Untersuchungen zur Strahlungsmodellierung in ANSYS

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0 Einleitung

Die Kenntnisse über auftretende Wärmeströme und Temperaturverteilungen in Medien und Bauteilen sind für die Ingenieurswissenschaften wichtig. Ein Beispiel ist die Kühlung elektronischer Geräte oder das Design thermischer und fluidischer Systeme. Weiterhin hat die Temperatur einen großen Einfluss auf die entstehenden Spannungen im Material und somit die Lebensdauer der Struktur. Denn jedes Bauteil setzt dem Transport thermischer Energie einen gewissen Widerstand entgegen.

In einem thermodynamischen System mit unterschiedlichen Temperaturen der Teilchen und damit unterschiedlichen kinetischen Energien der Teilchen, basiert die Wärmeübertragung auf drei Übertragungsmechanismen. Die Wärmeübertragung lässt sich gemäß Abb. 1 in Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung einteilen [2].

Bei allen drei Möglichkeiten wird vom System höherer Temperatur Wärme an das System mit niedriger Temperatur abgegeben. Der bei allen drei Übertragungsmechanismen auftretende Wärmestrom ist dabei der aufgrund eines Temperaturgradienten auftretende Wärmetransport durch den Raum.

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1 Wärmestrahlung

Bei der Strahlung, als einer Form der Energieübertragung wird die Energie durch elektromagnetische Wellen transportiert. Dabei stellt die Wärmestrahlung nur ein kleines Band des elektromagnetischen Spektrums dar. Die Wellen wandern mit nahezu Lichtgeschwindigkeit und als einziger Übertragungsmechanismus ist für die Wärmestrahlung kein Medium erforderlich, so dass ein Wärmetransport auch im Vakuum stattfinden kann. Wärmestrahlung wird von einem Körper nur aufgrund seiner Temperatur abgegeben, bis erreichen des absoluten Nullpunktes. Der Vorgang der Strahlung ist in Abb. 2 zu sehen.

Jeder Körper sendet in Abhängigkeit von seiner Temperatur T elektromagnetische Strahlung aus. Die Wärmeübertragung durch Strahlung geschieht von der „Sender“ - Oberfläche 1 an die Umgebung oder an eine andere „Empfänger“ - Oberfläche 2. Der ausgetauschte Wärmestrom Q durch Wärmestrahlung hängt von physikalischen Eigenschaften des Oberflächenmaterials (Emissionsgrad ε), der geometrischen Anordnung der „Sender“ - und der „Empfänger“ -Oberfläche (Formfaktor F), der Größe A der Flächen und der Temperaturdifferenz ab und wird durch folgende Gleichung zusammengefasst.

( )

σ ε − = ⁴ * T F A Q (1)

2 12 1

Die für Gl. (1) nötige Proportionalitätskonstante ist die Stefan-Boltzmann-Konstante σ. Durch diese Gleichung wird ersichtlich dass der Wärmestrom der durch die Strahlung abgegeben wird ein nichtlinearer physikalischer Effekt ist.

Zu berücksichtigen ist, dass die Temperaturen der Oberflächen T 1 , T 2 als absolute Temperaturen eingesetzt werden. Die auf einen Empfänger auftreffende Strahlung teilt sich in die drei Anteile Reflexion, Transmission und Absorption auf. Der Emissionsgrad ε gibt das Verhältnis der abgegebenen oder aufgenommenen Strahlung M e zur spezifischen Ausstrahlung M e,s die durch einen schwarzen Körper definiert ist, an. Somit wird der physikalische Einfluss der Oberfläche durch den dimensionslosen Wert des Emissionsgrades ε 1 beschrieben. Der genannte Zusammenhang ist in Gl. (2) dargestellt [2].

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2 Modellierung der Wärmestrahlung

Das FEM-Programm ANSYS stellt vier Methoden zur Strahlungsmodellierung zur Verfügung:

• Link31, ein linienförmiges Element zur Modellierung des Strahlungsaustausches zwischen 2 Punkten, auch mehrere Punktpaare möglich, für einfache Probleme

• die Elemente Surf151 und Surf152 für Oberflächeneffekte, zur Modellierung des Strahlungsaustauschs zwischen einer Oberfläche und dem umgebenden Raum (in älteren Programmen entsprechen sie den Elementen Surf19 und Surf22)

• AUX12 - Strahlungsmatrizen, bei denen zwei oder mehr Oberflächen berücksichtigt werden

• Radiosity - Solver - Methode, für komplizierte 2-D oder 3-D Strahlungsprobleme mit zwei oder mehr Oberflächen

Alle Methoden können einzeln oder gemeinsam in einem Modell für stationäre oder transiente thermische Analysen verwendet werden. Statische Analysen können als Ausgleichsvorgänge verstanden werden. Das bedeutet es wird ein statischer Endwert zum Beispiel eines Temperaturfeldes errechnet, der sich nach unendlicher Zeit einstellen würde. Bei transienten also nichtstationären Vorgängen lassen sich Lastschritte vorgeben, somit ändern sich die Temperatur - Verteilungen in Abhängigkeit der Zeit. Diese Analyse findet zum Beispiel Anwendung bei Aufheiz- und Abkühlvorgängen eines Bauteils [1].

2.1 Durchführung der Simulation

• • Bis auf die Simulationen zur Radiosity - Solver - Methode werden alle Simulationen mit ANSYS 8.0 durchgeführt. In diesen Fällen sind auch alle Temperaturangaben in Kelvin. Bei den Simulationen zur Radiosity - Solver - Methode wird mit ANSYS 10.0 gearbeitet. In diesen Fällen sind alle Temperaturangaben, aufgrund des vorhandenen Temperatur-Offset, in Grad Celsius.

• • Um die Einflussfaktoren einzuschränken und vereinfachte Simulationen durchzuführen, wird bei allen Simulationen eine stationäre Analyse angewandt.

• • Die bei FEM - Berechnungen nötigen Randbedingungen werden für alle Simulationen gleich gehalten um möglichst vergleichbare Resultate zu schaffen. So ist die Temperatur der „Sender“ - Oberfläche auf 1000 Kelvin (1000 °C) und die Umgebungstemperatur (Ausgangstemperatur) für alle Modelle auf 20 Kelvin (20 °C) festgelegt. Die Randtemperatur der „Empfänger“ - Oberfläche wird auf 20 Kelvin (20 °C) eingestellt. Dabei ist darauf zu achten ob die „Empfänger“ - Fläche 2- oder 3-dimensional ist und somit die Randtemperatur auf eine Linie oder auf eine Fläche aufgebracht werden muss.

• • Da die Strahlung selbst eine nichtlineare Wärmeübertragung darstellt, werden weitere nichtlineare Probleme vermieden. Deshalb sind die eingegebenen Materialeigenschaften, wie Dichte oder Wärmeleitfähigkeit, temperaturunabhängig hinterlegt. Die Körper des Modells bekommen bei allen Simulationen Materialkennwerte zugewiesen die den von Edelstahl entsprechen. Alle ausgewählten Parameter für die Simulationen sind Tab. 1 zu entnehmen.

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3 Link31

Link31 ist ein geradliniges Verbindungselement, welches den Strahlungs - Wärmeaustausch zwischen zwei Knoten simuliert. In Abb. 4 ist das Strahlungsverbindungs - Element dargestellt, mit den im Raum abgebildeten Knoten I, J. Das Element ist anwendbar in 2-dimensionalen oder 3-dimensionalen stationären oder transienten Analysen.

Das Element erfordert als Real Konstanten die Eingabe des Formfaktors F, des Emissionsgrades ε, der Stefan-Boltzmann-Konstante σ und der Größe A der Empfangsfläche. Die Empfangsfläche ist die vom Link31 - Element bestrahlte Fläche auf der „Empfänger“ -Oberfläche je Knoten.

Das Element unterstützt an seinen Knoten I, J nur einen Freiheitsgrad, die Temperatur. Der Emissionsgrad kann konstant oder temperaturabhängig sein. Der konstante Wert wird als Real Konstante eingegeben. Bei einer Temperaturabhängigkeit muss der Emissionsgrad über den Materialwert definiert werden. Die in Gl. (1) dargestellte Standard - Strahlungsfunktion wird mit dem Newton - Raphson Verfahren gelöst. Als einstellbare Option dazu kann eine empirische Funktion zum Strahlungsaustausch statt der Standardfunktion verwendet werden. Die dazu zugrunde gelegte Formel wird in Abschnitt 3.6 näher beschrieben [4].

3.1 Modellierung

Um die verschiedenen Möglichkeiten der Verwendung des Link31 kennen zulernen wurde ein Basis - Modell entworfen welches variiert wurde. Dieses ist in Abb. 5 dargestellt. Zur Modellierung wurde Plane55, ein 2-D Flächenelement, und das Link31 - Element gewählt und danach die Real Konstanten und die Materialkennwerte eingegeben. Anschließend wurde die Geometrie konstruiert und mit den zugehörigen Materialkennwerten vernetzt. Zur Strahlungssimulation wurde das Link31 - Element im Anschluss zwischen 2 Knoten der beiden Flächen erzeugt und die Real Konstanten zugeordnet.

Nach der vollständigen Generierung erfolgte die Lastaufbringung. Entsprechend der in Tab. 1 aufgelisteten Parameter wurden die Lasten eingegeben. Aufgrund der 2-dimensionalen „Empfänger“ - Oberfläche wurde die Randtemperatur als Linienlast aufgebracht. An diesem Modell wurden der Emissionsgrad, die Anzahl der Link31 - Elemente, der Formfaktor, die dem Link31-Element zugeordnete Fläche, der Abstand der Flächen zueinander und die verwendete Berechnungsformel variiert. Diese Ergebnisse sind in den folgenden Abschnitten dargestellt.

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3.2 Einfluss des Emissionsgrades

In der ersten Auswertung wird der Einfluss des Emissionsgrades betrachtet. Da er ein Materialwert ist und in Gl. (1) als Faktor eingeht, ist ersichtlich dass er einen direkten Einfluss auf den transportierten Wärmestrom hat. Um diesen Einfluss zu zeigen werden drei Simulationen durchgeführt, bei denen alles außer den Emissionsgraden identisch ist. Die dafür verwendeten Werte sind Tab. 2 zu entnehmen.

Nach Beendigung der Simulation kann man sich im Programm ANSYS die berechnete Temperatur - Verteilung im Modell anzeigen lassen. Für Fall 1 ist die Temperatur - Verteilung in Abb. 6 dargestellt.

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Um einen Vergleich vorzunehmen, wird der Knoten des Link31 der sich auf der „Empfänger“ -Oberflächen befindet, selektiert. Für diesen ausgewählten Knoten wird der Wärmestrom Q und die Temperatur T angezeigt. Zusätzlich wird der maximale Temperaturgradient des Modells angegeben. Mit Einsetzen der Werte aus Tab. 2 in Gl. (1) sollten sich die Wärmeströme Q um den Faktor des verwendeten Emissionsgrades unterscheiden. Die vom Programm ermittelten Werte sind in Tab. 3 aufgelistet.

Die berechneten Wärmeströme zeigen, dass sie sich wie erwartet nur um den Faktor des Emissionsgrades unterscheiden. Bei der Temperatur handelt es sich um eine nicht additive Größe, so dass sie kein Vielfaches des Emissionsgrades ist. Die in Tab. 3 gezeigten Wärmeströme Q am Empfänger-Knoten sind positiv, das bedeutet diese Knoten nehmen in der Summe Wärme auf. Somit muss die Temperatur des Link31 - Knoten auf der „Sender“ -Oberfläche größer als die Temperatur T 2 sein. Dies ist durch die eingegebene Temperatur T ¹ von 1000 K gegeben.

3.3 Betrachtung der dem Element zugeordnete Fläche

In diesem Abschnitt wird, wie in Abb. 7 dargestellt, der Einfluss der dem Link31 zugeordneten Fläche A untersucht. Bei der Verwendung eines Link31 - Elementes wird mit dieser Größe die der Strahlung ausgesetzten Fläche modelliert [4].

In den Simulationen wird der Flächeninhalt der bestrahlten Fläche von 0,01m² (entspricht der „Sender“ - Oberfläche) bis auf den Flächeninhalt der der „Empfänger“ - Oberfläche (1m²) erhöht. Die eingegebenen Werte können sie aus Tab. 4 ablesen.

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Die für alle drei Fälle berechneten Wärmeströme Q, Temperaturen T und die maximalen Temperaturgradienten sind in Tab. 5 aufgeführt.

Tendenziell erhöht sich der Wärmestrom Q um den Faktor 10, bei Verzehnfachung der der Strahlung ausgesetzten Fläche A. Ist in Abb. 8, aufgrund der geringen bestrahlten Fläche, noch keinerlei konzentrisch ausgebildete Temperatur - Verteilung zu sehen. So sind bei Erhöhung der Fläche A konzentrisch verteilte Isothermen um das Link31 - Element erkennbar, siehe Abb. 9. Durch die größer werdende Fläche A erhält man einen größeren veränderlichen Temperatur -Bereich.

3.4 Einfluss der Elementanzahl

Durch die Strahlungsverbindung zwischen dem Knoten der Oberfläche und den neu erschaffenen Knoten, der den Strahler darstellt, wird das Auftreffen der Strahlung nur durch einen Knoten simuliert. Dies hat den maximalen Temperaturgradient direkt um den Knoten zur Folge. In der Realität trifft auf jeden diskreten Punkt der betroffenen Fläche Strahlung auf, wodurch sich der Wert des Temperaturgradienten verringert.

Um dies nachzuprüfen wird für Fall 1, 5 des Abschnittes 3.3 die Elementanzahl des Link31 auf 4 erhöht. Dabei wird die einem Knoten zugeordnete Fläche auf ein Viertel verringert um in der Summe den Flächeninhalt der bestrahlten Fläche beizubehalten. Die dafür verwendeten Werte können sie Tab. 6 entnehmen.

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3.5 Änderung des Formfaktors

Von Gl. (1) zur Berechnung des Wärmestromes ist der Formfaktor F, die schwierigste zu bestimmende Einflussgröße. Sollte nicht der gesamten Halbraum über der „Empfänger“ -Oberfläche mit der Fläche im Strahlungsaustausch stehen, so ist der Formfaktor F  1. Die geänderte Anordnung der beiden Flächen zueinander ist in Abb. 12 zu sehen.

Die Berechnungsvorschrift zur Bestimmung des Formfaktors ist in Gl. (4) dargestellt [6].

Bei Verwendung der Gleichung müssen alle Werte als Bogenmaß verwendet werden. Die errechneten und eingegebenen Werte für dieses Beispiel sind in Tab. 8 aufgeführt.

Der für diesen Fall berechnete Wärmestrom, die Temperatur T und der maximale Temperaturgradient ist in Tab. 9 dargestellt.

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Mit Einsetzen der Parameter aus Tab. 8 in Gl. (1) erhält man die in Tab. 9 dargestellten Werte. Im Temperatur - Verlauf entlang des in Abb. 12 gezeigten Pfades ist die symmetrische Verteilung der Temperatur um das in der Mitte befindliche Link31 - Element zu erkennen. Realistischer wäre jedoch eine Verschiebung des Temperaturmaximum in Richtung des linken unteren Randes aufgrund der Nähe zur „Sender“ - Oberfläche“, was aber durch das Link31 -Element nicht simuliert wird.

3.6 Betrachtung der empirischen Lösungsformel

Die einzig veränderbare Option beim Link31 ist die Veränderung der Standard - Funktion zur empirischen Funktion hin. Damit ändert sich die zugrunde gelegte Berechnungsformel für den Wärmestrom Q von Gl. (1) in die in Gl. (5) dargestellten Form [1].

( )

Wann diese Berechnungsformel zu verwenden ist, muss durch spätere Simulationen nachgewiesen werden, da durchgeführte Simulationen nur unzureichende Ergebnisse ergaben. Eine Vermutung ist das diese Formel für Simulationen bei denen F < 1 ist verwendet werden soll.

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3.7 Konstruktive Vereinfachungen und Besonderheiten

• • In diesem Abschnitt soll geklärt werden welche Besonderheiten und Vereinfachungen bei der Simulation zu beachten sind. Die in Gl. (1), (3) angegebene Fläche A ist die jeweils dem Link31 - Element zugeordnete Fläche auf der „Empfänger“ - Oberfläche. So spielt zur Berechnung des Wärmestromes Q nur die der Strahlung ausgesetzten Fläche eine Rolle und nicht die Größe „Sender“ - Oberfläche. Durch entsprechende Simulationen bei denen der Strahler auf einen Punkt reduziert wurde, ist nachgewiesen wurden, dass die Größe der modellierten „Sender“ - Oberfläche keine Rolle spielt.