Sie sind in der Tageszeitung, in eigens für sie konzipierten Heften und zu Hunderten im Internet zu finden und nahezu jeder Mensch hat Spaß, sie zu bearbeiten. Die Rede ist von Knobel- und Geduldspielen. Sie zu lösen, wie beispielsweise das Sudoku in der Zeitung, führt zu einem kleinen Erfolgserlebnis am Tag. Seit mehr als 2000 Jahren sind die Menschen von ihnen begeistert, wie auch das bekannteste Geduldspiel unserer Zeit, der Rubikwürfel, zeigt. Als ältestes überliefertes Knobelspiel zählt das Tangram, das zwischen dem 8. und 4. Jahrhundert vor Christus in China entstanden ist. Meist sind sie für eine Person konzipiert, zur Anregung des Denkens und Problemlösens. Das Ziel dieser Spiele ist, das Prinzip des Objekts zu durchschauen. Im Erlebnisland Mathematik Dresden gibt es verschiedene Formen von Geduldspielen als Exponate für Jung und Alt zu entdecken.
Davon wurden zwei für diese Arbeit ausgewählt: Der "Satz von Klarner"
und der "Conway-Würfel". Sie gehören zu sogenannten Zusammensetzspielen.
Der erste Teil der Arbeit beschäftigt sich mit mathematischen Beweisen, die zeigen, warum für den "Satz von Klarner" keine Lösung existieren kann und wie man die Teile des "Conway-Würfels" zusammen setzen muss, damit ein Würfel entsteht.
Daran anschließend werden die Exponate ausführlich dargestellt und Vorschläge für weitere mögliche Ausstellungsstücke im Erlebnisland Mathematik gebracht.
Da Geduldspiele in unserem Leben häufig vorkommen, wird in einem weiteren Kapitel der Bildungswert dieser Spiele und ihre Stellung in den sächsischen Lehrplänen der Grund- und Mittelschule, sowie des Gymnasiums für den Mathematikunterricht beschrieben.
Im letzten Kapitel werden zahlreiche Anregungen und Handlungsvorschläge für die Umsetzung im Unterricht gegeben. Ein ausdrückliches Ziel dieser Arbeit ist, das erstellte Material den sächsischen Schulen über die Homepage des Erlebnislandes Mathematik zugänglich zu machen, die Schüler für die Vielfältigkeit dieser Spiele zu sensibilisieren und sie für die mathematische Seite an ihnen zu begeistern.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematische Grundlagen
2.1 De Bruijns Beweis durch Einfärben
2.2 De Bruijns mathematischer Beweis
2.3 Beweis des Satzes von Klarner
2.4 Der Beweis zum Conway-Würfel
3 Die Exponate
3.1 Der Satz von Klarner
3.2 Der Conway-Würfel
3.3 Weitere mögliche Exponate
4 Bildungswert und Bezug zum Lehrplan
4.1 Bildungswert
4.2 Lehrplanbezug
5 Handlungsvorschläge
5.1 Bau eines Conway-Würfels als fächerverbindendes Projekt
5.2 Einsatzmöglichkeiten von Pentominos
5.3 Weitere Legespiele
5.3.1 Tangram
5.3.2 Das magische Ei
6 Zusammenfassung
7 Literatur
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht mathematische Zusammensetzspiele und deren Potenzial als didaktische Exponate im "Erlebnisland Mathematik". Das primäre Ziel ist es, mathematische Grundlagen für die Unlösbarkeit bzw. Lösbarkeit spezifischer Packprobleme zu erarbeiten und konkrete Handlungsvorschläge für deren Implementierung im Mathematikunterricht der Grund- und Sekundarstufen zu entwickeln.
- Mathematische Beweisführung bei Zusammensetzspielen (Satz von Klarner, Conway-Würfel)
- Analyse des Bildungswerts von Knobel- und Geduldspielen
- Lehrplanorientierte Integration von Legespielen in den Schulalltag
- Entwicklung und Bauanleitungen für fächerübergreifende Projekte im Bereich Werken/Mathematik
- Didaktische Konzepte für den Einsatz von Pentominos, Tangram und dem Magischen Ei
Auszug aus dem Buch
2.1 De Bruijns Beweis durch Einfärben
Beim „Satz von Klarner“ handelt es sich um ein 10 x 10 Kästchen-Feld, das mit 1 x 4 Kästchen-Streifen vollständig ausgefüllt werden soll. De Bruijn hat durch Einfärben gezeigt, dass dies nicht möglich ist. In seinen Betrachtungen verwendete er eine 10 x 10 x 10 Box, die mit 1 x 1 x 4 Steinen gefüllt werden sollte. Der „Satz von Klarner“ ist ein zwei-dimensionaler Sonderfall von de Bruijns Beweis. Den einzelnen Zellen mit der Ausdehnung 1 x 1 x 1 in der Box werden die Koordinaten (x y z) zugeordnet. Die Summe aus x, y, z wird durch 4 dividiert. Jede Zelle wird blau, gelb, rot oder grün gefärbt, je nachdem, ob die Koordinate der Zelle bei Teilbarkeit durch 4 den Rest 0, 1, 2 oder 3 lässt. Die Zellecke mit den Koordinaten (1 1 1) ist grün, die benachbarte Zelle (2 1 1) blau, (3 1 1) gelb, (4 1 1) rot und bei (5 1 1) folgt wieder eine grüne Zelle. Dieses Farbschema hat die Eigenschaft, dass auf jedem 1 x 1 x 4 Stein jede Farbe genau einmal vorkommt, egal an welcher Stelle er sich in der Box befindet. Das Gesamtvolumen der Box beträgt 1000 Einheiten, welche auf die vier Farben aufgeteilt sind. Erwartungsgemäß sollte jede Farbe 250 Mal in der Box enthalten sein.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung stellt die Bedeutung von Knobel- und Geduldspielen für das Denken dar und definiert die Zielsetzung der Arbeit, mathematische Beweise mit praktischen didaktischen Anwendungsvorschlägen für das Erlebnisland Mathematik zu verbinden.
2 Mathematische Grundlagen: In diesem Kapitel werden die mathematischen Beweisverfahren für Packprobleme erläutert, insbesondere der Beweis durch Einfärben und der Box-Pack-Satz von Klarner, um die Lösbarkeit bzw. Unlösbarkeit der Exponate zu erklären.
3 Die Exponate: Hier erfolgt eine detaillierte mathematische und didaktische Betrachtung des Satzes von Klarner sowie des Conway-Würfels als Ausstellungsstücke im Erlebnisland Mathematik.
4 Bildungswert und Bezug zum Lehrplan: Dieses Kapitel analysiert den pädagogischen Mehrwert von Zusammensetzspielen und verortet deren Behandlung in den sächsischen Lehrplänen für Grundschule, Mittelschule und Gymnasium.
5 Handlungsvorschläge: Es werden praxisnahe Anregungen für den Unterricht gegeben, darunter fächerübergreifende Bauanleitungen für Puzzles, Pentomino-Übungen sowie Konzepte für das Tangram und das magische Ei.
6 Zusammenfassung: Die Arbeit resümiert, dass Geduldspiele wertvolle Instrumente zur Schulung mathematischer Fertigkeiten sind und durch gezielte Vorlagen den Exponat-Bestand des Erlebnislandes Mathematik bereichern.
Schlüsselwörter
Mathematik, Zusammensetzspiele, Packprobleme, Erlebnisland Mathematik, Satz von Klarner, Conway-Würfel, Didaktik, Geometrie, Pentominos, Tangram, Lehrplanbezug, Räumliches Vorstellungsvermögen, Knobelspiele, Pädagogik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse und didaktischen Aufbereitung von sogenannten Zusammensetzspielen, insbesondere dem Satz von Klarner und dem Conway-Würfel, als Exponate für das "Erlebnisland Mathematik".
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen umfassen mathematische Beweisführungen für Packprobleme, den bildungstheoretischen Wert von Knobelspielen sowie die praktische Umsetzung dieser Spiele im Mathematikunterricht.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage der Arbeit?
Das Ziel besteht darin, die mathematische Unlösbarkeit bzw. Lösbarkeit der betrachteten Exponate zu beweisen und Lehrkräften konkrete Materialien und Methoden an die Hand zu geben, um Schüler für die mathematische Seite dieser Spiele zu begeistern.
Welche wissenschaftliche Methode wird zur Analyse der Rätsel verwendet?
Die Autorin verwendet vor allem mathematische Beweisverfahren, wie das "Einfärben" von Zellen zur Untersuchung von Packproblemen sowie Induktionsbeweise, um allgemeine Aussagen über die Lösbarkeit zu treffen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematische Fundierung der Rätsel, die Präsentation der Exponate, eine Analyse ihres Bildungswerts im Lehrplan sowie spezifische Handlungsvorschläge für den Unterricht.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Mathematik, Zusammensetzspiele, Didaktik, Pentominos, Tangram, Geometrie und räumliches Vorstellungsvermögen charakterisieren.
Warum wird der Conway-Würfel auch als "Slothuber-Graatsma-Rätsel" bezeichnet?
Der Name geht auf die beiden niederländischen Architekten zurück, die das Rätsel entdeckt haben; die Arbeit bezieht sich während der gesamten Untersuchung aus Gründen der Kontinuität jedoch auf den Begriff "Conway-Würfel".
Welchen Stellenwert haben Pentominos im Unterricht nach dieser Arbeit?
Pentominos werden als wertvolle Werkzeuge zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens und der motorischen Fertigkeiten bewertet, die zudem eine einfache Differenzierung für unterschiedliche Leistungsniveaus in der Schule ermöglichen.
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- Katja Sachs (Author), 2010, Die Sätze von D. Klarner und N. G. de Bruijn als Exponate, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/166386
