1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit
Die Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit ist ein Themenge-biet, welches in der Literatur in ausführlichem Maße diskutiert und auf unterschied-liche Vorgehensweisen hergeleitet ist.1 Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden gerade im Zusammenhang mit ökonomischen Problemen Modelle mit zwei oder mehr Differentialgleichungssystemen verwendet, die zeitgleich zu lösen sind.2 Vor allem eignen sich die Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) so-wie deren Systemen zur Interpretation und zur Beschreibung von ökonomischen Abläufen und Prozessen, da sie Informationen über Bewegungen und damit An-gaben über die „endogene Dynamik“3 enthalten. Deshalb erübrigt sich die Berück-sichtigung exogener Schocks wie beispielsweise Umwelteinwirkungen oder politi-schen Krisen, wodurch das zu lösende System trivialisiert wird. Im Rahmen dieser Seminararbeit soll eine allgemeine Vorgehensweise zur Stabilitätsuntersuchung eines zwei-dimensionalen Systems erarbeitet werden um aufbauend darauf unter-schiedliche Fälle von zwei-dimensionalen Differentialgleichungssystemen zu un-tersuchen.
Ziel dieser Arbeit ist es zunächst ein zwei-dimensionales lineares sowie autono-mes System in stetiger Zeit formal darzustellen um daraufhin dessen allgemeine Lösungen über zwei unterschiedliche Wege herzuleiten. Zuvor wird jedoch der Gleichgewichtsbegriff näher erläutert. Im Anschluss wird die allgemeine Lösung eines n-dimensionalen Systems erarbeitet, wobei für weitere Untersuchungen ein-fachheitshalber ein zwei-dimensionales System herangezogen wird. Im folgenden Schritt wird zunächst der Stabilitätsbegriff definiert. Aufbauend auf den hergeleite-ten Eigenwerten werden Stabilitätskriterien herausgearbeitet und definiert. Im letz-ten Schritt der Stabilitätsanalyse werden die zuvor festgelegten Kriterien ausführ-lich hergeleitet und mit Beispielen veranschaulicht. Schließlich werden im Fazit, die im Rahmen dieser Arbeit gewonnenen Ergebnisse zusammengetragen.
Inhaltsverzeichnis
1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit
2 Formale Darstellung des Systems
2.1 Systembeschreibung
2.2 Gleichgewichtsbegriff
2.3 Allgemeine Lösung eines zwei-dimensionalen Systems
2.3.1 Erster Lösungsweg
2.3.2 Zweiter Lösungsweg
2.3.2.1 Fall der positiven Diskriminante
2.3.2.2 Fall der Diskriminante gleich Null
2.3.2.3 Fall der negativen Diskriminante
2.4 Lösung eines n-dimensionalen Systems
3 Stabilitätsanalyse
3.1 Stabilitätsbegriff
3.2 Stabilitätskriterien
3.3 Anwendung der Stabilitätskriterien
3.3.1 Erster Fall: Eigenwert reell und gleich
3.3.2 Zweiter Fall: Eigenwerte reell und ungleich
3.3.3 Dritter Fall: Eigenwerte konjugiert-komplex
4 Fazit
Zielsetzung & Themen
Ziel dieser Seminararbeit ist es, eine systematische mathematische Herleitung der allgemeinen Lösung sowie eine Stabilitätsanalyse für autonome lineare Differentialgleichungssysteme in stetiger Zeit für den zweidimensionalen Fall zu erarbeiten und zu veranschaulichen.
- Formale mathematische Beschreibung autonomer linearer Systeme
- Herleitung der allgemeinen Lösung über unterschiedliche mathematische Lösungswege
- Definition und theoretische Fundierung des Stabilitätsbegriffs
- Klassifizierung von Gleichgewichtszuständen mittels Stabilitätskriterien
- Visualisierung und Analyse durch Phasenbilder und Fallbeispiele
Auszug aus dem Buch
2.1 Systembeschreibung
Die Modelle von ökonomischen Problemen können mit Hilfe von Differentialgleichungssystemen abgebildet und gelöst werden. Diese werden in der Literatur meist auf zwei-dimensionale Gleichungssysteme reduziert, da sie sehr gut dargestellt und untersucht werden können. Im Rahmen dieser Seminararbeit wird ein solches System behandelt und im Folgenden mit dessen Annahmen ausführlich beschrieben. Hierbei sind x und y die beiden Funktionen und
(1) x = ax + by
y = cx + dy
das zu analysierende Differentialgleichungssystem. In der Matrixschreibweise lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
(2) [x; y] = [a b; c d] * [x; y]
Bei (1) handelt es sich um ein lineares System erster Ordnung, da die abhängigen Variablen x und y linear miteinander verknüpft sind. Dieses System ist zudem ein autonomes, weil es auf der rechten Seite keine zeitabhängige Variable enthält. Schließlich liegt in diesem Fall auch Homogenität vor, weil sich im System keine weitere additionale Konstante befindet.
Die letzte relevante Eigenschaft des zu untersuchenden Systems ist dessen Stetigkeit. Mathematisch ausgedrückt ist eine Funktion f „an der Stelle ε ihres Definitionsbereichs X stetig, wenn für jede Folge (x_n) aus X, die gegen ε strebt, immer auch f(x_n) -> f(ε) konvergiert.“ Anschaulich ist darunter zu verstehen, dass eine Funktion mit einem durchgezogenen Funktionsgraphen ohne Sprünge stetig ist. Diese Annahme gilt auch für das Differentialgleichungssystem (1).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit: Einführung in die Bedeutung von Differentialgleichungssystemen für ökonomische Modelle und Darstellung der Zielsetzung der Arbeit.
2 Formale Darstellung des Systems: Mathematische Einführung in autonome lineare Systeme, Definition des Gleichgewichtsbegriffs und Herleitung der allgemeinen Lösungen für zwei- und n-dimensionale Systeme.
3 Stabilitätsanalyse: Definition des Stabilitätsbegriffs sowie Ableitung und Anwendung von Stabilitätskriterien basierend auf Eigenwerten und Fallunterscheidungen für diverse Knotentypen.
4 Fazit: Zusammenfassende Betrachtung der erarbeiteten Stabilitätskriterien und Ausblick auf weiterführende geometrische Untersuchungsmöglichkeiten in der Phasenebene.
Schlüsselwörter
Differentialgleichungssysteme, autonomes System, Stabilitätsanalyse, Eigenwerte, Gleichgewichtszustand, Phasenraum, Trajektorien, Sattelpunkt, stabiler Knoten, instabiler Knoten, Strudel, Wirbelpunkt, Matrixschreibweise, Diskriminante, ökonomische Dynamik
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit analysiert autonome lineare Differentialgleichungssysteme in stetiger Zeit, insbesondere mit dem Fokus auf deren formale mathematische Lösung und Stabilität.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit behandelt die mathematische Systembeschreibung, die Lösung über charakteristische Polynome sowie die Analyse der Stabilität von Gleichgewichtspunkten.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die Erarbeitung einer allgemeinen Vorgehensweise zur mathematischen Herleitung der Systemlösungen und deren Stabilitätsuntersuchung im zweidimensionalen Fall.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es wird eine formale mathematische Modellierung genutzt, die auf linearer Algebra und Differentialrechnung basiert, ergänzt durch grafische Veranschaulichungen via Phasenbilder.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die formale Herleitung der Lösungen (direkt und über charakteristische Polynome) sowie die detaillierte Stabilitätsanalyse inklusive Fallbeispielen für verschiedene Eigenwerte.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit ist geprägt durch Begriffe wie Stabilität, Eigenwerte, Gleichgewichtszustand, Trajektorien und Differentialgleichungssysteme.
Wie werden die verschiedenen Stabilitätszustände klassifiziert?
Die Zustände (wie stabiler Knoten, Sattelpunkt oder Strudel) werden basierend auf der Diskriminante und dem Vorzeichen der Eigenwerte des Systems systematisch unterschieden.
Warum ist die Analyse der Determinante wichtig für die Lösung?
Die Determinante spielt eine zentrale Rolle bei der Bestimmung des charakteristischen Polynoms, dessen Nullstellen (Eigenwerte) wiederum das Lösungsverhalten des gesamten Systems maßgeblich beeinflussen.
- Arbeit zitieren
- Raihan Youssufzay (Autor:in), 2011, Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/188203
