Wann der Begriff der Primzahl in der Geschichte der Mathematik das erste Mal aufgetaucht ist, scheint nicht ganz sicher zu sein, aber sie gehören zu jenen mathematischen Objekten, welche seit jeher alle mathematisch Interessierten fasziniert haben. Jede Zahl setzt sich aus Primzahlen zusammen (Hauptsatz der Arithmetik), die Primzahlen sind also sozusagen die Atome des Zahlensystems, mit dem alle Mathematik beginnt. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... werden von den Mathematikern als die natürlichen Zahlen bezeichnet. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler, nämlich der Zahl 1 und sich selbst. Dass die Folge der so de nierten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... nicht abbricht, dass es also unendlich viele Primzahlen gibt, hat als erster Euklid 300 vor Christus bewiesen. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes: Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich die Existenz weiterer folgern, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Aber es wird wohl auch schon vor Euklid in verschiedenen Kulturkreisen Menschen gegeben haben, welche einiges über die Eigenschaften der Primzahlen wussten. Trotz ihrer scheinbaren Einfachheit und ihres grundlegenden Charakters bleiben die Primzahlen die geheimnisvollsten Objekte, die von den Mathematikern untersucht werden. Es ist erstaunlich, dass einige der ältesten Primzahlprobleme trotz größter Bemühungen von Generationen von Mathematikern bis heute ungelöst sind. Wenn es um das Auffinden von Mustern und Ordnung geht, stellen die Primzahlen eine nicht mehr zu übertre ffende Herausforderung dar. Es ist unmöglich, für eine Liste von Primzahlen vorherzusagen, wann die nächste Primzahl auftauchen wird. Die Liste erscheint chaotisch und zufällig, und es gibt keinerlei Hinweise, wie man die nächste Zahl bestimmen könnte. Seit jeher stellen sich Mathematiker die Frage, ob es eine Formel gibt, mit der sich eine Primzahl berechnen lässt. Doch auch nach zweitausend Jahren intensivster Suche entdeckt man nicht irgendwelche einfache Muster. Die Primzahlfolge gleicht eher einer Zufallsfolge von Zahlen als einer geordneten Struktur...
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 1 Einleitung
- 2 Grundlagen
- 2.1 Grundbegriffe
- 2.2 Hilfsmittel
- 3 Der Beweis
- 3.1 Gültigkeit vom Bertrandschen Postulat für n < 4000
- 3.2 Abschätzung vom Primzahlenprodukt.
- 3.3 Enthaltene Primzahlen in (2n)
- 3.4 Abschätzung von 4"
- 3.5 Das Bertrandsche Postulat
- 3.6 Anmerkung
- 4 Folgerungen
- 4.1 Primzahlsumme
- 4.2 Die Unendlichkeit der Primzahlen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Die Zulassungsarbeit beschäftigt sich mit dem Bertrandschen Postulat, einer fundamentalen Aussage über die Verteilung von Primzahlen. Ziel ist es, den Beweis des Postulats zu erläutern und seine Bedeutung für die Zahlentheorie zu beleuchten.
- Grundbegriffe der Zahlentheorie, insbesondere Primzahlen
- Beweis des Bertrandschen Postulats
- Folgerungen aus dem Bertrandschen Postulat
- Bedeutung der Primzahlen für die Mathematik und Technologie
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Das erste Kapitel gibt eine Einführung in die Thematik der Primzahlen und ihren Stellenwert in der Mathematik. Es wird die Bedeutung der Primzahlen als "Atome" des Zahlensystems hervorgehoben und die Unendlichkeit der Primzahlfolge mittels des Euklidischen Beweises dargestellt. Darüber hinaus wird die Wichtigkeit der Primzahlen für die moderne Technologie und insbesondere für die Verschlüsselungstechnik betont.
Das zweite Kapitel behandelt die Grundlagen des Beweises des Bertrandschen Postulats. Es werden grundlegende Begriffe der Zahlentheorie erläutert und wichtige Hilfsmittel vorgestellt, die im Beweis Verwendung finden.
Im dritten Kapitel wird der Beweis des Bertrandschen Postulats Schritt für Schritt dargestellt. Es werden verschiedene Abschätzungen und Argumente verwendet, um die Gültigkeit des Postulats zu zeigen.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die wichtigsten Schlüsselwörter der Arbeit sind: Primzahl, Bertrandsches Postulat, Beweis, Zahlentheorie, Primzahlverteilung, Unendlichkeit, Anwendungen, Technologie, Verschlüsselung, Mersenne-Primzahlen.
Häufig gestellte Fragen
Was besagt das Bertrandsche Postulat?
Das Postulat besagt, dass für jede natürliche Zahl n > 1 immer mindestens eine Primzahl p existiert, für die gilt: n < p < 2n.
Wer hat das Bertrandsche Postulat bewiesen?
Joseph Bertrand stellte die Vermutung 1845 auf; bewiesen wurde sie erstmals 1850 von Pafnuti Tschebyschow.
Warum sind Primzahlen für die Technologie wichtig?
Primzahlen bilden die Grundlage für moderne Verschlüsselungsverfahren (Kryptographie), die für die Sicherheit im Internet unerlässlich sind.
Was ist der Hauptsatz der Arithmetik?
Er besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann (Primfaktorzerlegung).
Gibt es unendlich viele Primzahlen?
Ja, dies wurde bereits um 300 v. Chr. von Euklid durch einen Widerspruchsbeweis gezeigt.
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- Katharina Kinateder (Author), 2009, Das Bertrandsche Postulat, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/175179
