Korrelationsanalyse - Berechnung von Zusammenhängen zwischen zwei verschiedenen Variablen


Pre-University Paper, 2010
86 Pages, Grade: 1,0

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Inhalt

1 Einleitung

2 Korrelation - Was ist das?

3 Historisches zur Korrelation
3.1 Von der Korrelationsanalyse zum Korrelationskoeffizienten
3.2 »Groß« ist nicht gleich »groß«

4 Der BRAVAIS-PEARSON-KORRELATIONSKOEFFIZIENT
4.1 Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten r - Möglichkeit 1
4.1.1 Die Varianz s2
4.1.2 Die Standardabweichung
4.1.3 Die Standardisierung der gemessenen Größen
4.1.4 Berechnung des Korrelationskoeffizienten
4.2 Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten r - Möglichkeit 2
4.2.1 Die Kovarianz
4.2.2 Umformung der ersten Formel

5 Der RANGKORRELATIONSKOEFFIZIENT NACH SPEARMAN
5.1 Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman - Möglichkeit 1
5.2 Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman - Möglichkeit 2

6 DER KONTINGENZKOEFFIZIENT C
6.1 Die Kontingenztafel
6.2 Die Quadratische Kontingenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ʹ (Chi-Quadrat)
6.2.1 Benötigte Werte
6.2.2 Berechnung der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]- Größe
6.2.3 Eigenschaften von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
6.3 Der Kontingenzkoeffizient nach Pearson
6.4 Der korrigierte Kontingenzkoeffizient Ckorr

7 DER PHI-KOEFFIZIENT [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

8 Der PUNKTBISERIALE KORRELATIONSKOEFFIZIENT rpb
8.1 Berechnung des Korrelationskoeffizienten rpb
8.2 Verwandtschaft mit dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson

9 Eigenschaften von r
9.1 Wertebereich von r
9.1.1 Negative Korrelation
9.1.2 Positive Korrelation
9.1.3 Keine Korrelation
9.2 Korrelation und Kausalität
9.2.1 Die unmittelbare Korrelation
9.2.2 Die mittelbare Korrelation
9.2.3 Die Scheinkorrelation
9.2.4 Die Nonsens-Korrelation

10 Aufgaben
10.1 Wunschalter des Partners in Kontaktanzeigen
10.2 Weiß oder Braun - wo ist mehr drin?
10.3 Schulnotenvergleich
10.3.1 Mathematik und Latein
10.3.2 Mathematik und Französisch
10.3.3 Musik und Kunst
10.4 Würmer und Äpfel
10.5 Lieblingsfarbe und Lieblingssorte bei RitterSport
10.6 Gleiche Geschmäcker bei Geschwistern?
10.7 Bauernregeln
10.7.1 Simon, Juda und Cäcilia
10.7.2 St. Anton und St. Peter

11 Schluss

12 Quellen-und Literaturverzeichnis

»So eine Arbeit wird eigentlich nie fertig, man muß sie für fertig erklären, wenn man nach Zeit und Umständen das möglichste getan hat.«

JOHANN WOLFGANG VON GOETHE (1749-1832)

1 Einleitung

»STATISTIK IST FÜR MICH DAS INFORMATIONSMITTEL DER MÜNDIGEN. WER MIT IHR UM- GEHEN KANN, KANN WENIGER LEICHT MANIPULIERT WERDEN. DER SATZ: ›MIT STATISTIK KANN MAN ALLES BEWEISEN‹ GILT NUR FÜR DIE BEQUEMEN, DIE KEINE LUST HABEN, GENAU HINZUSEHEN.«1

-Elisabeth Noelle-Neumann2 -

Mit dem Beschluss, meine Facharbeit über die Korrelationsanalyse zu schreiben, habe ich mich für einen Bereich aus der deskriptiven Statistik entschieden. Als ich mir einen groben Überblick über das, was mir da bevorstand, verschaffte, musste ich feststellen, dass es zu weit führen würde, auf alle Aspekte der Korrelationsanalyse einzugehen. Daher ließ ich einzelne Themengebiete, die oft mit der Korrelation zusammen auftre- ten (z.B. Regression, partielle Korrelation), aus. Stattdessen konzentrierte ich mich auf die Berechnung von Zusammenhängen zwischen zwei verschiedenen Variablen.

Der letzte Satz der oben zitierten Aussage trifft meiner Meinung nach äußerst genau auf die Korrelationsanalyse zu. So lassen sich mit ihr »beweisen«, dass Störche Kinder bringen und Fieber Läuse verjagt. Für »die Bequemen, die keine Lust haben, genau hinzusehen« möge dieser »Beweis« aussagekräftig genug sein. Alle anderen, die sich mit der Korrelationsanalyse beschäftigt haben, wissen, dass die eine Erscheinung die andere keineswegs bedingen muss. Durch das Verfassen dieser Arbeit erhoffe ich mir den sicheren Umgang mit zusammenhängenden Erscheinungen und deren Dokumentation. Auch verspreche ich mir, den Hintergrund vieler Statistiken leichter erschließen, um dadurch deren Ergebnis leichter interpretieren zu können.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit der Theorie der Korrelationsanaly- se. Dabei werden nach der Definition und dem geschichtlichen Hintergrund die ver- schiedenen Formeln, die zur Berechnung der Korrelation bestimmter Variablen hinzu- gezogen werden, einzeln dargelegt. Dies geschieht meist an einem Beispiel, um die Anwendung der Formel zu veranschaulichen. Danach erfolgt unter der Rubrik »Aufga- ben« der praktische Teil meiner Arbeit, in der ich die Formeln auf Alltagsprobleme an- wendete. Dabei wog ich unter anderem Eier, untersuchte Kontaktanzeigen, befragte Passanten in der Frankfurter Hauptwache hinsichtlich ihres Farb- und Schokoladenge- schmackes, untersuchte Schülernoten in verschiedenen Fächern auf deren Zusam- menhang, befasste mich mit dem Wunschalter in Kontaktanzeigen, prüfte Bauernregel auf ihre Glaubwürdigkeit und den »verwandten« Geschmack von Geschwistern. Was sich oft als mühsame Arbeit aufgrund der langwierigen, viel Zeit in Anspruch nehmen- den Auswertung der einzelnen Daten zeigte, wurde am Ende jedes Experiments mit einem Ergebnis belohnt.

Walldürn, am 18. 07. 2011

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2 Korrelation - Was ist das?

Die Korrelation ist ein »nur statistisch, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu erfassender [loser, zufälliger] Zusammenhang zwischen bestimmten Erscheinungen«1 - so jedenfalls definiert der »Duden« den genannten Begriff. Nach allgemeinem Verständnis im Alltag jedoch wird unter »Korrelation« eine »irgendwie geartete Beziehung«2 zwischen unterschiedlichen Komponenten aufgefasst.

In der deskriptiven Statistik, die Kausalzusammenhänge sowohl erforscht als auch untersucht, ist diese Definition hingegen viel zu unpräzise. Zwar ist »Korrelation« der mathematische Begriff für den laienhaften »Zusammenhang«, aber eine einheitliche Definition dieses Wortes gibt es in der Statistik nicht.3

Das Hauptziel der Statistik besteht darin, Datenmaterial zu analysieren, auszuwerten und eine Relation, beziehungsweise einen Zusammenhang innerhalb bestimmter Charakteristika herzustellen.4 Die Methode, derer sie sich bedient, um ihr Ziel zu verwirklichen, bezeichnet man als Korrelationsanalyse. Mit dieser wird vor allem der Zusammenhang »zweier gleichberechtigter Merkmale«5 ermittelt. Ferner fungiert sie als Indikator für die Intensität der Beziehung und kommt nur dann zum Einsatz, wenn die Richtung der Relation nicht bekannt oder nicht von Relevanz ist 5. Somit lässt sich »Korrelation« im engeren Sinne wie folgt definieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten6

Daneben existiert zur Bestimmung der Art eines Zusammenhangs auch noch das Phä- nomen der Regression.5 Innerhalb dieses Themenbereiches gibt es eine Vielzahl von Rechenarten, auf die jedoch in dieser Arbeit nicht näher eingegangen werden soll. Obwohl die Gedankengänge und Aufgabenstellungen bei der Korrelation (»wie stark ist der Zusammenhang?«) und der Regression (»von welcher Art ist der Zusammenhang?«) verschieden sind, besteht zwischen den beiden Teilgebieten dennoch eine gewisse Beziehung. Dies führte dazu, den Korrelationsbegriff als Oberbegriff für zwei voneinander abweichende Fragestellungen in Anspruch zu nehmen.1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Historisches zur Korrelation

3.1 Von der Korrelationsanalyse zum Korrelationskoeffizienten

Der Begriff »Korrelation« leitet sich von dem lateinischen »co - relatio« ab und bezeichnet eine Wechselbeziehung, »das Aufeinander-bezogen-Sein von zwei Begriffen oder Dingen«.1 Er gewann etwa in der Mitte des 19. Jahrhunderts durch Sir Francis Galton2 (Vetter von Charles Darwin) und Karl Pearson3 an Bedeutung.

Anfangs bediente man sich der Korrelationsanalyse insbesondere in den Naturwissenschaften, speziell in der Biologie. Später fand sie aber auch Anwendung in den Wirtschaftswissenschaften, wo sie praktische Resultate hervorrief.

Als Galton 1859 Darwins4 »Der Ursprung der Arten« gelesen hatte, widmete er sich der Genetik. Er fragte sich, weshalb die Körpergrößen der Menschen nicht in zwei Extrema auseinanderdriften, sodass es lediglich »Zwerge« und »Riesen« gebe. Laut Darwins Theorie müssten kleine Eltern kleine Kinder und große Eltern große Kinder haben. Nach umfassenden Untersuchungen an Tieren stellte Galton die Hypothese auf, dass die Körpergrößen der Kinder stets auf das Mittelmaß komprimiert werden. Diesen Vorgang bezeichnete Galton als »Regression« und publizierte 1885 sein Werk »Die Regression in Richtung auf das allgemeine Mittelmaß bei der Vererbung der Körper- größe«. Auf dieser Erkenntnis basierend begründete er den Korrelationskoeffizienten r, der zahlenmäßig die Stärke der Korrelation festhält. Dieser wurde erst später durch seine Kollegen Bravais5 und Pearson bekannt, nach welchen er letztlich auch benannt wurde.6

3.2 »Groß« ist nicht gleich »groß«

Galton behauptete zunächst, dass Wörter wie »groß« und »klein« oder »leicht« und »schwer« ohne eine Beziehung zu einer Tatsache nicht sonderlich aussagekräftig seien. Es sei falsch anzuführen, dass große Männer automatisch schwerer als kleine seien, ohne davor zu definieren, was »große Männer« eigentlich sind. Für den einen mag 1,80m bereits »groß« sein, ein anderer empfindet diese Maße als »klein«. Somit sind solche Begriffe relativ und zahlenmäßig nicht eindeutig festlegbar. Um dennoch eine Verwendung für derartige Worte zu finden, setzte Galton die Bedingung voraus, dass jene nur »in bezug[sic!] auf einen wie auch immer definierten Durchschnitt gelten«1 müssen. Demnach bedeutet »groß« in einem bestimmten Kontext nichts anderes als »größer als der Durchschnitt«, »klein« folglich »kleiner als der Durchschnitt«. Dabei spielen die Tatsächlichen Maße eine irrelevante Rolle - das eigentlich Interessante stellt die Abweichung vom Mittelmaß dar. Die Behauptung »große Männer wiegen mehr als kleine« müsste entsprechend übersetzt werden: »Überdurchschnittlich große Männer wiegen mehr als das Durchschnittsgewicht. Männer, deren Körpergröße unter dem des Mittelmaßes liegt, bringen unterdurchschnittlich viele Kilos auf die Waage.2 « Der Durchschnittswert lässt sich hierbei mithilfe des arithmetischen Mittels berechnen.

4 Der BRAVAIS-PEARSON-KORRELATIONSKOEFFIZIENT

Voraussetzung für die Anwendung dieses Korrelationskoeffizienten, der auch EMPIRI- SCHER KORRELATIONSKOEFFIZIENT1 bzw. PRODUKTMOMENT-KORRELATIONSKOEFFIZIENT genannt wird, ist, dass es sich bei den zu untersuchenden Variablen x und y um zwei proportionalitätsskalierte Variablen handelt.2 Die Komponenten müssen quantitativ erfassbar sein und einen berechenbaren Durchschnittswert zulassen.

4.1 Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten r - Mög- lichkeit 1

Im Folgenden soll anhand eines Beispiels der Bravais-Pearson-Koeffizient verdeutlicht werden. Dabei orientiert man sich an der Behauptung »Große Männer wiegen mehr als kleine«.

Untersucht wurden K ö rpergr öß e und Gewicht von 13 M ä nnern. Diese Daten wurden in der folgenden Tabelle (Abb.1) festgehalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Messwerte lassen sich durch ein Diagramm veranschaulichen (Abb.2). Wie man daran er-kennen kann, scheint trotz der einen oder ande-ren Ausnahme bei steigender Größe(x- Koordinate) auch das Gewicht(y-Koordinate) zu wachsen. Das Schaubild lässt sich also durch eine »Je mehr…, desto mehr…«-Aussage be-schreiben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2

Die durchschnittliche Größe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beträgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = »Anzahl der befragten Männer«

Setzt man nun die jeweiligen Zahlenwerte in die Formel ein, erhält man für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Entsprechend erhält man für das durchschnittliche Gewicht [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie man nun erkennen kann, wiegt die erste Person aus Abb.1 um [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] also 15,2 kg weniger und ist gleichzeitig [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], also 11,3 cm kleiner als der Durchschnitt, während der letzte Kandidat das Durchschnittsgewicht um 16,8 kg und die Durchschnittsgröße um 12,7cm übertrifft. Eine weitere Überlegung von Galton war, dass je weniger die gemessenen Daten streuen, die einzelnen Abweichungen vom Mittelwert umso gravierender sind. Dies bedeutet nichts anderes als, dass

»eine gegebene Abweichung vom Mittelwert […] um so mehr aus dem Rahmen [fällt], je enger sich die Daten um den Mittelwert versammeln: Wenn alle Männer 80 Kilo wiegen und nur einer bringt zwei Zentner auf die Waage, wiegt das im wahrsten Sinne des Wortes mehr, als wenn die Gewichte gleichmäßig zwischen 60 und 100 Kilo streuen. «1

Deshalb schlug Galton vor, sich bei den Abweichungen der einzelnen Daten an der »Standardabweichung« zu orientieren, anstatt diese in »cm« oder »kg« zu messen.2 Die Standardabweichung bezeichnet dabei die mittlere Abweichung vom Durchschnittswert und dient der Beschreibung der Punktwertverteilung.3

4.1.1 Die Varianz s2

a) „ Klassische Formel “

Als Varianz wird der Quotient aus der Summe aller quadrierten Abweichungen vom Mittelwert durch die Anzahl der Versuchsobjekte bezeichnet, gemäß der Formel:4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Varianz bei der Größe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im aktuellen Beispiel ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach äquivalenter Rechnung ergibt sich für die Varianz des Gewichts [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Vereinfachte Formel

Die folgende Formel basiert auf der Umformung der ersten Variante.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Klammer [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] insgesamt n mal addiert wird und jedes Mal der Durch- schnittswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], der immer den gleichen Zahlenwert besitzt, darin vorkommt, muss es diesen auch n mal geben. Deshalb lässt sich für die Summe aller quadrierten Mittel- werte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man die obige Rechnung fort, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Mittelwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lässt sich durch Anwendung des arithmetischen Mittels auf die vor-handenen x-Werte berechnen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Ersetzt man den Durchschnittswert ݔ durch diese Umformung, so gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.1.2 Die Standardabweichung

Sie entspricht der Quadratwurzel der Varianz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]1

Hier wird die Notwendigkeit des vorherigen Kapitels deutlich: Um die Standardabweichung berechnen zu können, muss vorher die Varianz bekannt sein.

Für die Standardabweichung der Größe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Standardabweichung des Gewichts [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.1.3 Die Standardisierung der gemessenen Größen

Die beiden Werte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden nun als Maß für die mittlere Abweichung genommen, an welcher sich die gemessenen Abweichungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] orientieren sollen. Dabei werden die Messdaten standardisiert, indem sie als Vielfache der Standardabweichung ausgedrückt werden.2 Die Umrechnung in die standardisierte Größe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erfolgt dabei auf Basis der folgenden Funktion:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bereits als ausgerechte Werte vorliegen) Der erste Kandidat der Tabelle in Abb. 1 hat eine Größe von 170cm; das entspricht umgerechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seine Größe weicht also um 1,62 Standardabweichungen von dem Durchschnittswert ab. Das negative Vorzeichen deutet darauf hin, dass sich der Wert unterhalb des Durchschnittswertes befindet.

Entsprechend erhält man für das Gewicht nach der Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Gewicht liegt um 1,49 Standardabweichungen unter dem Durchschnittswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].1

Auf diese Art lassen sich alle Werte aus Abb. 1 standardisieren. Die folgende Tabelle (Abb. 3) zeigt die standardisierten Werte aller gemessenen Gewichte und Größen auf zwei Dezimale gerundet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.3

Ein Vorteil von standardisierten Werten ist die Tatsache, dass diese nicht von den ur- sprünglich gemessenen Einheiten abhängen. Es spielt also keine Rolle, ob das Gewicht in Kilogramm, Tonnen oder Zentner gemessen wird, der standardisierte Wert bleibt dabei immer der gleiche. So kann man Punktwerte von verschiedenen Einheitsmaßen einfacher miteinander vergleichen. Aus den neu berechneten Werten lässt sich erneut ein Diagramm (Abb. 4) aufstellen, das dem ersten (Abb. 2) ähnelt:2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 41

Wie sich aus dem Diagramm entnehmen lässt, befinden sich die meisten Punkte ent- weder im ersten oder dritten Quadranten. Ein positiver x-Wert zieht (meist) einen po- sitiven y-Wert nach sich; umgekehrt lässt sich einem negativen x-Wert (meist) ein ne- gativer y-Wert zuordnen. Bei dieser Äquivalenz spricht man von einer positiven Korre- lation.

4.1.4 Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Mit den soeben ermittelten Werten lässt sich der Bravais-Pearson- Korrelationskoeffizient ermitteln. Er entspricht der »mittleren Fläche, welche die Punkte unseres Diagramms mit den Mittelwert-Achsen bilden«2. Dabei sind die Flächen im ersten und dritten Quadranten positiv [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], die Flächen der zweiten und vierten Quadranten negativ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Um den Wert der mittleren Fläche zu ermitteln, muss das arithmetische Mittel auf die Teilflächen angewendet werden. Allgemein lässt sich somit schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im obigen Beispiel ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der positive Wert des Ergebnisses deutet darauf hin, dass es sich um eine positive Kor- relation handelt. Da der Wert ferner der Zahl »1« sehr nahe ist, ist daraus eine mittel- starke1 bis starke Korrelation zwischen »Körpergröße« und »Körpergewicht« zu fol- gern.

4.2 Berechnung des Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizienten r - Mög- lichkeit 2

Meistens findet man in mathematischen Lehrbüchern jedoch eine andere Formel, die der Berechnung des Korrelationskoeffizienten dienen soll. Dabei bedient man sich der sogenannten Kovarianz sxy.

4.2.1 Die Kovarianz

Sie unterscheidet sich von der Varianz insofern, dass die einzelnen Abweichungen der gemessenen x-Werte vom Durchschnitt nicht mit sich selbst, sondern stattdessen mit den Abweichungen der zugehörigen y-Werte vom Durchschnitts-y-Wert multipliziert werden:1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alternativ ergibt sich durch den Verschiebungssatz nach Steiner 2 für die Berechnung der Kova- rianz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2.2 Umformung der ersten Formel

Ausgehend von den obigen Formeln soll die gängige Form hergeleitet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ersetzt man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Kovarianz berechnen zu können, müssen die Abweichungen der einzelnen x- und y-Werte vom jeweiligen Durchschnittswert bestimmt werden. Die folgende Tabel- le (Abb.5) stellt die bereits ausgerechneten Abweichungen vom Mittelwert dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man die Werte ein, so ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Wert des Korrelationskoeffizienten erhält man damit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Ergebnis stimmt mit dem der vorherigen Rechnung zur Ermittlung des Korrelationskoeffizienten überein und bestätigt die Richtigkeit beider Rechenwege.

5 Der RANGKORRELATIONSKOEFFIZIENT NACH SPEARMAN

Um den RANGKORRELATIONSKOEFFIZIENTEN nach Spearman1 anwenden zu können, müssen beide untersuchten Variablen ordinalskaliert sein, d.h. die Eigenschaft besitzen, sich natürlich anordnen zu lassen, da es bei dieser Korrelationsanalyse weniger um die Er- scheinung der einzelnen Merkmale geht, sondern es allein auf die Rangordnung der einzelnen Komponente ankommt. Die Werte, die dabei in Wirklichkeit gemessen wor- den sind, spielen dabei eine hintergründige Rolle; sie dienen lediglich der Einstufung in die Rangordnung.2 Tragen zwei Faktoren die gleiche Rangordnung, so wird auf diese das arithmetische Mittel angewendet und ihnen der Mittelwert der beiden Ränge zu- geordnet.3 Im folgenden Beispiel (Abb. 1) soll dieses Problem verdeutlicht werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1

Die Zahlen 2,4,5,7,7,8 sollen nach ihrer Größe, beginnend mit dem kleinsten, geordnet werden. Dabei kommt jedoch der Wert 7 zweimal vor und würde sich damit auf die Ränge 4 und 5 verteilen. Da es sich betragsmäßig jedoch um exakt denselben Wert handelt, wäre es falsch zwei unterschiedliche Rangordnungen zu verleihen. Daher ord- net man diesen Werten den Mittelwert der Rangordnungen zu, auf die sie sich vertei- len: (4 + 5): 2 = 4,5

5.1 Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman - Möglichkeit 1

Anhand des folgenden Beispiels soll die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman verdeutlicht werden:

[...]


1 http://www.stubig.com. Sammlung von Zitaten zur Statistik. http://www.stubig.com/Wissenschaft/Zitate.html; aufgerufen am 29.10.2010

2 * 19. Dezember 1916 in Berlin; † 25. März 2010 in Allensbach; Professorin für Kommunikationswissenschaft

1 Drosdowski, G. et al., DUDEN Deutsches Universalwörterbuch, 2. Auflage, Mannheim 1989, S. 886

2 TIEDE, M. (1987): Statistik, Regressions-und Korrelationsanalyse, München: Oldenbourg Verlag; S. 1

3 Vgl. TIEDE, S. 1f.

4 Nach http://www.mathe-online.at (19.01.2004).BERGER, K.(2004): Die Korrelation von Merkmalen. http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/regression/korrelation.pdf; aufgerufen am 14.08.2010

5 Nach http://www.imbe.med.uni-erlangen.de;MUELLER, M.(2007): Korrelation. http://www.imbe.med.uni-erlangen.de/lehre/Querschnittsbereich1/Unterlagen/; aufgerufen am 14.08.2010

6 Grafik entnommen aus http://www.mathe-online.at(14.08.2010)

1 Vgl. FÖRSTER, E. & Rönz, B.(1979): Methoden der Korrelations- und Regressionsanalyse, Ein Leitfaden für Ökonomen, Berlin: Verlag Die Wirtschaft; S. 20f.

1 http://www.wissen.de. Wissen Media Verlag ©:München. http://www.wissen.de/wde/generator/wissen/ressorts/bildung/index,page=1169818.html; aufgerufen am 14.08.2010

2 * 16. Februar 1833 in Sparkbrook, Birmingham; † 17. Januar 1911 in Haslemere, Surrey; britischer Naturwissen schaftler und Schriftsteller

3 * 27. März 1857 in London; † 27. April 1936 in Coldharbour, Surrey; britischer Mathematiker

4 * 12. Februar 1809 in Shrewsbury; † 19. April 1882 in Downe; britischer Naturwissenschaftler

5 * 23. August 1811 in Annonay, Frankreich; † 30. März 1863 in Le Chesnay; französischer Physiker

6 Vgl. FÖRSTER & RÖNZ; S. 50ff.

1 Nach: KRÄMER, W. (1998):Statistik verstehen. Eine Gebrauchsanweisung. 3. Auflage. Frankfurt/Main:Campus Verlag; S. 185

2 Vgl. KRÄMER; S. 185

1 Vgl. SACHS, L. (1972): Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. 13. Auflage. Heidelberg: Sprin ger-Verlag Berlin-Heidelberg; S. 102

2 http://shop.elsevier.de(02.07.2004).ELSEVIER: Einfache Korrelationsanalyse. Podukt-Moment- Korrelation zwischen zwei proportionalitätsskalierten Merkmalen. http://shop.elsevier.de/sixcms/media.php/795/Einfache%20Korrelationsanalyse.pdf; aufgerufen am 23.08.2010

1 Zitiert nach KRÄMER; S. 186

2 Nach KRÄMER; S. 186

3 Vgl. LOHNES, P. R. & COOLEY, W. W.(1968): Einführung in die Statistik. Beiträge zur empirischen Unterrichtsforschung. Hannover: Hermann Schroedel Verlag KG; S. 58

4 Vgl. LOHNES & COOLEY; S. 54ff.

1 Vgl. LOHNES & COOLEY; S. 56

1 Vgl. MÜLLER, A.(1991): Abitur-Training Mathematik/Stochastik. Leistungskurs Grundlagen und Aufgaben mit Lösungen. Auflage 2008. Freising: STARK Verlagsgesellschaft mbH & Co. KG; S. 40

2 Vgl. KRÄMER; S. 187

1 Vgl. KRÄMER; S. 187

2 Vgl. LOHNES & COOLEY; S. 61

1 Diagramm entnommen aus KRÄMER; S. 188

2 Zitiert aus: KRÄMER, W. S. 189

1 Bewertung entnommen aus: ATHEN, H. (1968):Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Heft 2. 3.durchgesehene Auflage. Hannover: Schroedel Verlag KG; S. 146

1 Vgl. http://wirtschaft.fh-duesseldorf.de(18.11.06). SCHMEINK, L. (2006): Korrelation Bravais-Pearson. Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson. http://wirtschaft.fh- duesseldorf.de/fileadmin/dekanat/Schmeink/028_korrelationsanalyse_bravais-pearson.pdf; aufgerufen am 20.08.2010

2 * 18. März 1796 in Utzenstorf; † 1. April 1863 in Bern; Schweizer Mathematiker

3 Formel entnommen aus BARTH et al.(2008): Mathematische Formeln und Definitionen.8. Auflage. München: Bayerischer Schulbuchverlag GmbH; S. 109

1 10. September 1863 in London; † 7. oder 17. September 1945 in London; britischer Psychologe

2 Nach BURKSCHAT; M. et al. (2000): Beschreibende Statistik. Grundlegende Methoden. Berlin: Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 2004; S. 277f.

3 Vgl. SCHULZE, P.M. (2003): Beschreibende Statistik. 5. Auflage. München: Oldenbourg-Verlag: S. 130

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Details

Title
Korrelationsanalyse - Berechnung von Zusammenhängen zwischen zwei verschiedenen Variablen
Grade
1,0
Author
Year
2010
Pages
86
Catalog Number
V175289
ISBN (eBook)
9783640969661
ISBN (Book)
9783640969579
File size
1286 KB
Language
German
Series
Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen
Notes
"Ungewöhnlich für eine (Schüler!-) Facharbeit ist die mathematische Exaktheit: Die Verfasserin hat stets der Versuchung widerstanden, so manche Formel einfach zu "übernehmen" und dann zu verwenden. Es ist beeindruckend mit welcher Genauigkeit hier Schritt für Schritt gearbeitet wurde. Man hat auch als Korrektor einiges dazugelernt am Ende der Lektüre und man weiß zuletzt nicht, welcher Teil (Theorie oder Praxis) der bessere ist." Bewertung: 15 Punkte
Tags
korrelationsanalyse, berechnung, zusammenhängen, variablen
Quote paper
Vanessa Wegert (Author), 2010, Korrelationsanalyse - Berechnung von Zusammenhängen zwischen zwei verschiedenen Variablen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/175289

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