Lineare und ganzrationale Funktionen für die gymnasiale Mittel- und Oberstufe


Skript, 2011
38 Seiten
Anonym

Leseprobe

Zusammenfassung Lineare
und ganzrationale Funktionen
Gymnasium
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Inhaltsverzeichnis
1.
Lineare
Funktionen
Seite 2 ­ Seite 13
2. Ganzrationale Funktionen
Seite 14 ­ Seite 38

Zusammenfassung Lineare
und ganzrationale Funktionen
Gymnasium
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1. Lineare Funktionen
Seite 2 ­ Seite 13
1.1
Die
Funktionsgleichung
Seite
2
1.2 Der Graph einer Linearen Funktion
Seite 2
1.3 Charakteristische Punkte einer
linearen
Funktion
Seite
3
1.3.1 Schnittpunkt mit der x-Achse
1.3.2 Schnittpunkt mit der y-Achse
1.3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden
LGS
I.
Gleichsetzungsverfahren
II.
Additionsverfahren
III.
Einsetzungsverfahren
1.4
Gegenseitige
Lage
von
Geraden
Seite
6
1.5
Abstandsberechnung
in
der
Ebene
Seite
9
1.5.1 Abstand von zwei Punkten
1.5.2 Abstand von zwei parallelen Geraden
1.5.3 Abstand von einem Punkt zu einer Geraden
1.6
Schnittwinkel
von
zwei
Geraden
Seite
12
1.7 Abschließende Aufgabe mit
Lösung
Seite
13

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1.
Lineare Funktionen
1.1 Die Funktionsgleichung
Als lineare Funktionen werden solche bezeichnet, in denen die Potenz der Variable entweder 0 oder 1
ist, niemals höher und niedriger.
Beispiel:
Man könnte dieselbe Formel auch schreiben als:
Da natürlich jede Zahl das Einfache von sich selbst ergibt, erspart man sich
und schreibt .
Der Term
ergibt immer 1, das ist mathematisches Gesetz. Folglich erspart man sich auch 2 * 1 und
schreibt lediglich 2, da das Einfache einer Zahl immer sie selbst ergibt.
Im Allgemeinen hat eine lineare Gleichung immer folgende Form:
m ist dabei die Steigung des Graphen bzw. Die Wachstumskonstante.
c ist dabei der Y-Achsenabschnitt, dazu im Folgenden mehr.
1.2 Der Graph einer linearen Funktion
Wie der Name schon verrät, verläuft der Graph einer linearen Funktion linear, d.h. geradlinig.
y
6 ­
5 ­
4 ­
3 ­
2 ­
1 ­
0
-1 ­
-2 ­
0
0
-1 ­
­
| | | | | | | | | | x
-2 1 2 3 4 5 6 7 8

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Dabei kann der Graph wie in den Abbildungen steigen, sinken oder auf konstanter Höhe bleiben.
Das m von der Funktionsgleichung, die Steigung lässt sich mit Hilfe der Werte von zwei Punkten
errechnen:
Das c von der Funktionsgleichung ist lediglich der y-Wert vom Punkt, in dem die Gerade die y-Achse
schneidet.
Beispiel: Der blaue Graph hat die Gleichung
.
Wie schließt man darauf?
Gegeben haben wir zwei eindeutige Punkte: A (-2|0) und B (0|1). Das m lässt sich durch den Quotienten
der Differenz der y-Werte und der Differenz der x-Werte errechnen.
Dabei ist es egal, welcher Punkt A und welcher B ist. Aber: wenn man den y-Wert von A von dem von B
abzieht, so muss man das bei den x-Werten genauso machen.
Das c ist y-Wert des Punktes, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. Abgelesen: y = 1.
Wenn man also die errechneten m- und c-Werte in die Geradengleichung y = mx + c einsetzt, erhält man
die Gleichung y = 0,5 x + 1.
1.3 Charakteristische Punkte einer linearen Funktion
Charakteristische sind die Punkte, bei denen der Graph die x- bzw. y-Achse schneidet
1.3.1 Schnittpunkt mit der x-Achse
Schnittpunkte mit der x-Achse werden als Nullstellen bezeichnet. Das Charakteristische einer Nullstelle
ist, dass der y-Wert immer null beträgt. Um also den x-Wert zu errechnen, bei der ein Graph die x-Achse
schneidet, muss man für y null einsetzen und dann durch Äquivalenzumformung den zugehörigen x
Werte berechnen.
Beispiel: Berechnung des y-Achsenabschnittes der blauen Gerade
y
=
0,5x
+
1 | für y null einsetzen
0 = 0,5x + 1 | -1
-1
=
0,5x |
2
-2 = x

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Die Nullstelle für die Funktion y = 0,5x + 1 ist -2.
1.3.2 Schnittpunkt mit der y-Achse
Das Charakteristische an Schnittpunkten mit der y-Achse ist, dass der x-Wert immer null beträgt. Also
muss man in der Gleichung für x null einsetzen, um auf den y-Achsenabschnitt zu kommen. Da aber bei
der Gleichung y = m*x + c das m*x wegfällt, wenn x null wird (m*0 = 0), steht dann da: y = c. Daher wird
c auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet
1.3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden
Zwei Geraden schneiden sich immer, wenn ihre Steigungskonstanten (m) nicht identisch sind; dann
verlaufen sie nämlich parallel oder übereinander.
Das heißt, dass beide Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, bei dem x- und y-Koordinate
übereinstimmen. Hat man zwei Geraden mit den folgenden Formen gegeben,
bzw.
(da
mit
und
mit
identisch ist)
bzw.
so lassen sich die x-Werte mit Hilfe eines LGS (einem Linearen Gleichungssystem) berechnen.
I. Das Gleichsetzungsverfahren:
Beide Gleichungen werden so umgeformt, dass sie auf jeweils einer Seite identisch sind. Diese Methode
wählt man allerdings meistens nur, wenn diese Bedingung schon erfüllt ist; so wie hier. Beide
Gleichungen haben auf jeweils einer Seite das y stehen. Daher kann man auch die beiden anderen Teile
(die nicht identisch sind!) gleichsetzen: Wenn
dasselbe ist wie
*
+
und auch dasselbe wie
,
dann ist
*
+
auch dasselbe wie
*
+
, weil letzteres wiederum identisch mit
ist.
Also:
Beispiel: Berechnung des Schnittpunktes der blauen und grünen Gerade.
(I)
(II)
o
| -1
|
+2x
|
2,5

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Nun kann man den berechneten x-Wert in eine der beiden Gleichung einsetzen, um daraus auf den y-
Wert zu schließen:
o
= 2
Der Schnittpunkt lautet demnach (2|2).
II. Das Additionsverfahren
Beim Additionsverfahren werden lediglich alle Bestandteile miteinander addiert. Diese Methode
verwendet man dann, wenn eine Variable sich nach deer Addition aufhebt, wie z.B. hier:
(I)
|
x hebt sich nach der Addition auf.
(II)
(I)+(II)
III. Das Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren verwendet man häufig dann, wenn die Gleichungen nicht unbedingt in der
y = mx + c Form gegeben sind. Dabei wird eine Veriable durch die andere beschrieben und übrig bleibt
eine Gleichung mit einer Variable. Zum Beispiel hier:
(I)
(II)
In (II) wird y durch x beschrieben. Setzt man nun in der ersten Gleichung für y: x+2 ein, erhält man in (I)
eine Gleichung nur mit der Variable x.
(II) in (I)
x in (II) ergibt:
1.4 Gegenseitige Lage von Geraden
Geraden sind einfach nur das Schaubild linearer Funktionen. Sie können sich auf drei verschiedene
Möglichkeiten verhalten: Entweder sie sind parallel, haben einen Schnittpunkt oder liegen übereinander.
Parallel sind zwei Geraden, wenn ihre Steigungen identisch sind, ihre y-Achsenabschnitte jedoch nicht.
Übereinander liegen zwei geraden, wenn sie dieselbe Steigung und denselben y-Achsenabschnitt haben.

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Sie haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen haben, unabhängig vom y-
Achsenabschnitt. Haben beide Geraden denselben y-Achsenabschnitt, so ist der Wert davon die y-
Koordinate des Schnittpunktes.
Eine besondere Form von zwei sich schneidenden Geraden stellt die Orthogonalität dar. Eine
Orthogonalität von zwei Geraden liegt vor, wenn
gilt.
Beispiele:
Untersuchung von zwei Geraden auf ihre gegenseitige Lage.
a.
b.
c.
d.
Lösungen:
a. Zunächst erfolgt immer ein Vrgleich der m- und c-Werte. Beide sind jeweils unterschiedlich, also
handelt es sich um zwei sich schneidende Geraden. Der Test, ob die Geraden orthogonal zueinander
verlaufen:
o 2,5
=
o
trifft nicht zu.
Nun muss man ein praktisches LGS-Verfahren wählen ­ hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.
|
|
x in
ergibt:
Die beiden Geraden schneiden sich und haben einen Schnittpunkt in S ( 1 |
)
b. Zunächst sollte man umformen, um zu erfahren, ob die c- bzw. m-Werte zueinander stehen.
Die Umformung ergibt:

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c und m unterscheiden sich, also liegt wieder ein Schnittpunkt vor. Überprüfung einer möglichen
Orthogonalität:
o
Die Formel geht auf; also sind die Geraden orthogonal.
Hier bietet sich wiederum das Einsetzungsverfahren an:
(II) in (I):
| Minusklammer
|
|
X in (II) ergibt:
Die Geraden sind orthogonmal zueinander und haben ihren Schnittpunkt in S (4|-2)
c. Zunächst wieder die Umformung:
o
o
Umformung ergibt: Das m ist identisch. Das c nicht. Also sind die beiden Geraden parallel.
d. Genaueres Hinsehen ergibt: Die Gleichungen sind identisch. Also liegen die beiden Graphen
übereinander.
Ende der Leseprobe aus 38 Seiten

Details

Titel
Lineare und ganzrationale Funktionen für die gymnasiale Mittel- und Oberstufe
Jahr
2011
Seiten
38
Katalognummer
V173986
ISBN (eBook)
9783640943722
ISBN (Buch)
9783640943654
Dateigröße
732 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Mit vielen anschaulichen Grafiken.
Schlagworte
lineare, ganzrationale, funktionen, mittel-, oberstufe
Arbeit zitieren
Anonym, 2011, Lineare und ganzrationale Funktionen für die gymnasiale Mittel- und Oberstufe, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/173986

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