Zwei Anwendungen der Sattelpunktmethode in der Finanzmathematik

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Sattelpunkt-Approximation
2.1 Approximation der Dichte
2.1.1 Inversionsmethode
2.1.2 Methode des steilsten Abstiegs
2.2 Approximation der Tail-Wahrscheinlichkeit
2.2.1 Numerische Methode
2.2.2 Inversionsmethode
2.2.3 Formel von Lugannani und Rice
2.2.4 Verallgemeinerung der Formel von Lugannani und Rice

3 Bewertung von europäischen Put-Optionen
3.1 Jump-Diffusion Modell
3.2 Merton-Jump-Diffusion Modell
3.2.1 Modell
3.2.2 Berechnungen und Vergleiche
3.3 Kou Modell
3.3.1 Modell
3.3.2 Berechnungen und Vergleiche
3.4 Verallgemeinerte Hyperbolische Verteilung
3.5 Varianz-Gamma Modell
3.5.1 Modell
3.5.2 Berechnungen und Vergleiche
3.6 Normal-Invers-Gauß Modell
3.6.1 Modell
3.6.2 Berechnungen und Vergleiche

4 Bewertung von Collateralized Debt Obligations
4.1 Konzept und Struktur von CDOs
4.2 Mathematisches Modell
4.2.1 Kreditausfalls- und Portfolioverlustverteilung
4.2.2 Modellierung von CDOs
4.3 Copulas
4.3.1 Ein-Faktor-Gauß-Copula für Kreditausfall
4.3.2 Clayton-Copula für Kreditausfall
4.4 Erweiterung der Sattelpunkt-Approximation
4.5 Berechnungen und Vergleiche
4.5.1 Problem A
4.5.2 Problem B
4.5.3 Problem C

A Programme zu Put-Optionspreise und CDOs

Zusammenfassung

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Methode der Sattelpunkt-Approximation, die dazu verwendet wird die Dichte (und Tail-Wahrscheinlichkeit) einer Verteilung, die nicht in geschlossener Form gegeben ist, oder eine sehr komplizierte Darstellung hat, approxima- tiv berechnen zu können. Diese Methode wird zuerst zur Berechnung von europäischen Put-Optionspreisen, unter Verwendung von Jump-Diffusion Prozessen, Normal-Invers- Gauß Prozessen und Varianz-Gamma Prozessen als Preisprozesse, verwendet. Anhand von Beispielen wird gezeigt, dass diese Methode brauchbare Approximationslösungen für die Optionspreise liefert. Anschließend wird eine zweite finanzmathematische Anwendung der Methode der Sattelpunkt-Approximation aufgezeigt, nämlich die Bewertung von Col- lateralized Debt Obligations, wo man sich anhand von vergleichenden Beispielen ebenfalls von der Güte der Sattelpunkt-Approximation überzeugen kann.

Abstract

This thesis is about the saddlepoint-approximation method and its applications to finance. The method is used for approximating the density (and tail probability) of a probability distribution, which has a complicated form or is not given explicitly. The first application is in the computation of prices of european put options with jump-diffusion, normal-invers-gauss and variance-gamma underlyings. The approximation using the saddlepoint method provides fast and good solutions as shown in an example. The second application is the pricing of collateralized debt obligations, where the saddlepoint method also provides good approximative results.

Danksagung

Ich möchte meinem Betreuer Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Friedrich Hubalek für die groß- artige Betreuung, insbesondere aufgrund seiner Hilfsbereitschaft und Unterstützung bei diversen Problemen und Bereitstellung vieler nützlicher Materialien, sehr herzlich danken. Des Weiteren danke ich Paul Brandstätter, Jürgen Mitterhuber, Paul Kautny und Sebastian Söllradl für das sorgfältige Korrekturlesen dieser Arbeit. Zum Abschluss möchte ich noch meiner Familie, mei- nen Studienkollegen und Freunden danken, die mir stets mit Rat und Tat zur Seite gestanden sind.

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

3.1 Put-Optionspreis mit Sattelpunkt-Approximation unter Merton Modell

3.2 Implizite Volatilität unter Merton Modell

3.3 Vergleich des Put-Optionspreises mit Lugannani-Rice und numerischer Integration unter Merton Modell

3.4 Vergleich des Put-Optionspreises mit Black-Scholes Modell und numerischer Integration unter Merton Modell

3.5 Put-Optionspreis mit Sattelpunkt-Approximation unter Kou Modell

3.6 Implizite Volatilität unter Kou Modell

3.7 Vergleich des Put-Optionspreises mit Lugannani-Rice und numerischer Integration unter Kou Modell

3.8 Put-Optionspreis mit Sattelpunkt-Approximation unter Varianz-Gamma Modell

3.9 Implizite Volatilität unter Varianz-Gamma Modell

3.10 Vergleich des Put-Optionspreises mit Lugannani-Rice und numerischer Integration unter Varianz-Gamma Modell

3.11 Put-Optionspreis mit Sattelpunkt-Approximation unter Normal-Invers-GaußModell

3.12 Implizite Volatilität unter Normal-Invers-GaußModell

3.13 Vergleich des Put-Optionspreises mit Lugannani-Rice und numerischer Integra-tion unter Normal-Invers-GaußModell

Tabellenverzeichnis

3.1 Implizite Volatilität unter Merton Modell

3.2 Vergleich LR, BS, NI unter Merton Modell mit α = − 0 . 04

3.3 Vergleich LR, BS, NI unter Merton Modell mit α = 0 . 04

3.4 Implizite Volatilität unter Kou Modell

3.5 Vergleich LR, NI unter Kou Modell mit α = − 0 . 04

3.6 Vergleich LR, NI unter Kou Modell mit α = 0 . 04

3.7 Implizite Volatilität unter Varianz-Gamma Modell

3.8 Vergleich LR, NI unter Varianz-Gamma Modell mit α = − 0 . 04

3.9 Vergleich LR, NI unter Varianz-Gamma Modell mit α = 0 . 04

3.10 Implizite Volatilität unter Normal-Invers-GaußModell

3.11 Vergleich LR, NI unter Normal-Invers-GaußModell mit α = − 0 . 04

3.12 Vergleich LR, NI unter Normal-Invers-GaußModell mit α = 0 . 04

4.1 Problem A. 1 mit M = 32

4.2 Problem A. 1 mit M = 128

4.3 Problem A. 2 mit M = 32

4.4 Problem A. 2 mit M = 128

4.5 Problem B. 1 mit M = 32

4.6 Problem B. 1 mit M = 128

4.7 Problem B. 2 mit M = 32

4.8 Problem B. 2 mit M = 128

4.9 Problem C. 1 mit M = 32

4.10 Problem C. 1 mit M = 128

4.11 Problem C. 2 mit M = 32

4.12 Problem C. 2 mit M = 128

Kapitel 1 Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit liegt darin, die Nützlichkeit der Methode der Sattelpunkt-Approximation für Anwendungen in der modernen Finanzmathematik aufzuzeigen. Im ersten Kapitel wird die Sattelpunkt-Methode, mit welcher die Dichtefunktion und die Tail-Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable approximativ berechnet werden können, vorgestellt.

Im Anschluss daran findet diese Methode Anwendung in der Bewertung von europäischen Put-Optionen, wobei einige moderne und gängige Modelle für logarithmierte Preisprozesse, Jump-Diffusion Modelle (Kou Modell, Merton-Jump-Diffusion Modell) und hyperbolische Modelle (Normal-Invers-Gauß Modell, Varianz-Gamma Modell) verwendet werden. Für alle diese Modelle werden Put-Optionspreise mit verschiedenen Strikes und Fälligkeiten anhand von numerischen Methoden einerseits und der Methode der Sattelpunkt-Approximation andererseits berechnet und miteinander verglichen.

Im dritten Kapitel wird noch auf eine andere Anwendung der Sattelpunkt-Methode in der Finanzmathematik eingegangen, nämlich die Bewertung von ons“, ein Finanzinstrument, das zur Gruppe der ”CollateralizedDebtObligati- ”Asset-Backed-Securities“gehört.Eswird für mehrere Problemstellungen (homogene/inhomogene Ausfallswahrscheinlichkeiten, homoge- ne/inhomogene Verlusthöhen), in Abhängigkeit von der Anzahl der zugrundeliegenden Firmen, Zins und Abhängigkeitsstruktur der CDO-Spread mittels Sattelpunkt-Methode und exakter Methode berechnet, und die Resultate verglichen. Die für die Berechnungen zu den Problem- stellungen in den Kapiteln2 und3 verwendeten Programme werden im Anhang vorgestellt.

Eine weitere Anwendung der Methode der Sattelpunkt-Approximations liegt in Modellen mit stochastischer Volatilität, wie z.B. dem ”HestonModel“,siehe[10].AuchabseitsvonderFi- nanzmathematik findet die Sattelpunkt-Methode in vielen Bereichen, z.B. der multivariaten Statistik, der Bayes-Statistik, oder der Bootstrap-Simulation, Anwendung. Für diese und weitere Anwendungen sei auf [4] verwiesen.

Kapitel 2

Sattelpunkt-Approximation Da die exakte Verteilung einer Zufallsvariable des öfteren nicht genau ermittelt werden kann, ist es vonnöten, diese zu approximieren. In der Praxis ist von der Verteilung oft nur die kumulantenerzeugende oder die charakteristische Funktion in geschlossener Form gegeben. Ist dies der Fall, kann man die Methode der Sattelpunkt-Approximation verwenden, um die Dichtefunktion oder die Tail-Wahrscheinlichkeit näherungsweise zu berechnen.

Sattelpunkt-Approximationen bieten gute Näherungslösungen für sehr kleine Tail-Wahrschein- lichkeiten oder für die Dichte in den Tails der Verteilung. Mit guter Approximation meint man Approximationen mit kleinem relativen Fehler. In vielen Fällen bleiben die relativen Fehler die- ser Approximationen in den extremen Tails der Verteilung noch immer beschränkt.¹

Die ”Method of Steepest Descents “wurde durch Darwinund Fowler1936 indie Statistikein geführt und1948 von Debye erstmals systematisch verwendet, und zwar für Bessel-Funktionen hoher Ordnung.1954 schreibt Daniels in seiner Arbeit [7] detailliert über die Approximation der Dichte mit der Sattelpunkt-Methode.1980 wurde von Lugannani und Rice eine interessan- te neue Formel für die Approximation der Tail-Wahrscheinlichkeit veröffentlicht, die in vielen Anwendungen sehr gute Ergebnisse liefert.1991 wurden unter anderem von Daniels und Young Sattelpunkt-Approximationen für die nichtlineare Statistik entwickelt. Im Folgenden werden unterschiedliche Methoden vorgestellt, um einerseits die Dichte, und andererseits auch die Tail- Wahrscheinlichkeit zu approximieren.

Bei allen Methoden gehen wir von einer Zufallsvariable X mit Dichte f (x) aus, deren kumulantenerzeugende Funktion K gegeben ist durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die kumulantenerzeugende Funktion wird dabei analytisch in einem Streifen, der die imaginäre Achse enthält, angenommen.

[...]

¹ Vgl.14, S. 1