Die Arbeit beschäftigt sich mit der Methode der Sattelpunkt-Approximation, die dazu verwendet wird die Dichte (und Tail-Wahrscheinlichkeit) einer Verteilung, die nicht in geschlossener Form gegeben ist, oder eine sehr komplizierte Darstellung hat, approximativ berechnen zu können. Diese Methode wird zuerst zur Berechnung von europäischen Put-Optionspreisen, unter Verwendung von Jump-Diffusion Prozessen, Normal-Invers-Gauß Prozessen und Varianz-Gamma Prozessen als Preisprozesse, verwendet. Anhand von Beispielen wird gezeigt, dass diese Methode brauchbare Approximationslösungen für die Optionspreise liefert. Anschließend wird eine zweite finanzmathematische Anwendung der Methode der Sattelpunkt-Approximation aufgezeigt, nämlich die Bewertung von Collateralized Debt Obligations, wo man sich anhand von vergleichenden Beispielen ebenfalls von der Güte der Sattelpunkt-Approximation überzeugen kann.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 1 Einleitung
- 2 Sattelpunkt-Approximation
- 2.1 Approximation der Dichte
- 2.1.1 Inversionsmethode
- 2.1.2 Methode des steilsten Abstiegs
- 2.2 Approximation der Tail-Wahrscheinlichkeit
- 2.2.1 Numerische Methode.
- 2.2.2 Inversionsmethode
- 2.2.3 Formel von Lugannani und Rice
- 2.2.4 Verallgemeinerung der Formel von Lugannani und Rice
- 2.1 Approximation der Dichte
- 3 Bewertung von europäischen Put-Optionen
- 3.1 Jump-Diffusion Modell
- 3.2 Merton-Jump-Diffusion Modell
- 3.2.1 Modell.
- 3.2.2 Berechnungen und Vergleiche
- 3.3 Kou Modell
- 3.3.1 Modell.
- 3.3.2 Berechnungen und Vergleiche
- 3.4 Verallgemeinerte Hyperbolische Verteilung
- 3.5 Varianz-Gamma Modell
- 3.5.1 Modell.
- 3.5.2 Berechnungen und Vergleiche
- 3.6 Normal-Invers-Gauß Modell
- 3.6.1 Modell.
- 3.6.2 Berechnungen und Vergleiche
- 4 Bewertung von Collateralized Debt Obligations
- 4.1 Konzept und Struktur von CDOs
- 4.2 Mathematisches Modell
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Die Masterarbeit untersucht die Anwendung der Sattelpunkt-Approximationsmethode in der Finanzmathematik. Das Hauptziel ist es, die Effizienz und Genauigkeit dieser Methode bei der Approximation von Verteilungen und der Berechnung von Finanzprodukten wie europäischen Put-Optionen und Collateralized Debt Obligations (CDOs) zu demonstrieren.
- Sattelpunkt-Approximation
- Bewertung von europäischen Put-Optionen
- Jump-Diffusion Prozesse
- Collateralized Debt Obligations (CDOs)
- Finanzmathematische Modellierung
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Kapitel 1 bietet eine Einführung in die Thematik der Arbeit. Kapitel 2 behandelt die Sattelpunkt-Approximationsmethode und erläutert ihre Anwendung bei der Approximation von Dichten und Tail-Wahrscheinlichkeiten. Kapitel 3 befasst sich mit der Anwendung der Sattelpunkt-Approximation bei der Bewertung von europäischen Put-Optionen unter Verwendung verschiedener Preisprozesse. Dabei werden Jump-Diffusion Modelle, Normal-Invers-Gauß Prozesse und Varianz-Gamma Prozesse betrachtet. Kapitel 4 untersucht die Anwendung der Sattelpunkt-Approximation bei der Bewertung von Collateralized Debt Obligations.
Schlüsselwörter (Keywords)
Sattelpunkt-Approximation, Finanzmathematik, Optionspreise, europäische Put-Optionen, Jump-Diffusion, Normal-Invers-Gauß, Varianz-Gamma, Collateralized Debt Obligations (CDOs), Modellierung, Approximation.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Sattelpunkt-Approximation in der Finanzmathematik?
Es ist eine mathematische Methode zur Annäherung von Wahrscheinlichkeitsdichten und Tail-Wahrscheinlichkeiten für Verteilungen, die keine einfache geschlossene Form haben.
Wie wird die Methode bei Put-Optionen angewendet?
Sie dient zur effizienten Berechnung von Optionspreisen unter komplexen Modellen wie dem Jump-Diffusion- oder dem Varianz-Gamma-Modell.
Was sind Collateralized Debt Obligations (CDOs)?
CDOs sind strukturierte Finanzprodukte, die Forderungen (z.B. Kredite) bündeln. Die Sattelpunkt-Approximation hilft hier bei der Bewertung des Ausfallrisikos.
Was ist das Merton-Jump-Diffusion Modell?
Ein Modell zur Aktienkursentwicklung, das neben kontinuierlichen Preisänderungen auch plötzliche Kurssprünge (Jumps) berücksichtigt.
Warum nutzt man die Formel von Lugannani und Rice?
Diese Formel bietet eine besonders präzise numerische Approximation für die Tail-Wahrscheinlichkeit einer Verteilung basierend auf der Sattelpunktmethode.
- Arbeit zitieren
- Florian Mair (Autor:in), 2011, Zwei Anwendungen der Sattelpunktmethode in der Finanzmathematik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/170039
