Die Anfänge der komplexen Zahlen liegen im 16. Jahrhundert und führen auf den italienischen Mathematiker Girolamo Cardano zurück. Er erhielt seine mathematische Ausbildung von seinem Vater, der an den Universitäten von Pavia und Mailand Geometrie unterrichtete.
Inhaltsverzeichnis
- Einführung der komplexen Zahlen
- Historischer Abriss
- Arithmetik der komplexe Zahlen
- Geometrie der komplexen Zahlen
- Gaußsche Zahlenebene
- Geometrische Darstellung der Addition und Multiplikation
- EDV mit komplexen Zahlen
- Komplexe Multiplikation, Division und Abbildung der Ebene
- Multiplikation
- Division
- Multiplikation am Einheitskreis
- Inversionen und Riemannsche Sphäre
- Inversion
- Riemannsche Sphäre
- Stereographische Projektion
- Reflektion
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Ausarbeitung des Vortrags „Eine erfreuliche Fiktion" zielt darauf ab, eine Einführung in die Welt der komplexen Zahlen zu geben und deren geometrische Interpretationen zu beleuchten. Die Arbeit behandelt die historische Entwicklung der komplexen Zahlen, ihre arithmetischen Eigenschaften und ihre Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene. Darüber hinaus werden die geometrischen Effekte der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen sowie die Bedeutung der komplexen Zahlen in der EDV und der Abbildung der Ebene untersucht.
- Historische Entwicklung der komplexen Zahlen
- Arithmetik und geometrische Interpretation der komplexen Zahlen
- Komplexe Zahlen in der EDV und der Abbildung der Ebene
- Inversionen und die Riemannsche Sphäre
- Stereographische Projektion
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in die Welt der komplexen Zahlen ein und beleuchtet ihren historischen Ursprung. Es werden die Anfänge der komplexen Zahlen im 16. Jahrhundert bei Girolamo Cardano und ihre Entwicklung bis zum frühen 20. Jahrhundert als „mystisches Konzept" beschrieben. Das Kapitel erläutert außerdem die Definition der komplexen Zahlen und ihre arithmetischen Eigenschaften, einschließlich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
Das zweite Kapitel befasst sich mit der Geometrie der komplexen Zahlen. Es wird die Gaußsche Zahlenebene als geometrische Darstellung der komplexen Zahlen eingeführt. Das Kapitel erläutert die geometrische Interpretation der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen, wobei die Multiplikation als Drehstreckung dargestellt wird. Die Polarform der komplexen Zahlen wird vorgestellt und ihre Bedeutung für die anschauliche Interpretation der Multiplikation hervorgehoben.
Das dritte Kapitel behandelt die Anwendung komplexer Zahlen in der EDV. Es wird die Notwendigkeit eigener Bibliotheken für den Umgang mit komplexen Zahlen in Programmiersprachen beschrieben.
Das vierte Kapitel widmet sich der komplexen Multiplikation, Division und der Abbildung der Ebene. Die Multiplikation von komplexen Zahlen wird als Transformation betrachtet, die jeden Punkt der Ebene auf einen neuen Punkt abbildet. Die geometrischen Effekte der Multiplikation, wie Streckung, Stauchung und Drehung, werden anhand von Beispielen illustriert. Das Kapitel erläutert außerdem die Division durch eine Konstante als Transformation und untersucht die Besonderheiten der Multiplikation mit Zahlen, deren Betrag 1 ist.
Das fünfte Kapitel behandelt Inversionen und die Riemannsche Sphäre. Die Inversion als Spiegelung am Einheitskreis wird vorgestellt und ihre Eigenschaften erläutert. Die Riemannsche Sphäre als Modell der komplexen Zahlen wird eingeführt und die Stereographische Projektion als Abbildung zwischen der Oberfläche der Sphäre und der Gaußschen Zahlenebene erklärt.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die komplexen Zahlen, ihre historische Entwicklung, ihre arithmetischen Eigenschaften und ihre geometrische Interpretation. Die Gaußsche Zahlenebene, die Drehstreckung, die Polarform der komplexen Zahlen, die Inversion, die Riemannsche Sphäre und die Stereographische Projektion sind wichtige Aspekte, die in der Ausarbeitung behandelt werden. Der Text beleuchtet die Anwendung komplexer Zahlen in der EDV und untersucht die Abbildung der Ebene durch komplexe Multiplikation und Division.
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- Monica Stegemann (Author), 2008, Indra's Pearls - Eine erfreuliche Fiktion, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/177587
