konzept beherrscht nach Ansicht einiger Experten heute die Erforschung des Problemlösens.29

Im Mittelpunkt steht also die Art und Weise, wie der Mensch Informationen in sich aufnimmt, diese verarbeitet und dementsprechend seine Handlungen steuert. Grundlegend wird angenommen, dass der Mensch als „Empfänger“ die Signale eines „Senders“ (Reiz aus der Umwelt) empfängt und diese verarbeitet. Der „Übertragungskanal“ zwischen Sender und Empfänger habe aber nur eine begrenzte Kapazität.30 Mit der begrenzten Kapazität ist im übertragenen Sinne die begrenzte Aufnahmefähigkeit des menschlichen Gedächtnisses gemeint. Eine komplexere Ausführung dieses Ansatzes stellt das sogenannte MEKIV - Rahmenmodell im folgenden Schaubild dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 (Hussy, a.a.O. S.47)

Die in der Legende des Schaubildes zu findenden Begriffe verdeutlichen noch einmal das technische Denken, welches beim Informationsverarbeitungsansatz vorherrscht.

Dieses Schaubild beruht auf vier Maximen:

„Erstens wird der Informationsfluss in Prozesse und Phasen zergliedert. Zweitens nimmt man an, dass das System eine beschränkte Kapazität zur Informationsverarbeitung hat.

Drittens gibt es Kontrollmechanismen, die den Informationsfluss und seine Zergliederung im System überwachen.

Viertens ermöglicht das System einen Informationsfluss in zwei Richtungen, bei dem eine Interaktion stattfindet und auf wissensgesteuerten und datengesteuerten Prozessen beruht.“31 Als besonders wichtig erachte ich die vierte Maxime, denn sie bildet die Grundlage für heuristische Problemlösungsansätze.

2.1.4. Heuristik

Im folgenden Verlauf sollen nun die Heuristik und die darauf aufbauenden Problemlösungsprinzipien sowie -strategien besprochen werden.

2.1.4.1. Heuristik und die Problemlösung

Zunächst muss „Algorithmus“ von „Heuristik“ abgegrenzt werden.

Bourne und Ekstrand beschreiben den Algorithmus als das Anwenden eines bestimmten Lösungsansatzes auf alle Lösungswege des Problems. Diese Methode hat den Vorteil, dass man garantiert eine Lösung findet. Auf der anderen Seite könnte es bei vielen Möglichkeiten sehr lange dauern, bis das gewünschte Ergebnis gefunden wird.32

Diese kann die Durchhaltefähigkeit und Verarbeitungskapazität eines Menschen schnell übersteigen, sodass ein Computer nötig ist, um das Problem lösen zu können.33

Zur Veranschaulichung ein Beispiel34:

Wird man vor die Aufgabe gestellt, aus den Buchstaben I, E, R, E, S ein sinnvolles Wort zu konstruieren, so sind allein hier 120 Kombinationen möglich, die man dem Prinzip des Algorithmus folgend alle durchspielen müsste. Eine sehr zeitraubende und anstrengende Methode.

Eine heuristische Problemlösungsstrategie bedeutet im übertragenen Sinne eine Abkürzung, in dem ein neuer Lösungsansatz für die aktuelle Problemlage neu entwickelt wird.

Da der Ansatz jedoch neu entwickelt wurde, führt dieser im Gegensatz zum algorithmischen Ansatz nicht zwangsweise zur Lösung.

Eine präzisere Formulierung der Unterschiede zwischen Heuristik und Algorithmus findet sich in Hussys Werken. Er bezieht sich hierbei auf ein Beispielproblem, welches die korrekte Anordnung von Buchstaben erfordert.

„Dieses Vorgehen führt mit Sicherheit zum Ziel und wird algorithmisch genannt. Es ist systematisch und außerdem erfahrungsunabhängig in dem Sinne, dass Wissen um Begriffe, Sprachstatistik usw. nicht in die Erarbeitung und Durchführung des Lösungsplans einfließt. Das gegenteilige Vorgehen, also erfahrungsabhängig und eher unsystematisch, nennt man heuristisch.“35

Diese Definition enthüllt sehr anschaulich die jeweilige Stärke und Schwäche dieser beiden grundlegend verschiedenen Ansätze.

Die kognitive Leistungsfähigkeit wird bei der heuristischen Problemlösungsstrategie wesentlich stärker trainiert, als dies bei algorithmischen Problemlösestrategien der Fall ist.

[...]


1 vgl. OECD: PISA 2006. Naturwissenschaftliche Kompetenzen für die Welt von morgen. Kurzzusammenfassung. © OECD 2007, http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/59/10/39731064.pdf, S.58

2 Krüger, Andrea: Mathematik hat nichts mit den Schülern zu tun. Interview zu den Ergebnissen der Pisa-Studie, Stand: 07.12.2004 11:07 Uhr, http://www.taaesschau.de/inland/meldung209192.html

3 vgl. Krüger, Andrea, a.a.O.

4 vgl. ebenda

5 vgl. ebenda

6 ebenda

7 vgl. Tücke, Manfred: Psychologie in der Schule - Psychologie für die Schule : eine themenzentrierte Einführung in die pädagogische Psychologie für (zukünftige) Lehrer , 4., überarb. und erw. Aufl., Lit-Verl., Münster, 2005, S.168

8 vgl. Sell, Robert: Angewandtes Problemlösungsverhalten. Denken und Handeln in komplexen Zusammenhängen, Springer Verlag, Berlin [u.a.], 1988, S.1

9 vgl. Sell, a.a.O., S.1

10 vgl. Tücke, a.a.O., S. 159

11 vgl. Hussy, Walter: Denken und Problemlösen, 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Kohlhammer Verlag, Stuttgart [u.a.], 1998, S.12

12 Hussy a.a.O., S.16

13 vgl. Hussy a.a.O., S.19

14 vgl. Hussy a.a.O., S.24

15 vgl. Hussy a.a.O., S.25

16 vgl. Hussy a.a.O., S.27

17 vgl. Hussy a.a.O., S.27f.

18 Hussy a.a.O., S.31

19 vgl. Hussy a.a.O., S.32

20 vgl. Hussy a.a.O., S.33

21 ebenda

22 vgl. ebenda

23 vgl. Hussy a.a.O., S.33 f.

24 vgl. Hussy a.a.O., S.34

25 vgl. Hussy a.a.O., S. 35 ff

26 vgl. Hussy a.a.O., S. 38

27 vgl. Hussy a.a.O., S.41

28 Hussy a.a.O., S.42

29 vgl. Bourne, L/ Ekstrand, B.R.: Einführung in die Psychologie, 3. Auflage, Eschborn Verlag, Frankfurt am Main, 2001, S.218

30 vgl. Hussy a.a.O., S. 40

31 Bourne/Ekstrand a.a.O., S. 219

32 vgl. Bourne/ Ekstrand a.a.O., S. 221

33 vgl. ebenda

34 vgl. ebenda

35 Hussy, a.a.O., S.106

Ende der Leseprobe aus 83 Seiten

Details

Titel
Lösungsstrategien im Mathematikunterricht der Grundschule
Untertitel
Analyse empirischer Fälle
Hochschule
Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main
Note
1,7
Autor
Jahr
2009
Seiten
83
Katalognummer
V161076
ISBN (eBook)
9783640871711
ISBN (Buch)
9783640871858
Dateigröße
1068 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Lösungsstrategien, Mathematikunterricht, Grundschule
Arbeit zitieren
Lena Pietsch (Autor), 2009, Lösungsstrategien im Mathematikunterricht der Grundschule, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/161076

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