Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
I. Einleitung
1. Vorwort
2. Intention
3. Was sind komplexe Zahlen?
II. Hauptteil
1. Grundlagen
1.1 Die Normalform einer komplexen Zahl
1.2 Algebraisches Rechnen mit komplexen Zahlen
1.2.1 Einführung
1.2.2 Addition und Subtraktion
1.2.3 Multiplikation und Division
2. Die Gauß’sche Zahlenebene
2.1 Was ist die Gauß’sche Zahlenebene?
2.2 Darstellung der komplexen Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene
2.3 Rechnen mit komplexen Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene
2.3.1 Einführung
2.3.2 Addition und Subtraktion
2.3.3 Multiplikation und Division
2.4 Geometrische Figuren in der Gauß’schen Zahlenebene.
3. Komplexe Funktionen
3.1 Einführung
3.2 Anwendung komplexer Funktionen auf geometrische
Figuren komplexer Zahlen
3.2.1 Verschiebung von Körpern
3.2.2 Drehung um den Ursprung
3.2.3 Drehung um einen beliebigen Punkt mit variablem Winkel
3.3 Beispiele einer vierdimensionaler Darstellungen komplexer Funktionen.
III. Schluss
1. Literaturverzeichnis
2. Anhang
1. Vorwort
In dieser vorliegenden Arbeit behandle ich den Themenbereich der Zahlenmenge komplexer Zahlen. Hier ist zu beachten, dass kein Versuch gemacht wird die gesamte Thematik der komplexen Zahlen abzudecken, dies würde den gesetzten Rahmen überschreiten. Aufgrund dessen beschränke ich mich auf bestimmte Themenbereiche, welche sich gegenseitig bedingen und ergänzen.
2. Intention
Zur Darstellung und Erläuterung, was eine komplexe Zahl ist, zeige ich anhand der
Gauß’schen Zahlenebene, welche ein gutes Veranschaulichungsmittel ist, Merkmale und Eigenschaften komplexer Zahlen auf.
Von enormer Wichtigkeit ist die Herausstellung der Vorstellung des algebraischen Rechnens mit komplexen Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene, da jenes bezüglich der Kerninhalte eine notwendige Voraussetzung darstellt. Dieses wird bereits zu Beginn erläutert. Die vorangestellten Inhalte sollen es dem Leser ermöglichen sich ein Bild von den komplexen Zahlen zu machen und helfen, die darauf aufbauende Auseinandersetzung mit den Abbildungen komplexer Funktionen zu verstehen.
3. Was sind komplexe Zahlen?
Um das Wesen der komplexen Zahlen zu erfassen, schaue man sich zu Beginn folgende
Gleichung an: x² + 1 = 0. Löst man die Gleichung nach x auf, so erhält man: x = −1, wobei man allerdings auf das Problem stößt, dass die Wurzel aus einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert und die Gleichung somit in dieser Zahlenmenge nicht lösbar ist. Wie soll das auch gehen? Dazu m ü sste das Quadrat einer Zahl negativ werden, welches, wie man in der Schule immer lernt, doch stets positiv ist.
1 Tatsächlich war es bis ins 16. Jahrhundert selbstverständlich, dass man sich bei Termen der Art [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf eine positive Zahl b beschränkte. Zu dieser Zeit „entdeckte Geronimo Cardano, (...), dass man Lösungen gewisser quadratischer Gleichungen bequemer ausrechnen konnte, wenn man sich - rein formal - mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen einließ“ (Pierre Basieux. Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. Reinbeck bei Hamburg 2004. S.25). Letztere unterscheiden sich allerdings maßgeblich von den reellen Zahlen, in deren Zahlenmenge die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Um eine Lösung dieser Gleichung zu erhalten, muss man den Zahlenbereich erweitern. Hierzu bezeichnet man die Zahl, deren Quadrat -1 ergibt als i. Also i ² = −1 .Somit lautet die Lösung der Gleichung x ² + 1= 0 nicht[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], sondern schlicht und einfach i. Da die Zahl i weitaus weniger realitätsnah ist als reelle Zahlen, nennt man i auch die imaginäre Einheit mit der oben beschriebenen Eigenschaft.2 Um von der imaginären Einheit i zu den komplexen Zahlen zu kommen wird vorerst einmal die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] betrachtet. Die Lösung mit Hilfe der p-q Formel ergibt: z
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
II. Hauptteil
Grundlagen
1.1 Die Normalform einer komplexen Zahl
1 Zwei Möglichkeiten eine komplexe Zahl darzustellen, nämlich einmal die trigonometrische Form und einmal die sogenannten Normalform werden in dieser Facharbeit betrachtet. Wie man im vorangegangenen Kapitel bereits gesehen hat, setzt sich eine komplexe Zahl aus einer reellen Zahl und der imaginären Einheit i (für die gilt: i² = -1), sowie deren Vorfaktor zusammen. Nehmen wir das Beispiel aus dem letzten Kapitel: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgenden Feststellungen auf alle komplexen Zahlen zu verallgemeinern, ist es sinnvoll das oben aufgeführte Beispiel einer komplexen Zahl in eine allgemeine Form zu bringen.
Bezeichnet man die reelle Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als a und den reellen Faktor vor i als b, so ergibt sich die allgemeine Normalform einer komplexen Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].Wobei die reelle Zahl a den Realteil und das Produkt aus der reellen Zahl b und der imaginären Einheit i den Imaginärteil der komplexen Zahl ausmachen.2
1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
1.2.1 Einführung
3 Wie rechnet man mit komplexen Zahlen? Gibt es neue „Rechenvorschriften“ oder dürfen alte Regeln wie z.B. das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz oder das Distributivgesetz nicht mehr angewendet werden? Bei einer Erweiterung des Zahlenbereiches können die Antworten auf diese Fragen große Bedeutung haben. Fakt ist, dass die komplexen Zahlen es uns recht einfach machen, denn sie können genauso addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden wie reelle Zahlen. Diese Tatsache soll im folgenden Teil nicht bewiesen, sondern vielmehr anhand von ein paar Beispielen gezeigt werden.
1.2.2 Addition und Subtraktion
Gegeben seien zwei komplexe Zahlen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] deren Summe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Für w ergibt sich demnach: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ersetzt man die Summe der reellen Zahlen a und c durch u und die Summe der reellen Zahlen b und d durch v, so erhält man wiederum eine reelle Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in der Normalform. Dementsprechend ergibt sich für die Subtraktion:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Genau wie bei der Addition kann man auch hier die 1 2 zwei Subtraktionen von jeweils zwei reellen Zahlen zu einer neuen reellen Zahl zusammenfassen. Es ergibt sich also auch hier wieder eine komplexe Zahl. Addiert bzw. subtrahiert man die Imaginärteile und die Realteile zweier komplexer Zahlen, so erhält man eine dritte komplexe Zahl als Ergebnis der Addition bzw. der Subtraktion.4
1.2.3 Multiplikation und Division
Gegeben seien zwei komplexe Zahlen z
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wie man sehen kann, erhält man aus dem Quotient der komplexen Zahlen z und z ebenfalls eine komplexe Zahl, da die Terme in den Klammern reelle Zahlen sind.2
[...]
1-2 Pierre Basieux. Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. S. 25-27
1-2 Pieper, Herbert. Die komplexen Zahlen. S.69.
3-4 Basieux, Pierre. Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. S. 26 und Pieper, Herbert. Die komplexen Zahlen. S.69, 70.
1-2 Basieux, Pierre. Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. S.26