Die Formelsammlung gibt über "Spiegelung am Einheitskreis" wie folgt Auskunft:
Original und Bildpunkt haben das gleiche Argument: ihre Beträge sind zueinander reziprok.
Die Abbildung bildet jeden Kreis k der durch den Punkt ∞ ergänzten Gaußschen Ebene auf einen Kreis k' ab. Enthält k den Punkt z=0, so geht k' durch w=∞ und umgekehrt.
Um diese drei Sätze besser verstehen zu können, müssen einige Erläuterungen gegeben werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Definition
1.1 Polarform einer komplexen Zahl
1.2 Einführung des unendlich fernen Punktes
1.3 Art der Abbildung
2 Die Spiegelung als Funktion in den komplexen Zahlen
2.1 Die Funktion
2.2 Darstellung
2.3 Die Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel
3 Spiegelung von Geraden und Kreisen
3.1 Geraden werden zu Kreisen gespiegelt
3.2 Kreise werden zu Geraden gespiegelt
3.3 Geraden werden zu Geraden gespiegelt
3.4 Kreise werden zu Kreisen gespiegelt
4 Verhalten von Winkeln bei der Spiegelung
4.1 Steigung von Geraden
4.2 Steigung von Tangenten an Kreisen
4.3 Winkel zwischen einem Kreis und einer Geraden
5 Verhalten von Längen bei der Spiegelung
5.1 Der Umfang konzentrischer Kreise
5.2 Der Umfang reiner Kreise
5.3 Die Länge von Strecken
5.4 Die Länge von Kreisbögen
6 Verhalten von Flächen bei der Spiegelung
6.1 Die Flächen von konzentrischen Kreisen
6.2 Die Flächen von reinen Kreisen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Spiegelung am Einheitskreis als mathematische Abbildung innerhalb der komplexen Zahlen. Ziel ist es, das Verhalten verschiedener geometrischer Grundobjekte wie Geraden und Kreise unter dieser Abbildung analytisch zu durchdringen sowie ihre Eigenschaften hinsichtlich Winkel-, Längen- und Flächentreue zu evaluieren.
- Mathematische Definition der Spiegelung am Einheitskreis.
- Geometrische Abbildung von Geraden und Kreisen.
- Untersuchung der Konformität (Winkeltreue).
- Analyse der Längen- und Flächentreue.
- Vergleich zur Riemannschen Zahlenkugel.
Auszug aus dem Buch
1.2 Einführung des unendlich fernen Punktes
Betrachtet man f(x) = 1/x, so wächst f(x) für x -> 0+ positiv über alle Grenzen nach +∞ und fällt hingegen für x -> 0- nach -∞. Auf derselben Zahlengerade haben wir also zwei unendlich ferne Punkte +∞ und -∞ eingeführt. Entsprechend könnte man für komplexe Funktionen weitere unendlich ferne Punkte einführen.
Jedoch ist es sinnvoll, nur einen unendlich fernen Punkt in der komplexen Zahlenebene einzuführen. Man kann sich das besser als mit der Gaußschen Zahlenebene durch die „Riemannsche Zahlenkugel“ veranschaulichen.
Wir legen hierzu um den Nullpunkt der Ebene der komplexen Zahlen eine Kugel vom Radius 1. Verbinden wir dann den „Nordpol“ N der Einheitskugel, der lotrecht über 0 dem Nullpunkt liegt, mit einem Punkt P der Gaußschen Zahlenebene, so können wir diesem Punkt den Schnittpunkt P’ der Geraden NP mit der Kugel zuordnen (siehe Abb. 1). Jedem Punkt der Zahlenebene entspricht dann genau ein Punkt auf der Kugel, der sogenannten „Zahlenkugel“. Den Punkten außerhalb des Einheitskreises der Zahlenebene entsprechen Punkte auf der oberen Halbkugel, den Punkten im Inneren des Einheitskreises entsprechen die Punkte der unteren Zahlenhalbkugel.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Definition: Dieses Kapitel führt die mathematische Grundlage der Spiegelung am Einheitskreis ein, erläutert die Polarform komplexer Zahlen und motiviert die Einführung eines unendlich fernen Punktes mittels der Riemannschen Zahlenkugel.
2 Die Spiegelung als Funktion in den komplexen Zahlen: Hier wird die Spiegelung formal als Abbildungsfunktion definiert, in kartesischen Koordinaten hergeleitet und Möglichkeiten der visuellen Darstellung innerhalb der komplexen Zahlen diskutiert.
3 Spiegelung von Geraden und Kreisen: Dieses Kapitel analysiert systematisch, wie Geraden und Kreise unter der Spiegelung transformiert werden, wobei zwischen verschiedenen Spezialfällen (z.B. Durchgang durch den Ursprung) unterschieden wird.
4 Verhalten von Winkeln bei der Spiegelung: Hier wird nachgewiesen, dass die Spiegelung am Einheitskreis winkeltreu (konform) ist, indem die Steigung von Geraden sowie von Tangenten an Kreisen vor und nach der Abbildung verglichen wird.
5 Verhalten von Längen bei der Spiegelung: Dieses Kapitel untersucht die Längentreue, wobei gezeigt wird, dass die Abbildung im Gegensatz zur Winkeltreue keine Streckenlängen erhält.
6 Verhalten von Flächen bei der Spiegelung: Abschließend wird das Verhalten von Flächeninhalten betrachtet und festgestellt, dass die Spiegelung nicht flächentreu ist, gefolgt von einer Gesamtzusammenfassung der Eigenschaften.
Schlüsselwörter
Spiegelung am Einheitskreis, Komplexe Zahlen, Riemannsche Zahlenkugel, Geometrische Abbildung, Winkeltreue, Längentreue, Flächentreue, Involution, Fixkreis, Gaußsche Zahlenebene, Kreisgleichung, Geradengleichung, Stereographische Projektion, Komplexe Funktionen, Koordinatensystem.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Facharbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Abbildung der Spiegelung am Einheitskreis und deren Auswirkungen auf geometrische Objekte innerhalb der komplexen Zahlenebene.
Was sind die zentralen Themenfelder der Analyse?
Die zentralen Felder sind die Transformation von Geraden und Kreisen sowie die Untersuchung der Invarianten der Abbildung, namentlich Winkel-, Längen- und Flächentreue.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist eine fundierte analytische Behandlung der Abbildungsvorschrift und der Nachweis ihrer konformen Eigenschaften.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden analytische Methoden der komplexen Analysis verwendet, insbesondere die Arbeit mit Polarkoordinaten, kartesischen Koordinaten sowie die stereographische Projektion auf die Riemannsche Zahlenkugel.
Was wird im mathematischen Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der formalen Herleitung der Abbildungsfunktionen und der detaillierten Untersuchung, wie sich Kreise und Geraden transformieren und ineinander übergehen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich vor allem durch Begriffe wie Spiegelung am Einheitskreis, komplexe Funktionentheorie, Winkeltreue und Involutorik charakterisieren.
Was unterscheidet die Spiegelung in der Ebene von der auf der Riemannschen Zahlenkugel?
Auf der Riemannschen Zahlenkugel ist die Spiegelung aufgrund ihrer geometrischen Definition umfassender "treu" (längen- und flächentreu), während sie in der Gaußschen Zahlenebene zwar winkeltreu, aber nicht längen- oder flächentreu ist.
Warum wird der "unendlich ferne Punkt" eingeführt?
Die Einführung ermöglicht eine mathematisch geschlossene Betrachtung, da Geraden als Kreise mit unendlich großem Radius aufgefasst werden können, was die Abbildungsvorschrift einheitlich handhabbar macht.
- Arbeit zitieren
- Tobias Schulz-Hess (Autor:in), 1992, Die Spiegelung am Einheitskreis, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/193813