Zur Geschichte von Gruppen :
Die endlichen Permutationsgruppen bilden den Ursprung einer allgemeinen
Gruppentheorie. E. Galois (1811-1832) erkannte als erster die Bedeutung der
Permutationsgruppen für die Theorie algebraischer Gleichungen und hat damit
wesentlich das Interesse an diesen Gruppen belebt. Der heute vorliegende
(abstrakte) Gruppenbegriff geht auf A. Cayley (1821-1895) zurück. Bis in neuerer Zeit
wurden ständig neue Anwendungsmöglichkeiten der Gruppentheorie in Geometrie,
Analysis, Topologie entdeckt. Gruppen spielen auch eine wichtige Rolle in der
Kristallographie, Quantenmechanik und anderen theoretischen
Naturwissenschaften.
Gruppen spielen also in der modernen Mathematik sowohl in den Grundlagen als
auch in den Anwendungen eine wesentliche Rolle. [...]
Inhaltsverzeichnis
- I. Gruppen
- Zur Geschichte von Gruppen
- Definition 1.1 (Gruppe)
- Satz I.1 (Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente)
- Beispiele von Gruppen aus der Vorlesung
- Gruppen von Permutationen
- Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe
- Restklassen modulo n
- Definition 1.2 (Untergruppe)
- Untergruppenkriterium
- II. Homomorphie
- Definition II.1 (Gruppenhomomorphismus)
- Definition II.2
- Satz II.1
- Beispiele für Homomorphismen von Gruppen aus der Vorlesung
- Permutationen
- Determinanten
- III. Homomorphiesatz von Gruppen
- IV. Zusammenfassung und Vergleich
- V. Literatur
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieser Text bietet eine Einführung in die Theorie der Gruppen und Homomorphismen. Er beleuchtet die historische Entwicklung des Gruppenbegriffs und definiert wichtige Konzepte wie neutrale Elemente, inverse Elemente und Untergruppen. Außerdem wird der Begriff des Gruppenhomomorphismus vorgestellt und dessen Bedeutung für die Beziehung zwischen verschiedenen Gruppen erläutert.
- Definition und Eigenschaften von Gruppen
- Unterscheidung von Gruppen anhand von Eigenschaften
- Strukturverträgliche Abbildungen (Homomorphismen)
- Bedeutung von Homomorphismen für die Analyse von Gruppen
- Beispiele für Gruppen und Homomorphismen aus der Vorlesung
Zusammenfassung der Kapitel
I. Gruppen
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit dem grundlegenden Konzept der Gruppen. Es beleuchtet die historische Entwicklung des Gruppenbegriffs, definiert die Eigenschaften einer Gruppe und stellt wichtige Beispiele aus der Vorlesung vor. Außerdem werden Untergruppen und das Untergruppenkriterium behandelt.
II. Homomorphie
Dieses Kapitel befasst sich mit dem Begriff des Gruppenhomomorphismus. Es definiert verschiedene Arten von Homomorphismen, wie z.B. Monomorphismen, Epimorphismen und Isomorphismen. Der Text präsentiert wichtige Eigenschaften von Homomorphismen und bietet Beispiele aus der Vorlesung.
Schlüsselwörter
Die zentralen Schlüsselwörter dieses Texts sind Gruppen, Homomorphismen, neutrale Elemente, inverse Elemente, Untergruppen, Monomorphismen, Epimorphismen, Isomorphismen und Beispiele aus der Vorlesung. Der Text behandelt wichtige Konzepte der Gruppentheorie und zeigt deren Anwendung in der Mathematik.
- Arbeit zitieren
- Daniela Dossing (Autor:in), 1999, Der Homomorphiesatz für Gruppen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/16847
