In dieser Arbeit werden Fehler und Effizienz von Lösungsverfahren für Flugbahnmodelle analysiert.
Die ausführlich diskutierte Theorie der Fehler- und Effizenzbestimmung von Lösungsmethoden für Anfangswertprobleme kann aber auf jede beliebige ODE übertragen werden.
Für das Anfangswertproblem des Flugbahnmodelles werden verschiedene ODE-Solver
(Klassisches Runge-Kutta, Runge-Kutta Cash-Karp, Runge-Kutta Dormand-Prince, Burlisch Stoer,
Semi-implizites Burlisch Stoer, Prädiktor-Korrektor Verfahren) für typische Flugbahnen untersucht.
Mit Hilfe einer globalen Fehlerbestimmung mit der Methode der Defektkorrektur und
verallgemeinerten Fehlermaßen zeigt sich, dass das Runge-Kutta Dormand-Prince Verfahren
fünfter Ordnung am effizientesten arbeitet.
Es werden Möglichkeiten zur analytischen Bestimmung der für das zweiseitige Randwertproblem
benötigten Startwerte aufgezeigt.
Nach Untersuchung der Minimierungsalgorithmen (Newton, Broyden, Simulated Annealing,
Brent) zur Lösung des Randwertproblems konnte festgestellt werden, dass das Broyden-Verfahren
dem implementierten Newton-Verfahren überlegen ist.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen
1.2 Zielsetzungen und Herausforderungen
1.3 Gliederung der Arbeit
2 Grundlagen
2.1 Ballistik
2.2 Koordinatensysteme
2.2.1 Erdfestes Koordinatensystem
2.2.2 Geozentrisches Koordinatensystem
2.2.3 Projektilfestes Koordinatensystem
2.3 Kräfte des STANAG 4355 – Modells
2.3.1 Hilfsgröße I: Aerodynamische Koeffizienten
2.3.2 Hilfsgröße II: Lieske Vektor
2.3.3 Schwerkraft
2.3.4 Corioliskraft
2.3.5 Magnus-Kraft
2.3.6 Auftriebskraft
2.3.7 Luftwiderstand
2.3.8 Drallstabilisierung
2.4 Allgemeines zu Flugbahnen
2.4.1 Einhüllende einer Flugbahnschar
2.4.2 Flugzeitenbetrachtung
2.5 Notwendige Definitionen über Differentialgleichungen
3 Differentialgleichungssystem des Flugbahnmodells nach STANAG 4355
3.1 Differentialgleichungssystem nach STANAG 4355
3.2 Anfangswerte
3.3 Zweiseitiges Randwertproblem
3.4 Randwertproblem mit festen Grenzen - Zeittransformation
3.5 Shooting-Methode zur Auffindung einer Lösung für ein zweiseitiges Randwertproblem
4 Verfahren und Kennzahlen zur Bestimmung der Effizienz von ODE-Solvern
4.1 Kennzahlen numerischer ODE-Solver
4.1.1 Rechenzeit (computing time)
4.1.2 Speicherplatz (array storage)
4.2 Genauigkeit (accuracy , precision)
4.3 Verläßlichkeit (reliability)
4.4 Robustheit (robustness)
4.5 Definition des lokalen Diskretisierungsfehlers
4.6 Verschiedene Verfahren zur Bestimmung des globalen Fehlers
4.6.1 Summation der lokalen Fehler
4.6.2 Klassische Methode nach Isaacson und Keller für Einschrittverfahren
4.6.3 Schätzung des globalen Fehlers durch Variation des lokalen Fehlers
4.6.4 Schätzung des globalen Fehlers durch Variation der Schrittweite
4.6.5 Defektkorrektur
4.7 Zusammenfassung der Schätzverfahren zur Bestimmung des globalen Fehlers
5 Analyse der ODE-Solver
5.1 ODE-Solver nach Numerical Recipes
5.1.1 Klassisches Runge Kutta Verfahren vierter Ordnung
5.1.2 Adaptives Runge Kutta Verfahren fünfter Ordnung mit Cash-Karp Parametern
5.1.3 Adaptives Runge Kutta Verfahren fünfter Ordnung mit Dormand Prince Parametern
5.1.4 Adaptives Runge Kutta Verfahren achter Ordnung mit Dormand Prince Parametern
5.1.5 Burlisch Stoer Verfahren mit modifizierter Mittelpunkt Methode vierter Ordnung
5.1.6 Semi-implizites Extrapolationsverfahren nach Burlisch Stoer
5.1.7 Adaptives Prädiktor-Korrektor Verfahren mit Schrittweitenkontrolle
5.2 Numerische Experimente für einige ODE-Solver
5.2.1 Rechenzeit vs. Lokaler Fehler
5.2.2 Globaler Fehler vs. Lokaler Fehler
5.2.3 Rechenzeit vs. Globaler Fehler
5.3 Entwicklung eines Verfahrens zum Vergleich der konkurrierenden Ziele Rechenzeit und Genauigkeit
5.4 Darstellung der globalen Fehlerkurven
5.4.1 Globaler Fehler vs. Zeit
5.4.2 Darstellung der Schrittweitensteuerung
5.4.3 Polarkoordinatendarstellung des globalen Fehlers
5.4.4 Dreidimensionaler Plot des globalen Ortsfehlers
5.4.5 Fehleranteile
5.4.6 Weitere Features der Plots
5.5 Erkenntnisse über den globalen Fehler der Trajektorie
6 Optimierungsmöglichkeiten der Minimierungsalgorithmen
6.1 Guessed Values
6.1.1 Analytische Berechnung des Abschusswinkels für ein Flugbahnmodell im Vakuum bei flacher Erde
6.1.2 Performancesteigerung durch vorgeschaltete Flugbahnmodelle: Quadratisches Luftwiderstandsmodell für gestreckte Flugbahnen
6.2 Performancetest für verschiedene Minimierungsverfahren
6.2.1 Newtonverfahren
6.2.2 Simulated Annealing
6.2.3 Broyden
6.2.4 Brent
6.2.5 Brent und Newton
6.2.6 Vergleich der Verfahren
6.2.7 Zusammenfassung der Ergebnisse
7 Zusammenfassung und Ausblick
7.1 Zusammenfassung
7.2 Ausblick
11 Appendix A: Numerische Experimente und numerische Verfahren
11.1 Performancetest für vorgeschaltete Flugbahnmodelle
11.2 Herleitung der klassischen Methode zur Abschätzung des globalen Fehlers für ODE-Solver
11.3 Anwendung des Schätzers des globalen Fehlers durch Variation der Schrittweite auf Testprobleme
11.4 Anwendung der Defektkorrektur auf Testprobleme
11.5.1 Allgemeines zu ODEINT
11.5.2 Einbettungsstrategie für Runge Kutta Familien
11.5.3 Lokale Extrapolation zur Schätzung des lokalen Fehlers
11.5.4 Runge-Kutta Quality Control
11.5.5 Die Routinen RK4 und DERIVS
12 Appendix B: Physikalische Modelle
12.1 Herleitung der Approximation für die Schwerkraft
12.2 Erklärung der Form des Luftwiderstandes
12.3 Analyse der Flugbahndauer für ein lineares Luftwiderstandsmodell
12.4 Erklärung der Auftriebskraft für Projektile
13 Appendix C: Analytische Flugbahnmodelle
13.1 Flugbahn(en) im Vakuum unter allgemeinen Bedingungen
13.2 Berechnung eines gestreckten Flugbahnmodelles mit quadratischem Luftwiderstand
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Ziel dieser Arbeit ist die Bereitstellung einer zeiteffizienten numerischen Lösung für die Differentialgleichungen des Flugbahnmodells gemäß STANAG 4355, wobei die auftretenden Fehler systematisch erfasst und minimiert werden sollen.
- Analyse der Genauigkeit und Effizienz verschiedener ODE-Solver (z.B. Runge-Kutta-Verfahren, Burlisch-Stoer).
- Entwicklung und Bewertung von Schätzverfahren für globale Fehler (z.B. Defektkorrektur).
- Untersuchung von Minimierungsalgorithmen für zweiseitige Randwertprobleme in Flugbahnszenarien.
- Implementierung numerischer Verfahren zur effizienten Bestimmung von Anfangswerten für die Flugbahnmodellierung.
- Vergleich konkurrierender Ziele wie Rechenzeit gegenüber Genauigkeit mittels eines relativen Ineffizienzkriteriums.
Auszug aus dem Buch
1.1 Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen
Das Fraunhofer-Institut für Kurzzeitdynamik (Ernst-Mach-Institut, kurz: EMI) untersucht unter dem Projektnamen „Fuze Safety Quantitative Risk Analysis“ (FSQRA) die Gefährdung von Personen in Überflugsszenarien mit Artillerie- und Mörsergeschossen [2].
Das Modell der Risikoanalyse basiert auf einer repräsentativen Flugbahn des Geschosses und viele tausende Flugbahnen von repräsentativen Fragmenten, die bei einem Schadensereignis durch Detonation des Geschosses entstehen.
Der mathematische Aufwand zur Berechnung der Flugbahnen, wird dabei durch das zugrundeliegende physikalische Modell bestimmt und reicht von trivial integrierbarer Gleichungen bis zu gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
In dieser Arbeit wurde ein von der NATO standardisiertes modifiziertes Punkt-Masse-Modell verwendet (engl. modified point mass model, MPMM). Das »NATO STANDARDIZATION AGREEMENT (STANAG) 4355« schreibt 5 Freiheitsgrade (Degrees of Freedom, DoF) für dieses MPMM vor [3].
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Vorstellung des Projekts "Fuze Safety Quantitative Risk Analysis" und Definition der Zielsetzung sowie der Gliederung dieser Arbeit.
2 Grundlagen: Einführung in die ballistischen Konzepte, Koordinatensysteme und die physikalischen Kräfte gemäß STANAG 4355.
3 Differentialgleichungssystem des Flugbahnmodells nach STANAG 4355: Formulierung des mathematischen Systems, Definition der Anfangswerte und des Randwertproblems sowie Vorstellung der Shooting-Methode.
4 Verfahren und Kennzahlen zur Bestimmung der Effizienz von ODE-Solvern: Definition von Qualitätskennzahlen wie Genauigkeit und Rechenzeit sowie Darstellung verschiedener Methoden zur globalen Fehlerabschätzung.
5 Analyse der ODE-Solver: Detaillierte Untersuchung und numerischer Vergleich verschiedener Integrationsverfahren wie Runge-Kutta- und Extrapolationsmethoden.
6 Optimierungsmöglichkeiten der Minimierungsalgorithmen: Ansätze zur effizienten Bestimmung von Startwerten für die Flugbahn und Vergleich diverser Minimierungsverfahren.
7 Zusammenfassung und Ausblick: Retrospektive der erzielten Erkenntnisse bezüglich der Effizienz von ODE-Solvern und Identifikation zukünftiger Forschungsansätze.
Schlüsselwörter
STANAG 4355, Flugbahnmodell, ODE-Solver, Runge-Kutta-Verfahren, globaler Fehler, Defektkorrektur, Ballistik, Minimierungsalgorithmen, Randwertproblem, Numerische Simulation, Flugkörper, Treibladung, Aerodynamik, Genauigkeit, Rechenzeiteffizienz.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der numerischen Lösung von Flugbahnmodellen gemäß STANAG 4355 und der Bewertung der Effizienz sowie Genauigkeit unterschiedlicher Lösungsverfahren für Anfangs- und Randwertprobleme.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Felder sind die ballistischen Grundlagen, die mathematische Modellierung mittels Differentialgleichungen, die Implementierung numerischer Solver und die Optimierung der Startwerte für Flugbahnberechnungen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das primäre Ziel ist es, zeiteffiziente numerische Lösungen für das Flugbahnmodell bereitzustellen und dabei auftretende numerische Fehler durch geeignete Schätz- und Korrekturverfahren zu kontrollieren.
Welche wissenschaftlichen Methoden finden Anwendung?
Es werden klassische Runge-Kutta-Verfahren, Burlisch-Stoer-Methoden, Defektkorrektur zur Fehlerabschätzung sowie verschiedene Minimierungsalgorithmen wie das Newton-Verfahren und Simulated Annealing untersucht.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Flugbahnmodelle, die detaillierte mathematische Behandlung der Differentialgleichungssysteme und die umfangreiche numerische Analyse der verschiedenen Solver-Algorithmen.
Durch welche Schlüsselwörter wird die Arbeit charakterisiert?
Wichtige Schlagworte sind STANAG 4355, Flugbahnmodell, ODE-Solver, globaler Fehler, Ballistik, Defektkorrektur und numerische Simulation.
Warum ist das Projekt "FSQRA" relevant für diese Untersuchung?
Das FSQRA-Projekt liefert den Anwendungsrahmen, da hier die Gefährdung durch Fragmente bei Detonationen simuliert wird, was präzise Flugbahnberechnungen für Tausende von Fragmenten erfordert.
Wie unterscheidet sich die Arbeit bei der Fehlerbestimmung von Standardansätzen?
Neben der einfachen Fehlerbetrachtung evaluiert die Arbeit spezifische Verfahren zur globalen Fehlerabschätzung, wie etwa die Defektkorrektur, um die Zuverlässigkeit der numerischen Flugbahnmodelle zu steigern.
- Quote paper
- Fabian Suhrke (Author), 2009, Fehler und Effizienz von Lösungsmethoden für Anfangs- und Randwertproblemen aus Flugbahnmodellen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/186617
