Diese Literaturarbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit dem Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein (1979) zur Bewertung von Optionspreisen und hat das Ziel dem Leser in verständlicher Weise die Ermittlung eines Optionspreises zu erläutern.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.a. Was ist eine Option?
1.b. Wie kann eine Option ausgestaltet sein?
1.c. Wert einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt
2. Das Binomialmodell
2.a. Erklärung
2.b. Ein - periodiges Binomialmodell
2.c. Zwei – periodiges Binomialmodell
2.d. n – periodiges Binomialmodell
2.e. Grenzfallbetrachtung
3. Fazit
Zielsetzung & Themen der Arbeit
Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, dem Leser das Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein (1979) zur Bewertung von Optionspreisen in verständlicher Weise zu erläutern und den Übergang zum Black-Scholes-Modell aufzuzeigen. Die Forschungsfrage fokussiert dabei auf die mathematische Ermittlung eines fairen Optionspreises unter der Annahme, dass Arbitrage ausgeschlossen ist.
- Grundlagen von Finanzoptionen und deren Ausgestaltung
- Methodik des ein- und mehrperiodigen Binomialmodells
- Anwendung des Duplikationsprinzips zur risikoneutralen Bewertung
- Grenzfallbetrachtung des Modells bei steigender Periodenanzahl
- Implikationen der Volatilität für Optionspreise
Auszug aus dem Buch
b. Einperiodiges Binomialmodell
Im hiesigen Rechenbeispiel liegt folgende Situation vor: Das Underlying ist eine Aktie, deren aktueller Kurs 20€ beträgt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von q wird die Aktie in drei Monaten den Betrag 22€ annehmen und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-q den Betrag von 18€. Die Möglichkeit zur risikolosen Anlage besteht mit einem garantierten Zinssatz von 12% p.a. (r=0,12).
Um nun den Wert der Call – Option f zu ermitteln, wird ein Alternativportfolio, bestehend aus einer kreditfinanzierten Anlage in Aktien, entwickelt, welches zum Ablauf der Kontraktlaufzeit den gleichen Wert aufweist wie die Call- Option. Unterschieden wird nun zwischen dem ersten Fall: Die Aktie steigt auf 22€, die Call – Option hat somit den Wert von 1€ (fU=1€) und würde ausgeübt werden.
Im zweiten Fall fällt der Aktienkurs auf 18€ je Aktie. In diesem Fall wäre der Ausübungspreis größer dem Aktienkurs – die Ausübung der Option würde somit keinen Vorteil bringen. Die Option hat folglich ihren kompletten Wert verloren (fD=0€).
Wie bereits oben erwähnt kann u, und demnach auch d, als Wachstumsfaktor interpretiert werden, sodass folgende Ausrücke gelten: SU= u·S, SD= d·S. Mit u>1 und d<1, und aufgrund der Voraussetzung, dass Arbitrage nicht bestehen darf, kann ebenfalls u>r>d unterstellt werden. Zur eindeutigen Lösung des Gleichungssystems, gilt u · d =1 ist. Für das Alternativportfolio muss nun für beide möglichen Ausgänge der Wert gelten, wie der, der durch die Option erreicht werden kann. In t0 wird ein Kredit i.H.v. B aufgenommen, durch den Aktien gekauft werden. Dieser Kredit ist am Ende der Kontraktlaufzeit T=0 zurückzuzahlen. In beiden Fällen wird der Payoff der Aktien, aufgrund der stetigen Verzinsung, um r·B am Ende des Kontraktzeitraums geschmälert.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Dieses Kapitel führt in die Thematik der Finanzoptionen ein, definiert wesentliche Begriffe und erläutert die Wertbestimmung einer Kaufoption zum Verfallzeitpunkt.
2. Das Binomialmodell: Hier wird das Binomialmodell von Cox, Ross und Rubinstein schrittweise von einer einperiodigen Betrachtung über mehrstufige Ansätze bis hin zum Grenzwert für n Perioden theoretisch hergeleitet und anhand von Beispielen quantifiziert.
3. Fazit: Das Kapitel schließt die Arbeit ab, indem es die Bedeutung des Binomialmodells als Grundlage für weiterführende stochastische Prozesse wie das Black-Scholes-Modell hervorhebt.
Schlüsselwörter
Binomialmodell, Optionsbewertung, Kaufoption, Call-Option, Basiswert, Underlying, Duplikationsprinzip, Arbitrage, Risikoneutrale Bewertung, Volatilität, Black-Scholes, Finanzmathematik, Finanzderivate, Optionspreis, Ausübungspreis
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Bewertung von Kaufoptionen mithilfe des Binomialmodells von Cox, Ross und Rubinstein.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die zentralen Themen sind die Funktionsweise von Optionen, die No-Arbitrage-Bedingung, das Duplikationsprinzip und die risikoneutrale Bewertung von Finanzderivaten.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das Ziel ist es, dem Leser verständlich zu machen, wie man unter bestimmten Marktbedingungen einen fairen Optionspreis ermittelt.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird das Binomialmodell angewandt, bei dem durch Rückwärtsinduktion und die Konstruktion eines Alternativportfolios der Optionswert hergeleitet wird.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die schrittweise Entwicklung des Modells von einer Periode bis zu n Perioden sowie die Herleitung des risikoneutralen Bewertungsweges.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Kernbegriffe sind Binomialmodell, Optionsbewertung, Arbitragefreiheit, Underlying und risikoneutrale Bewertung.
Was genau bedeutet das Duplikationsprinzip in diesem Kontext?
Es ist die Annahme, dass ein Portfolio aus Aktien und Kredit so zusammengestellt werden kann, dass es am Ende der Laufzeit exakt denselben Wert auszahlt wie die zu bewertende Option.
Wie verhält sich das Binomialmodell, wenn man die Anzahl der Perioden gegen unendlich laufen lässt?
Für n gegen unendlich strebt das Modell gegen die Normalverteilung und bildet damit die theoretische Brücke zum berühmten Black-Scholes-Modell.
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- Daniel Meinzer (Author), 2010, Wieviel darf eine Kaufoption kosten?, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/181557
