Der Flug der Brezel: Numerische Integration von Differentialgleichungen anhand eines Beispiels


Facharbeit (Schule), 2011
42 Seiten, Note: 15

Leseprobe

Der Flug der Brezel

1. Einleitung

2. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.2 Das Verfahren der numerische Integration
2.3 Programmierung der numerischen Integration
2.4 Test am Beispiel des waagerechten Wurfes

3. Mathematisches Weltraum-Denkspiel als Ausgangspunkt der Arbeit
3.1 “Die Brezel kehrt heim“ - ein mathematisches Denkspiel
3.2 Der „Brezelkreis“ - eine erste Erweiterung des Denkspiels
3.3 „Houston, we’ve had a problem...“

4. Der Flug der Brezel - eigene Fortsetzung des ursprünglichen Rätsels als Anwendung der numerischen Integration
4.1 Der Einfluss der Gravitationskraft von Mond und Erde auf ein Körper im Weltall
4.2 Simulation mit ruhendem Mond
4.3 Simulation mit bewegtem Mond

5. Auswertung und Ausblick

Quellenverzeichnis

Anhänge

1. Einleitung

Ich bin schon seit langer Zeit daran interessiert, mathematische Rätsel und Denkspiele aller Art zu lösen, jedoch habe ich vor allem großen Spaß daran, vorhandene Aufgaben in der Art zu verändern, dass sie nicht mehr durch einfache mathematische Lösungsformeln zu lösen sind, sondern höhere Mathematik zum Finden der richtigen Lösung angewandt werden muss! So habe ich auch die vorliegende Arbeit dazu genutzt, ein solches einfaches Rätsel von Martin Gardner zu lösen und durch eigens erdachte Erweiterungsmöglichkeiten in höhere mathematische Grundlagen einzuführen!

Gewöhnliche Differentialgleichungen spielen in der Mathematik und den Naturwissenschaften eine große Rolle. In der Praxis lassen sich die meisten relevanten Gleichungen dieser Art allerdings nicht mehr analytisch, sondern nur numerisch lösen. Die vorliegende Arbeit möchte anhand einer konkreten gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung ein Computer-gestütztes Lösungsverfahren vorstellen und ist folgendermaßen aufgebaut:

Zunächst wird in Kapitel 2 der Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung eingeführt und anhand eines einfachen Beispiels erläutert. Nach der Vorstellung der Newton’schen Bewegungsgleichung, die eine Differentialgleichung 2. Ordnung darstellt, befasst sich die Arbeit mit der Methode der numerischen Integration, die bei der Berechnung der Bahnkurven eines Raumschiffs zur Anwendung kommen wird. Zunächst wird das sogenannte Euler­Verfahren als das einfachste Verfahren vorgestellt; ich führe hier aber auch gleich das Verfahren der Symmetrisierung des Differenzenquotienten ein, mit dem sich gegenüber dem Euler-Verfahren bei gleichem Rechenaufwand deutlich genauere Ergebnisse erzielen lassen. Nach der Vorstellung der Flussdiagramme für die Programmierung beider Verfahren wende ich diese Techniken zunächst auf die Berechnung der Bahnkurve des analytisch lösbaren Problems des waagerechten Wurfes an, um die Programme zu testen, ihre Genauigkeit zu vergleichen und die Rolle der Zeitschrittweite bei den Berechnungen abschätzen zu können.

Kapitel 3 spannt zunächst den Rahmen auf, in den die numerisch zu lösende Aufgabe inhaltlich eingebettet ist. Es handelt sich dabei ursprünglich um ein Rätsel von Martin Gardner, in dem es um ein Raumschiff namens „Brezel“ geht, das vom Mond zur Erde fliegt. In dem Rätsel wird nach dem Punkt auf der Verbindungsgerade zwischen Mond und Erde gesucht, von dem aus beide gleich groß erscheinen. Über das ursprüngliche Rätsel hinausgehend wird sich allerdings zeigen, dass es noch viel mehr Punkte im Raum gibt, welche diese Bedingung erfüllen. Betrachtet man nur die Menge der Punkte, von denen aus Mond und Erde gleich groß erscheinen, die in der Ebene liegen, in der sich der Mond um die Erde bewegt, so liegen diese Punkte auf einem Kreis, den ich „Brezelkreis“ nennen werde. Ich nehme in einer Fortführung des ursprünglichen Rätsels von Martin Gardner nun an, dass die „Brezel“ auf einem beliebigen Punkt des „Brezelkreises“ parkt (Geschwindigkeit v = 0 zum Zeitpunkt t = 0 ) und dabei die Antriebsmaschine irreversibel ausfällt. Dabei fragt man nun nach der Bewegungs-Bahnkurve, die sich allein aus der Gravitationskraft von Mond und Erde auf die „Brezel“ ergibt bzw. ob das Raumschiff - in Abhängigkeit von seiner Parkposition auf dem „Brezelkreis“ - auf direktem Weg auf dem Mond oder der Erde aufschlägt oder vielleicht kompliziertere Bahnen durchläuft.

In Kapitel 4 wird nach der Beschreibung des Gravitationsfeldes, dem die „Brezel“ ausgesetzt ist, zunächst eine vereinfachte Rechnung der „Brezel“-Flugbahn durchgeführt, bei der die Bewegung des Mondes um die Erde noch nicht berücksichtigt ist. Im nächsten Schritt wird die Mondbewegung einbezogen und das Ergebnis der Rechnung mit der Näherung des unbewegten Mondes verglichen. Schließlich werden die Punktmengen des „Brezelkreises“ ermittelt, von denen aus die „Brezel“ unter alleiniger Einwirkung der Gravitationskräfte in ihrer Bewegungsbahn direkt auf den Mond oder die Erde aufschlagen wird.

Kapitel 5 gibt schließlich einen Ausblick auf Rechenverfahren, mit denen die Leistungsfähigkeit der dargestellten numerischen Integration noch weiter erhöht werden kann, bevor in Kapitel 6 die wesentlichen Aspekte dieser Arbeit zusammengefasst werden.

2. Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

2.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen1 sind Funktionalgleichungen, die neben nur einer unabhängigen Variablen x und einer davon abhängigen Variablen y(x) noch Ableitungen y(n) dieser Variablen nach x enthalten, sich also in einer Gleichung der Gestalt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

darstellen lassen (1, Seite 627ff). Dabei nennt man die höchste auftretende Ableitungen von y(x) die Ordnung der gewöhnlichen Differentialgleichung.

DGL werden bei der Erklärung von Naturgesetzen oft zur mathematischen Beschreibung von einem zeitlichen Änderungsverhalten voneinander abhängiger Größen herangezogen.

Ein einfaches Beispiel einer DGL 1. Ordnung ist etwa das zeitliche Wachstum einer Bakterienkolonie, also die Zunahme der Bakterienzahl, wobei sich Bakterien durch einfache Zellteilung fortpflanzen, bei der aus einer Mutterzelle in der nächsten Generation zwei Tochterzellen entstehen. Die Geschwindigkeit des Wachstums ist hierbei von der Zahl der Teilungen der Bakterienzellen pro Zeiteinheit abhängig. Mathematisch formuliert sind die in einem bestimmten Zeitintervall dt hinzukommende Zahl „neuer“ Bakterien dN direkt proportional zur Zahl der zur Zeit t vorhandenen Bakterien N(t) und wird als exponentielles Wachstum folgendermaßen ausgedrückt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei dN (sprich „delta“ N) die Zahl der hinzukommenden Bakterien in einem definierten Zeitintervall dt wiedergibt, N(t) die Gesamtzahl der Bakterien zum Untersuchungszeitpunkt t darstellt und к eine feste Konstante, die auch Zuwachs- oder Vermehrungsrate genannt wird, wiedergibt, welche von der Geburtenrate GR sowie Sterberate SR der zu betrachteten Bakterienkolonie folgendermaßen abhängt2:

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Ng : Anzahl der Geburten; NT : Anzahl der Todesfälle; N (t ) : Gesamtzahl der betrachteten Bakterien zum Zeitpunkt t

Unter der Anfangsbedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich die Lösung3

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Die Lösung einer DGL ist also im Allgemeinen nicht eine Zahl, sondern eine Funktion, die von gegebenen Anfangsbedingungen abhängt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das wohl bekannteste Beispiel einer DGL 2. Ordnung in der Physik ist die Newton’sche Bewegungsgleichung, die mit beliebigem Kraftgesetz F(x) folgendermaßen geschrieben werden kann4:

Im Gegensatz zu Gl-2a ist die unabhängige Variable hier mit t bezeichnet und die zweite Ableitung durch zwei Punkte markiert, was in der Physik üblich ist. Ferner ist die abhängige Variable x(t) als vektorielle Größe geschrieben, da Gl-2d für jede Dimension des betrachteten Raumes separat gilt.

In einfachen Fällen, etwa bei Vorliegen einer ortsunabhängigen konstanten Kraft, ist Gl-2d analytisch lösbar, wovon ich unten am Beispiel des waagerechten Wurfes Gebrauch machen werde. In den meisten realen Fällen, wie etwa bei der Berechnung der Flugbahnen von Raumschiffen, ist manjedoch auf die wesentlich komplexeren numerischen Lösungsverfahren angewiesen.

2.2 Das Verfahren der numerische Integration

Um in einem späteren Kapitel die Flugbahn der „Brezel“ durch Integration der Newton’schen Bewegungsgleichung berechnen zu können, sollen im Folgenden zunächst die entsprechenden mathematischen Grundlagen der numerischen Integration beschrieben und anschießend ihre Umsetzung in ein für Computer ausführbares Programm vorgestellt werden. Anschließend werden die Verfahren am Beispiel der analytisch berechenbaren Bahnkurve beim waagerechten Wurf getestet und verglichen.

Gl-2d ist eine DGL 2. Ordnung, die sich in zwei DGL 1. Ordnung zerlegen lässt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Vorgehensweise besteht nun darin, die Zeit in diskrete kleine Zeitschritte At zu unterteilen5 und für jeden Zeitpunkt t = n -At mit n e N0 die Werte der Ableitungen durch die Differenzenquotienten abzuschätzen.

Die einfachste Abschätzung besteht dabei in dem sog. Euler-Verfahren, das mit

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arbeitet und offensichtlich der „h-Methode“ des Differenzierens entspricht, bei der die Ableitung einer Funktion f (x) beim Wert x0 (der auch Stützstelle genannt wird) durch Annäherung nur von einer Seite, also von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], erfolgt. Durch Umformung der Gleichungen Gl-2g und Gl-2h ergeben sich als Abschätzungen für v(t + At) und x(t + At) aus den Werten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des letzten Zeitschrittes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 6,

Die Beschleunigung a(t + At) ergibt sich durch Einsetzen von x(t + At) in Gl-2d:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ich will an dieser Stelle eine nur wenig aufwändigere, aber wesentlich genauere Abschätzung vorstellen, die auf einer in einem Rechenschritt gleichzeitig erfolgenden symmetrischen Annäherung an die Stützstelle von beiden Seiten, also von t + At und t-At, beruht4 und die ich im Folgenden mit „Symmetrisierung“ bezeichne:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 7

Daraus ergibt sich als Abschätzung für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wiederum ergibt sich die Beschleunigung a(t + At) durch Einsetzen von x(t + At) in G1-2d.

Figur 1 verdeutlicht am Beispiel eines gekrümmten Kurvenverlaufs, dass die Symmetrisierung eine genauere Abschätzung der Ableitung erlaubt, als das Euler-Verfahren7:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figur 1: Vergleich von Euler-Verfahren und Symmetrisierung bei der Näherung des Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten.

In blau ist die tatsächliche Ableitung am Punkt (x0, f (x0)) eines in der Umgebung dieses Punktes gekrümmten Kurvenverlaufs dargestellt, die durch beide Verfahren angenähert werden soll. In orange ist die Näherung nach dem Euler-Verfahren gezeigt, welche die beiden Stützstellen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verwendet. In grün ist das Verfahren der Symmetrisierung gezeigt, das die symmetrisch angeordneten Stützstellen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nutzt. In Figur 1 ist gut zu erkennen, dass die Steigung der grün gezeichneten Geraden den tatsächlichen Wert der ersten Ableitung (Steigung der blauen Tangente am Punktx0) besser annähert, als die der orange markierten Geraden, welche sich nach dem Euler-Verfahren ergibt.

2.3 Programmierung der numerischen Integration

Mit einem Computerprogramm werden nun für jeden Zeitpunkt tn die Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus den Werten des vorherigen Zeitschrittes x(tn-1), vx (tn-1) und ax (tn-1) berechnet. Ebenso werden die entsprechenden Werte y(tn ), vy (tn )und ay [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt. Bevor ich das Verfahren in ein Computerprogramm übersetze, will ich die Abläufe für das Euler-Verfahren und für die Symmetrisierung jeweils in einem Flussdiagramm allgemein darstellen (Figuren 2a, 2b).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figur 2a: Flussdiagramm zur schrittweisen Berechnung der Bahnkurve mit dem Euler­Verfahren. (Der Übersichtlichkeit halber wurden hier Ein- und Ausgabebefehle weggelassen.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figur 2Ъ: Flussdiagramm für das Integrationsverfahren mit Symmetrisierung.

* Der erste Rechenschritt kann noch nicht mit der Methode der Symmetrisierung durchgeführt werden, weil am Anfang lediglich die Daten zu einem Zeitpunkt (t=0) vorliegen; die symmetrisierte Methode braucht stets die Daten zu zwei (aufeinanderfolgenden) Zeitpunkten.

Die gezeigten Flussdiagramme zeigen in grober Form den Ablaufplan des Programms, der in verschiedenen Programmiersprachen umgesetzt werden kann. In dieser Arbeit wurden die Programme zur Berechnung der Bahnkurven in der Programmiersprache QBasic geschrieben6.

[...]


1 Wir kürzen „gewöhnliche Differentialgleichung(en)“ im folgenden auch mit DGL ab.

2 Nach 7 , Seite 141

3 Eine tiefer gehende Darstellung ökologischer Modelle mittels DGL findet sich z.B. auf Seiten Iff in 2 .

4 Meist wird die vereinfachte Schreibweise F = m • а nach 7 , Seite 84, benutzt.

5 At nennen wir „Zeitschrittweite“.

6 Gl-2j wird auch als Integrationsformel von Euler-Cauchy bezeichnet ( 3 , S. 4)

Ende der Leseprobe aus 42 Seiten

Details

Titel
Der Flug der Brezel: Numerische Integration von Differentialgleichungen anhand eines Beispiels
Note
15
Autor
Jahr
2011
Seiten
42
Katalognummer
V190041
ISBN (eBook)
9783656166054
ISBN (Buch)
9783656166245
Dateigröße
1148 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Integration, Numerik, Differentialgleichungen, gewöhnlich, numerische Integration, Marvin, Harder
Arbeit zitieren
Marvin Harder (Autor), 2011, Der Flug der Brezel: Numerische Integration von Differentialgleichungen anhand eines Beispiels, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/190041

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