Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen. Einführung, Erläuterung, Beweise und Herleitung.
Die ganzen Zahlen haben die Eigenschaft, dass jede Additionsgleichung mit Koeffizienten
aus Z lösbar ist. Bei der Definition der rationalen Zahlen geht es nun darum,
eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden. Nachfolgend wollen wir
in die rationalen Zahlen einführen und den Umgang mit diesen deutlich machen. Wir
halten uns dabei stark an REISS/SCHMIEDER (2007) und verweisen auf deren Publikation
Inhaltsverzeichnis
Grundlegendes zu den rationalen Zahlen
Äquivalenzrelation: Beweise
Dazu ein Beispiel
Definition der rationalen Zahlen
Veranschaulichung als Äquivalenzklassen
Definition der Addition und Multiplikation
Rechenregeln: Beweise
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, die rationalen Zahlen auf Basis der ganzen Zahlen mathematisch präzise zu definieren und deren operationale Eigenschaften durch den Einsatz von Äquivalenzrelationen zu formalisieren.
- Herleitung der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen
- Konstruktion und Beweis der Äquivalenzrelation für Zahlenpaare
- Definition der Grundrechenarten (Addition und Multiplikation) auf Äquivalenzklassen
- Nachweis der Wohldefiniertheit und grundlegender Rechenregeln
- Veranschaulichung der theoretischen Konstrukte durch Gitterpunktmodelle
Auszug aus dem Buch
Grundlegendes zu den rationalen Zahlen
Die ganzen Zahlen haben die Eigenschaft, dass jede Additionsgleichung mit Koeffizienten aus Z lösbar ist. Bei der Definition der rationalen Zahlen geht es nun darum, eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden. Nachfolgend wollen wir in die rationalen Zahlen einführen und den Umgang mit diesen deutlich machen. Wir halten uns dabei stark an REISS/SCHMIEDER (2007) und verweisen auf deren Publikation. In vorangegangenen Kapiteln bzw. Vorlesungen wurden die natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen entwickelt und die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen hergeleitet. Durch eine ganz ähnliche Überlegung wird man nun die rationalen Zahlen auf der Grundlage der ganzen Zahlen bekommen.
Es sei noch einmal daran erinnert, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen hergeleitet wurden, indem zunächst Gleichungen der Form a = b + x mit a,b ∈ betrachtet wurden. Die Gleichungen a1 = b1 + x und a2 = b2 + x (mit a1, a2, b1, b2 ∈ ) wurden als gleichwertig (äquivalent) bezeichnet, wenn sie dieselbe Lösung x ∈ hatten. Selbstverständlich durfte man erst nach der Einführung von von einer solchen ganzzahligen Lösung x sprechen. Man kann analog zu den ganzen Zahlen nun auch die multiplikative Gleichung a = b ⋅ x betrachten, wobei a und b ganze Zahlen bezeichnen. Es ist offenbar vernünftig, b ≠ 0 anzunehmen, denn für b = 0 kann diese Gleichung ohnehin entweder nicht lösbar sein (für a ≠ 0 ), oder aber sie ist nicht eindeutig lösbar (wenn auch a = 0 ist, so ist jede ganze Zahl eine Lösung).
Zusammenfassung der Kapitel
Grundlegendes zu den rationalen Zahlen: Einleitung in die mathematische Motivation zur Konstruktion rationaler Zahlen mittels Multiplikationsgleichungen, basierend auf dem Vorwissen der Peano-Axiome und ganzer Zahlen.
Äquivalenzrelation: Beweise: Mathematische Herleitung und Beweisführung für die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der Äquivalenzrelation auf Zahlenpaaren.
Dazu ein Beispiel: Erläuterung der Äquivalenz an konkreten Zahlenbeispielen und Abgrenzung zur Eigenschaft der Teilerfremdheit.
Definition der rationalen Zahlen: Formale Festlegung der rationalen Zahlen als Menge von Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen.
Veranschaulichung als Äquivalenzklassen: Geometrische Interpretation der rationalen Zahlen als Gitterpunkte in der Ebene.
Definition der Addition und Multiplikation: Einführung der algebraischen Verknüpfungen auf Äquivalenzklassen sowie der Nachweis ihrer Wohldefiniertheit.
Rechenregeln: Beweise: Nachweis grundlegender algebraischer Eigenschaften wie Kommutativität, Assoziativität und die Identifikation neutraler Elemente.
Schlüsselwörter
Rationale Zahlen, Äquivalenzrelation, Äquivalenzklassen, Gitterpunkte, Addition, Multiplikation, Wohldefiniertheit, Zahlentheorie, Distributivgesetz, Mathematische Beweise, Reiss, Schmieder, Zahlbereichskonstruktion, neutrale Elemente, Repräsentanten
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich mit der formalen mathematischen Konstruktion der rationalen Zahlen ausgehend von den ganzen Zahlen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Im Zentrum stehen die Äquivalenzrelation, die Definition von Äquivalenzklassen sowie die Einführung und der Nachweis der Rechenoperationen für rationale Zahlen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die präzise, auf ganzen Zahlen basierende Definition rationaler Zahlen, um Gleichungen des Typs a = b * x mathematisch korrekt lösbar zu machen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine axiomatische und konstruktive mathematische Herleitung verwendet, die eng an der Literatur von Reiss und Schmieder orientiert ist.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die formale Herleitung der Äquivalenzrelation, die Definition der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen und den Nachweis der Wohldefiniertheit von Rechenoperationen.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Äquivalenzklassen, Wohldefiniertheit, Gitterpunkte, neutrale Elemente und die algebraischen Körperaxiome der Addition und Multiplikation.
Warum ist die Unterscheidung zwischen einem Paar (a,b) und einer Äquivalenzklasse notwendig?
Die Äquivalenzklasse ist notwendig, um verschiedene Paare, die denselben rationalen Wert repräsentieren (wie 1/2 und 2/4), als mathematisch identisches Objekt innerhalb der Menge der rationalen Zahlen zu behandeln.
Wie wird die Wohldefiniertheit der Operationen sichergestellt?
Die Wohldefiniertheit wird dadurch bewiesen, dass die gewählten Resultate der Addition und Multiplikation unabhängig von der speziellen Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen sind.
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- Mo Yanik (Author), 2011, Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/179930
