"[...]und mit Felix Klein antworten dürfen, daß es das Gleichgewicht zwischen mathematischer Erfindungskraft, Strenge der Durchführung und praktischem Sinn für die Anwendung bis zur sorgfältig ausgeführten Beobachtung und Messung und endlich die vollendete Form der Darstellung sei, die sein Werk kennzeichnen [...]"
"[...] Archimedes, Newton und Gauß [...] die drei Heroen ihrer Wissenschaft [...]"
"[...] ,daß es für ihn zwei verschiedene ursprüngliche Quellen mathematischen Denkens gegeben hat: die aus der Anwendung der Mathematik entstehenden geometrisch‐ analytischen Probleme und die reinen arithmetisch‐algebraischen Probleme[...]"
Inhaltsverzeichnis
1. Biografie
1.a. (Johann) Carl Friedrich Gauß als Mensch
1.b. Über Gauß
1.c. Astronomie
1.d. Physik und Geophysik
1.e. Mathematik
2. Das Gauß-Verfahren
2.a. Definition: lineares Gleichungssystem
2.b. Voraussetzungen
2.c. Verfahrensweise bei Rechnen von Hand
Beispiel 1: LGS mit n Gleichungen und n Variablen
Koeffizientenmatrix:
2.d. Verfahrensweise bei der Rechnung mit dem CAS:
2.e. Lösungsmengen
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit setzt sich zum Ziel, das Leben und Wirken von Carl Friedrich Gauß zu beleuchten sowie das nach ihm benannte Gauß-Verfahren als systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mathematisch fundiert darzustellen und zu erläutern.
- Biografische Eckdaten und wissenschaftliche Errungenschaften von Carl Friedrich Gauß
- Grundlagen und Definitionen linearer Gleichungssysteme
- Schritt-für-Schritt-Anleitung des manuellen Gauß-Algorithmus
- Anwendung und Interpretation des Gauß-Verfahrens mittels Computer-Algebra-Systemen (CAS)
- Analyse verschiedener Lösungsmengen bei linearen Gleichungssystemen
Auszug aus dem Buch
Verfahrensweise bei Rechnen von Hand
1. Die Gleichungen werden so vertauscht, dass in der 1. Gleichung die 1. Variable vorhanden ist (falls nötig).
2. Die 1. Gleichung wird jedes Mal unverändert übernommen.
3. Unter Verwendung der 1. Gleichung wird die 1. Variable aus allen anderen Gleichungen eliminiert, und zwar, indem die 1. Gleichung entsprechend vervielfältigt wird und zu den anderen Gleichungen addiert wird.
4. Jetzt werden die ersten beiden Gleichungen unverändert übernommen (neue Bezugsgleichung: die 2. Gleichung)
5. Es wird so verfahren wie zuvor mit der 1. Gleichung: Die 2. Variable wird aus den übrigen Gleichungen eliminiert.
6. Analog wird nun die 3. Gleichung übernommen und als Eliminationsgleichung für die 3. Variable benutzt.
7. Dies wird nun solange durchgeführt, bis das LGS in Dreiecksform vorliegt, d.h. wenn jede Gleichung mindestens eine Variable weniger enthält als die Gleichung darüber.
8. Schlussendlich wird die Lösung der untersten Gleichung ermittelt und in die nächsthöhere Gleichung eingesetzt. Es wird also „von unten nach oben“ nach der jeweiligen Variablen aufgelöst, d.h. rückwärts eingesetzt.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Biografie: Dieses Kapitel gibt einen tabellarischen Überblick über das Leben von Carl Friedrich Gauß sowie eine Zusammenfassung seiner bedeutenden Beiträge in den Bereichen Astronomie, Physik, Geophysik und Mathematik.
2. Das Gauß-Verfahren: Dieses Kapitel erläutert theoretisch und praktisch das Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, sowohl manuell als auch unter Verwendung eines Computer-Algebra-Systems (CAS), und diskutiert mögliche Lösungstypen.
Schlüsselwörter
Carl Friedrich Gauß, Gauß-Verfahren, Lineare Gleichungssysteme, Eliminationsverfahren, Dreiecksform, Koeffizientenmatrix, CAS, Lösungsmengen, Astronomie, Physik, Geophysik, Mathematik, Fundamentalsatz der Algebra, Normalverteilung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Person Carl Friedrich Gauß und seine wissenschaftlichen Errungenschaften, wobei ein Schwerpunkt auf der mathematischen Methode des Gauß-Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme liegt.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die Biografie von Gauß sowie die mathematische Theorie und praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Vermittlung des Gauß-Verfahrens als effizientes Lösungsverfahren und die Einordnung der wissenschaftlichen Bedeutung von Gauß.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es handelt sich um eine fachliche Ausarbeitung, die durch Literaturrecherche (biografisch) und mathematische Beweisführung/Algorithmusdarstellung strukturiert ist.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil liegt der Fokus auf der Definition linearer Gleichungssysteme, der schrittweisen manuellen Durchführung des Gauß-Verfahrens sowie der effizienten Lösung mittels CAS.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Gauß-Verfahren, lineare Gleichungssysteme, Eliminationsverfahren, Koeffizientenmatrix und Lösungsmenge.
Was versteht man unter der Dreiecksform beim Gauß-Verfahren?
Die Dreiecksform ist ein Zustand des Gleichungssystems, bei dem jede Gleichung mindestens eine Variable weniger enthält als die darüberliegende, was das Rückwärtseinsetzen der Lösungen ermöglicht.
Wie unterscheidet sich die manuelle Rechnung von der CAS-Rechnung?
Während die manuelle Rechnung Schritt für Schritt die Elimination durchführt, erledigt das CAS (Computer-Algebra-System) den gesamten Prozess mittels des "rref"-Befehls in einem einzigen Rechenschritt.
Was passiert, wenn ein Gleichungssystem keine Lösung hat?
Wenn nach der Umformung in die Dreiecksform eine Zeile entsteht, die eine mathematisch falsche Aussage ergibt (z.B. 0 = 1), besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.
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- Julia Hetzel (Autor), 2008, Carl Friedrich Gauß - Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/184416
