Die vorliegende Arbeit basiert auf der Ausarbeitung der im Seminar „Quadratische Formen“ vorgestellten Vorträge zu den Themen bzw. Ausschnitten der Theorie der binären quadratischen Formen und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. In dieser Arbeit sollen diese zwei Vorträge ausführlicher dargelegt und verdeutlicht werden. Ausgegangen wird dabei, soweit nicht anders vermerkt, vom dem Seminar zugrundeliegenden Buches von Scharlau & Opolka (1980).
Die Vorträge basieren wiederum auf den vorangehenden Vorträgen, dessen Inhalte für diese Arbeit grundlegend sind. Diese werden, falls nicht anders verzeichnet, als korrekt, geltend und bewiesen vorausgesetzt.
Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Fragestellung, welche Lösun-gen die Gleichung ax²+2bxy+cy² = m hat (für a, b, c, m ) bzw. für welche m diese Gleichung mit gegebenem a, b, c ganzzahlig lösbar ist. Diese Fragestel-lungen führen zur der Theorie der binären quadratischen Formen. Darin werden wichtige, elementare und für diese Theorie notwendigen Grundlagen, Sätze, Definitionen etc. verdeutlicht bzw. bewiesen werden. Um diese Theorie zeitlich einord-nen und mit dem Mathematiker Joseph Louis Lagrange in Verbindung setzen zu können, werden zu Beginn ein paar einleitende Worte zur Person genannt. Im Anschluss daran erfolgt dann die genauere Thematisierung des ersten zugrundeliegenden Themas dieser Arbeit.
An dieser Stelle soll bereits die Definition einer quadratischen Form erfolgen. Im Anschluss daran erfolgt zur Verdeutlichung eine Darstellung eines diesbezüglichen Beispiels.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Joseph Louis Lagrange
- Theorie der quadratischen Formen
- Definition 1
- Beispiel 2
- Satz 2
- Johann Carl Friedrich Gauß
- Das quadratische Reziprozitätsgesetz
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Arbeit analysiert die Theorie der binären quadratischen Formen und das quadratische Reziprozitätsgesetz. Sie basiert auf den im Seminar "Quadratische Formen" präsentierten Vorträgen zu diesen Themen und soll diese ausführlicher erläutern und verdeutlichen. Die Arbeit bezieht sich dabei auf das Seminarbuch von Scharlau & Opolka (1980).
- Die Lösbarkeit der Gleichung ax²+2bxy+cy² = m (a, b, c, m ∈ Z) und die Untersuchung der Werte von m, für die diese Gleichung mit gegebenem a, b, c ∈ Z ganzzahlig lösbar ist.
- Die Entwicklung der Grundlagen der Theorie der binären quadratischen Formen.
- Der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes.
- Die Einordnung der behandelten Themen in den historischen Kontext und ihre Verbindung zu den relevanten Mathematikern Joseph Louis Lagrange und Johann Carl Friedrich Gauß.
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in die Thematik der Arbeit ein und beleuchtet die Geschichte der binären quadratischen Formen und des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Im zweiten Kapitel wird die Lebensgeschichte und die wissenschaftlichen Leistungen von Joseph Louis Lagrange, insbesondere seine Beiträge zur Theorie der quadratischen Formen, vorgestellt. Das dritte Kapitel widmet sich der Entwicklung der Grundlagen der Theorie der binären quadratischen Formen. Es werden wichtige Definitionen, Sätze und Beispiele erläutert, um ein Verständnis der zugrundeliegenden Konzepte zu ermöglichen. Im vierten Kapitel wird das quadratische Reziprozitätsgesetz genauer betrachtet, wobei der Schwerpunkt auf dem Beweis dieses wichtigen mathematischen Satzes liegt.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Theorie der binären quadratischen Formen, das quadratische Reziprozitätsgesetz, Joseph Louis Lagrange, Johann Carl Friedrich Gauß, ganzzahlige Lösungen, Teiler, Darstellungen, Fermatsche Sätze, "Recherches d’arithmétique".
- Arbeit zitieren
- Frauke Schaper (Autor:in), 2010, Quadratische Formen und das quadratische Reziprozitätsgesetz, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/162396
