Ausarbeitung zu Euklid und seinem Werk "Die Elemente"

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1. HistorischeEinordnung

2. Person und Leben

3. Werke
3.1 Allgemeinerüberblick
3.2 DieElemente
3.2.1 Grundlegendes über die Elemente
3.2.2 DerdeduktiveAufbau
3.2.3 Inhaltliche Höhepunkte
3.2.4 Über die Unendlichkeit der Primzahlen
3.2.5 Die Irrationalität einer Quadratdiagonalen
3.2.6 Das Parallelenpostulat

4. Resümee

Literaturverzeichnis

Selbstständigkeitserklärung

Anhang

Einleitung

Im Rahmen des Seminars „Mathematik in Geschichte und Alltag“ wurde mir das Oberthema „Mathematik in griechisch-hellenistischer Zeit“ zugeteilt, über welches ich ein Referat vorbereitete. Die vorliegende Arbeit ist eine Ausarbeitung dessen.

Es wird zunächst ein kurzer Überblick über die Mathematik und ihre Wissenschaftler in der hellenistischen Periode dargeboten, um dann speziell auf Euklid als einen Vertreter dieser näher einzugehen. Dazu werden die Person Euklid, sein Leben sowie seine Werke vorgestellt, wobei auf „Die Elemente“ spezifischer eingegangen wird.

Ich möchte mit dieser Seminararbeit der Frage auf den Grund gehen, was Euklid und vor allem sein größtes Werk „Die Elemente“ so besonders erscheinen lässt und die Besonderheiten der „Elemente“ herausarbeiten.

1. Historische Einordnung

Die griechisch-hellenistische Mathematik entfaltete sich vom etwa siebten bzw. sechsten Jahrhundert v.Chr. bis ca. ins fünfte Jahrhundert n. Chr. . Dieses Jahrtausend der Entwicklung lässt sich in differenzierte Perioden einteilen, und zwar in die ionische, die athenische und die hellenistische Periode, welche die Blütezeit der griechischen Mathematik darstellt.¹

Die Mathematik der ionische Periode entstand im Zusammenhang mit der ionischen Naturphilosophie und verdankt ihr somit ihren Namen. Während der Zeit von ca. 600 bis 450 v.Chr. wirkten einige wichtige Wissenschaftler oder Philosophen mit, die Anfänge der wissenschaftlichen Mathematik zu entfalten. Dazu lässt sich Thales von Milet (einer der sieben Weltweisen) zählen, der u.a. heraus fand, dass die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, die Scheitelwinkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden gleich sind, der Durchmesser den Kreis halbiert und ein Dreieck im Halbkreis rechtwinklig ist, der berühmte Satz des Thales². Ein weiterer Vertreter dieser Periode ist der Gelehrte Demokrit von Abdera. Er verfasste insbesondere Denkschriften „Über die Berührung von Kreis und Kugel“, „Über Geometrie“, „Über Zahlen“ und „Über irrationale Strecken“. Weiterhin kann man ihm die Erfindung des Gewölbebaues und Untersuchungen zum Perspektivengesetz beimessen. Er berechnete Volumina von Kegel und Pyramide korrekt, jedoch blieb dies vorerst bis zu Eudoxos und Archimedes ohne Beweis. Der berühmteste Geometer des 5. Jahrhunderts Hippokrates von Chios (ca.440 v.Chr.) stellte ein Lehrbuch mit allen bisherigen geometrischen Erkenntnissen zusammen. Vor allem widmete er sich der Untersuchung von „Möndchen“: der Entdeckung, dass sich bestimmte krummlinig begrenzte Flächen quadrieren lassen, der Kreis sich hingegen nicht einfach quadrieren lässt. Die Pythagoreer, Anhänger des Pythagoras, hatten die Grundidee, dass das Wesen der Welt in der Harmonie der Zahlen besteht. Sie personifizierten Zahlen und schrieben ihnen Gefühle wie Hass oder Liebe zu. So ließen sie den Begriff einer vollkommenen Zahl (eine Zahl, die gleich der Summe ihrer echten Teiler ist) entstehen und fanden eine Formel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Primzahl ist, um sie zu beschreiben. Obwohl das weitreichende Wissen der Pythagoreer einem ideologisch-religiösem System zu Grunde lag, wurde es später in den Elementen des Euklid wieder aufgegriffen, wie zum Beispiel der Beweis der Winkelsumme im Dreieck oder die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe des goldenen Schnitts. Andererseits entdeckten die Pythagoreer ebenfalls, dass es Strecken gibt, deren Längenverhältnis eine irrationale Zahl ist und zerstörten somit die Idee der „arithmetica universalis“ und ihre eigene Weltanschauung.

Mit der Vorherrschaft Athens über die anderen griechischen Stadtstaaten verlagerten sich auch das Zentrum der Wissenschaft und die mathematische Forschung nach Athen. Aus diesem Grund ist der Zeitraum von etwa 450 bis 300 v.Chr. als athenische Periode deklariert. Die Mathematik wurde neu aufgebaut nach dem Einsturz der „arithmetica universalis“ und nahm eine spezifische Form an, in der der Umgang mit irrationalen und algebraischen Problemen in die Geometrie verschoben wurde. Platon räumt der Mathematik einen gewaltigen Raum in seiner Philosophie ein. Mathematik ist für ihn eine Wissenschaft, die Ergebnisse durch bloßes Denken finden kann. Für ihn bestehen „Stuhl“ oder „Dreieck“ als Idee und die tatsächlichen Gegenstände oder Zeichnungen sind nur eine Art Beispiel oder Kopie der Idee. Er gründete die Akademie in Athen und ermöglichte die Herausbildung der Mathematik als eine rein deduktiv herleitbare Wissenschaft³. In Verbundenheit mit der platonischen Schule hat sich Theodoros mit der Irrationalität beschäftigt und angeblich Beweise hierfür anhand der Quadratwurzeln aus 3, 5, 7, 8, 10, „.17 angegeben. Als der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit muss Euxodos von Knidos erwähnt werden. Inspiriert durch die pythagoreische Auffassung, alle Zahlen seien aus einer Einheit zusammengesetzt, wobei diese Einheit jedoch unteilbar ist, entwickelte er eine Größen- und Proportionslehre, die auch irrationale Zahlen einbezog: „Zahlen stehen in Proportionen, wenn die erste von der zweiten Gleichvielfaches oder derselbe Teil oder dieselbe Menge von Teilen ist wie die dritte von der vierten.“⁴ Obwohl der Begriff der Irrationalzahl noch nicht von ihm erwähnt wird, hat er mit seinen Überlegungen dennoch die Basis für die spätere Integralrechnung geschaffen.

Die hellenistische Periode reicht ca. von 300 v.Chr. bis 150 n.Chr. Nach dem Tod Alexanders des Großen splittete sich zwar sein Weltreich in Nachfolgestaaten, doch seine griechische Kultur, die überall Einheit gebieten sollte, wurde zur Mode und vermischte sich teilweise mit den östlichen Kulturen. Alexandria wurde nun zur wissenschaftlichen und kulturellen Hauptstadt. Mit Archimedes (ca. 287 bis 212 v.Chr.) erreichte die antike Mathematik ihren Höhepunkt. Er erfand zum Beispiel das „Sieb des Eratosthenes“, womit es ihm gelang durch systematisches Streichen von zusammengesetzten Zahlen Primzahlen herauszufiltern. Des Weiteren hatte er mit der Quadratur der Parabel Erfolg und berechnete die exakte Fläche eines Parabelabschnittes mit Hilfe der Aufsummierung einer unendlichen geometrischen Reihe. Er beschäftigte sich mit Kugel und Zylinder, und schrieb Abhandlungen über Bogenlängen, Rotationsellipsoiden, Rotationshyperboloiden und Schwerpunkten solcher Flächen und Körper. Ein paar Jahre jünger als Archimedes war der damals in Alexandria studierende Apollonios von Perge. Er schrieb u.a. die achtbändige Kegelschnittlehre „Konika“. Der heute als Ingenieur bezeichnete Heron von Alexandria vertrat die Ansicht, dass Mathematik der Bedienung praktischer Bedürfnisse dienen sollte. Seine Werke können als Gegenstück zu denen Euklids gesehen werden, der fast gänzlich auf die praktische Darlegung verzichtet hatte. Durch den nahen Praxisbezug haben Herons Schriften wie „Vermessungskunde“, „Geschützkunde“ oder auch „Mechanik“ weite Verbreitung gefunden. Andererseits entwickelte er aber auch streng mathematisch aufgebaute Definitionen, Beweise und Sätze, wie zum Beispiel das Heron Verfahren zur Wurzelberechnung. Weitere Mathematiker, die dieser Epoche zugeordnet werden, sind Diophant von Alexandria („Diophantische Gleichung“) und Pappos von Alexandria (u.a. schrieb er Kommentare zu Euklids Elementen und zum „Algamast“).

Weiterhin ist die hellenistische Periode die Periode des Euklids. In seinem Hauptwerk „Die Elemente“ fasste er die damaligen Ergebnisse der Mathematikwissenschaft zusammen, ordnete sie, griff auf andere Mathematiker zurück und ergänzte es mit eigenen Forschungsergebnissen. Im Folgenden werden nun Person und Leben des Euklids vorgestellt.

2. Person und Leben

Über die biografischen Daten und das Leben Euklids können nur Vermutungen angestellt werden. „ Von Euklid (eigentlich Eukleides, was aber als Euklid mit langem i zu sprechen ist) ist, [...], nicht eine einzige sicher belegte Tatsache bekannt.“⁵ Schon allein der Name, wie in dem Zitat bemerkt, führt zu Verwirrung. Zur Zeit der Antike gab es eine große Zahl an Wissenschaftlern, Philosophen, Politikern, Handwerkern oder Ärzten, die ebenfalls den Namen Eukleides bzw. Euklid trugen. Aus diesem Grund bekam dieser Euklid, der vermutlich die Elemente und die anderen mathematischen und physikalischen Schriften verfasste, den Beinamen „der Geometer“, was „der Vermessungsexperte“ bedeutet.⁶ Trotz dessen kam es jedoch zu einer gravierenden Verwechselung mit dem Philosophen Euklid von Megara, der u.a. als ein Schüler des Sokrates ca. 450 - 380 v.Chr. in Athen lebte. „Diese Identifizierung findet sich schon im l.Jh.u.Z. bei dem römischen Schriftsteller Valerius Maximus und wurde erstmals wieder 1572 von dem Euklidübersetzer und -bearbeiter Commandino zurückgewiesen.“⁷ Dies wirkte sich zusätzlich negativ auf die Tradierung Euklids' Lebensdaten aus.

Die meisten Anhaltspunkte über Euklid gewinnen wir aus spätantiker Zeit oder aus islamischen Schriften. In der wohl berühmtesten Anekdote über Euklid geht es um Ptolemaios, der ihn gefragt haben soll, ob man nicht eine kürzeren Weg zur Geometrie einschlagen könne, ohne so viel der Mühen. Euklid soll daraufhin gesagt haben, es gebe keinen besonderen Weg für Könige zur Geometrie.⁸ Joannes Stobaios schrieb hingegen als makedonischer Schriftsteller im 5. Jahrhundert von einem Studenten Euklids, der den ersten Satz der Elemente gelernt hatte und nach dem Nutzen fragte. Euklid soll daraufhin einem Sklaven befohlen haben, dem Studenten ein wenig Geld zu geben, da er dieses wohl nötig habe, wenn er so eilig nach der Zweckdienlichkeit frage.⁹ Als dritte Anekdote sei die des islamischen Gelehrten Ibn Ja’qub an-Nadim aus dem 10. Jahrhundert zu nennen. Sie handelt von der Entstehung der euklidischen Elemente und ist sehr stark märchenhaft geprägt¹⁰.

Auf Grund der wenigen Informationen, die über Euklid bestehen, stellten einige Mathematikhistoriker die Existenz von Euklid gänzlich in Frage. So zum Beispiel der Franzose J.Itard, der 1961 behauptete, hinter dem Namen Euklid verberge sich nichts weiter als ein Pseudonym einer Gruppe von Mathematikern aus der alexandrinischen Periode.¹¹

Unter Berücksichtigung des derzeitigen Forschungsstandes lässt sich jedoch mittlerweile auf folgende Hypothesen eine Einigung finden. Man geht davon aus, dass Euklid als schon berühmter Mathematiker nach Alexandria gerufen wurde, eventuell auf Bitten von Demetrios von Phaleron. Dort soll Euklid bei der Gründung des Museions, eine Forschungs- und Lehreinrichtung, Hilfe geleistet, eine Abteilung aufgebaut oder zumindest gelehrt haben.¹² Da viele seiner Schriften sowohl platonische Philosophie als auch aristotelische Methoden aufweisen, liegt die Vermutung nahe, dass der Geometer Euklid aus mindestens einer der beiden großen Philosophenschulen hervorging. Daher kam er vermutlich von Athen nach Alexandria.¹³ Aus all diesen und auch noch anderen Vermutungen lassen sich zumindest grobe Eckpfeiler seiner Lebensdaten und Biografie zusammenstellen: sehr wahrscheinlich wurde der Geometer um 340 v.Chr. geboren, starb um 280 v.Chr. und seine Werke entstanden etwa um 300 v.Chr.¹⁴. Jedoch muss noch erneut darauf hingewiesen werden, dass es sich bei diesen Daten lediglich um Vermutungen handelt. Es könnte dennoch sein, dass Euklid sich niemals in Alexandria aufgehalten hat oder zum Baubeginn des Museions schon lange tot war.

3. Werke

3.1 Allgemeiner Überblick

Euklid werden im Allgemeinen 12 Schriften zugeschrieben mit je unterschiedlich hoher Authentizität. Einige davon sind schon früh verloren gegangen, weil sie durch andere Schriften verdrängt wurden. Die uns heute bekannten lassen sich in zwei Kategorien einteilen: die rein-mathematischen Schriften und die angewandt-mathematischen. Einen kleinen Überblick bietet Tabelle 1 auf der folgenden Seite.¹⁵

Die wohl bekannteste Schrift ist Die Elemente, auf die im folgenden Kapitel näher eingegangen wird. Die Data ( griech.: gegebene Dinge) ist den Elementen sehr ähnlich und stammt damit höchstwahrscheinlich aus der Feder des Euklids oder seiner Anhänger. Sie beschäftigt sich im Gegensatz zu den Elementen mit einer nächsthöheren Abstraktionsstufe, mit Äquivalenzklassen von sinnlich wahrnehmbaren Objekten (z.B. Streckenlängen).¹⁶ Über die Teilung von Figuren ist heute leider nur noch in arabischer Fassung erhalten und behandelt Aufgaben mit elementargeometrische Figuren, die durch zu konstruierte Geraden geteilt werden.¹⁷ Zu den verlorenen Schriften gehören die Porismen. Sie enthielten vermutlich „eine Anzahl tieferliegender Charakterisierungen von Geraden und Kreisen als geometrische Örter“¹⁸. Bei den ebenfalls verlorenen Pseudaria handelt es sich wahrscheinlich um Trugschlüsse und „Schülerfehler“. Die Konika befasste sich wohl mit der Berechnung und Lehre vom Kegelschnitt und wurde vermutlich von der späteren Fassung des Apollonius von Perge verdrängt.¹⁹ Die mathematisch-angewandten Werke sind ebenso nur noch teilweise oder in anderen Sprachen erhalten.²⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Die Schriften des Euklids.

3.2 Die Elemente

3.2.1 Grundlegendes über die Elemente

„Die Elemente“ ist die deutsche Übersetzung für „Ta stoicheia“, das Hauptwerk Euklids, und wurde ursprünglich in griechischer Sprache verfasst. Als „stoicheia“ wurden in der Antike Grundbestandteile, Grundstoffe oder Grundlagen bezeichnet. ²¹ Genau dies spiegeln die Elemente von Euklid wieder. Peter Schreiber formuliert es so:

[...]

¹ Literaturgrundlage dieses Kapitels ist WUSSING, H., S.143 - 217.

² Vgl. SCRIBA, C.J., SCHREIBER, P., S.31.

³ Vgl. SCRIBA, C.J., SCHREIBER, P., S.38.

⁴ EUKLID, Buch VII, Definition 20.

⁵ SCHREIBER, P., S.25.

⁶ Vgl. SCHÖNBECK, J., S.11.

⁷ SCHREIBER, P., S.26.

⁸ Vgl. WUSSING, H., S.191.

⁹ Vgl. SCHREIBER, P., S.27.

¹⁰ Vgl. SCHÖNBECK, J., S.6.

¹¹ Vgl. SCHREIBER, P., S.25.

¹² Vgl. SCHÖNBECK, J., S.11.

¹³ Vgl. SCHÖNBECK, J., S.11.

¹⁴ Vgl. SCHÖNBECK, J., S.11., SCHREIBER, P. gibt hingegen auf S.26 die Lebensdaten 360 - 280 v.Chr. an.

¹⁵ Ähnlich übernommen aus SCHÖNBECK, J., S.13.

¹⁶ Vgl. SCHREIBER, P., S.60.

¹⁷ Vgl. SCRIBA, C.J., SCHREIBER, P., S.64.

¹⁸ SCHREIBER,P., S.66.

¹⁹ Vgl. SCHREIBER, P., S.55.

²⁰ Nähere Beschreibungen dieser Schriften können in SCHÖNBECK, J., S.88 nachgelesen werden. Hier wurde aufgrund des rein-mathematischen Schwerpunktes darauf verzichtet.

²¹ Vgl. SCHÖNBECK, J., S.134.