Für die von Heinz Hopf 1931 eingeführte, und nach ihm benannte Invariante existieren in der Literatur mehrerer Definitionen und Verallgemeinerungen.
So haben G.W. Whitehead, Steenrod und Serre verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Hopf-Invariante veröffentlicht.
In dieser Arbeit werden diese Definitionen der Hopf-Invariante betrachtet, und es wird gezeigt, dass diese Definitionen im Wesentlichen übereinstimmen.
Die ersten Kapitel beinhalten dazu eine Übersicht über die verwendeten topologischen Methoden und eine kurze Einführung in Spektralfolgen. In den weiteren Kapiteln werden die Definitionen der Hopf-Invariante erläutert und die Beziehung zwischen diesen Definitionen hergestellt.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Topologische Grundlagen und Vorbemerkungen
- 2.1 Konventionen
- 2.2 Faserungen
- 2.3 Bemerkungen zu Homologie und Kohomologie
- Beziehung zwischen Homologie und Homotopie
- 2.4 Einhängung und Schleifenräume
- 2.5 Der Abbildungszylinder
- 2.6 Spektralfolgen.
- 3 Drei Definitionen der Hopf-Invariante
- 3.1 Ursprüngliche Definition nach Hopf.
- 3.2 Definition der Hopf-Invariante nach Steenrod
- 3.3 Verallgemeinerte Hopf-Invariante nach Whitehead
- 4 Vergleich der Definitionen der Hopf-Invariante
- 4.1 Vergleich der Definition nach Hopf mit der verallgemeinerten Hopf-Invariante nach Whitehead
- 4.2 Vergleich der verallgemeinerten Hopfinvariante nach Whitehead mit der Definition nach Steenrod und der Definition nach Serre.
- 4.3 Bemerkung zu Satz 4.1.6. .
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Hopf-Invariante, einem wichtigen Konzept in der algebraischen Topologie. Ziel ist es, die verschiedenen Definitionen der Hopf-Invariante, die von Hopf, Steenrod und Whitehead entwickelt wurden, zu untersuchen und ihre Beziehungen zueinander aufzuzeigen.
- Definitionen der Hopf-Invariante nach Hopf, Steenrod und Whitehead
- Vergleich der verschiedenen Definitionen
- Beziehungen zwischen den Definitionen im Kontext des Linksdistributivgesetzes
- Anwendungen der Hopf-Invariante in der algebraischen Topologie
- Zusammenhang zwischen der Hopf-Invariante und dem Hurewicz-Homomorphismus
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 bietet eine einführende Übersicht über die Geschichte und Motivation der Hopf-Invariante. In Kapitel 2 werden wichtige topologische Grundlagen und Konzepte wie Faserungen, Homologie, Kohomologie und Spektralfolgen erläutert. Kapitel 3 stellt die drei Definitionen der Hopf-Invariante von Hopf, Steenrod und Whitehead dar. Kapitel 4 beschäftigt sich mit dem Vergleich dieser Definitionen und zeigt deren Übereinstimmung in bestimmten Fällen auf. Dabei werden wichtige Sätze und Relationen zwischen den verschiedenen Definitionen bewiesen.
Schlüsselwörter
Hopf-Invariante, algebraische Topologie, Homologie, Kohomologie, Homotopie, Faserungen, Spektralfolgen, Abbildungszylinder, Linksdistributivgesetz, Hurewicz-Homomorphismus, Steenrod-Operationen, Whitehead-Produkt
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- Dipl.-Math. Johann-Georg Vogelhuber (Author), 2006, Über die Hopf-Invariante, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/165881
