Es gibt zwei verschiedene Arten von Milchtüten. Die erste hat einen quadratischen Boden und
ist relativ hoch. Die zweite hat einen rechteckigen Boden und eine etwas größere Grundfläche.
Trennt man die Tüte mit quadratischem Boden an den Kleberändern auf, entsteht ein
Rechteck mit Kleberändern an dreien der vier Außenseiten. Die Kleberänder sind jeweils
0,6cm breit. Die Höhe der Tüte beträgt 19,7cm und die Breite 7,1cm. Ober- und unterhalb der
rechteckigen Seite der Tüte und an zwei halben Seiten rechts und links liegen Streifen der
Höhe 1/2·a über die volle Breite.
Eine Tüte mit den genannten Maßen hätte ein Volumen von
V=a²·h=(7,1cm)²·19.7cm=993,077cm³.
Da die gefüllte Tüte leicht bauchig ist, passen auf jeden Fall 1l = 1000cm³ hinein. Es bleibt
sogar noch etwas Luft, damit die Flüssigkeit, in dem Fall die Milch nicht gleich beim Öffnen
herausschwappt. heißt mit minimalem Papierverbrauch produziert. Minima und Maxima einer Funktion kann
man mit der Nullstelle der ersten Ableitung berechnen.
Daraus ergibt sich folgende Rechnung:
Man stellt eine Funktion für den Materialverbrauch in Abhängigkeit von a und h auf.
M(a,h)=“Höhe“·”Breite”= (h+2·a/2+2·0,6)·(4a+0,6)
Das Volumen (1Liter = 1000cm³) steht fest, das heißt man kann a²·h = 1000 als
Nebenbedingung aufstellen und diese in die Funktion einsetzen.
Dadurch erhält man eine Funktion, die nur noch von a abhängig ist. [...]
Inhaltsverzeichnis
I) Die Milchtüte
1. Die Milchtüte
1.1 Der Aufbau
1.2 Ist der Papierverbrauch minimal?
1.3 Die Abweichung
2. Prozess des Modellbildens
2.1 Was ist der Prozess der Modellbildung / der Modellbildungskreislauf?
II) Tetra Pak
1. Wer ist Tetra Pak?
2. Entstehung eines Getränkekartons
2. 1 Abfüllvorgang
2. 2 Abfüllmaschinen
3. Verschiedene Verpackungen
4. Vorteile des Getränkekartons
III) Die Konservendose
1. Aufbau
2. Bei welchen Abmessungen (Durchmesser, Höhe) ist der Materialverbrauch eines Zylinders mit dem Volumen 1 l minimal?
3. Verfeinerte Betrachtung der Konservendose
4. Konfrontation mit der Realität
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die Arbeit untersucht das Wechselspiel zwischen mathematischer Modellierung und praktischer Anwendung anhand der Verpackungsbeispiele Milchtüte und Konservendose. Ziel ist es, zu analysieren, ob reale Verpackungen tatsächlich unter dem mathematischen Aspekt des minimalen Materialverbrauchs optimiert sind oder ob andere Faktoren wie Handlichkeit und Herstellungsverfahren eine entscheidende Rolle spielen.
- Mathematische Optimierung von Verpackungsvolumina und Materialeinsatz.
- Prozess der mathematischen Modellbildung anhand realer Problemstellungen.
- Unternehmensportrait und Verpackungssysteme von Tetra Pak.
- Vergleich zwischen theoretischen Berechnungen und realen technischen Anforderungen.
Auszug aus dem Buch
Prozess des Modellbildens
Der Prozess der Modellbildung ist oft ein Kreislauf. Man hat ein Problem in einer außermathematischen Situation. Dieses Problem wird mathematisch so modelliert, dass es zu einem innermathematischen Problem wird. Es ist somit durch mathematische Mittel lösbar. Die Lösung kann dann wieder auf die Ausgangssituation übertragen werden. Entweder hilf sie bei der Klärung des Problems oder der Kreislauf muss noch einmal durchlaufen und an den entsprechenden Stellen verbessert werden.
1) Das Problem wird formuliert.
2) Das Problem wird mathematisch modelliert.
3) Das Problem wird innermathematisch gelöst.
4) Die mathematische Lösung wird interpretiert und auf ihren Wert für die Lösung des Ausgangsproblems befragt.
Es gibt eine waagerechte Trennlinie zwischen der Welt und der Mathematik und eine senkrechte zwischen dem Problem und der Lösung. Durch modellieren, deduzieren, interpretieren und validieren kann man der Mathematik mehr Realitätsbezüge geben. Allerdings ist es relativ schwierig die Schüler über einen so langen Prozess zu interessieren. Trotzdem ist die Sinnfrage in der Mathematik wichtig und gerade über solche Beispiele in den Raum zu stellen.
Zusammenfassung der Kapitel
I) Die Milchtüte: Analyse des Aufbaus einer Milchtüte und Überprüfung der mathematischen Hypothese, ob deren Maße auf minimalen Papierverbrauch optimiert sind.
Prozess des Modellbildens: Erläuterung des mathematischen Modellbildungskreislaufs als Methode zur Lösung außermathematischer Probleme.
II) Tetra Pak: Darstellung des Unternehmens und der industriellen Herstellungsverfahren von Getränkekartons inklusive deren spezifischer Verpackungsvarianten.
Vorteile des Getränkekartons: Untersuchung der ökonomischen und ökologischen Vorzüge des Getränkekartons im Vergleich zu anderen Verpackungsarten.
III) Die Konservendose: Untersuchung der optimalen Maße eines Zylinders für ein gegebenes Volumen unter Einbeziehung von Falzüberständen.
Konfrontation mit der Realität: Zusammenführender Abgleich zwischen theoretisch berechneten Optimalmaßen und den tatsächlich produzierten Abmessungen von Konservendosen.
Schlüsselwörter
Mathematik, Modellbildung, Milchtüte, Konservendose, Verpackung, Tetra Pak, Materialverbrauch, Optimierung, Extremwertaufgabe, Getränkekarton, Abfüllverfahren, Geometrie, Nachhaltigkeit, Produktionstechnik, Volumen.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht den Zusammenhang zwischen mathematischen Optimierungsberechnungen und der tatsächlichen Gestaltung von Verpackungen wie Milchtüten und Konservendosen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die Themenfelder umfassen angewandte Mathematik (Extremwertaufgaben), industrielle Verpackungstechnologien und eine kritische Gegenüberstellung von Theorie und technischer Realität.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die Beantwortung der Frage, ob Verpackungshersteller mathematische Optima bei der Materialverwendung konsequent umsetzen oder ob andere Faktoren wie Handhabung und Fertigungsprozesse überwiegen.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird die Methode der mathematischen Modellbildung angewandt, bei der reale Probleme in Funktionen überführt, abgeleitet und optimiert werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die mathematische Analyse der Milchtüte, den Prozess der Modellbildung, eine Vorstellung von Tetra Pak und die mathematische Optimierung der Konservendose.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den prägenden Begriffen gehören Modellbildung, Materialverbrauch, Optimierung, Verpackungstechnik und der Vergleich zwischen theoretischen und realen Maßen.
Warum weicht die tatsächliche Breite der Milchtüte von der berechneten ab?
Die Abweichung resultiert aus praktischen Anforderungen wie der Handlichkeit der Tüte, ihrer Ästhetik, der Kühlschranklagerung sowie den spezifischen Vorgaben verschiedener Abteilungen wie Marketing und Fertigungstechnik.
Wie beeinflussen Falzüberstände die Berechnung bei der Konservendose?
Die Berücksichtigung der Falzüberstände verändert die mathematische Oberflächenformel, da diese zusätzlichen Materialaufwand für Boden und Deckel erfordern, was die Berechnung komplexer macht als beim idealen mathematischen Zylinder.
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- Simone Effenberk (Author), 2003, Milchtüte und Konservendose, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/18812
