Problemlösen im Mathematikunterricht

Inhaltsverzeichnis

1. Theorie zum Problemlösen
1.1. Definitionen von Problemlösen
1.2. Heuristische Strategien und Prinzipien
1.3. Heuristische Hilfsmittel
1.4. Anwendung Heuristischer Strategien an Aufgaben

2. Unterrichtsplanung einer Unterrichtsstunde zum Thema Problemlösen
2.1. Unterrichtsvorbereitung
2.2. Kompetenzen
2.3. Stundenverlauf
2.4. Methodische Vorüberlegung
2.5. Didaktische Analyse
2.6. Sachanalyse

3. Literaturverzeichnis

1. Theorie zum Problemlösen

1.1. Definitionen von Problemlösen

Problemlösen im Sinne der Erwartungen des Kerncurriculums für das Fach Mathematik wird immer dann von den Schülerinnen und Schülern erwartet, wenn eine Lösungsstruktur nicht naheliegend oder offensichtlich ist und demzufolge strategisches Vorgehen zur Lösungsfindung erforderlich ist. Die Kompetenz Probleme zu lösen zeigt sich demnach darin, dass die Schülerinnen und Schüler über geeignete Strategien zur Auffindung mathematischer Lösungsansätze und Lösungswege verfügen und zudem darüber reflektieren können. Grundlegend sind dabei u. a. die Anwendung verschiedener heuristischer Prinzipien und das Verwenden geeigneter Hilfsmittel.¹

In Anlehnung daran gibt es zentrale Punkte, die das Problemlösen bei verschiedenen Aufgaben näher beschreiben. Von diesen Punkten müssen allerdings nicht alle erfüllt sein.

Bei Problemlöseaufgaben steht das Problem im Vordergrund und nicht das Rechnen an sich. Die Lösungsfindung soll nach dem Prinzip „Der Weg ist das Ziel“ erfolgen.

Weiterhin sind oftmals verschiedene Lösungswege und auch Lösungen möglich. Somit kann von einem offenen Weg ausgegangen werden. Problemlöseaufgaben lassen sich bei verschiedenen Themen der Mathematik anwenden. Dabei haben diese Aufgaben nahezu immer einen Alltagsbezug. Bei den Fragestellungen handelt sich um offene Fragestellungen. Diese gibt einen großen Bereich als Antwortmöglichkeiten. Unumgänglich ist bei dieser Art von Aufgaben die Anwendung verschiedener heuristischer Hilfsmittel, die im Folgenden noch näher erläutert werden. Die Aufgaben können außerdem themenübergreifend eingesetzt werden. Es kann durchaus auch das Ziel gegeben sein, von dem die Schülerinnen und Schüler auf den Anfangszustand zurückschließen müssen.

Problemlöseaufgaben eignen sich bei jeder Sozialform. Ob als Einleitung im Frontalunterricht, bei einer Gruppenarbeit, Partnerarbeit oder als in der Einzelarbeit als eigene Auseinandersetzung mit dem Thema. Jedoch ist dabei zu beachten, dass sich ein Problem am besten mit mehreren Personen diskutieren lässt.

1.2. Heuristische Strategien/ Prinzipien

Heuristische Strategien sind Hilfsmittel um Aufgaben umzustrukturieren oder die Gedanken in eine bestimmte Richtung zu lenken. Dadurch wird die Lösungsbestimmung erleichtert. Die vier Bekanntesten sind das Vorwärtsarbeiten, das Rückwärtsarbeiten, das Invarianzprinzip und das Systematische Probieren.²

1.3. Heuristische Hilfsmittel

Um bei der der Anwendung heuristischer Strategien und Prinzipien eine Lösung zu finden, eignet sich das Hinzuziehen verschiedener heuristische Hilfsmittel. Diese sind dafür da, um die Aufgabe aus unterschiedlichen Blickwinkeln zu lösen.

Drei nennenswerte Hilfsmittel sind die Tabelle, die informative Figur und die Gleichung.³

1.4. Anwendung Heuristischer Strategien und Hilfsmittel an Aufgaben

a) Berechne die fehlenden Winkel.

Dies ist ein Beispiel zum Vorwärtsarbeiten. Dabei wird von dem ausgegangen, was man hat und hangelt sich von dort aus vorwärts. Die informative Figur ist hier bereits gegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Winkel Beta ist der Scheitelwinkel zu 110°. Alpha lässt sich durch die Gleichung 180° - 110° = 70° berechnen.

Gamma ist der Wechselwinkel zu Alpha und beträgt ebenfalls 70°. Eine Tabelle als heuristisches Hilfsmittel ist hier eher ungeeignet.⁴

b) Du möchtest ein rechteckiges Blumenbeet anlegen. Die Blumenerde, die du hast, reicht für 48 m². Welche Maße kann das Beet haben?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist ein Beispiel zum Rückwärtsarbeiten. Es wird hier vom Ergebnis ausgegangen und von dort aus zurückgerechnet. Eine informative Figur kann eine Zeichnung zur Veranschaulichung sein.

Über die Gleichung A = a ∙ b können verschiedene Möglichkeiten in einer Tabelle zusammengefasst werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

c) Ein Beispiel für das Invarianzprinzip ist folgende Aufgabe:

Wie geht die Zahlenfolge weiter? 2 7 12 17 __

Hierbei wird auf die Unveränderlichkeit von Aufgabenelementen abgezielt. Es existiert mindestens eine Sache, die sich nicht verändert! Dieses ist die Invariante. Bei der Zahlenfolge ist die Invariante Zahl 5. Jede Zahl ist um 5 größer. Damit lautet die gesuchte Zahl 22. Als informative Figur wären gebogene Pfeile mit der Beschriftung „+5“ zwischen die einzelnen Zahlen möglich. Eine Tabelle ist hier auch wenig geeignet.

d) Das Systematisches Probieren ist nicht mit dem planlosen Probieren, mit unstrukturiertem Versuch oder Irrtum gleichzusetzen. Es geht vielmehr wie der Name schon sagt, um das Finden der Lösung durch System.

Eine Aufgabe könnte wie folgt lauten: Die Mutter der Drillinge Lea, Bea und Thea ist 3-mal so alt wie ihre Töchter gemeinsam. Alle Vier zusammen sind 60 Jahre alt.

Wie alt sind die Töchter/ ist die Mutter?

Am besten geeignet ist das heuristische Hilfsmittel der Gleichung: Die zwei Gleichungen lauten:

I : M + L + B + T = 60

II : M = 3 ∙ (L + B + T)

Die zweite Gleichung für M in die erste eingesetzt ergibt, dass die Drillinge zusammen 15 Jahre sind. Damit ist ein Kind 5 Jahre alt. Es folgt daraus, dass die die Mutter 3 ∙ 15 = 45 Jahre alt ist.

In einer Tabelle könnten die verschiedenen Möglichkeiten durchgespielt werden.

Eine informative Figur ist bei der Aufgabe nicht geeignet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Niedersächsischen Kultusministerium (2006): Kerncurriculum Mathematik für die Realschule Schuljahrgänge 5 -10 : Prozessbezogener Kompetenzbereich Problemlösen, S.16f

² Abels, L.(2002): Ich hab’s - Tipps, Tricks und Übungen zum Problemlösen, S.10

³ ebd. S.10

⁴ Heuristik im Mathematikunterricht (2004). Seminararbeit, S.4 4