Fragen zu einer Sachsituation entwickeln und mit mathematischer Modellierung beantworten

Unterrichtsentwurf für eine Lehrprobe im Fach Mathematik Jahrgang 7


Unterrichtsentwurf, 2010
9 Seiten, Note: 1

Leseprobe

1. Angaben zur Lerngruppe / Klassensituation

Die Klasse X der Gesamtschule X besuchen X Kinder, darunter X Jungen und X Mädchen. Es handelt sich um einen sehr lebendigen Kurs mit Binnendifferenzierung, etwa ein Fünftel der Schüler/innen arbeitet auf er­höhtem Niveau.

Auffällig ist X, der in einer Pflegefamilie lebt und um Aufmerksamkeit innerhalb der Klasse kämpft. Er be­nötigt häufig persönliche Aufforderungen, damit er sich mit unterrichtsrelevanten Inhalten beschäftigt und Störungen einstellt. Er zeigt ein sehr impulsives Verhalten und reagiert auf Ermahnungen oft mit Aggressivi­tät oder auch völliger Resignation und Arbeitsverweigerung. Um eine negative Auswirkung auf das Unter­richtsgeschehen und die Arbeitsprozesse innerhalb der gesamten Lerngruppe zu verhindern, werden Maßre­gelungen möglichst begrenzt eingesetzt. Mit positiver Verstärkung wurden hingegen gute Erfahrungen ge - macht.

2. Thema der Unterrichtseinheit und der Stunde

Der Rahmenplan Mathematik1 sieht für den Jahrgang 7 der Gesamtschule die Behandlung des Dreisatzes als Teil des Kompetenzbereichs „Idee des funktionalen Zusammenhangs“ vor. Nach der Förderung der Grund­vorstellung von Zuordnungen mithilfe qualitativer und später auch quantitativer Untersuchungen von Gra­phen, Daten und Tabellen wurde schließlich das Berechnungsschema des proportionalen Dreisatzes einge­führt. Die Lernsituationen wurden an der Lebenswelt der Schüler/innen orientiert: Die Frage „Welcher Su­permarkt ist der günstigste?“ war beispielsweise Anlass zum Vergleich von Lebensmittelpreisen in Werbe­prospekten. In der geplanten Stunde erhalten die Schüler/innen die Möglichkeit, ihr bisher erlerntes ma­thematisches Werkzeug auf eine Sachsituation anzuwenden. Hierzu entwickeln sie Fragen zu einem Bild vom größten Schuh der Welt, die sie mathematisch zu lösen versuchen. Im Vordergrund steht hierbei das Erfassen der Realsituation und die Planung und Durchführung der notwendigen mathematischen Tätigkei­ten, sowie die Kommunikation und Reflexion über die Problemlösung.

3. Einbettung der Stunde in die Gesamtplanung

Der Einstieg in den Themenschwerpunkt erfolgte über die qualitative Untersuchung von verschiedenen Gra­phen aus der Realität, zu denen die Schüler/innen einen individuell-kreativen Zugang erfuhren, indem sie eine Geschichte zu dem von ihnen gewählten Schaubild verfassten. Hier zeigte sich bereits, dass die Vorer­fahrungen der Schüler/innen stark differierten: Einige Kinder verfügten über ein intuitives Verständnis von steigenden, fallenden und stagnierenden Graphenverläufen und hatten keine Schwierigkeiten, Graphen zu realen Problemen zu interpretieren. Andere Kinder mussten sich diese Kompetenzen erst erarbeiten. Die vertiefende Behandlung des Zuordnungsgedankens erfolgte über handlungsorientierte Verfahren (unter an­derem das „Graphen gehen“), um den Schüler/innen einen Zugang zum Thema zu erleichtern. Insgesamt wurde für diesen Teil der Unterrichtsreihe viel Zeit investiert, um die mathematischen Grundvorstellungen der Schüler/innen ausreichend zu fördern, bevor mathematische Fachbegriffe und Werkzeuge erlernt wer­den.

Zur Einführung des Proportionalitätsbegriffs stand die Frage „Je mehr desto mehr?“ im Fokus, die an unter­schiedlichen Bildern von konkreten Realsituationen überprüft wurde (wie etwa der Zusammenhang zwi­schen dem Gießen einer Pflanze und ihrem Wachstum). Dies fiel vielen Lernenden leicht, die Überprüfung der Existenz von Proportionalität eines Datensatzes in Form einer Wertetabelle oder eines Graphen ver­deutlichte erneut die unterschiedlichen Lernvoraussetzungen der Lerngruppe: Ein kleiner Teil verfügte über

Vorkenntnisse zu proportionalen Zuordnungen aus der Grundschule und war bereits vor der Einführung des Dreisatzschemas in der Lage, Zuordnungen auf Proportionalität hin zu untersuchen, bei denen die Eingabe­werte nicht ganzzahlige Vielfache voneinander sind. Nach dieser qualitativen Auseinandersetzung mit pro­portionalen Zuordnungen wurde das Schema des Dreisatzes von den Schüler/innen in Kleingruppen eigen­ständig erarbeitet und geübt. Einer Übungsstunde, in der die Schüler/innen ihre in der Unterrichtseinheit erlernten Kompetenzen mit Hilfe einer Checkliste überprüfen und verbessern konnten, schloss sich eine Leistungsüberprüfung an. In der Stunde vor der Lehrprobe wurde die Klassenarbeit besprochen.

In einer offenen Aufgabe sollen die Schüler/innen nun nicht nur auf ihr in der Unterrichtseinheit erworbe­nes fachmathematisches Wissen zurückgreifen, sondern auch Kompetenzen ausbauen, die auf beliebige ma­thematische Inhalte übertragbar sind. Die Aufgabe, die mathematische Modellierung2 erfordert, wird erst nach der Leistungsüberprüfung gestellt, um eine Verunsicherung der Schüler/innen zu verhindern. Zwar werden die Schüler/innen langsam an derartig offene Aufgaben herangeführt, jedoch fehlt ihnen noch die Routine, um eigene Fehler auf dem Weg zum Ziel zu akzeptieren und frei von Befürchtungen zu arbeiten, nicht oder nicht schnell genug die „richtige Lösung“ zu finden. Sehr wahrscheinlich wird die Beantwortung der selbstgestellten Fragen aus Zeitgründen nicht in der Einzelstunde abgeschlossen. In der folgenden Stun­de erhalten die Schüler/innen die Möglichkeit, an der Aufgabe weiterzuarbeiten, die Arbeitsergebnisse zu präsentieren und die Gruppenarbeit zu reflektieren. Die Behandlung der Antiproportionalität bildet den Ab­schluss der Einheit. In der nächsten Unterrichtseinheit wird ein weiteres Handwerkszeug, das für die Schü­ler/innen in der Realität hilfreich ist, erarbeitet: Die Prozentrechnung.

4. Begründung der didaktischen Entscheidungen

4.1 Sachanalytische Hinweise

Als Einstieg in die Stunde dient ein Foto des derzeitig größten Schuhs der Welt. Ausgehend von dieser rea­len Sachsituation entwickeln die Schüler/innen mathematische Fragen. Hier sind sämtliche Fragen von „Wie viel wiegt der Schuh?“ bis „Wie viel Material war zur Herstellung nötig?“ denkbar, vermutlich werden jedoch größtenteils Fragen genannt, die die Größe des Schuhs betreffen, wie etwa: „Wie lang ist der Schuh?“, „Welcher Schuhgröße entspricht der Schuh?“, „Wie groß müsste eine Person sein, der dieser Schuh passt?“. Die Beantwortung dieser Fragen werde ich hier exemplarisch vorstellen, wenngleich den Schüler/innen Raum gegeben werden soll, sich mit anderen Fragen auseinanderzusetzen.

Um herauszufinden, wie lang der Schuh in Wirklichkeit ist, benötigt man einen Maßstab, da lediglich die Länge des Schuhs auf dem Bild gemessen werden kann, nicht aber die Größe in der Realität. Hierfür wird eine Bezugsgröße im Bild gewählt, von der die Länge relativ genau geschätzt werden kann. In diesem Fall ist der Mann ganz rechts im Bild als Bezugsgröße geeignet. Nun ist es erforderlich, eine Annahme über die Größe des Mannes zu treffen, die man mit Hilfe eigener Erfahrungen aus dem Alltag stützen kann. Nimmt man an, dass ein erwachsener Mann im Schnitt etwa 1,85m groß ist, so kann man nun das Verhältnis des Mannes auf dem Bild zum Riesenschuh bestimmen: Der Schuh ist etwa 3,5mal so lang wie der Mann groß ist. Damit folgt für die Länge des Schuhs x = 1,85m · 3,5 = 6,5m. Hierbei handelt es sich um eine grobe Ab­schätzung, die von den Schüler/innen durch Einzeichnen der Länge des Mannes mit relativ wenig Rechen­aufwand vorgenommen werden kann. Eine etwas genauere Alternative bietet die Berechnung mittels Drei­satz. Hierzu werden die Längen des Mannes und die Länge des Schuhs auf dem Bild zunächst gemessen und dann mit der angenommenen Größe des Mannes ins Verhältnis gesetzt. Entspricht die Länge des abgebilde - ten Mannes von etwa 4cm in der Realität einer Körpergröße von 185cm, so entspricht 1cm auf dem Bild etwa 46cm (185:4) in der Realität. Der Schuh, der auf dem Bild ca. 14,5cm lang ist, hat in der Realität eine Länge von 14,5 · 46 = 670cm. Eine Schuhlänge von 6,70m ist also anzunehmen und erscheint nach obiger Abschätzung plausibel. Vernachlässigt wurde hierbei allerdings, dass der Mann rechts im Bild zum einen nicht gerade steht, zum anderen ist auch der Schuh nicht ganz im Profil zu sehen. Um dies zu berücksichti­gen müsste ein noch komplexeres mathematisches Modell aufgestellt werden, welches für die Beantwor­tung von Schülerfragen jedoch nicht notwendig ist. Bedeutsamer als die exakte Lösung ist hier die Entwick­lung einer angemessenen Größenvorstellung, also die plausible Beantwortung der Frage.

Die Abschätzung der Schuhgröße des Riesenschuhs kann nun mithilfe der ermittelten Schuhlänge erfolgen. Die europäischen Schuhgrößen werden nach dem Pariser Stich berechnet: Die Länge des Schuhs multipli­ziert mit 1,5 ergibt die Schuhgröße. Diese Information ist jedoch zur Berechnung nicht notwendig: Verwen­det man zur Bestimmung der Schuhgröße den Dreisatz, so ist die Kenntnis einer einzigen Schuhgröße und der zugehörigen Schuhlänge ausreichend, da sich hieraus der Proportionalitätsfaktor 1,5 ergibt. Dies kön­nen die Schüler/innen durch Ausmessen ihrer Schuhe und Überprüfung der Schuhgröße herausfinden. Eine Schuhlänge von 24cm entspricht der Schuhgröße 36. Möchte man nun herausfinden, welcher Schuhgröße eine Schuhlänge von 6,70m entspricht, führt folgende Berechnung zur Lösung:

Der Weltrekord-Schuh entspräche also einer Schuhgröße von etwa 1005. Die dritte Frage kann nach einem ähnlichen Schema bestimmt werden, wobei es keinen derartigen Proportionalitätsfaktor gibt, da vor Ab­schluss der Wachstumsphase kein proportionales Verhältnis zwischen Fußlänge und Körpergröße bestehen muss. Die eigenen Messungen der Schüler/innen sind also möglicherweise nicht ideal zur Bestimmung der Körperlänge der Person, die den Riesenschuh tragen könnte. Allerdings gilt auch hier, dass eine grobe Ab­schätzung mindestens genauso aufschlussreich ist und als Anhaltspunkt zur Größendimension ausreicht. Nimmt man als Grundlage eine Körpergröße von 1,60m bei einer Schuhgröße von 36 an, so erhält man für eine Schuhgröße von 1005 eine Körperhöhe von etwa 45m. Alternativ könnte auch die Fußlänge mit der Kör­pergröße ins Verhältnis gesetzt werden.

4.2 Didaktische Entscheidungen

Das Bild, das zu Beginn der Stunde vorgelegt wird, dient als Impuls zum Nachdenken über Mathematik in der Realität. Die Schüler/innen erhalten die Gelegenheit, zunächst ihre Gedanken zur Realsituation im Bild zu äußern und dann eigene mathematische Fragen zu entwickeln. So wird ein Problembewusstsein bei den Lernenden geschaffen, es erfolgt eine individuelle Annäherung an die Situation. Nach der unkommentierten Sammlung der Fragen werden diese auf die mathematische Lösbarkeit ohne das Hinzuziehen von weiteren Informationen überprüft und anschließend bezüglich der Schwierigkeit der Beantwortung klassifiziert. Diese Einstiegsphase erfordert viel Zeit, der Aufwand erscheint aber gerechtfertigt, da der Reiz, ein reales Pro­blem mathematisch zu untersuchen, größer ist, wenn die Frage auch eine Frage des Lernenden ist, die nicht vorgegeben wird. Hieraus resultiert die Entscheidung, die Aufgabe offen zu gestalten, also weder eine Frage vorzugeben, noch den thematischen Bereich der Fragen einzuschränken. Zwar ließe sich hierdurch eine Vergleichbarkeit der Schülerergebnisse herstellen, jedoch sollen die Lernenden an dieser Stelle Raum erhalten, sich und ihr Können auszuprobieren.

[...]


1 Freie und Hansestadt Hamburg (2007): „Rahmenplan Mathematik - Bildungsplan Integrierte Gesamtschule - Sekundarstufe 1“, S. 23. Abrufbar unter: http://www.hamburger-bildungsserver.de/bildungsplaene/Sek-I_GS/MATHE_GS_SekI.pdf [überarbeitete Fassung von 02/2007. Abrufdatum: 08.01.2010]

2 vgl. Blum, Werner; Leiß, Dominik (2005): Modellieren im Unterricht mit der “Тапкеп’’-Aufgabe. In: mathematik lehren. Heft 128. S. 19. Der von Blum/Leiß dargestellte Modellierungskreislauf sieht neben der Erfassung der realen Situation ihre Idealisierung und Übertragung in mathematische Strukturen vor. Das entstandene mathematische Modell kann dann bearbeit werden, die Lösung muss schließlich auf die reale Situation angewendet und validiert werden.

Ende der Leseprobe aus 9 Seiten

Details

Titel
Fragen zu einer Sachsituation entwickeln und mit mathematischer Modellierung beantworten
Untertitel
Unterrichtsentwurf für eine Lehrprobe im Fach Mathematik Jahrgang 7
Hochschule
Landesinstitut für Lehrerbildung und Schulentwicklung Hamburg
Note
1
Autor
Jahr
2010
Seiten
9
Katalognummer
V178956
ISBN (eBook)
9783656055211
ISBN (Buch)
9783656055730
Dateigröße
505 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Das Bildmaterial wurde aus urheberrechtlichen Gründen entfernt (Bild vom größten Schuh der Welt).
Schlagworte
Lehrprobe, Unterrichtsentwurf, Mathematik, Modellierung, Dreisatz, Mittelstufe, Lehramt, Gesamtschule, Stadtteilschule
Arbeit zitieren
Beeke Kühnapfel (Autor), 2010, Fragen zu einer Sachsituation entwickeln und mit mathematischer Modellierung beantworten, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/178956

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