Ein Ring-mit-1 besteht aus einer Menge R von Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen + und *, die je zwei Elementen x, y aus R wieder ein Element x + y bzw. x * y von R zuordnen. Damit eine solche Struktur Ring genannt wird, müssen die folgenden drei Gruppen von Gesetzen für alle Elemente x, y, z ` R erfüllt sein:
1. Gesetze der Addition • Assoziativität: (x + y) + z = x + (y + z)
• Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element 0 von R, für das gilt: 0 + x = x
• Existenz und Eindeutigkeit inverser Elemente: Zu jedem Element x aus R gibt es genau ein Element -x aus R, für das gilt: x + (-x) = 0 • Kommutativität: x + y = y + x
2. Gesetze der Multiplikation • Assoziativität: x * (y * z) = (x * y) * z
• Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element 1 von R, für das gilt: 1 * x = x = x * 1
Inhaltsverzeichnis
- I. Der Restklassenring Zn
- II. Die Einheitengruppe
- III. Die Einheiten von Zn
- IV. Die Eulersche Q-Funktion
- IV.1 Eigenschaften der Eulerschen ø-Funktion
- IV.2 Berechnung der Eulerschen ø-Funktion
- IV.3 Die Struktur der Einheitengruppe E(Zn)
- V. Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text behandelt die Eigenschaften des Restklassenrings Zn und die Einheitengruppe E(Zn).
- Definition und Eigenschaften des Restklassenrings Zn
- Die Einheitengruppe E(Zn)
- Die Eulersche ø-Funktion
- Berechnung der Eulerschen ø-Funktion
- Die Struktur der Einheitengruppe E(Zn)
Zusammenfassung der Kapitel
I. Der Restklassenring Zn
Dieses Kapitel definiert den Restklassenring Zn und erklärt die Addition und Multiplikation von Restklassen. Es wird gezeigt, dass Zn ein kommutativer Ring-mit-1 ist.
II. Die Einheitengruppe
Dieses Kapitel definiert die Einheitengruppe E(Zn) als die Menge aller invertierbaren Elemente des Restklassenrings Zn.
III. Die Einheiten von Zn
Dieses Kapitel behandelt die Einheiten des Restklassenrings Zn und ihre Eigenschaften.
IV. Die Eulersche Q-Funktion
Dieses Kapitel behandelt die Eulersche ø-Funktion, eine wichtige Funktion in der Zahlentheorie. Es werden die Eigenschaften der Eulerschen ø-Funktion und ihre Berechnung erläutert.
Schlüsselwörter
Restklassenring, Einheitengruppe, Eulersche ø-Funktion, Primzahl, Körper, Schiefkörper, modulo n, inverse Elemente, neutrales Element, Restklasse.
- Arbeit zitieren
- Daniela Dossing (Autor:in), 2000, Die Einheitengruppe im Restklassering Z_n, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/16846
