Die Begriffe „Unbestimmtheit“ wie auch „Komplementarität“ wurden durch die Quantenphysik zum philosophischen Schlagwort schlechthin.
Dass aber „Unbestimmtheit“ in einem vielleicht mehr allgemeinen Sinne auch in der Mathematik ihr Unwesen treibt, ist weniger bekannt, obwohl wir alle in unserer Schulzeit, ohne dass uns dies vielleicht aufgefallen wäre, mit mathematischer Unbestimmtheit bereits Bekanntschaft machten.
So betrachten wir es als völlig selbstverständlich, dass sich geometrische Sätze auf unendlich viele, unterschiedliche, bestimmte geometrische Figuren beziehen. Sie gelten also gleichermassen für die eine als auch für die andere ihnen entsprechende geometrische Figur, sie müssen also im Vergleich zum Konkretisierungsgrad einer bestimmten geometrischen Figur noch unbestimmt sein.
Ebenso sind natürlich auch allgemeine algebraische Gleichungen numerisch noch unbestimmt, da für die nicht variablen Grössen dieser Gleichungen jeder beliebige Zahlenwert eingesetzt werden kann.
Hinsichtlich der Variablen „x“ algebraischer Gleichungen können wir nun vielleicht dem bis jetzt zugegeben noch etwas schwammigen Begriff mathematischer Unbestimmtheit etwas schärfere Konturen verleihen:
Eine lineare Gleichung „a + x = b“ hat für „x“ die bestimmte Lösung: „x=b-a“.
Für quadratische Gleichungen „a + bx + c=0“ gibt es für „x“ jedoch keine bestimmte Lösung, da quadratische Gleichungen zwei Lösungen, „x1“ und „x2“, haben.
D.h. doch aber eigentlich: Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist numerisch unbestimmt hinsichtlich „x1“ und „x2“, da sowohl „x1“ als auch „x2“ Lösung sein kann.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- 1. Mathematisch-operative Unbestimmtheit
- 1.1. Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras
- 1.2. Operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Grundoperationen
- 1.3. Darstellung der Satzgruppe des Pythagoras
- 1.3.1. Geometrische Interpretation
- 1.3.2. Systematische Gesamtdarstellung
- 1.3.2.1. Grundlagen
- 1.3.2.2. Die drei Formen operativer Unbestimmtheit
- 1.3.2.3. Zusammenhang der zentralen Streckenrelationen
- 2. Der Goldene Schnitt
- 2.1. Das fundamentale Entwicklungsgesetz
- 2.2. Fundamentale additive Komplementarität
- 2.3. Anhang zum Goldenen Schnitt
- 3. Darstellung von Φ als Relation aus Fibonacci- und Lukaszahlen
- 3.1. „L0“ und das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck
- 3.2. „L0“ und geometrisch-arithmetische Unbestimmtheit
- 3.3. Identität von „rationalen“ und irrationalen Relationen
- 3.4. Fundamentale multiplikative Komplementarität
- 4. Systematischer Überblick zu den Fibonacci und Lukas-Zahlen
- 4.1. Die Fibonacci und Lukas-Zahlen als Unbestimmtheiten
- 4.2. Multiplikative Komplementarität
- 4.3. Additive Komplementarität
- 4.3.1. Die drei Basisgesetze der Fibonacci und Lukas-Zahlen
- 4.3.2. Quantitative Bestimmungen
- 4.3.3. Additive Komplementarität im Überblick
- 4.4. Operative Unbestimmtheit als einheitlicher Zusammenhang
- 4.5. Konstruktion der Natürlichen-Zahlen
- 5. Die Komplementaritätsstruktur des Goldenen Schnittes
- 5.1. Streckenteilungen von Potenzen von Φ
- 5.1.1. Ungerade Exponenten
- 5.1.2. Gerade Exponenten
- 5.1.3. Unendlich grosse Exponenten
- 5.1.4. Streckenteilung der Natürlichen-Zahlen
- 5.1. Streckenteilungen von Potenzen von Φ
- Anhang I
- 6. Zusammenschau mathematischer Unbestimmtheit
- Anhang II
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit befasst sich mit den Konzepten der Unbestimmtheit und Komplementarität, die in der Quantenphysik eine zentrale Rolle spielen, und überträgt deren Bedeutung auf die Mathematik. Das primäre Ziel ist es, mathematische Unbestimmtheit als einen Schlüssel zu nutzen, um elementare mathematische Grundgesetze in einem komplementären Zusammenhang zu sehen und eine völlig neue Sicht auf die Mathematik zu eröffnen.
- Mathematisch-operative Unbestimmtheit und Komplementarität.
- Neuinterpretation des Satzes des Pythagoras und des Goldenen Schnitts.
- Die Rolle der Fibonacci- und Lukas-Zahlen in mathematischen Relationen.
- Systematische Darstellung und Struktur der Komplementarität.
- Konstruktion der Natürlichen Zahlen basierend auf diesen Prinzipien.
- Die Verbindung mathematischer Unbestimmtheit mit physikalischen Gesetzen.
Auszug aus dem Buch
Einleitung
Die Begriffe „Unbestimmtheit“ wie auch „Komplementarität“ wurden durch die Quantenphysik zum philosophischen Schlagwort schlechthin.
Dass aber „Unbestimmtheit“ in einem vielleicht mehr allgemeinen Sinne auch in der Mathematik ihr Unwesen treibt, ist weniger bekannt, obwohl wir alle in unserer Schulzeit, ohne dass uns dies vielleicht aufgefallen wäre, mit mathematischer Unbestimmtheit bereits Bekanntschaft machten.
So betrachten wir es als völlig selbstverständlich, dass sich geometrische Sätze auf unendlich viele, unterschiedliche, bestimmte geometrische Figuren beziehen. Sie gelten also gleichermassen für die eine als auch für die andere ihnen entsprechende geometrische Figur, sie müssen also im Vergleich zum Konkretisierungsgrad einer bestimmten geometrischen Figur noch unbestimmt sein.
Ebenso sind natürlich auch allgemeine algebraische Gleichungen numerisch noch unbestimmt, da für die nicht variablen Grössen dieser Gleichungen jeder beliebige Zahlenwert eingesetzt werden kann.
Hinsichtlich der Variablen „x“ algebraischer Gleichungen können wir nun vielleicht dem bis jetzt zugegeben noch etwas schwammigen Begriff mathematischer Unbestimmtheit etwas schärfere Konturen verleihen:
Eine lineare Gleichung „a + x = b“ hat für „x“ die bestimmte Lösung: „x=b-a“. Für quadratische Gleichungen „a + bx + c=0“ gibt es für „x“ jedoch keine bestimmte Lösung, da quadratische Gleichungen zwei Lösungen, „x₁“ und „x2“, haben. D.h. doch aber eigentlich: Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist numerisch unbestimmt hinsichtlich „x₁“ und „x2“, da sowohl „x1“ als auch „x2“ Lösung sein kann.
Weiter gilt, „√a² = ±a “, was aber auch wieder heisst, sowohl „+a“ als auch „-a“ sind Lösungen. D.h. die Lösung ist operativ unbestimmt hinsichtlich „+“ und „-“.
Man könnte jetzt vielleicht vermuten, dass die oben erwähnten konkreten Beispiele numerischer resp. operativer Unbestimmtheit Spezialfälle darstellten, ebenso wie das folgende bekannte Beispiel:
So ist etwa sowohl „2 + 2“ als auch „2 x 2“ gleich „4“. Die Operationszeichen „+“ und „x“ sind austauschbar, d.h. die beiden hier identischen Operanden sind hinsichtlich Addition und Multiplikation operativ unbestimmt, d.h. sie ergeben sowohl addiert als auch multipliziert dasselbe Resultat.
Verwenden wir mathematische Unbestimmtheit in diesem Sinne als Schlüssel zur Mathematik, wird es uns möglich, elementare mathematische Grundgesetze in einem komplementären Zusammenhang zu sehen. Es eröffnet sich uns so eine völlig neue Sicht auf Mathematik.
Dies soll im folgenden zuerst an der „Satzgruppe des Pythagoras“ und dann davon ausgehend, am „Goldenen Schnitt“ aufgezeigt werden.
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Stellt die Konzepte der mathematischen Unbestimmtheit und Komplementarität vor und umreisst das Ziel der Arbeit, diese in einem neuen mathematischen Kontext zu untersuchen.
1. Mathematisch-operative Unbestimmtheit: Diskutiert die Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras und operative Unbestimmtheit im Kontext mathematischer Grundoperationen.
2. Der Goldene Schnitt: Erläutert den Goldenen Schnitt als fundamentales Entwicklungsgesetz, seine additive Komplementarität und die Verbindung zu Fibonacci- und Lukas-Zahlen.
3. Darstellung von Φ als Relation aus Fibonacci- und Lukaszahlen: Zeigt auf, wie der Goldene Schnitt in Relation zu Fibonacci- und Lukas-Zahlen steht, insbesondere im Kontext von geometrisch-arithmetischer Unbestimmtheit.
4. Systematischer Überblick zu den Fibonacci und Lukas-Zahlen: Bietet eine detaillierte Betrachtung der Fibonacci- und Lukas-Zahlen als mathematische Unbestimmtheiten und ihrer additiven und multiplikativen Komplementarität.
5. Die Komplementaritätsstruktur des Goldenen Schnittes: Analysiert die Struktur des Goldenen Schnittes durch Streckenteilungen von Potenzen von Φ und die Konstruktion der Natürlichen Zahlen.
6. Zusammenschau mathematischer Unbestimmtheit: Fasst die bisherigen Erkenntnisse über mathematische Unbestimmtheit zusammen und synthetisiert die komplexen Beziehungen.
Anhang I: Vertieft die Thematik anhand des allgemeinen rechtwinkligen Dreiecks und der Entwicklung der Satzgruppe des Pythagoras.
Anhang II: Erörtert die physikalische Unbestimmtheit als Erweiterung der mathematischen Konzepte, einschliesslich Anwendungen auf Optik, elektromagnetische Felder und Relativitätstheorie.
Schlüsselwörter
Mathematische Unbestimmtheit, Komplementarität, Goldener Schnitt, Fibonacci-Zahlen, Lukas-Zahlen, Satz des Pythagoras, Geometrie, Algebra, Relationen, Streckenteilung, Operative Unbestimmtheit, Entwicklungsgesetz, Physikalische Unbestimmtheit, Zahlenfolgen, Kepler-Dreieck.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht, wie die Konzepte der Unbestimmtheit und Komplementarität, die aus der Quantenphysik bekannt sind, auch in der Mathematik Anwendung finden und ein neues Verständnis grundlegender mathematischer Gesetze ermöglichen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themenfelder sind die mathematisch-operative Unbestimmtheit, die Komplementaritätsstruktur des Goldenen Schnitts, die Rolle der Fibonacci- und Lukas-Zahlen sowie die Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist es, mathematische Unbestimmtheit als einen Schlüssel zur Mathematik zu verwenden, um elementare mathematische Grundgesetze in einem komplementären Zusammenhang zu sehen und somit eine völlig neue Sicht auf Mathematik zu eröffnen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit verwendet eine analytisch-synthetische Methode, indem sie bestehende mathematische Konzepte (Pythagoras, Goldener Schnitt, Zahlenfolgen) neu interpretiert und in einem übergeordneten Rahmen der Unbestimmtheit und Komplementarität zusammenführt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden die mathematisch-operative Unbestimmtheit, die Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras, der Goldene Schnitt und seine Komplementaritätsstruktur sowie ein systematischer Überblick der Fibonacci- und Lukas-Zahlen detailliert behandelt.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Mathematische Unbestimmtheit, Komplementarität, Goldener Schnitt, Fibonacci-Zahlen, Lukas-Zahlen, Satz des Pythagoras, Operative Unbestimmtheit, Zahlenfolgen, Physikalische Unbestimmtheit.
Wie wird die mathematische Unbestimmtheit im Kontext des Satzes des Pythagoras neu interpretiert?
Die Arbeit bietet eine Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras, indem sie geometrische und algebraische Relationen nicht als absolut bestimmt, sondern als Ausprägungen mathematisch-operativer Unbestimmtheit betrachtet, was sich beispielsweise in der Doppeldeutigkeit von Lösungen oder Operationen zeigt.
Welche Rolle spielen Fibonacci- und Lukas-Zahlen bei der Darstellung des Goldenen Schnitts?
Fibonacci- und Lukas-Zahlen werden als fundamentale Bausteine für die Darstellung des Goldenen Schnitts verwendet. Sie zeigen auf, wie Unbestimmtheiten und Komplementaritäten durch deren Beziehungen und Potenzen strukturiert werden können.
Inwiefern wird eine Brücke zur physikalischen Unbestimmtheit geschlagen?
Im Anhang II wird die mathematische Unbestimmtheit auf physikalische Konzepte wie Optik, elektromagnetische Felder und Relativitätstheorie übertragen, um aufzuzeigen, dass die identifizierten mathematischen Ur-Gesetze auch physikalische Unbestimmtheit ausdrücken können.
Was ist die "Ur-Matrix" im Kontext der Fibonacci- und Lukas-Zahlen?
Die "Ur-Matrix" repräsentiert die unbestimmten Ur-Zahlen (L∞ und F∞) der Lukas- und Fibonacci-Folgen, deren Quotienten irrationale Zahlen ergeben. Die endlichen Repräsentanten (Ln und Fn) liefern Näherungswerte für diese irrationalen Quotienten, wobei die Genauigkeit mit wachsendem 'n' zunimmt.
- Quote paper
- Urs Böhringer (Author), 2012, Mathematische Komplementaritäten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/195437
