Die Formelsammlung gibt über "Spiegelung am Einheitskreis" wie folgt Auskunft:
Original und Bildpunkt haben das gleiche Argument: ihre Beträge sind zueinander reziprok.
Die Abbildung bildet jeden Kreis k der durch den Punkt ∞ ergänzten Gaußschen Ebene auf einen Kreis k' ab. Enthält k den Punkt z=0, so geht k' durch w=∞ und umgekehrt.
Um diese drei Sätze besser verstehen zu können, müssen einige Erläuterungen gegeben werden.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Definition
- 1.1 Polarform einer komplexen Zahl
- 1.2 Einführung des unendlich fernen Punktes
- 1.3 Art der Abbildung
- 2 Die Spiegelung als Funktion in den komplexen Zahlen
- 2.1 Die Funktion
- 2.2 Darstellung
- 2.3 Die Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel.
- 3 Spiegelung von Geraden und Kreisen
- 3.1 Geraden werden zu Kreisen gespiegelt.
- 3.2 Kreise werden zu Geraden gespiegelt
- 3.3 Geraden werden zu Geraden gespiegelt
- 3.4 Kreise werden zu Kreisen gespiegelt
- 4 Verhalten von Winkeln bei der Spiegelung
- 4.1 Steigung von Geraden
- 4.2 Steigung von Tangenten an Kreisen
- 4.3 Winkel zwischen einem Kreis und einer Geraden
- 5 Verhalten von Längen bei der Spiegelung
- 5.1 Der Umfang konzentrischer Kreise.
- 5.2 Der Umfang reiner Kreise
- 5.3 Die Länge von Strecken.
- 5.4 Die Länge von Kreisbögen
- 6 Verhalten von Flächen bei der Spiegelung
- 6.1 Die Flächen von konzentrischen Kreisen.
- 6.2 Die Flächen von reinen Kreisen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Facharbeit befasst sich mit der analytischen Behandlung der Spiegelung am Einheitskreis, einer geometrischen Abbildung in der komplexen Zahlenebene. Ziel ist es, diese Abbildung einschließlich ihrer Auswirkungen auf geometrische Objekte wie Geraden, Kreise, Winkel und Flächen zu untersuchen.
- Die Definition und Darstellung der Spiegelung am Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene
- Die Darstellung der Spiegelung als Funktion in den komplexen Zahlen
- Die Auswirkungen der Spiegelung auf geometrische Objekte wie Geraden und Kreise
- Das Verhalten von Winkeln und Längen bei der Spiegelung
- Die Untersuchung der Flächenveränderungen durch die Spiegelung am Einheitskreis
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel definiert die Spiegelung am Einheitskreis, erklärt die Polarform komplexer Zahlen und führt den unendlich fernen Punkt ein. Dabei wird die Riemannsche Zahlenkugel als anschauliches Modell für die komplexe Zahlenebene eingeführt.
Kapitel 2 widmet sich der Spiegelung als Funktion in den komplexen Zahlen. Hier werden die Funktion und ihre Darstellung, sowie die Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel behandelt.
Kapitel 3 untersucht die Spiegelung von Geraden und Kreisen. Es zeigt, wie Geraden zu Kreisen und Kreise zu Geraden gespiegelt werden können.
In Kapitel 4 werden die Auswirkungen der Spiegelung auf Winkel betrachtet. Hier wird die Steigung von Geraden und Tangenten an Kreisen behandelt, sowie der Winkel zwischen einem Kreis und einer Geraden.
Kapitel 5 befasst sich mit dem Verhalten von Längen bei der Spiegelung. Es analysiert den Umfang von konzentrischen und reinen Kreisen sowie die Länge von Strecken und Kreisbögen.
Schlüsselwörter
Spiegelung am Einheitskreis, komplexe Zahlen, Riemannsche Zahlenkugel, geometrische Abbildung, Geraden, Kreise, Winkel, Längen, Flächen, stereographische Projektion, unendlich ferner Punkt.
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- Tobias Schulz-Hess (Autor), 1992, Die Spiegelung am Einheitskreis, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/193813