Schnellkurs Arithmetik und Algebra. Was wir in der Schule hätten lernen sollen!

I N H A L T

Was ist Mathematik?

I. ARITHMETIK
Zahlen und Rechenoperationen

Die Addition

Die Multiplikation

Rechenoperationen dritter Stufe

Stellenwertsysteme

Das Zweiersystem

Das Dreiersystem

Das Sechzehnersystem

II. ALGEBRA

Gleichungen mit Unbekannten

Quadratische Gleichungen und Parabeln

Die komplexe Zahlenbereichserweiterung

Die schönste aller mathematischen Formeln

Ma-thema Ta

Was ist Mathematik?

Ein gängiger Irrtum über Mathe ist sehr weit verbreitet
und hält sich hartnäckig:

Mathematik sei Rechnen!

Dem ist allerdings nicht so, denn sonst wäre der Taschenrechner ja der beste Mathematiker, denn zweifelsfrei kann niemand schneller und zuverlässiger rechnen als ein Computer! Der Mathematiker beschäftigt sich mehr mit dem Unendlichen, während das Rechnen immer nur im Endlichen stattfindet: Mathematik = Wissenschaft der Unendlichkeit

Nihili-trotzquam muss ein Mathematiker auch rechnen können bzw. beginnt die Mathematik mit dem Zählen oder den Zahlen, denn

Zahlen sind eben Größen, mit denen man rechnet.

Aber wie kommen wir zu den Zahlen? Was bedeutet das überhaupt, zu zählen, und wie weit kann man zählen?

Die ersten Zahlen entstanden natürlich durch das Abzählen von Dingen, (- Wie viele Teller brauche ich für elf Personen? -) einer ständigen Addition mit Eins. Es hat z.B. seine Vorteile, wenn man weiß, wie viel Kühe man besitzt (fehlt eine?).

Die n atürlichen Zahlen (Symbol N) erhält man durch eine erste Abstraktionsstufe^[1] vom Gegenständlichen: Die einzelne Einheit, Paare, Dreiheit etc.

Übrigens förderte die Einführung des Geldes das abstrakte Denken wesentlich: Kann doch 1 € z.B. so viel wie ein Pfund Tomaten, ein Schulheft oder auch zwei Brezeln bedeuten!

I. ARITHMETIK: Zahlen und Rechenoperationen

Die Addition

Die allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier Zahlen etwa 3 + 4 = 7

Nun gibt es aber unendlich viele (natürliche) Zahlen, da es ja keine größte Zahl gibt (warum nicht?). Daher gibt es auch unendlich viele Additionen. Wie kann man nun die Summe mathematisch beschreiben?

Dazu ist eine weitere Abstraktion notwendig: Wir definieren Buchstaben als die Stellvertreter aller Zahlen und schreiben

a + b = c

↑ Wert der Summe

SUMME

a und b sind als beliebige Zahlen, die man Summanden nennt. Ihre Summe ergibt wieder eine Zahl aus der Menge N, wobei die Reihenfolge, wie ich addiere, unwichtig ist, denn die Addition ist eine schöne Rechenoperation: Schön ist nicht anders als symmetrisch, also vertauschbar (kommutativ): Beispiel 3+4 =4+3 und allgemein^[2]

a + b = b + a

Der Buchstabe x soll nun für eine gesuchte Zahl reserviert sein. Fragen wir uns etwa, welche Zahl zu drei addiert sieben ergibt, 3 + x = 7,

dann liefert das uns eine einfachste Gleichung mit einer Unbekannten Größe x. Wie kann man diese Gleichung auflösen? Dazu benötigen wir die Umkehroperation zur Addition, die Subtraktion (das Vermindern oder Abziehen):

x = 7 – 3

Allgemein

a – b = c

↑ Wert der Differenz

DIFFERENZ

Die Differenz ist nicht mehr symmetrisch, die Reihenfolge also nicht vertauschbar, denn 7 - 3 und 3 – 7 sind nicht dasselbe (nur betragsmäßig sind sie gleich). Man erhält durch die Subtraktion manchmal keine natürlichen Zahlen mehr, und geschichtlich dauerte es recht lange, bis man die negativen Größen als Zahlen allgemein anerkannte.

Wenn aus einem Bus, in dem sich drei Leute befinden, sieben aussteigen, wie viele Leute sind dann in dem Bus?

Allerdings machen negative Zahlen durchaus Sinn, wenn etwa das Thermometer an einem Winter tagsüber drei Grad anzeigt und nachts wegen der Abkühlung die Temperatur um sieben Grad zurückgeht, erhält man vier Grad unter Null. Oder wenn man eine Markierung für den Wasserstand als Null erklärt und das Wasser unter diese Linie sinkt.

Oder wenn man auf seinem Konto mehr Geld abhebt, als man eigentlich hat. Dann sind die negative Zahlen Schulden und man könnte sie zur deutlicheren Unterscheidung rot schreiben.

Man erhält die negativen Zahlen als Ergebnis von Differenzen, deren Subtrahend größer ist als der Minuend. Aber a – b unterscheidet sich von b - a recht wenig; nur durch ein Vorzeichen: a - b = - (b-a)

Die Subtraktion ist also pseudo-symmetrisch, denn bei Vertauschung kommt (nur) eine Änderung des Vorzeichens hinzu.

Die durch die Negativitäten erweiterte Menge der natürlichen Zahlen nennt man die ganzen Zahlen; symbolisch Z.

Die natürlichen Zahlen tragen zusammen mit ihren Gegenzahlen bezüglich des Zusammenzählens eine wichtige mathematische Struktur:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Mathematiker sagt, sie bilden eine Gruppe^[3]. Diese Struktur kann man immer wieder beobachten. Beispielsweise zeigt sich, dass auch die Multiplikation von Bruchzahlen (rationalen Zahlen), wenn man von der Null absieht (diese hat eine Sonderstellung unter den Zahlen), eine Gruppe bildet ^[4].

Anmerkungen:

Nun gibt es ja unendlich viele Zahlen. Es gibt aber auch endliche Gruppen.

Die kleinste Gruppe besteht aus zwei Elementen, sagen wir 0 und I.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schreiben wie an Stelle von Null = g und Eins = u (ungerade liefert den Rest 1 bei der Teilung durch 2), dann sieht die Verknüpfungstafel so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

g sei eine gerade Zahl und u eine ungerade Zahl. Die Summe einer geraden Zahl und einer geraden ist wieder gerade, während die einer geraden Zahl und einer ungeraden immer ungerade ist, und die Summe zweier ungeraden aber gerade. Diese Verknüpfung bildet nun die kleinstmögliche Gruppe:

1.) Die Operation bringt als Ergebnis stets einen Wert aus der Menge:

Abgeschlossenheitsgesetz

2.) Es gilt das Assoziativgesetz

hier, da es nur auf die u- bzw. g-Anzahl und nicht auf die Reihenfolge der Ausführung ankommt: nur eine ungerade Anzahl der einen Sorte und eine gerade der anderen Sorte ergeben u, sonst ist der Ergebniswert stets g

3.) Es gibt ein sog. neutrales Element, mit deren Verknüpfung nichts geschieht, nämlich g hier

(bei der Addition ist es die Null,

weil a+0 = 0 ist!)

4.) Es existiert zu jedem Element ein Umkehrelement (inverses oder Gegenelement), das dieses neutralisiert, denn die beiden Elemente sind zugleich ihr eigenes Gegenpart (sind zu sich selbst invers)

g wegen g+g=g und u wegen u+u=g

(bei der Addition ist es die Gegenzahl,

die mit einem Minus gekennzeichnete

entsprechende negative Größe:

a+ (-a) = 0 neutral! )

und zudem gilt (für kommutative Gruppen) noch das Vertauschungsgesetz

g+u = u+g.

Nehmen wir eine Achsenspiegelung (Klappung) an einer symmetrischen Figur (oder auch eine Punktspiegelung = Drehung um 180°), bzw. das Vertauschungen von zwei Elemente {a, b}, dann erhalten wir die gleiche Gruppen-Struktur wie oben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel einer Dreiergruppe:

0 = Teilbarkeit durch 3 Rest 0 oder Drehung um 0°

I = Teilbarkeit durch 3 Rest 1 Drehung um 120°

Z = Teilbarkeit durch 3 Rest 2 Drehung um 240°

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Multiplikative Gruppe ist um das neutrale Element der Addition kleiner, denn für die Sonderzahl 0 gilt ja

0x1 = 0x2 = 0x3 = …= 0

Das Produkt mit Null liefert immer Null!

Die Null hat aber umgekehrt keinen Kehrwert

0x? = 1,

also keine Zahl, die sie zur Einheit neutralisiert^[5]

Da somit die Null kein multiplikatives inverses Element hat, ist sie

auszuschließen!

Schon ab der Ordnung vier (bei vier Elementen) gibt es verschiedene symmetrische Gruppenstrukturen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter der ersten Gruppe können wir uns die Addition bezüglich der Zahlenklassen bezüglich der Teilbarkeit durch die Vier vorstellen:

(oder jeweils Drehungen um 0°, 90°, 180° und 270° ums Quadratzentrum)

n = die Zahl ist durch vier teilbar: Rest 0

a = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 1

b = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 2

c = bei der Teilung durch vier bleibt der Rest 3

Es ist eine zyklische Gruppe (die Drehsymmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks), denn man kann die die ganze Gruppe aus einem Element erzeugen, aus dem Einselement nämlich: (1+1=2; 2+1=3 … 0+1=1)

(oder allgemein beim regelmäßigen n-Eck durch eine Drehung um 360°/n)

0+1 = 1 0° + 90° = 90°,

1+1 = 2 90° + 90° = 180°,

2+1 = 3 180° + 90° = 270°,

3+1 = 0 270° + 90° = 360° ≡ 0° (Identität)

Die Zeilen entstehen durch einen Zyklus (Kreislauf):

Aus der ersten 0 1 2 3

wird um eins verschoben die zweite 1 2 3 0

daraus um eins verschoben die dritte 2 3 0 1

und schließlich 3 0 1 2

Die zweite Struktur enthält das neutrale Element n in der Diagonalen, bezüglich der sie symmetrisch ist. Jedes Element ist dabei zu sich selbst invers. Sie heißt Kleinsche Vierergruppe. Sie enthält die maximale Anzahl an Untergruppen (Untergruppen sind kleinere Gruppen in der Gruppe; sie müssen immer das neutrale Element enthalten!), während die zyklische keine hat. Mann kann sie sich als Symmetriegruppe des Rechtecks vorstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

n = nichts tun (neutral)

um 0° um den Schnittpunkt S der beiden senkrechten Achsen drehen (bzw. 360°)

a = Spiegelung an der Achse a (Klappung um a)

b = Spiegelung an der Achse b (Klappung um b)

c = die Ecken über die Diagonalen vertauschen, also Punktspiegelung

am Schnittpunkt der beiden senkrechten Achsen ( = Drehung um S mit 180°)

Beispielsweise ist a · b (sprich „a nach b“) ist die Nacheinader-Ausführung der Achsenspiegelungen^[6]: zuerst an a und dann Spiegelung an b.

Das Resultat ist eine Drehung um den doppelten Schnittwinkel, also c.

Zweimal hintereinander punktspiegeln ist c · c, d. h. zweimal um 180° also um 360 ° drehen, was als Ergebnis dasselbe ist, wie nichts tun, also n (neutrales Element oder identische Abbildung).

Nun ist die additive Gruppe der Teilbarkeitsklassen durch 5 (auch Restklassen modulo 5 genannt) eine zyklische Gruppe, während ihre multiplikative Gruppe, - die ja nur vier Elemente enthält, da die Null ausgeschlossen werden muss^[7] -, wie folgt aussieht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Multiplikative Gruppe modulo 5

Das neutrale Element ist das 1 Element (d.h. bei der Teilung einer Zahl bleibt der Rest 1). Zwei Zahlen mit Rest 1 miteinander multipliziert, ergeben (n5 +1)(m5 +1) = 25nm + 5(n+m) +1

also wieder eine Zahl mit dem Rest 1, wenn man sie durch fünf teilt.

Entsprechend ergeben zwei Rest-Vierer-Zahlen (modulo 5) eine Zahl mit Rest 1 (modulo 5):

4(mod 5) x4(mod5) → (n5 + 4)(m5 +4) = 5x5nm + 5x(4n+4m) + 16 → 1(mod 5)

und teilt man diese Zahl durch fünf, geht das bei den ersten beiden Summanden auf, und man muss nur noch die 16 durch fünf teilen,

was den Rest 1 ergibt.

Die 4 modulo 5 ist also zugleich ihre eigene Antizahl (ihr Kehrwert), denn mit sich selbst multipliziert neutralisiert sich die (Restklassen-) Vier bezüglich der Teilung durch 5. Man sagt, sie ist zu sich selbst invers oder ihr eigenes Inverse. {1, 4} bildet eine Teilgruppe in der Gruppe, eine Untergruppe (in diesem Falle die einzigste), währen die additiven oder zyklischen (aus einem Element erzeugbaren) Gruppen überhaupt keine Untergruppen haben.

Rechenoperationen zweiter Stufe:

Die Multiplikation

1.) Bei einer Massenhochzeit in Korea heiraten 500 Paare gleichzeitig. Wie viel Menschen sind das? 2+2+2+2+….. = 2 mal 500 = 500 x 2 = 1 000

2.) Auf einer Palette stehen sieben Kisten, in denen sich jeweils immer 25 Gegenstände befinden. Wie viele sind das insgesamt?

25+25+25+25+25+25+25 = 25 mal 7

Die wiederholte Addition mit demselben Summanden wird als eine Multiplikation abgekürzt! Für je zwei natürliche Zahlen a und b erhält man

a x b = c

↑ Wert des Produkts

PRODUKT

wieder eine natürlich Zahl c. Das Operationszeichen für das Malnehmen ist ein Punkt, den man sogar weglassen kann, da die Mathematiker alles so kurz wie möglich haben wollen und weglassen, was man nur weg lassen kann^[8]. Beispielsweise ist 1 mal a dasselbe wie a und umgekehrt ist a = 1a

Beachte: Punktrechnung immer vor Strichrechnung geht

und über allem die Klammer steht!

Auch die Multiplikation ist schön, also auch eine symmetrische Operation, bei der die Faktoren vertauschbar sind: Man hätte also die Palette auch mit 25 Kisten a sieben Gegenstände beladen können: 7 x 25 = 25 x7

=175.

ab = ba

Natürlich möchte man, dass die Gesetze auch immer für alle (also auch für die erweiterten – in diesem Falle negativen^[9] ) Zahlen gelten, obwohl die Null eine Extrawurst macht: Ein Produkt wird nur genau dann Null, wenn ein Faktor Null ist!

Wie kann man nun negative Zahlen multiplizieren ?

Wenn ich fünf verschiedenen Leuten jeweils 10 € schulde, dann habe ich insgesamt (-10) mal 5 = -50 also 50 € Schulden. Wegen der Vertauschbarkeit muss dann auch 5 mal (-10) = -50 sein, und es bleibt nur noch die Frage, was Minus mal Minus ist? Diese Frage ist beantwortet, wenn man weiß, was (-1) mal (-1) ist. Von 1 x 1 = 1 kann es sich nicht allzu sehr unterscheiden, denn bei der Division mit negativen Zahlen ist der Betrag des Ergebnisses dasselbe, wie wenn man nur die entsprechenden positiven Werte verwendet; also kommt in unserem Fall wertmäßig 1 heraus . Nur das Vorzeichen ist fraglich: Plus oder Minus?

Nun ist ja -1 mal 0 = 0 (nur die Multiplikation mit Null macht alles platt^[10] ), und wegen 0 = 1-1= { 1 + (-1) } folgt mit Hilfe des Verteilungsgesetzes^[11]

0 = (-1) x 0 = (-1) x {1+ (-1)} = (-1)x1 + (-1)x(-1) = -1 + (-1)(-1),

dass (-1)(-1) -1= 0 wird, oder

(- 1) x (- 1) = + 1

also genau dasselbe wie +1 mal +1. Der Mathematiker sagt, dass die negative Einheit -1 zu sich selbst invers ist, d.h. sich bezüglich der Multiplikation mit sich selbst neutralisiert^[12].

Merke: Minus mal minus ist plus^[13] !

Mit Minuszahlen zu multiplizieren ergibt dasselbe wie mit positiven, nur dass das Vorzeichen bei nicht gleichartigen Vorzeichen eben negativ wird.

Gleiche Vorzeichen positiv, verschiedene Vorzeichen negativ.

Kommen wir nun aber zu der Frage nach der multiplikativen Umkehroperation. Fragen wie etwa für welche Zahl x gilt: 25-mal x=175

Die Umkehroperation heißt Division

25x = 175

x = 175 : 25

Allgemein

a : b = c

↑ Wert des Quotienten

QUOTIENT

Natürlich ist nicht zu erwarten, dass die Division auch so schön (symmetrisch) ist wie die Multiplikation.

Auch die Division ist nicht vertauschbar: a:b ≠ b:a

Man kann die Teilungsaufgabe auch als einen Bruch beschreiben, wobei der Doppelpunkt durch eine Bruchstrich zu ersetzen ist: 175:25 =175/25

Oben steht der Zähler und unter dem Bruchstrich der Nenner. Vertauscht man Zähler und Nenner, dann erhält man die Kehrzahl oder Kehrwert, auch reziproker Wert genannt^[14]. Welche Zahlen sind nun zugleich ihre Kehrzahlen? (nur 1 und -1)

Die Division führt nun ebenfalls zu neuen Zahlen, zu Bruchteile eines Ganzen: Ist der Divisor größer als der Dividend, dann spricht man von echten Brüchen.

Beispiele:

1.) Durch Zwei teilen, ergibt unter Umständen keine ganze Zahl mehr, sonder zuweilen den Rest 1. Wenn wir beispielsweise 10 Tafeln Schokolade unter 5 Leuten gerecht verteilen, dann erhält jeder eine halbe Tafel:

5:10 = 1:2 1 : 2 = ½ und in Dezimalschreibweise ist das 0,5

Die Hälfte davon ist ¼ = 0,25 und davon die Hälfte 1/8 = 0,125

¾ = 3 x ¼ = 0,75

2.) Das Erbe von einer Million € soll unter drei Geschwistern so aufgeteilt werden, dass jeder genau gleich viel Geld bekommt!

Jeder bekommt also eine Drittel-Million. Wie viele Euros sind das?

Was wie ein Glücksfall aussieht, stellt sich jetzt als großes Unglück heraus: Man stellt nämlich fest, dass es nun zu Mord oder Totschlag kommen muss, denn bei Erbangelegenheiten werden die Leute richtig pingelig! Man kann die Million einfach nicht ganz gerecht aufteilen, denn die Teilung geht (in unserem Zehnersystem) gar nicht auf; es bleibt immer ein Rest von 1. Um den tragischen Erbstreit zu verhindern, muss man also einen Cent in den Gully schmeißen!

Woher kommen nun die Schwierigkeiten bei der Teilung durch Drei ?

Auch einen Winkel kann man mit Zirkel und Lineal recht einfach halbieren, also durch Zwei teilen, aber die Teilung eines Winkels in drei gleich große Winkel geht im Allgemeinen nicht. Während auch eine Strecke per Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal noch gedrittelt werden kann, ist aber die Drittelung eines Winkels eine unlösbare Konstruktionsaufgabe!

Wenn man es nun genau nimmt, - und Mathematiker nehmen alles sehr genau -, dann können wir diese Zahl auch nicht dezimal darstellen:

Wollen wir etwas in drei Teile zerlegen, dann ist die Hälfte ½ ja schon zu groß und wir können es zunächst durch zweifache Halbierung in vier genau gleiche Teile ¼ zerlegen. Aber ein Drittel ist ja mehr als ein Viertel. Wir müssen also zu dem Viertel noch etwas dazu addieren. Hierfür teilen wir nochmals ein Viertel in vier Teile und erhalten ein Sechzehntel. Nun ist aber 1/4+1/16 = 5/16 < 1/3 (denn 16:3 ist 5 Rest 1), also immer noch zu klein. Teilen wir ein Sechzehntel also nochmals durch vier und addieren das entstandene 1/64 auch noch dazu, und dies müssen wir unendlich so weiter machen, damit wir an das Drittel immer näher heran kommen bzw. ein Drittel erhalten können! Die Teilungsaufgabe 1:3 wird somit

1/3= ¼ + 1/64+ 1/256+ 1/1024+ 1/4096+ …. + … ewige Summe

Veranschaulichen wir das an einem Quadrat, das sich ja gut vierteln lässt (siehe Kapitel Zweiersystem Abbildung 4: Dreiteilung der Quadratfläche).

Die Division führt also wiederum zu neuen (vernünftigen) Bruchzahlen, den sog. rationalen Zahlen Q (wie Quotienten). Diese Brüche kann man auch als endliche oder periodisch-unendliche Dezimalzahlen beschreiben^[15],

z.B. ist 1:3 = 1/3 = 0,33333333333333333333333333333333333333333….

= 0,3 Periode 3

Analog ist 1/9 =0,1 Periode 1

2/9 = 0,2 Periode 2

3/9 = 0,3 Periode 3 ( = 1/3 Kürzen!)

usw.

9/9 = 0,9 Periode 9

was sich von der Eins so beliebig wenig unterscheidet, dass es praktisch 1 ist; jedenfalls ist eine Zahl, durch sich selbst geteilt, immer 1!

Die Sieben war schon immer etwas besonders. Ihr Kehrwert ist

1/7 = 1: 7 = 0,142857142857142857142857142857…. Periode 142857

Mit dem Bruchrechnen haben aber einige immer Probleme, die besonders dann bei Bruchgleichungen sind verheerend auswirken (im Zeitalter des Taschenrechners müsste das Fach Mathe eigentlich als „Anleitung zur Bedienung der GTR“ umbenannt werden!).

Wie werden zwei Brüche addiert, wie multipliziert?

Die Addition gleichnamiger Brüche, bei denen die Nenner gleich sind, ist noch ziemlich einfach: Bei gleichem Teiler einfach die Zähler addieren!

Beispielsweise wird ein Kuchen in zwölf Teile geteilt. Zwei Personen essen davon, der Eine zwei der Andre drei Stückchen. Der wievielte Teil des Kuchens wurde gegessen?

2/12 + 3/12 = 2 mal 1/12 + 3 mal 1/12= (2+3) mal 1/12 = 5/12

Auch die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ist sehr einfach: Beispielsweise wenn sieben Personen je ein Stückchen de Kuchens essen, dann ist das

1/12 mal 7 also 7/12 des Kuchens

Wie aber sind ungleichnamige Brüche zu addieren, wenn also die Nenner verschieden sind?

Paul, der Fresssack, isst den halben Kuchen alleine auf und seine Freundin den dritten Teil des Kuchens. Wie viel vom Kuchen bleibt noch übrig?

1/2 + 1/3 = ?

- Ich kenne übrigens keinen, der nicht gerne gut is(s)t! –

Wurde der Kuchen in zwölf Teile geschnitten, dann hat Paul sechs Stücke verdrückt und seine Freundin 4, also bleiben zwei Stücke übrig, was der sechste Teil des Kuchens ist (Abb. 1).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es genügt dabei mit dem kgV^[16] zu arbeiten. Man wandelt die ungleichnamigen Brüche durch Erweitern^[17] in gleichnamige um, die man dann addieren kann, indem man einfach ihre Zähler addiert und den Nenner gleich lässt:Abb.1

½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = (3+2)/6 = 5/6

Wenn 5/6 gegessen wurden, dann bleibt 1/6 vom Kuchen übrig,

Und wie viel ist das übrigens dezimal geschrieben?

1/6 des Kuchens sind 0,166666666 … Kuchen!

[...]

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^[1] Abstrahere = abziehen, absehen vom Konkreten

^[2] Wie zählt man 7 + 28+ 93 zusammen? Man rechnet wegen 7+93 = 100
also 7 + 93 + 28 = 100 +28 = 128
Außerdem sind die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition noch – nicht asozial, sondern - assoziativ, d. h. die Reihenfolge ist beliebig ausführbar:

(a + b) +c = a + (b+c)

^[3] Genauer gesagt, eine kommutative oder abelsche Gruppe, d. h. es gilt das Vertauschungsgesetz; da die Operation also „schön“ ist, wird die Gruppentafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen..

^[4] mit der 1 statt der Null als Neutralität, denn die Addition mit 0 ändert wie die Multiplikation mit 1 gar nichts am Wert.

^[5] Eins durch Unendlich ist Null, brächte 0x∞ = 1 aber multipliziert mit ∞ könnte, wenn überhaupt, auch 2 sein!

^[6] Normalerweise ist es ein Unterschied, ob ich zuerst an der Geraden a und dann an b spiegele, oder ob ich zuerst um b klappe und danach erst um die Achse a: Das Ergebnis ist jeweils eine Drehung um den doppelten Schnittwinkels bezüglich des Achsenschnitts, aber in verschiedener Orientierung, also in verschiedene (positive und negative) Drehrichtungen. Die Drehung im Uhrzeigersinn (negative) um α kann durch eine Drehung mit dem Winkle 360°-α ersetzt werden.

^[7] Null hat bezüglich dem Malnehmen keinen Kehrwert: Es gibt keine Gegennull 0-1, so dass deren Produkt mit Null zur Einheit neutralisiert würde mit 0 x 0-1 = 1, denn 0-1müsste Eins geteilt durch Null, also ∞ sein. Aber dies wäre zudem nicht eindeutig, da ja 0 geteilt durch jede andere Zahl ebenfalls unendlich wird!

^[8]

2 x (1+1) = 4 ist natürlich nicht dasselbe wie 2 x 1 + 1 = 2+1 = 3.

^[9] Eigentlich müsste man bei positiven Zahlen das Vorzeichen + davor machen, oder die positiven schwarz und die negativen rot kennzeichnen. Wie immer aber in der Mathematik, lässt man weg, was man irgend weglassen kann!

^[10] Die Zahl Null wurde auch lange Zeit nicht als Zahl gesehen bzw. es gab kein Symbol für diese später zur wichtigen Ziffer werdende Null:

Sie ist ganz entscheidend für die Stellenwertsysteme.

^[11] Für das hierbei verwendete Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) a(b+c)= ab+bc

à Rechenarten 3. Stufe

^[12] Dies bringt eine gewisse Zweideutigkeit mit ins Spiel, was z.B. zu zwei verschiedenen Lösungen bei quadratischen Gleichungen führen wird.

So hat die Gleichung x+1 = 2 nur eine Lösung x = 1, während die quadrierte Gleichung

(x+1)² = 2² noch zusätzlich die Lösung x = -3 hat!

^[13] Diese Erkenntnis ist allerdings folgenschwer. Denn nun sucht der Mathematiker eine Lösung für das unlösbare Problem, welche Zahl mit sich selbst multipliziert negativ wird bw. -1 ergibt!

Geht nicht, gibt´s nicht: Er definiert diese Zahl als i

(à Kapitel „Komplexe Zahlenbereichserweiterung“)

^[14] In der Physik beispielsweise ist der reziproke Wert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der beiden Teilwiderstände einer Parallelschaltung:

1/Rgesamt= 1/R1= 1/R2.

Oder bei der Berechnung der Brennweite f einer Linse gilt 1/f = 1/g+1/b

^[15] Stehen immer Nenner keine Zweier- und/oder Fünferprodukte. dann ist eine Erweiterung auf eine Zehnerpotenz unmöglich, was bedeutet, dass die Dezimaldarstellung nicht endlich wird, sondern einen unendlichen, - aber periodischen -, Dezimalbruch ergibt. Umgekehrt kann man jede periodische Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln. Mit einem Trick kann man die unendlich vielen Dezimalstellen nämlich immer loswerden.

Beispiel: O,16 Periode 6 =x. Das Zehnfach ist 10x = 1,6 Periode 6. Von diesem Zehnfachen 10x kann ich das Einfache (also x) abziehen und erhalte dann als das Neunfache 9x = 1,6666 - 0.16666 = 1,5 = 3/2. Somit ist x= 3/2 :9 oder gekürzt = ½ : 3

Also 0,16 Periode 6 = 1/6.

Was ist 0,16 Periode 16 als Bruch? ( 16/99 )

^[16] Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist (bei Primzahlen) dessen Produkt.

Von 24 = 2x12 und 36 =3 x12 ist das kgV 72 = 2x3x12, während ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) die Zwölf ist.

^[17] Erweitern ist das Gegenteil zum Kürzen, nämlich Zahler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren.