vorchristlichen Jahrhundert noch beherrschte die Vorstellung, daß alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt
werden können, das Weltbild. Dieses wurde von den Pythagoreern, einer einflußreichen mathematis chen Schule,
geprägt. Allerdings war es auch ein Pythagoreer, nämlich Hippasus von Metapont1, welcher durch die
Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse dieses Weltbild zerstörte und sich dafür die Strafe der
Götter einhandelte. Er hat am Pentagramm, dem Ordenssymbol der Pythagoreer, festgestellt, daß hier zwei
Strecken nicht kommensurabel sind, d.h. nicht in derselben Maßeinheit angegeben werden können.
Wagt man nun den Sprung ins 19.Jahrhundert, so muß man feststellen, daß in dieser Zeit nun zahlreiche
Versuche zur Präzisierung des Begriffs der reellen Zahlen unternommen worden sind.
Einige dieser Präzisierungsversuche sollen nun in den folgenden Abschnitten näher besprochen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Weierstraß: Aggregate
3 Fundamentalfolgen
4 Dedekind: Schnitte
4 Hilbert: Die axiomatische Methode
5 Literatur
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die historische und theoretische Entwicklung der Definition reeller Zahlen im 19. Jahrhundert, wobei insbesondere die unterschiedlichen mathematischen Ansätze zur Präzisierung dieses Begriffs analysiert werden.
- Mathematische Fundierung reeller Zahlen durch Weierstraß' Aggregate.
- Cantors Theorie der Fundamentalfolgen als alternatives Definitionsmodell.
- Dedekinds Ansatz der Schnitte zur Vervollständigung des Zahlensystems.
- Hilberts axiomatische Methode als Grundlage für mathematische Systeme.
Auszug aus dem Buch
2 Weierstraß: Aggregate
Cauchy formulierte 1821 das nach ihm benannte Konvergenzkriterium und setzte es mit den bekannten Rechengesetzen als evidente Eigenschaft der reellen Zahlen voraus. Ein Beweis dieses Konvergenzkriteriums, wie er zu einer strengen Begründung der Analysis gehört, ist aber nur mit Hilfe einer exakten Definition der reellen Zahlen zu führen. Mit K. Weierstraß (1815 – 1897) wurden die Überlegungen zur Begründung der reellen Zahlen in die mathematischen Grundvorlesungen aufgenommen. Leider sind uns heute davon nur zum Teil kritisch beurteilte Schülerschriften überliefert.
Ich möchte die nähere Untersuchung Weierstraß’ Theorie mit seinem Zitat Weierstraß’ beginnen:
„Die Arithmetik basiert nur auf dem Begriff der Zahl und bedarf weder des Postulats noch irgendwelcher Grundsätze.“
Dieses Zitat macht deutlich, daß mit der Definition des Begriffs „Zahl“ alle Regeln der Arithmetik herleitbar sein müssen. Dies macht dann ein Axiomensystem der Arithmetik überflüssig. Den Begriff „Zahl“ versucht Weierstraß dabei durch die Tätigkeit des Zählens zu verdeutlichen und schließlich zu definieren.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung beleuchtet die historische Entwicklung vom pythagoreischen Weltbild der ganzen Zahlen hin zur Notwendigkeit einer präzisen Definition reeller Zahlen im 19. Jahrhundert.
2 Weierstraß: Aggregate: Das Kapitel erläutert Weierstraß' Theorie, welche reelle Zahlen über den Prozess des Zählens und die Definition von Zahlgrößen als Aggregate von Einheiten fundiert.
3 Fundamentalfolgen: Hier wird Cantors Ansatz vorgestellt, der reelle Zahlen durch das Verhalten von Folgen rationaler Zahlen definiert, die sich immer weiter annähern.
4 Dedekind: Schnitte: Dieses Kapitel beschreibt Dedekinds Methode, das Kontinuum der reellen Zahlen durch die Zerschneidung rationaler Zahlen in zwei Klassen zu konstruieren.
4 Hilbert: Die axiomatische Methode: Der Fokus liegt auf Hilberts Ansatz, Zahlensysteme durch ein widerspruchsfreies und vollständiges Axiomensystem exakt zu definieren.
5 Literatur: Das Verzeichnis listet die verwendeten Quellen für die mathematischen Theorien der reellen Zahlen auf.
Schlüsselwörter
Reelle Zahlen, Arithmetik, Weierstraß, Aggregat, Fundamentalfolgen, Cantor, Dedekind, Schnitte, Axiome, Hilbert, Analysis, Stetigkeit, Konvergenz, Zahlgröße, Mathematikgeschichte.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung und Definition des Begriffs der "reellen Zahlen" und deren theoretischer Absicherung im 19. Jahrhundert.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Im Zentrum stehen die Konzepte der Aggregate nach Weierstraß, die Theorie der Fundamentalfolgen nach Cantor, die Schnitte nach Dedekind sowie die axiomatische Methode nach Hilbert.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, die verschiedenen wissenschaftlichen Versuche aufzuzeigen, wie eine exakte und strenge Begründung der Analysis durch eine fundamentale Definition reeller Zahlen erreicht werden kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Autorin nutzt eine analytische, historische Herangehensweise, bei der originale mathematische Definitionen und Sätze der genannten Mathematiker zitiert und erläutert werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Vorstellung der vier maßgeblichen Theorien (Weierstraß, Cantor, Dedekind, Hilbert) inklusive ihrer Definitionen, Sätze und Beispiele.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind reelle Zahlen, Arithmetik, Aggregate, Fundamentalfolgen, Schnitte und Axiomensysteme.
Wie unterscheidet sich Cantors Ansatz von dem Weierstraß'?
Cantor beschränkt sich auf abzählbare Mengen (Folgen rationaler Zahlen) und benötigt keine Zahl außerhalb der Folge als Schranke, während Weierstraß allgemeinere Aggregate nutzt.
Welche Rolle spielt die Ordnung bei Dedekind?
Dedekind nutzt primär die Ordnungsrelation, um die Menge der rationalen Zahlen in Klassen zu unterteilen und so das Kontinuum der reellen Zahlen zu erzeugen.
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- Daniela Dossing (Author), 2001, Die reellen Zahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/16848
