Wieviel darf eine Kaufoption kosten?


Hausarbeit, 2010

15 Seiten


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
a. Was ist eine Option?
b. Wie kann eine Option ausgestaltet sein?
c. Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt

2. Das Binomialmodell
a. Erklärung
b. Ein - periodiges Binomialmodell
c. Zwei - periodiges Binomialmodell
d. n - periodiges Binomialmodell
e. Grenzfallbetrachtung

3. Fazit

4. Abkürzungsverzeichnis

5. Abbildungsverzeichnis

6. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Mit dieser Literaturarbeit wird zunächst allgemein erklärt, was unter einer Option verstanden wird, ebenso wie diese ausgestaltet sein kann und welche Werte sie annehmen kann. Im zweiten Kapitel werden die Grundzüge des Binomialmodells erläutert und anhand mehrerer, einfacherer Rechenbeispiele dem Leser verständlich nahegebracht. Ausgehend von einem ein - periodigen Binomialmodell, wird auf ein zwei - periodiges Modell übergegangen und dann die allgemein gültige Wertbestimmung für n - Perioden aufgezeigt. Gegen Ende des dritten Kapitels wird ein kurzer Abriss gegeben, wie sich das Binomialmodell für n -> ∞ verhält. Beendet wird diese Arbeit mit einem Fazit, dem dritten Kapitel.

a. Was ist eine Option?

Spätestens seit der Finanzkrise kommt Instrumenten zur Absicherung von Risiken eine erhöhte Aufmerksamkeit zu. Im Folgenden werden spezielle Termingeschäfte (Derivate) betrachtet - hierbei ist typisch, dass der Zeitpunkt des Vertragsschlusses und der Zeitpunkt der Realisierung nicht zusammenfallen.

Eine Option ist demnach ein Instrument der Finanzmathematik, welches dem Inhaber der Option (long position) das Recht einräumt, zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt einen Basiswert (Underlying) von seinem Vertragspartner (short position) zu einem festgelegten Preis (Ausübungspreis) zu erwerben. Kommt es zur Erfüllung dieser Forderung spricht man von Ausübung der Option. (vgl. Bär (1998), S. 7)

b. Wie kann eine Option ausgestaltet sein?

Es wird zwischen Kaufoptionen (Call - Optionen) und Verkaufsoptionen (Put - Optionen) unterschieden.

Des Weiteren spricht man von amerikanischen Optionen, wenn die Ausübung der Option jederzeit, während eines festgelegten Zeitraums (Kontraktlaufzeit), möglich ist - wird das Recht jedoch nur einmal, und zwar am Ende der Laufzeit, eingeräumt spricht man von sogenannten europäischen Optionen. Diese unterschiedlichen Bezeichnungen haben jedoch keinerlei regionalbedingten Hintergrund - beide Arten werden überall gehandelt.

Der Aussteller einer Option (Schreiber, Stillhalter) verlangt für die Abgabe seines Wahlrechts eine Prämie - den sogenannten Optionspreis. In dieser Arbeit wird immer eine dividendenlose Aktie als Underlying gewählt.

c. Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt

Der Wert f einer europäischen Kaufoption, mit Ausübungspreis K, hängt zum Verfallzeitpunkt (T=0) nur noch vom Aktienkurs S des Underlyings ab. Die Option wird nur ausgeführt, wenn der Ausübungspreis kleiner ist als der Aktienkurs (K < S) - in diesem Fall wird der Inhaber der Option sein Recht ausüben, da er die Aktie anstatt zum höheren Kurs S, nun für den vereinbarten Preis K beziehen kann. Das Recht der Ausübung hat in diesem Fall den Wert S-K. Allgemein lässt sich der Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt darstellen als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zudem kann der Optionswert f (S, T) in die Summe seines inneren Werts max {0, S-K} und dem Zeitwert f(S, T) - max {0, S-K}; ≥0 zerlegt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 - Optionspreis, Zeitwert und innerer Wert einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienkurs1

Der Optionspreis C(S) in Abbildung 1 ist gleichzusetzen mit dem bereits genannten Optionswert f (S, T=0). Es werden nun drei verschiedene Fälle unterschieden:

1. Aktienkurs S > Ausübungspreis K, dann spricht man davon, dass die Kaufoption im Geld ist.
2. Aktienkurs S < Ausübungspreis K, bedeutet die Kaufoption ist aus dem Geld.
3. Aktienkurs S = Ausübungspreis K, so ist die Option am Geld.

Als Vorüberlegung wird festgehalten, dass eine Verkaufsoption folgenden Wert aufweist:

f (S, T=0) = max {K-S, 0} (vgl. Bär (1998), S. 9)

2. Das Binomialmodell

a. Erklärung

Das Binomialmodell, entwickelt von Cox, Ross und Rubinstein aus dem Jahre 1979, geht davon aus, dass der Aktienkurs S innerhalb einer Zeitperiode T genau einen von zwei Zuständen annehmen kann. Mit der Wahrscheinlichkeit von q einen Aufwärtstrend zu SU und mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 1-q den Abwärtstrend zu SD.

Als alternative Darstellung kann SU auch als u·S geschrieben werden - diese Schreibweise wird später wieder aufgegriffen.

(1.) q, u, d const. für alle Δt

Diese Aneinanderreihung von verschiedenen Bernoulli - Experimenten, welche voneinander unabhängig sind und deren Wahrscheinlichkeit für die beiden jeweiligen Zustände in jeder Periode gleich ist, ist als ausreichende Bedingung für eine Binomialverteilung zu verstehen (vgl. Schira (2003), S. 340).

Voraussetzung für das Binomialmodell ist die sogenannte Nicht - Existenz von Arbitrage; In Anlehnung an die Definition von Bär, liegt Arbitrage dann vor, wenn es möglich ist, Preisdifferenzen auf Märkten gewinnbringend auszunutzen. Das bedeutet, dass der Kauf einer bestimmten Anzahl von Wertpapieren, die gleiche Summe Geld erfordert, wie der gleichzeitige Leerverkauf derselben (vgl. Bär (1998), S. 10).

Zusätzlich wird die Existenz des Duplikationsprinzips für die Anwendung des Binomialmodells angenommen. Dieses Prinzip besagt, dass es möglich ist ein Alternativportfolio zu erstellen, welches bezogen auf den Wert zum Endzeitpunkt T, den gleichen Wert annimmt wie die Call

- Option.

Basierend auf den Überlegungen von Fischer Black und Myron Samuel Scholes, welche 1973, gemeinsam mit Robert Merton, ebenfalls ein Modell zur Optionspreisbestimmung hervorgebracht haben werden nachfolgende Marktbedingungen, für die Anwendung des Duplikationsprinzips, gefordert:

„(M1) Leerverkäufe von Aktien und Optionen sind zu entsprechenden Kursen möglich.
(M2 ) Aktien und Optionen können in beliebigen Teilbeträgen gehandelt werden.
(M3) Während der Kontraktlaufzeit erfolgen keine Nebenrechtsausgaben.
(M4) Steuern sowie Transaktionskosten werden vernachlässigt.
(M5) Der Zinssatz ist über die gesamte Kontraktlaufzeit positiv und konstant.
(M6) Zu diesem Zinssatz kann ein beliebiger Betrag aufgenommen oder angelegt werden.“2

[...]


1 Quelle: http://finanzportal.wiwi.uni-saarland.de/opt/Folie2.GIF

2 Vgl. hierzu Bär, J. (1999), Seite 20

Ende der Leseprobe aus 15 Seiten

Details

Titel
Wieviel darf eine Kaufoption kosten?
Hochschule
Universität der Bundeswehr München, Neubiberg
Autor
Jahr
2010
Seiten
15
Katalognummer
V181557
ISBN (eBook)
9783656046936
ISBN (Buch)
9783656047001
Dateigröße
569 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Optionspreis, Binomialmodell, Coxx-Rubinstein, Statistik
Arbeit zitieren
Daniel Meinzer (Autor:in), 2010, Wieviel darf eine Kaufoption kosten?, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/181557

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