Empirische Analyse ausgewählter Value-at-Risk Ansätze zur Abschätzung des Marktpreisrisikos

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Formelverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Problemstellung
1.2. Vorgehen und Aufbau

2. Grundlagen zur Quantifizierung von Risiko
2.1. Definition von Risiko und Risikoarten
2.2. Definition des Value-at-Risk als Risikomaß
2.3. Risikokennzahlen und Statistikgrundlagen in der Finanzwirtschaft

3. Berechnungsmodelle des Value-at-Risk
3.1. Klassifizierung der Value-at-Risk Berechnungsmodelle
3.2. Historische Simulation
3.3. Varianz-Kovarianz-Ansatz
3.4. Monte-Carlo-Simulation
3.5. Schätzer für Volatilität und Korrelation
3.5.1. Moving-Average
3.5.2. Exponentially-Weighted-Moving-Average (EWMA)
3.5.3. Generalized-Autoregressive-Conditional-Heteroskedastic (GARCH)

4. Empirische Untersuchung der Value-at-Risk Modelle
4.1. Datengrundlage
4.2. Ziel und Vorgehen der Untersuchung
4.3. Historische Simulation
4.4. Varianz-Kovarianz-Ansatz
4.4.1. Varianz-Kovarianz-Ansatz unter Annahme einer konstanten Volatilität (Moving-Average)
4.4.2. Varianz-Kovarianz-Ansatz unter Berücksichtigung einer zeitveränderlichen Volatilität (EWMA)
4.5. Monte-Carlo-Simulation
4.6. Beurteilung der Risikoprognosefähigkeit
4.6.1. Übergreifender Vergleich der Risikoprognosefähigkeit
4.6.2. Vergleich der Risikoprognosefähigkeit unter aufsichtsrechtlichen Anforderungen

5. Kritische Würdigung des Value-at-Risk und Ausblick

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Risikoarten

Abbildung 2: Beispiel von Tagesrenditen des DAX mit 200 Beobachtungen

Abbildung 3: Schematische Normalverteilung

Abbildung 4: Entwicklung des DAX und DowJones Index

Abbildung 5: Häufigkeitsverteilung der DAX-Tagesrenditen im Beobachtungszeitraum

Abbildung 6: Häufigkeitsverteilung der DowJones-Tagesrenditen im Beobachtungszeitraum

Abbildung 7: Value-at-Risk auf Basis der historischen Simulation

Abbildung 8: Historische Simulation (50): Backtesting

Abbildung 9: Historische Simulation (120): Backtesting

Abbildung 10: Historische Simulation (250): Backtesting

Abbildung 11: Value-at-Risk auf Basis des Varianz-Kovarianz-Ansatzes (Moving-Average)

Abbildung 12: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Moving-Average Schätzer (50): Backtesting

Abbildung 13: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Moving-Average Schätzer (120): Backtesting

Abbildung 14: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Moving-Average Schätzer (250): Backtesting

Abbildung 15: Value-at-Risk auf Basis des Varianz-Kovarianz-Ansatzes (EWMA)

Abbildung 16: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit EWMA Schätzer ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]): Backtesting

Abbildung 17: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit EWMA Schätzer ([[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]]): Backtesting

Abbildung 18: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit EWMA Schätzer ([[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]]): Backtesting

Abbildung 19: Value-at-Risk auf Basis der Monte-Carlo-Simulation

Abbildung 20: Monte-Carlo-Simulation (120): Backtesting

Abbildung 21: Monte-Carlo-Simulation (250): Backtesting

Abbildung 22: Vergleich der Risikoprognosegüte mit dem durchschnittlichen Value‑at‑Risk

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Klassifikation der Value-at-Risk Berechnungsmodelle

Tabelle 2: Charakteristika von DAX und DowJones im Beobachtungszeitraum

Tabelle 3: Rahmenbedingungen der empirischen Analyse

Tabelle 4: Beispiel eines historischen Zeitfensters

Tabelle 5: Beispiel der simulierten täglichen Portfoliowertänderungen

Tabelle 6: Historische Simulation: Backtesting-Ergebnisse

Tabelle 7: Value-at-Risk beim historischen Zeitfenster von 50 Handelstagen (beispielhafter Auszug)

Tabelle 8: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Moving-Average Schätzer: Backtesting-Ergebnisse

Tabelle 9: Value-at-Risk für Decay-Faktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (beispielhafter Auszug)

Tabelle 10: Varianz-Kovarianz-Ansatz mit EWMA Schätzer: Backtesting-Ergebnisse

Tabelle 11: Monte-Carlo-Simulation: Backtesting-Ergebnisse

Tabelle 12: Aufsichtsrechtliche Anforderungen an das Backtesting bei Finanzinstituten

Formelverzeichnis

Formel 1: Definition des Value-at-Risk

Formel 2: Berechnung des Value-at-Risk für eine beliebige Renditeverteilung

Formel 3: Diskrete Rendite

Formel 4: Stetige Rendite

Formel 5: Varianz

Formel 6: Volatilität bzw. Standardabweichung

Formel 7: Portfoliovarianz für zwei Finanzinstrumente X und Y

Formel 8: Portfoliovarianz für N Finanzinstrumente

Formel 9: Kovarianz für zwei Finanzinstrumente X und Y

Formel 10: Kovarianzmatrix für N Finanzinstrument

Formel 11: Korrelationskoeffizient zwischen den Werten X und Y

Formel 12: Tägliche Renditen der Risikofaktoren zum historischen Zeitpunkt

Formel 13: Simulierte Szenarien der Risikofaktoren

Formel 14: Berechnung des Value-at-Risk unter Annahme der Normalverteilung

Formel 15: Berechnung des Value-at-Risk unter Annahme der Normalverteilung (vereinfacht)

Formel 16: Berechnung des Value-at-Risk in Matrixschreibweise

Formel 17: Transformation in normalverteilte Zufallszahlen

Formel 18: Simulation von Risikofaktoränderungen

Formel 19: Moving-Average Schätzer für die Varianz

Formel 20: Moving-Average Schätzer für die Kovarianz

Formel 21: EWMA Schätzer für die Varianz (allgemein)

Formel 22: EWMA Schätzer für die Varianz (rekursiv)

Formel 23: EWMA Schätzer für die Kovarianz (rekursiv)

Formel 24: GARCH Schätzer für die Varianz (rekursiv)

Formel 25: GARCH Schätzer für die Kovarianz (rekursiv)

Formel 26: Tägliche Rendite des DAX bzw. DowJones

Formel 27: Tägliche Marktpreisänderung bei DAX und DowJones

Formel 28: Simulierte Portfoliowerte

Formel 29: Moving-Average Schätzer für die Varianz des DAX und DowJones

Formel 30: Moving-Average Schätzer für die Kovarianz zwischen DAX und DowJones

Formel 31: Value-at-Risk für das Portfolio aus DAX und DowJones

Formel 32: EWMA Schätzer für die Varianz des DAX und DowJones (rekursiv)

Formel 33: EWMA Schätzer für die Kovarianz zwischen DAX und DowJones (rekursiv)

Formel 34: Generierung normalverteilter und korrelierter Zufallszahlen

Formel 35: Simulierte Risikofaktoränderungen

Abkürzungsverzeichnis

illustration not visible in this excerpt

Symbolverzeichnis

illustration not visible in this excerpt

1. Einleitung

Die Fokussierung auf ein Risikomanagement im Unternehmen hat international an Bedeutung gewonnen, nicht zuletzt aufgrund der Finanzkrise im Jahre 2008 und aufgrund stark angestiegener Volatilität an den Finanzmärkten, wie es beispielsweise in der zweiten Jahreshälfte 2011 zu beobachten war. Durch die veränderten Rahmenbedingungen sowie zunehmender Globalisierung und damit wachsender Abhängigkeit der einzelnen Finanzplätze müssen die Risikomanagementsysteme in Unternehmen sowie ihre darauf basierenden Risikoberechnungsmodelle neu bewertet und an häufiger auftretende Extremereignisse, wie eine Finanzkrise, angepasst und vorbereitet werden.

Da besonders Banken die Hauptakteure an den Finanzmärkten darstellen, sind überwiegend sie mit den neuen Anforderungen an transparente, flexible und stets aktuelle Risikomanagementsysteme konfrontiert. Zudem müssen Banken die verschärften Regularien der Aufsichtsbehörden umsetzen und erfüllen, um eine Stabilität des Finanzsystems zu erzielen. Der vom Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht veröffentlichte „Baseler Eigenkapitalakkord“ (auch als Basel II bekannt) beschreibt in drei Säulen die Mindestkapitalanforderungen (Säule 1), das aufsichtsrechtliche Überprüfungsverfahren (Säule 2) sowie die Marktdisziplin (Säule 3). Speziell die Mindestkapitalanforderungen, also die Höhe des vorzuhaltenden Eigenkapitals als Absicherung für eventuelle Verluste, hängen von den eingegangenen Risiken bei Krediten, Markt-/Handelsgeschäften oder operationellen Tätigkeiten ab.¹ Für eine Bank ist es daher essentiell, eine möglichst exakte Risikoquantifizierung (u.a. der Marktrisiken) vorzunehmen, um einerseits nicht unnötig hohe und teure Eigenkapitalreserven als Absicherung vorhalten zu müssen und andererseits die Stabilität des eigenen Unternehmens zu sichern.² Eine erste Fassung der Detaillierung der regulatorischen Anforderungen an das Management von Marktpreisrisiken (wie Kurspreisrisiken, Wechselkursrisiken oder Zinsrisiko) veröffentlichte der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht im Jahr 1996 im „Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks“.³

Neben dem „Standardansatz“ wurde es Banken auch ermöglicht, die Eigenkapitalunterlegung ihrer Marktrisikopositionen mit dem internen Risikomodell (auch „internal rating based“ (IRB)⁴ Ansatz genannt) zu berechnen.⁵ Damit gewann der Value-at-Risk (VaR) Ansatz, auf dem die meisten internen Risikomodelle basieren, zunehmend an Bedeutung, um eine exaktere Quantifizierung des Risikos zu erhalten, als es vormals der Standardansatz mit seinen sehr hohen Schätzungen erzielte. Vor diesem Hintergrund hat sich das Value-at-Risk Konzept bis heute zu einem häufig eingesetzten Verfahren zur Abschätzung und Bewertung des Marktrisikos entwickelt.⁶

Doch nicht nur Banken sind mit dem Management von Risiken jeglicher Art konfrontiert. Eine Vielzahl großer Unternehmen führen Finanztransaktionen an den Finanzmärkten aus und sind somit ebenfalls u.a. von Marktrisiken (wie Zins-, Wechselkurs oder Marktpreisänderungen) direkt betroffen. Daher ist der Value-at-Risk nicht einzig in Finanzinstituten einsetzbar, sondern wird zur Quantifizierung von Risiken in der Praxis ebenfalls von Industrieunternehmen eingesetzt und gilt als „bekannteste und wichtigste Risikokennziffer in Unternehmen“⁷.

Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der in der Literatur sowie Praxis bekannten Berechnungsmodelle (historische Simulation, Varianz-Kovarianz-Ansatz und Monte-Carlo-Simulation) des Value-at-Risk zur Quantifizierung des Marktrisikos, wobei eine Fokussierung auf das Risiko durch Marktpreis- bzw. Kursänderungen vorgenommen wird. Die im Rahmen dieser Arbeit vorgestellten Berechnungsmodelle des Value-at-Risk werden auf einen empirischen historischen Beobachtungszeitraum eines ausgewählten Portfolios angewendet. Dabei wird die Risikoprognosefähigkeit der Modelle durch eine Backtesting-Analyse untersucht, inwieweit das vorhergesagte Marktpreisrisiko rückblickend in der Realität eingehalten und somit nicht überschritten wurde.

1.1. Problemstellung

Der Value-at-Risk als Risikomaß zur Quantifizierung eines Risikos ist definiert als der maximal mögliche Verlust einer Finanzanlage, der mit einer definierten Wahrscheinlichkeit und innerhalb eines gewählten Zeitraums nicht überschritten wird.⁸ Damit lassen sich Wahrscheinlichkeitsaussagen über den Eintritt eines potenziellen Maximalverlustes treffen. Um den Value-at-Risk ermitteln zu können, müssen jedoch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zugrundeliegenden Risikofaktoren (z.B. die Änderung des Marktpreises) bekannt sein oder vorerst ermittelt werden. Wie der Value-at-Risk aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung letztendlich bestimmt wird, hängt von der Wahl des Berechnungsmodells ab. Die bekanntesten Ansätze sind die historische Simulation (bei der basierend auf der historischen Kursentwicklung der Value-at-Risk geschätzt wird), der Varianz-Kovarianz-Ansatz (bei dem eine Verteilungsannahme für die Marktpreisänderungen zugrunde gelegt wird) sowie die Monte-Carlo-Simulation (bei der zufällige Marktpreisänderungen auf Basis einer angenommenen Verteilungsfunktion simuliert werden).

Die Problematik des Value-at-Risk besteht dabei u.a. in den mathematischen Annahmen, die für die verschiedenen Berechnungsmodelle und Verteilungsfunktionen getroffen werden müssen. Dadurch ergeben sich nicht selten Schätzfehler und Modellungenauigkeiten, die den Value-at-Risk und letztendlich die Risikoquantifizierung beeinflussen können. Auch ergeben sich stark unterschiedliche Werte für den Value-at-Risk, wenn die Rahmenbedingungen – wie Länge des historischen Beobachtungszeitraums oder Auswahl eines Parameterschätzverfahrens für die zugrundeliegende Verteilungsfunktion – variieren. Dies führt letztendlich zu verschiedenen Risikoprognosefähigkeiten, d.h. die Berechnungsmodelle unterscheiden sich in ihrer Genauigkeit und Aussagekraft der Risikoprognose. Der Nobelpreisträger für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 2003, Prof. Robert F. Engle, urteilt über die existierenden Value-at-Risk Modelle: „Despite VaR's conceptual simplicity, its measurement is a very challenging statistical problem, and none of the methodologies developed so far gives satisfactory solutions.“⁹

Daran anknüpfend behandelt die vorliegende Arbeit die zentrale Fragestellung der Risikoprognosefähigkeit der verschiedenen Berechnungsmodelle des Value-at-Risk. Es wird untersucht, ob die Modelle das vorhandene Marktpreisrisiko von ausgewählten Finanzinstrumenten in ausreichender Höhe quantifizieren, so dass der Value-at-Risk in der Realität tatsächlich nicht überschritten wird. Daraus lässt sich die Prognosegüte und Verlässlichkeit der Berechnungsmodelle ableiten. Sollten die prognostizierten Verluste häufiger überschritten werden als im Rahmen des Modells vorgesehen, liefert das entsprechende Modell keine verlässlichen Aussagen.

Zur Untersuchung der Risikoprognosefähigkeit der Value-at-Risk Berechnungsmodelle wird das im folgenden Unterkapitel dargestellte Vorgehen gewählt sowie der Aufbau dieser Arbeit erläutert.

1.2. Vorgehen und Aufbau

Nachdem in der Einleitung in Kapitel 1 bereits eine Einführung in den Bereich des Risikomanagements in Unternehmen gegeben wurde und sich daraus abgeleitet die zentrale Problemstellung der vorliegenden Arbeit ergab, stellt dieses Unterkapitel den Aufbau und Inhalt dieser Arbeit vor.

Um eine Einordnung des Themas dieser Arbeit in den Themenkomplex des Risikomanagements und der damit verbundenen Quantifizierung von Risiken zu erreichen, werden in Kapitel 2 die in einem Unternehmen vorkommenden Risikoarten klassifiziert und beschrieben. Das Konzept zur Ermittlung des Value-at-Risk basiert auf mathematischen Modellen und Berechnungsmethoden. Der Value-at-Risk als Risikomaß und aggregierte quantifizierte Risikokennzahl wird auf dieser Basis definiert und näher erläutert. Daran anschließend werden darüber hinaus wesentliche theoretische Grundlagen der Finanzwirtschaft dargestellt, da diese im weiteren Verlauf der Arbeit wiederholt angewendet werden.

Die den Value-at-Risk Berechnungsmodellen zugrundeliegende Theorie wird in Kapitel 3 vorgestellt und detailliert erläutert. In dieser Arbeit werden die Berechnungsmodelle der historischen Simulation, des Varianz-Kovarianz-Ansatzes und der Monte-Carlo-Simulation betrachtet. Daran anschließend werden die theoretischen Grundlagen der Schätzverfahren für die Parameter (wie Volatilität und Korrelation) beleuchtet, die für die Berechnungsmodelle erforderlich sind, da die Renditeverteilungen bei den parametrischen Verfahren durch sie bestimmt werden. In diesem Kapitel wird bereits auf Vor- und Nachteile der einzelnen Berechnungsmodelle eingegangen, die sich im späteren Verlauf der Arbeit ebenfalls in der empirischen Untersuchung wiederholt beobachten lassen. Dies wird an entsprechender Stelle nochmals aufgegriffen.

Im Kapitel 4 und Hauptteil dieser Arbeit werden die im vorherigen Kapitel vorgestellten Berechnungsmodelle auf einen empirischen historischen Beobachtungszeitraum angewandt, um damit eine Überprüfung der Ergebnisse und Risikoprognose der Modelle empirisch durchzuführen. Dabei wird fokussiert auf das bestehende Marktpreisrisiko eingegangen, welches als die negative Änderung der Marktpreise bzw. Börsenkurse eines ausgewählten Beispielportfolios verstanden wird.¹⁰ Eine Abgrenzung des Marktpreisrisikos von anderen Risikoarten wird zu Beginn in Kapitel 2.1 vorgenommen.

Für die empirische Untersuchung werden im Unterkapitel 4.1 vorerst die verwendeten Daten im Beobachtungszeitraum beschrieben sowie im Unterkapitel 4.2 die praktische Anwendung der Modelle auf den gewählten Beobachtungszeitraum erläutert, damit daraufhin für jedes der zu untersuchenden Berechnungsmodelle in den Unterkapiteln 4.3 bis 4.5 die Analyse der Risikoprognosefähigkeit durchgeführt werden kann. Es wird untersucht, inwieweit der Value-at-Risk eine verlässliche Schätzung für das Risiko liefert, welches bis zum nächsten Handelstag einen Verlust verursachen kann. Um für die Prognosefähigkeit eine Aussage treffen zu können, werden die ermittelten Value-at-Risk Werte mit den im Nachhinein tatsächlich eingetretenen Verlusten verglichen. Liefert das jeweilige Modell richtige Aussagen zur zukünftigen Risikohöhe, wird das theoretische Modell für diesen Beobachtungszeitraum bestätigt und verifiziert. Sollte der Value-at-Risk jedoch in zahlreichen Fällen den tatsächlich eingetretenen Verlust nicht ausreichend abgedeckt haben, ist die Risikoprognosefähigkeit nicht ausreichend und das Modell sollte angepasst oder verworfen werden. Für eine Beurteilung der Risikoprognosefähigkeit der Value-at-Risk Berechnungsmodelle werden quantitative Untersuchungsmethoden angewandt, die im Rahmen der Darstellung des Untersuchungsvorgehens im Unterkapitel 4.2 näher erläutert werden.

Darauf aufbauend werden über die empirische Untersuchung der Risikoprognosefähigkeit der einzelnen Modelle hinaus in Kapitel 4.6 die Ergebnisse der durchgeführten Untersuchung auf die aufsichtsrechtlichen Anforderungen bei Kreditinstituten übertragen und die Einhaltung der damit vorgegebenen zulässigen Grenzen untersucht und bewertet.

Die Arbeit schließt in Kapitel 5 mit einer zusammenfassenden Beurteilung des Value-at-Risk als Risikomaß und einer abschließenden kritischen Betrachtung der existierenden Vor- und Nachteile der untersuchten Berechnungsmodelle. Damit verbunden wird ein Ausblick auf denkbare Verbesserungen an den untersuchten Modellen gewährt.

2. Grundlagen zur Quantifizierung von Risiko

Ziel dieses Kapitels ist die Definition von „Risiko“ und die Darstellung der gängigen Risikoarten sowie ihre Abgrenzung im Rahmen dieser Arbeit. Der Value-at-Risk wird anschließend als Risikomaß vorgestellt und erläutert, gefolgt von weiteren grundlegenden Definitionen und Berechnungsformeln, die im späteren Verlauf dieser Arbeit wiederholt angewandt werden.

2.1. Definition von Risiko und Risikoarten

Allgemein wird unter Risiko die Abweichung von einem Erwartungswert verstanden, die in der Zukunft eintreten kann.¹¹ Dabei wird unterschieden zwischen einem symmetrischen und einem asymmetrischen Risiko. Ersteres ist hauptsächlich in der Kapitalmarkttheorie zu finden und wurde durch die Veröffentlichung der Portfoliotheorie von Markowitz bekannt. Beim symmetrischen Risiko wird das Risiko als die Streuung von negativen als auch positiven Abweichungen vom Erwartungswert definiert – häufig auch als Volatilität ausgedrückt.¹² Das asymmetrische Risiko betrachtet hingegen nur die negative Abweichung vom Erwartungswert als Risiko eines daraus resultierenden Verlustes.¹³ Als Beispiel ist hier der Kursrückgang einer Aktie am Finanzmarkt zu nennen.

Unternehmen sehen sich mit einer Vielzahl von unterschiedlichen Risiken konfrontiert, die beachtet und im besten Fall auch im Rahmen eines etablierten Risikomanagements bewertet werden sollten. Da in der Literatur unterschiedliche Klassifizierungen der Risikoarten zu finden sind, wird im Rahmen dieser Arbeit eine eigene Kategorisierung vorgenommen, die sich dennoch mit zahlreichen in der Literatur zu findenden Ausprägungen deckt.

In den von der Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) veröffentlichten und für alle Finanzinstitute verpflichtenden „Mindestanforderungen an das Risikomanagement“ (MaRisk) finden sich die Risikoarten Adressenausfallrisiken, Marktpreisrisiken, Liquiditätsrisiken und Operationelle Risiken sowie die Bestimmung der qualitativen Anforderungen an ihre Risikovorsorge.¹⁴ Auch die „Bank for International Settlements“ (BIS) klassifiziert die Marktrisiken in Interest Rates, Exchange Rates, Equity Prices und Commodity Prices.¹⁵ Eine vergleichbare Differenzierung findet sich auch in dieser Arbeit wieder, die in Abbildung 1 grafisch dargestellt ist. Die einzelnen Risikoarten werden im Folgenden näher betrachtet.

illustration not visible in this excerpt

Abbildung 1: Risikoarten¹⁶

Das betriebliche Risiko (auch Geschäftsrisiko genannt) beinhaltet das Risiko einer strategischen Fehlentscheidung. Als Beispiel kann hier die Entwicklung von schlecht verkäuflichen Produkten oder Treffen von nicht-rentablen Investitionsentscheidungen sowie falsche Standortwahl genannt werden.¹⁷

Zum operationellen Risiko zählen die Gefahren im eigenen Unternehmen resultierend beispielsweise aus Fehlern in internen Prozessen (die beispielsweise zum Stillstand produktiver Systeme führen), unklaren Verantwortlichkeiten in der Organisation oder dem Betrug durch die eigenen Mitarbeiter.¹⁸

Neben den beiden genannten Risikoarten nimmt das Finanzrisiko einen entscheidenden Anteil am Gesamtrisiko im Unternehmen ein. Auch wenn der Fokus in Finanzinstituten (wie Banken und Versicherungen) überwiegend auf den Finanzrisiken liegt, da diese den grundlegenden Geschäftsbetrieb bestimmen, und der Fokus bei Industrie‑/Produktionsunternehmen für gewöhnlich auf den betrieblichen Risiken liegt, so sind Finanzinstrumente dennoch in jedem großen Unternehmen anzutreffen. Damit ist das Finanzrisiko von starker Bedeutung und nicht zu vernachlässigen.¹⁹

Das Finanzrisiko umfasst die Gefahren und Verlustpotenziale im Unternehmen, die im Rahmen von finanziellen Transaktionen jeglicher Art entstehen können. Dazu lässt sich das Finanzrisiko in weitere Risikoarten wie das Kredit-, Liquiditäts- und Marktrisiko klassifizieren.²⁰ Der potenzielle Ausfall einer Forderung gegenüber einem Gläubiger wird unter dem Kreditrisiko zusammengefasst.²¹ Das Liquiditätsrisiko beinhaltet zum einen das Risiko zu einem zukünftigen Zeitpunkt die vertraglich verpflichteten Auszahlungen mit verfügbaren Zahlungsmitteln nicht mehr begleichen zu können und zum anderen das Risiko, gehaltene Finanzinstrumente nicht veräußern zu können, da derzeit keine Nachfrage im Markt besteht.²²

Zuletzt umfasst das Finanzrisiko neben dem Kredit- und Liquiditätsrisiko das Marktrisiko, welches die Gefahren beinhaltet, durch im Portfolio gehaltene Finanzinstrumente in der Zukunft einen Verlust zu erleiden. Dies kann durch Schwankungen oder Änderungen bei Zinsen, Wechselkursen oder Kurspreisen (Aktienkurse, Rohstoffpreise etc.) eintreten.²³

Um die genannten Risikoarten messen zu können, existieren diverse Risikomaße zur Quantifizierung des Risikos. Neben der Volatilität als symmetrisches Risikomaß, welche die Streuung vom Erwartungswert in beide Richtungen angibt, stellt der Value-at-Risk ein weit verbreitetes asymmetrisches Risikomaß dar, da er ausschließlich den Verlust und damit die negative Abweichung einer Finanzanlage ausdrückt.²⁴ Aus diesem Grund wird er auch als „Downside“-Risikomaß betitelt.²⁵ Im Rahmen dieser Arbeit – vor dem Hintergrund des Value-at-Risk als asymmetrisches Risikomaß – wird das Risiko stets als die negative Abweichung (also als ein möglicher Verlust) definiert.

Es ist bereits Literatur veröffentlicht, die eine Anwendung des Value-at-Risk in den meisten der genannten Risikoarten erläutert und damit in der Praxis einsetzbar macht. So kann er sowohl als Risikomaß für die operationellen Risiken aber auch als Risikomaß für die in Abbildung 1 dargestellten Unterkategorien des Finanzrisikos verwendet werden. Der gängigste Einsatz des Value-at-Risk ist jedoch bei der Quantifizierung des Marktrisikos zu finden.²⁶ Daher steht im Rahmen dieser Arbeit die Behandlung von Markrisiken und im Speziellen das Risiko der Kurspreisänderungen von Finanzinstrumenten am Finanzmarkt (Marktpreisrisiko) im Fokus. Die im Wert des Value-at-Risk aggregierte Quantifizierung des Marktpreisrisikos eines Portfolios wird in Kapitel 3 theoretisch erläutert. Darauf aufbauend wird in Kapitel 4 die zentrale Fragestellung dieser Arbeit untersucht, ob die Berechnungsmodelle verlässliche Risikoquantifizierungen des Marktpreisrisikos liefern und damit eine aussagekräftige Risikoprognosefähigkeit besitzen.

2.2. Definition des Value-at-Risk als Risikomaß

Ein Portfolio mit Finanzinstrumenten unterliegt den im vorherigen Unterkapitel beschriebenen Risiken. Dabei ist es schwierig, alle bestehenden Risiken zu qualifizieren und quantifizieren, um sie letztendlich in eine Risikobetrachtung und -bewertung einfließen zu lassen.

Der Value-at-Risk ist hierfür ein sowohl in der Theorie als auch in der Praxis weit verbreitetes Risikomaß, welches „als ‚state of the art’ zur Quantifizierung von Marktrisiken [gilt], da es in der Lage ist, Risiken unterschiedlicher Kategorien und Bereiche unter Berücksichtigung bestehender Korrelationsbeziehungen zu einer einzelnen, eindimensionalen Risikomaßzahl zu aggregieren“²⁷.

Somit ist es möglich, die bekannten Risikoarten in das Risikomanagement einzubeziehen und der Unternehmensleitung / dem Management eine einzige Kennzahl vorzulegen, die Aufschluss über die Höhe des Gesamtrisikos im Unternehmen gibt. Da der Value-at-Risk meist in einer Währung (z.B. Euro oder US-Dollar) angegeben wird, ist diese Kennzahl leicht verständlich und intuitiv auswertbar.

Entwickelt wurde die Value-at-Risk Kennzahl von J.P.Morgan im Jahr 1990, um täglich eine schnelle Übersicht des eingegangenen Risikos zu erhalten. Seitdem hat sich das Value-at-Risk Konzept weit verbreitet und wird nicht nur in Banken, sondern auch in Industrieunternehmen, zahlreich eingesetzt. Die Verbreitung wurde durch die Veröffentlichung eines Softwareprodukts (einschließlich Referenzdaten in einer Datenbank) mit dem Namen „RiskMetricsTM“ im Jahr 1994 begünstigt, das als Kernelement das Value-at-Risk Konzept verwendet.²⁸

Der Value-at-Risk ist ein Risikomaß zur Quantifizierung des Risikos eines einzelnen Finanzinstruments oder eines Portfolios. Er gibt den möglichen Wertverlust des Portfolios an, der mit einer gewählten (geringen) Wahrscheinlichkeit und innerhalb eines definierten Zeitraums nicht überschritten wird. Anders ausgedrückt verliert der Wert des Portfolios mit der Gegenwahrscheinlichkeit und dem gleich gewählten Zeitraum nicht mehr als der sich ergebende Value-at-Risk.²⁹

Damit ist der Value-at-Risk von zwei Faktoren – der Wahrscheinlichkeit und dem Zeitraum – abhängig. Diese beiden Einflussfaktoren werden im Folgenden näher erläutert.

Die Berechnung des Value-at-Risk basiert im Allgemeinen auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen des einzelnen Finanzinstruments oder des Portfolios. Präziser ausgedrückt bestimmt sich der Value-at-Risk aus dem Quantil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu einem Konfidenzintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das Quantil definiert somit den Schwellwert, der mit der Wahrscheinlichkeit des Konfidenzintervalls nicht überschritten wird.³⁰ In einer Formel ausgedrückt entspricht das Quantil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Wahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , dass der Value-at-Risk überschritten wird, wobei die Differenz aus dem aktuellen Portfoliowert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abzüglich des initialen Portfoliowertes [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Verlust im Portfolio darstellt.³¹

illustration not visible in this excerpt

Formel 1: Definition des Value-at-Risk

Zum Beispiel bedeutet ein Value-at-Risk von € 10.000,- bei einem Zeitraum von einem Tag und einem Konfidenzintervall von 99%, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% das Portfolio bis zum nächsten Tag nicht mehr als € 10.000,- an Wert verliert bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% wird ein Verlust von mehr als € 10.000,- bis zum nächsten Tag eintreten.

Formal gilt für die Berechnung des Value-at-Risk aus jeder möglichen zugrundeliegenden Renditewahrscheinlichkeitsverteilung f(u)³², dass das Quantil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (und daraus abgeleitet mittel der Umkehrfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Value-at-Risk) bestimmt werden kann, für welches das Konfidenzintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Quantil entspricht:³³

illustration not visible in this excerpt

Formel 2: Berechnung des Value-at-Risk für eine beliebige Renditeverteilung

An einem Beispiel illustriert ergeben sich für die aufgetretenen Häufigkeiten der Tagesrenditen des DAX über einen Beobachtungszeitraum von 200 Tagen das in Abbildung 2 dargestellte Diagramm der Renditehäufigkeitsverteilung. Wird ein Konfidenzintervall von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (also eine Wahrscheinlichkeit des Value-at-Risk von 95%) gewählt, ergibt sich das Quantil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und daraus abgeleitet der Value-at-Risk zu -1,85%³⁴. Somit verliert der DAX mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% bis zum nächsten Tag nicht mehr als ‑1,85% bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% tritt ein Verlust von mehr als ‑1,85% ein. Das Quantil für den Value-at-Risk stellt in diesem Fall eine Tagesrendite dar, die sich entsprechend auf ein Portfolio übertragen lässt und dadurch der Value-at-Risk in einer Währung errechnet werden kann.

illustration not visible in this excerpt

Abbildung 2: Beispiel von Tagesrenditen des DAX mit 200 Beobachtungen

Die Bestimmung des Quantils der zugrundeliegenden Renditeverteilung kann auf verschiedenen Wegen erfolgen, u.a. durch einfaches Ablesen aus der aufsteigenden Renditesortierung oder zum anderen durch Berechnung unter der Annahme einer Verteilungsfunktion. Für eine detaillierte Beschreibung der Berechnungsmethoden sowie ihre Klassifizierungsarten sei an dieser Stelle auf Kapitel 3 verwiesen.

2.3. Risikokennzahlen und Statistikgrundlagen in der Finanzwirtschaft

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird wiederholt auf grundlegende Kennziffern aus der Finanzwirtschaft zurückgegriffen. Zu diesen zählen u.a. die Rendite, die aus der Statistik bekannte Varianz und Standardabweichung (bzw. Volatilität) eines Finanzinstruments sowie die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient zwischen mehreren Finanzinstrumenten. Die Beschreibung dieser Kennziffern als auch ihre Berechnungsformeln werden in diesem Kapitel vorgestellt und erläutert.

Die für einen Investor interessante Kennzahl ist in den meisten Fällen die Rendite der Finanzanlage. Sie beschreibt die relative Änderung des Kurspreises P zwischen zwei Zeitpunkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu einem bestimmten Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des vorhergehenden Zeitpunkts [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Somit wird die diskrete Rendite wie folgt berechnet:³⁵

illustration not visible in this excerpt

Formel 3: Diskrete Rendite

Während die diskrete Rendite lediglich eine Preisänderung zu den betrachteten Zeitpunkten erlaubt, geht die stetige Rendite von einer kontinuierlichen Preisentwicklung aus. Sie bezieht sich somit auf die logarithmierte Preisänderung und wird wie folgt berechnet:³⁶

illustration not visible in this excerpt

Formel 4: Stetige Rendite

Der Vorteil der stetigen Rendite liegt u.a. in der einfachen Anwendung, dass Renditen einzelner Zeitperioden addiert werden können, um die Rendite des Gesamtzeitraums zu erhalten. Dies ist bei diskreten Renditen nicht uneingeschränkt möglich, da eine multiplikative Verknüpfung zwischen den einzelnen Renditen besteht, wodurch eine schnelle Berechnung erschwert wird.³⁷

Es lässt sich mathematisch nachweisen, dass die diskrete und stetige Rendite für kleine Zeiträume approximativ gleich sind.³⁸ Da die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten Renditen ausschließlich auf Tagesrenditen (d.h. Kurspreisänderungen von einem Handelstag auf den nächsten) und damit auf sehr kleinen Zeiträumen basieren, wird im Folgenden bei der Verwendung von Renditen ausschließlich von diskreten Renditen ausgegangen.

Neben der Rendite und der daraus ergebenden Ertragskraft eines Finanzinstruments ist auch das damit verbundene Risiko für einen Investor entscheidend. Das Risiko ist grundlegend von den Kurspreisschwankungen abhängig, die durch die aus der Statistik bekannten Kennzahlen der Varianz bzw. Volatilität dargestellt werden. Sie geben die Schwankungsbreite des Kurspreises von einem Erwartungswert an. In der Regel gilt, dass eine größere Schwankungsbreite und damit eine größere Volatilität bzw. Varianz auch in einem höheren Risiko des Finanzinstruments resultiert.³⁹

Zur Berechnung der Varianz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] werden über einen gewählten Zeitraum T die beobachteten Renditen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] herangezogen und die Abweichung vom erwarteten Renditemittelwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt.⁴⁰

illustration not visible in this excerpt

Formel 5: Varianz

Aus der Varianz ergibt sich die Volatilität, die auch als Standardabweichung bekannt ist, sofern es sich bei der zugrundeliegenden Verteilung um eine Normalverteilung handelt.⁴¹

illustration not visible in this excerpt

Formel 6: Volatilität bzw. Standardabweichung

Die Varianz und Volatilität kann sowohl für ein einzelnes Finanzinstrument aber auch für ein ganzes Portfolio ermittelt werden. Bei der Berechnung der Kennzahlen für ein Portfolio sind hingegen Diversifikationseffekte als auch Abhängigkeiten zwischen den beinhalteten Finanzinstrumenten zu berücksichtigen. So ergibt sich beispielsweise die Volatilität des Portfolios nicht aus der Summe der einzelnen Volatilitäten der Portfoliopositionen, sondern durch die Streuung des Risikos auf mehrere Finanzinstrumente verringert sich das Gesamtrisiko und die Volatilität fällt kleiner aus.⁴²

Für ein Beispielportfolio aus zwei Finanzinstrumenten X und Y ergibt sich die Portfoliovarianz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus den einzelnen Varianzen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Portfolio⁴³ sowie aus dem Korrelationskoeffizienten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], der die Abhängigkeit zwischen den beiden Werten ausdrückt.⁴⁴

illustration not visible in this excerpt

Formel 7: Portfoliovarianz für zwei Finanzinstrumente X und Y

Verallgemeinert für ein Portfolio aus N Finanzinstrumenten ergibt sich die folgende Summenformel für die Portfoliovarianz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:⁴⁵

illustration not visible in this excerpt

Formel 8: Portfoliovarianz für N Finanzinstrumente

Zur Berechnung der Abhängigkeit zwischen zwei Portfoliowerten X und Y wird ähnlich wie bei der Varianzberechnung auf eine Abweichung von einem erwarteten Mittelwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zurückgegriffen und darauf basierend ein Produkt der beiden abhängigen Werte ermittelt.⁴⁶

illustration not visible in this excerpt

Formel 9: Kovarianz für zwei Finanzinstrumente X und Y

Die Kovarianz gibt somit die Abhängigkeit zwischen zwei Portfoliopositionen an. Handelt es sich darüber hinaus um ein Portfolio mit mehr als zwei Werten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], sollte aus Gründen der Einfachheit auf die Matrixschreibweise zurückgegriffen werden, welche die Kovarianzmatrix wie folgt darstellt:⁴⁷

illustration not visible in this excerpt

Formel 10: Kovarianzmatrix für N Finanzinstrumente

Abgeleitet aus der Kovarianz zweier abhängiger Portfoliowerte lässt sich der intuitiv leichter verständliche Korrelationskoeffizient [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnen.⁴⁸

illustration not visible in this excerpt

Formel 11: Korrelationskoeffizient zwischen den Werten X und Y

Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] annehmen. Ein negativer Korrelationskoeffizient bedeutet eine entgegengesetzte Entwicklung der beiden Werte, d.h. eine Erhöhung des Wertes X hängt mit einer Verringerung des Wertes Y zusammen. Im Gegenzug besagt ein positiver Korrelationskoeffizient eine Entwicklung beider Werte in die gleiche Richtung, wobei ein größerer Korrelationskoeffizient eine stärkere Abhängigkeit erklärt. Eine Korrelation von null deutet auf eine komplette Unabhängigkeit der beiden Werte hin.

Die vorgestellten Grundlagen zur Berechnung wichtiger Kennzahlen in der Finanzwirtschaft werden im späteren Verlauf dieser Arbeit wiederholt angewendet. Zudem stellen sie die Ausgangsbasis für weitere Berechnungen im Rahmen des Value-at-Risk Konzeptes dar, welches in diesem Kapitel bereits eingeführt wurde und im Folgenden ausführlich dargelegt wird, indem die genannten Berechnungsmodelle definiert werden.

3. Berechnungsmodelle des Value-at-Risk

Das vorliegende Kapitel verfolgt das Ziel, die wichtigsten in der Literatur bekannten Berechnungsverfahren des Value-at-Risk vorzustellen, die darunterliegende Berechnungstheorie zu erläutern sowie vorhandene Problematiken zu diskutieren. Auf Basis der in diesem Kapitel vorgestellten theoretischen Methoden wird im darauffolgenden Kapitel 4 die empirische Untersuchung zum Vergleich der Modelle in Hinblick auf ihre Risikoprognosefähigkeit durchgeführt.

Beginnend mit einer Klassifizierung der Value-at-Risk Berechnungsmodelle werden im vorliegenden Kapitel die historische Simulation, der Varianz-Kovarianz-Ansatz und zuletzt die Monte-Carlo-Simulation dargelegt. Um die für diese Ansätze erforderlichen Parameter (wie Volatilität und Korrelation) zu bestimmen, werden anschließend die Schätzverfahren des Moving-Average sowie des EWMA und GARCH Modells vorgestellt.

3.1. Klassifizierung der Value-at-Risk Berechnungsmodelle

Für die Ermittlung der Höhe des Value-at-Risk sind verschiedene Verfahren in der Theorie bekannt, zu denen grundsätzlich die drei bekanntesten und in der Praxis am meist eingesetzten Methoden der historischen Simulation, des Varianz-Kovarianz-Ansatzes und der Monte-Carlo-Simulation gehören.

Der Value-at-Risk beinhaltet eine Prognose für die Zukunft, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eintrifft. Um diese Prognose ermitteln zu können, benötigen die Berechnungsmodelle vorerst Informationen über eine wahrscheinliche künftige Entwicklung. Die Gemeinsamkeit der Modelle besteht darin, dass auf der Basis von Vergangenheitsbeobachtungen und -analysen sowie notwendigen Annahmen möglichst realitätstreue Schätzungen für die zukünftige Entwicklung abgegeben werden.

Die Unterscheidung zwischen den Berechnungsmodellen liegt hingegen in ihrer Berechnungsvorgehensweise, der Ermittlung der zugrundeliegenden Daten (z.B. der zugrundeliegenden Renditeverteilung) und der zu treffenden Annahmen, die eine Abbildung der Realität in die theoretische Berechnung erst möglich machen. Durch die Notwendigkeit einiger Annahmen sowie den verschiedenen Vorgehensweisen bei der Berechnung des Value-at-Risk ergeben sich unterschiedliche Werte für die Quantifizierung des (Marktpreis-)Risikos, wodurch sich zwangsläufig eine differenzierte Aussagekraft der Prognosen bei den verschiedenen Klassifikationen der Berechnungsmodelle ergibt.

Die Value-at-Risk Ermittlungsmethoden lassen sich in zwei Arten von Klassifikationen unterteilen. Zum einen in die Differenzierung zwischen nicht‑parametrischen und parametrischen sowie zum anderen zwischen simulativen und analytischen Ansätzen.⁴⁹ Eine Einordnung der drei genannten Verfahren in ihre zugehörige Gruppierung ist in Tabelle 1 dargestellt. Auf die Unterschiede in den Klassifikationen wird im Folgenden näher eingegangen.

illustration not visible in this excerpt

Tabelle 1: Klassifikation der Value-at-Risk Berechnungsmodelle⁵⁰

Während die Berechnungen des Value-at-Risk bei den parametrischen Verfahren eine Wahl von geeigneten Parametern für die zugrundeliegende Verteilungsfunktion erfordern, basieren die nicht-parametrischen Ansätze auf empirischen historischen Daten, aus denen zukünftige Wertänderungen des Portfolios durch Generierung zahlreicher Szenarien simuliert werden.⁵¹ Somit besteht der entscheidende Unterschied darin, dass sich die parametrischen Ansätze auf die Annahme stützen, dass die das Marktpreisrisiko bestimmenden Risikofaktoren einer zuvor definierten Verteilungsfunktion folgen und mit dieser hinreichend statistisch beschrieben werden können.⁵² Für die Verteilungsfunktion wird in den meisten Fällen die Normalverteilung herangezogen, da sie durch wenige Parameter (wie den Erwartungswert, die Standardabweichung und die Korrelationen) vollständig definiert ist.⁵³ Diese erforderliche Annahme einer Normalverteilung stellt eine erhebliche Vereinfachung bei der Berechnung des Value-at-Risk dar, ist jedoch nicht ganz unproblematisch, wenn die tatsächliche Verteilungsfunktion der Risikofaktoren von der Normalverteilung abweicht. So existieren in der Realität häufig leptokurtische Verteilungen, die schwere Ränder (so genannte „fat tails“) und einen häufiger vorkommenden Erwartungswert (so genannte „thin waists“) aufweisen. D.h. es existiert eine größere Anzahl an Extremereignissen als die Normalverteilung vorhersagt, und die Häufigkeit der Ereignisse nahe dem Erwartungswert ist größer als durch die Normalverteilung beschrieben.⁵⁴ Die sich damit ergebende Problematik wird näher in Kapitel 5 dargestellt.

Da die nicht-parametrischen Ansätze nicht auf eine vordefinierte Verteilungsannahme angewiesen sind, besteht für sie die eben genannte Problematik nicht. Die zur Berechnung des Value-at-Risk herangezogene Renditeverteilung wird ausschließlich durch historische Daten bestimmt. Dafür werden die historisch beobachteten Marktpreisänderungen auf das aktuelle Portfolio angewendet, ihre Wertänderungen im aktuellen Portfolio simuliert und auf Basis dieser simulierten Verteilung wird danach das Quantil und letztendlich der Value-at-Risk errechnet.⁵⁵

Die zweite Art der Klassifizierung lässt sich anhand der Unterscheidung von simulativen zu analytischen Ansätzen vornehmen. Ähnlich zu den parametrischen Ansätzen setzen die analytischen Methoden ebenfalls eine angenommene Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen der Risikofaktoren voraus. Bei den simulationsbasierten Ansätzen hingegen werden die Daten für die zugrundeliegende Verteilungsfunktion der Risikofaktoren mittels Szenariengenerierung bzw. Simulation erzeugt. Die Simulation kann dabei entweder einfach auf Basis empirischer historischer Daten erfolgen (ähnlich zu den nicht-parametrischen Ansätzen) oder die Verteilungsfunktion wird durch komplexe Simulation auf Basis von generierten Zufallszahlen bestimmt.⁵⁶ Die sich aus diesen simulierten Daten ergebende Verteilungsfunktion bildet schließlich die Grundlage zur Bestimmung des Quantils und damit zur Berechnung des Value-at-Risk.

Die Simulationsverfahren werden auch als Vollbewertungsverfahren („Full-Valuation-Method“) bezeichnet, da sie eine vollständige Neubewertung des Portfolios auf Basis der simulierten Daten vornehmen. Dies hat den Vorteil, dass auch nicht-lineare Abhängigkeiten zwischen Risikofaktor und Portfoliowert (wie es u.a. bei Optionen der Fall ist) berücksichtigt werden.⁵⁷

Die Unterscheidung und Eingruppierung der drei gewählten Value-at-Risk Berechnungsmodelle in die vorgestellten Kategorien wird sich noch genauer in den folgenden Kapiteln im Rahmen der Berechnungsvorgehensweise erschließen.

3.2. Historische Simulation

Das Berechnungsmodell der historischen Simulation gehört zu den einfachen und leicht verständlichen Ansätzen zur Ermittlung des Value-at-Risk. Wie im vorherigen Kapitel 3.1 erläutert, zählt er zu den nicht-parametrischen und simulativen Ansätzen, die den Vorteil haben, für die vorliegenden Risikofaktoren keine Verteilungsannahme treffen und zugehörige Parameter schätzen zu müssen.⁵⁸ Vielmehr werden „die in der Vergangenheit beobachteten täglichen Änderungen von Marktvariablen direkt für die Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Änderung im Wert des aktuellen Portfolios genutzt“⁵⁹.

Somit müssen zuerst die Risikofaktoren wie Wechselkurse, Aktienpreise, Zinssätze etc., die das Marktrisiko des Portfolios beeinflussen, identifiziert werden und ihre Entwicklung über einen historischen Zeitraum gesammelt werden.⁶⁰ Die Änderungen der Risikofaktoren in der Vergangenheit bilden dann die Basis für die Generierung von zahlreichen Szenarien, wie sich das aktuelle Portfolio bis zum nächsten Handelstag oder über eine andere zu wählende Haltedauer entwickeln könnte.⁶¹

Dabei kann ein Risikofaktor beispielsweise aus einem Währungskurs bestehen, da sich ein ausländisches Finanzprodukt in einer fremden Währung im Portfolio befindet. Durch eine Änderung des Wechselkurses kann somit ein Verlust im Portfolio eintreten. Daneben kann ein Risikofaktor aus einem Zinssatz bestehen, durch dessen Änderung sich der Wert im Portfolio verändert.⁶² Da die vorliegende Arbeit eine Fokussierung auf das Marktpreisrisiko vornimmt, bestehen die Risikofaktoren im weiteren Verlauf der Arbeit ausschließlich aus den möglichen Änderungen der Marktpreise der Finanzinstrumente im Portfolio. Der Risikofaktor wird somit bestimmt durch den Marktpreis (auch Marktvariable genannt) des jeweiligen Finanzinstruments. Ein Portfolio bestehend aus zwei Finanzinstrumenten unterliegt im Hinblick auf das Marktpreisrisiko somit zwei Risikofaktoren bzw. zwei Marktvariablen.

Zur Ermittlung des Value-at-Risk für den nächsten Handelstag werden die in der Vergangenheit beobachteten täglichen Renditen bzw. täglichen Wertänderungen der identifizierten Risikofaktoren herangezogen. Dafür werden die historischen Daten für den Zeitraum [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Basis der Simulation verwendet, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der am weitest in der Vergangenheit liegende Wert im Zeitfenster [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der heutige Zeitpunkt ist. Für N Risikofaktoren und T historische Daten wird der Wert des Risikofaktors bzw. der Marktvariablen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] am historischen Tag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definiert als [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu berechnen, wird die tägliche Bewegung der Risikofaktoren vom vorherigen Tag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zum Tag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wie folgt berechnet:⁶³

illustration not visible in this excerpt

Formel 12: Tägliche Renditen der Risikofaktoren zum historischen Zeitpunkt

Damit ergeben sich T simulierte Szenarien [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch Multiplikation der empirischen historischen Änderungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit dem zum gegenwärtigen Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aktuellen Wert der Marktvariablen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].⁶⁴

illustration not visible in this excerpt

Formel 13: Simulierte Szenarien der Risikofaktoren

Die simulierten Wertänderungen der Marktvariablen lassen sich anschließend in Portfoliowertänderungen übertragen, die somit mögliche Entwicklungen des Portfoliowertes für den nächsten Handelstag prognostizieren. Die simulierten Werte ergeben schließlich eine simulierte empirische Wahrscheinlichkeitsverteilung der täglichen Portfoliowertänderungen, aus der das Quantil zum gewünschten Konfidenzintervall abgelesen und damit der Value-at-Risk bestimmt werden kann.⁶⁵

Alternativ ergibt sich das Quantil zum Value-at-Risk außerdem durch Ablesen des [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] simulierten Werten und einem Konfidenzintervall von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus dem Quantil des zehnten⁶⁶ Wertes der Sortierung.⁶⁷

Wird der Value-at-Risk für eine Haltedauer länger als einen Tag berechnet, kann hierfür entweder der 1-Tages Value-at-Risk mit der Wurzel-Formel⁶⁸ auf die gewünschte Haltedauer umgerechnet werden oder die Renditen bzw. Marktvariablenänderungen werden von Beginn an nicht auf einer Tagesbasis sondern auf der bereits gewünschten Haltedauer (z.B. auf Monatsbasis) berechnet. Die weiteren Berechnungen verhalten sich analog zur Berechnung des Value-at-Risk für einen Tag.

Es ist von entscheidender Bedeutung, dass die Risikofaktoren nicht einzeln betrachtet, ihre einzelnen Änderungen auf das Portfolio angewendet werden und jeweils eine isolierte Häufigkeitsverteilung der Renditen erstellt wird. Vielmehr muss ihr zeitlicher Zusammenhang stets beachtet und beibehalten werden, da durch ihn die Korrelationen und stochastischen Abhängigkeiten zwischen den Risikofaktoren ausgedrückt werden.⁶⁹ Durch die in Formel 13 definierten Szenarien werden diese Abhängigkeiten bei der Simulation berücksichtigt und die Korrelationen beibehalten.

Neben der impliziten Berücksichtigung von Korrelationen besteht ein weiterer Vorteil darin, dass die historische Simulation bei der Berechnung des Value-at-Risk eine gesamte Neubewertung des Portfolios vornimmt (Vollbewertungsverfahren). Hierdurch ist die Berechnung nicht einzig auf lineare Zusammenhänge zwischen Risikofaktor und Portfoliowert beschränkt, wie es beim Varianz-Kovarianz-Ansatz der Fall ist. Es können stattdessen beliebig komplexe Finanzprodukte auch mit ihrer nicht-linearen Abhängigkeit von Risikofaktoren verwendet und in die Simulation integriert werden.⁷⁰

Da für die Simulation der möglichen Portfoliowertänderungen ein vorher definierter Zeitraum der Vergangenheit als Berechnungsgrundlage dient, hängt die Berechnung des Value-at-Risk entscheidend von der Länge des gewählten historischen Zeitfensters ab. Auf den ersten Blick sollte das Zeitfenster sehr groß und damit viele historische Daten als Basis gewählt werden, um damit eine Vielzahl an Szenarien generieren zu können und so den stochastischen Fehler zu minimieren. Durch die größere Anzahl an Werten wird die zu ermittelnde Häufigkeitsverteilung geglättet und das Quantil kann exakter ermitteln werden.⁷¹ Dies ist jedoch nicht grundsätzlich zu unterstützen, da die zukünftige Eintrittswahrscheinlichkeit für weit in der Vergangenheit zurückliegende Ereignisse abnimmt. Somit werden sehr alte historische Daten als Prognose für die aktuelle Entwicklung herangezogen, obwohl sie wahrscheinlich nicht mehr repräsentativ für die zukünftige Entwicklung sind.⁷² Es besteht also ein Zielkonflikt bei der Länge des zu wählenden Zeitfensters. Ein zu kleiner Zeitraum ergibt keine verlässliche Häufigkeitsverteilung und ein zu großer Zeitraum berechnet den Value-at-Risk auf nicht mehr repräsentativen Daten.⁷³ Die Wahl des historischen Zeitraums sowie seine Länge haben somit signifikanten Einfluss auf die Höhe des Value-at-Risk und damit auf seine Risikoprognosefähigkeit, denn werden nicht mehr relevante historische Daten in die Berechnung einbezogen, wird der Value-at-Risk eine geringe Prognosegüte aufweisen.

Ein weiterer Kritikpunkt der historischen Simulation liegt darin, dass sich zukünftige Entwicklungen ausschließlich aus vergangenen Ereignissen beschreiben lassen. Das Berechnungsmodell unterstellt, dass sich in der Vergangenheit eingetretene Entwicklungen auch ähnlich in der Zukunft ereignen werden.⁷⁴ Dies beinhaltet ebenfalls Extremsituationen wie die Finanzkrise im Jahr 2008 oder die Dotcom-Blase im März des Jahres 2000. Umfasst der historische Beobachtungszeitraum solche Extremsituationen, wird der Value-at-Risk bei der historischen Simulation in den meisten Fällen sehr hoch berechnet, da er eine Wiederholung dieser Entwicklung voraussagt. Dieses Phänomen wird auch „Ghost Feature“ oder „Echo Effekt“ genannt, da sich der Value-at-Risk sprunghaft von einem auf den nächsten Tag verringert, sobald das historische Zeitfenster die Extremsituation nicht mehr beinhaltet.⁷⁵ Dieses Phänomen lässt sich auch bei der empirischen Untersuchung in Kapitel 4 deutlich beobachten.

Des Weiteren nimmt die historische Simulation implizit an, dass sich während des Beobachtungszeitraums die Volatilitäten und Korrelationen der Marktvariablen nicht ändern und somit eine Stationarität aufweisen. Dies ist in der Realität hingegen nicht gegeben, da sich empirisch beobachten lässt, dass sich Volatilität und Korrelation im Zeitverlauf ändern und es Phasen mit hoher Volatilität sowie Phasen mit geringer Volatilität gibt.⁷⁶ Um diese Problematik zu umgehen, müsste die historische Simulation – wie sie in dieser Arbeit definiert ist – mit einem Schätzverfahren für die Volatilität bzw. Korrelation erweitert werden.⁷⁷ Für eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse der zu untersuchenden Berechnungsmodelle wird im Rahmen dieser Arbeit bei der historischen Simulation jedoch darauf verzichtet.

Eine weitere Voraussetzung, die für die historische Simulation erfüllt sein muss, ist die Verfügbarkeit der historischen Daten. Bei neu eingeführten Finanzinstrumenten sind gegebenenfalls keine historischen Daten verfügbar, wodurch die historische Simulation als Berechnungsmodell ausscheidet. Zudem steigen mit zunehmender Anzahl an Finanzprodukten – wie sie speziell in Banken in großer Anzahl vorhanden sind – die Anforderungen sowohl an die Datenverwaltung als auch an die Rechenleistung zur Ermittlung der vielfältigen Simulationen.⁷⁸

Die erwähnten Nachteile und Problematiken der historischen Simulation führen letztendlich zu einer Ungenauigkeit der Quantifizierung des existierenden Marktpreisrisikos, wodurch sich auch eine Beeinträchtigung der Risikoprognosefähigkeit für dieses Berechnungsmodell ergibt. Dies gilt es im Rahmen der empirischen Untersuchung zu analysieren.

Zusammenfassend ist jedoch festzuhalten, dass die historische Simulation leicht zu implementieren ist und ihre Berechnungsmethode auch für einen Laien schnell nachvollzogen werden kann. Dies ist u.a. ein Grund, weshalb die historische Simulation in der Praxis häufig in Unternehmen eingesetzt wird und sich zum Industriestandard entwickelt hat.⁷⁹

3.3. Varianz-Kovarianz-Ansatz

Der Varianz-Kovarianz-Ansatz ist in der Praxis neben der historischen Simulation ebenfalls weit verbreitet und wird von zahlreichen Unternehmen und Banken genutzt, die Value-at-Risk als Risikokennzahl einsetzen, da der Varianz-Kovarianz-Ansatz in der von J.P. Morgan veröffentlichten Datenbank und Software RiskMetricsTM implementiert wurde und seit dem Jahr 1996 vermarktet wird.⁸⁰

Der Varianz-Kovarianz-Ansatz gehört zu den parametrischen und analytischen Ansätzen zur Ermittlung des Value-at-Risk. Somit muss für seine Berechnung eine Verteilungsannahme für die Renditen der Risikofaktoren – in der vorliegenden Arbeit wie erwähnt das Risiko einer Änderung des Marktpreises – getroffen werden. In den meisten Fällen wird hierfür die Normalverteilung gewählt und damit angenommen, dass die Risikofaktoren normalverteilt sind. Diese Annahme wird aufgrund der Einfachheit der Normalverteilung getroffen, da sie mit nur zwei Parametern (dem Mittelwert bzw. Erwartungswert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]⁸¹ und der Standardabweichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] – unter der Annahme einer Normalverteilung für die Renditeverteilung der Risikofaktoren – mit der Inversen der kumulativen Normalverteilung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie dem gewählten Konfidenzintervall⁸² [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie der Standardabweichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Portfoliorenditen im betrachteten Zeitraum zu:⁸³

illustration not visible in this excerpt

Formel 14: Berechnung des Value-at-Risk unter Annahme der Normalverteilung

In der Praxis wird in der Regel davon ausgegangen, dass die erwartete tägliche Rendite gegen Null tendiert, da für einen sehr kleinen Zeitraum die Wertänderung des Risikofaktors sehr klein gegenüber der Standardabweichung ist.⁸⁴ Des Weiteren lässt sich Formel 14 vereinfachen, indem für definierte Konfidenzintervalle der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch einen Faktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ersetzt wird. Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich für ein Konfidenzintervall von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein Faktor von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder für ein Konfidenzintervall von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ein Faktor von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].⁸⁵ Die Berechnung des Value-at-Risk vereinfacht sich somit zu:

illustration not visible in this excerpt

Formel 15: Berechnung des Value-at-Risk unter Annahme der Normalverteilung (vereinfacht)

Diese vereinfachte Formel bestimmt den Value-at-Risk ausschließlich aus dem aktuellen Portfoliowert, der Standardabweichung der Portfoliorenditen und dem vom gewählten Konfidenzintervall abhängigen Multiplikator. In Abbildung 3 ist schematisch eine Normalverteilung dargestellt, welche die Häufigkeit der zu erwartenden Portfoliorenditen abbildet. Mit Hilfe des Multiplikators [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann daraus der Value-at-Risk ermittelt werden.

illustration not visible in this excerpt

Abbildung 3: Schematische Normalverteilung

Für die Ermittlung der Standardabweichung bzw. Varianz der Portfoliorenditen sind die Standardabweichungen der einzelnen im Portfolio enthaltenen Finanzinstrumente sowie ihre Korrelationen untereinander erforderlich, damit eventuell vorhandene Diversifikationseffekte bei der Berechnung des Value-at-Risk berücksichtigt werden.⁸⁶ Für ein Portfolio aus N Werten ergibt sich unter Anwendung von Formel 8 und Formel 9 (siehe Kapitel 2.3) in Verbindung mit Formel 15 die Matrixschreibweise der Value-at-Risk Berechnung. Dabei wird auf die Kovarianzmatrix, die Gewichtung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der einzelnen Finanzinstrumente im Portfolio und das gewählte Konfidenzintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zurückgegriffen.⁸⁷

illustration not visible in this excerpt

Formel 16: Berechnung des Value-at-Risk in Matrixschreibweise

Mit Hilfe dieser Formel kann der Value-at-Risk in kurzer Zeit neu berechnet werden und muss nicht, wie beispielsweise bei der historischen Simulation, komplett neu generiert und simuliert werden, sofern sich die Gewichtung eines Finanzinstruments im Portfolio oder eine Volatilität ändern sollte. Die für die Berechnung benötigten Varianzen und Kovarianzen der zugrundeliegenden Finanzinstrumente müssen bestmöglich geschätzt werden. Dies geschieht im Regelfall auf Basis von historischen Daten und Schätzverfahren, die im späteren Kapitel 3.5 näher beschrieben werden.⁸⁸

Die mit dem Varianz-Kovarianz-Ansatz verknüpfte Problematik liegt darin, dass für Finanzprodukte mit nicht-linearen Abhängigkeiten zwischen Risikofaktor und Portfoliowert der Varianz-Kovarianz-Ansatz nicht geeignet ist und nur eine approximative Schätzung bereitstellt. Der in dieser Arbeit vorgestellte sogenannte „Delta-Normal-Ansatz“ basiert auf der linearen Abbildung der Wertänderungen der Risikofaktoren und entspricht der Taylor-Reihe erster Ordnung. Um auch Finanzprodukte mit nicht-linearen Abhängigkeiten (z.B. Optionen) abbilden zu können, muss die Taylor-Reihe zweiter Ordnung gewählt und die Konvexität in der Berechnung berücksichtigt werden, die sich im „Delta-Gamma-Ansatz“ wiederfinden. Dafür sind weitaus komplexere Berechnungen erforderlich und das mathematische sowie stochastische Fachwissen muss bei einer Implementierung im Unternehmen vorhanden sein.⁸⁹ Da der Delta-Normal-Ansatz der Varianz-Kovarianz-Methode für die empirische Analyse dieser Arbeit ausreichend ist, wird der Delta-Gamma-Ansatz im Rahmen dieser Arbeit nicht näher dargestellt.⁹⁰

Da für die Verteilung der Renditen der Risikofaktoren die Normalverteilung angenommen wird, lässt sich der Value-at-Risk mit wenigen Parametern bestimmen. So einfach das Berechnungsmodell auch ist, desto schneller stößt es an die Grenzen im praktischen Einsatz, denn die Annahme der Normalverteilung ist „bei einigen Risikofaktoren keine gute Näherung an die tatsächlichen Renditeverteilungen“⁹¹. Neben anderen Abweichungen zwischen Normalverteilung und tatsächlich empirisch zu beobachtenden Verteilungen, berücksichtigt die Normalverteilung beispielsweise keine „fat tails“ der realen Renditeverteilung, wodurch der Value-at-Risk in manchen Fällen zu gering geschätzt wird.⁹² Dies hat direkte Auswirkungen auf die Risikoprognosefähigkeit, denn durch einen zu gering geschätzten Value-at-Risk steigt die Wahrscheinlichkeit eines Überschreitens des prognostizierten Verlustes.

[...]

---

¹ Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2006); Fricke (2006), S. 2.

² Vgl. Saita (2007), S. 1f.

³ Im Jahr 2005 erschien eine aktualisierte Fassung dieser Veröffentlichung, vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2005).

⁴ In der Literatur auch „interner Bemessungsansatz“ oder „modellbasierter Ansatz“ genannt, vgl. Schulte, Horsch (2004), S. 29.

⁵ Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2006), S. 35ff; Saita (2007), S. 11.

⁶ Vgl. Eisele (2004), S. 2; Jorion (2007), S. 61f.

⁷ Bonke (2007), S. 75.

⁸ Vgl. Hull (2009), S. 555.

⁹ Engle, Manganelli (2004), S. 367.

¹⁰ Vgl. Bizjak (2011), S. 4.

¹¹ Vgl. Fischer (2004), S. 248; Jorion (2007), S. 3.

¹² Vgl. Deutsch(2008), S.361; Markowitz (1952).

¹³ Vgl. Fischer (2004), S. 10.

¹⁴ Vgl. Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) (2010), S. BTR.

¹⁵ Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2005), S. 38.

¹⁶ Eigene Darstellung. In Anlehnung an: Bonke (2007), S. 13; Dowd (1998), S. 3f; Fischer (2004), S. 248; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 17; Jockusch (2001), S. 35; Jorion (2007), S. 22; Neumann (2000), S. 36; Penza, Bansal (2001), S. 21; Scherpereel (2005), S. 13; Schulte, Horsch (2004), S. 22ff.

¹⁷ Vgl. Fricke (2006), S. 10; Jorion (2007), S. 4; Scherpereel (2005), S. 11; Schulte, Horsch (2004), S. 23.

¹⁸ Vgl. Fricke (2006), S. 10; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 17; Jockusch (2001), S. 35; Jorion (2007), S. 26.

¹⁹ Vgl. Scherpereel (2005), S. 12.

²⁰ Vgl. Choudhry (2006), S. 3; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 17; Jockusch (2001), S. 36; Jorion (2007), S. 24.

²¹ Vgl. Deutsch (2008), S. 361.

²² Vgl. Jorion (2007), S. 23.

²³ Vgl. Bonke (2007), S. 14; Deutsch (2008), S. 361; Fricke (2006), S. 8f; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 17; Jockusch (2001), S. 36; Schulte, Horsch (2004), S. 27.

²⁴ Vgl. Koller (2005), S. 18, 23.

²⁵ Vgl. Schroeck (2002), S. 168; Strauß (2008), S. 45.

²⁶ Vgl. Bizjak (2011), S. 6; Jorion (2007), S. 17.

²⁷ Vgl. Eisele (2004), S. 40f.

²⁸ Vgl. Dowd (1998), S. 18; Hull (2011), S. 188-189; J.P.Morgan/Reuters (1996).

²⁹ Vgl. Dowd (1998), S. 39; Eisele (2004), S. 88; Jorion (2007), S. 17.

³⁰ Vgl. Jorion (2007), S. 17; Neumann (2000), S. 49.

³¹ Vgl. Saita (2007), S. 25.

³² Die Renditen werden hier mit u bezeichnet und die Verteilungsfunktion der Renditen mit f(u).

³³ Vgl. Dowd (1998), S. 42; Jorion (2007), S. 109; Schroeck (2002), S. 168; Strauß (2008), S. 47.

³⁴ Das Quantil liegt hier zwischen -1,9% und -1,8%, wobei eine Interpolation ein geschätztes Quantil von ‑1,85% liefert.

³⁵ Vgl. J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 46; Jorion (2007), S. 93; Neumann (2000), S. 72; Tsay (2002), S. 2.

³⁶ Vgl. J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 46; Jorion (2007), S. 94; Neumann (2000), S. 72.

³⁷ Vgl. Eisele (2004), S. 48f.

³⁸ Vgl. Eisele (2004), S. 51ff.

³⁹ Vgl. Choudhry (2006), S. 9; Dowd (1998), S. 11.

⁴⁰ Vgl. Choudhry (2006), S. 14; Hull (2009), S. 586; Jorion (2007), S. 95; Steiner, Bruns (2002), S. 60.

⁴¹ Vgl. Hull (2011), S. 214.

⁴² Vgl. Alexander (1998), S. 40ff; Markowitz (1952).

⁴³ Die Gewichtung eines Finanzinstruments ergibt sich durch den in dieses Finanzinstrument investierten Betrag geteilt durch den Portfoliogesamtwert.

⁴⁴ Vgl. Hull (2011), S. 321; Smithson, Minton (1997), S. 29.

⁴⁵ Vgl. Hull (2011), S. 323; Jorion (2007), S. 161; Markowitz, 1952, S. 81.

⁴⁶ Vgl. Hull (2009), S. 601; Jorion (2007), S. 96.

⁴⁷ Vgl. Alexander (1998), S. 126; Hull (2011), S. 325; Jorion (2007), S. 162.

⁴⁸ Vgl. Alexander (1998), S. 126; Hull (2011), S. 242; Jorion (2007), S. 163; Steiner, Bruns (2002), S. 70.

⁴⁹ Vgl. Bonke (2007), S. 96; Manganelli, Engle (2001), S. 7.

⁵⁰ Eigene Darstellung. In Anlehnung an: Bonke (2007), S. 96; Schulte, Horsch (2004), S. 216.

⁵¹ Vgl. Alexander (1998), S. 79; Jorion (2007), S. 108ff; Manganelli, Engle (2001), S. 8, 10.

⁵² Vgl. Jorion (2007), S. 110.

⁵³ Vgl. Bonke (2007), S. 96f.

⁵⁴ Vgl. Eisele (2004), S. 59.

⁵⁵ Vgl. Jorion (2007), S. 108.

⁵⁶ Vgl. Bonke (2007), S. 98.

⁵⁷ Vgl. Eisele (2004), S. 113; Jorion (2007), S. 251f.

⁵⁸ Vgl. Koller (2005), S. 25.

⁵⁹ Hull (2011), S. 298.

⁶⁰ Vgl. Hull (2011), S. 298.

⁶¹ Vgl. Bonke (2007), S. 99.

⁶² Vgl. Deutsch (2008), S. 7ff, 361.

⁶³ Vgl. Alexander (1998), S. 92; Hull (2011), S. 299; Jorion (2007), S. 263; Smithson, Minton (1997), S. 28.

⁶⁴ Vgl. Alexander (1998), S. 92; Hull (2011), S. 300.

⁶⁵ Vgl. Neumann (2000), S. 52.

⁶⁶ Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]folgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

⁶⁷ Vgl. Hull (2011), S. 298.

⁶⁸ Die Umrechnung des 1-Tages Value-at-Risk auf eine beliebige Haltedauer T kann mittels der folgenden Wurzel-Formel erfolgen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , vgl. Dowd (1998), S. 65; Hull (2011), S. 198; Steiner, Bruns (2002), S. 61.

⁶⁹ Vgl. Eisele (2004), S. 123; Scherpereel (2005), S. 50.

⁷⁰ Vgl. Scherpereel (2005), S. 50.

⁷¹ Vgl. Eisele (2004), S. 125.

⁷² Vgl. Beinker, Deutsch (1999), S. 169; Jorion (2007), S. 265.

⁷³ Vgl. Eisele (2004), S. 125.

⁷⁴ Vgl. Bizjak (2011), S. 43.

⁷⁵ Vgl. Beinker, Deutsch (1999), S. 162; Eisele (2004), S. 72.

⁷⁶ Vgl. Alexander (1998), S. 93; Hull (2011), S. 304.

⁷⁷ Mögliche Schätzverfahren (EWMA oder GARCH Modell) finden sich im Kapitel 3.5 dieser Arbeit. Für eine Kombination dieser Modelle mit der historischen Simulation sei auf die Literatur verwiesen, u.a. in Hull (2011), S. 305ff.

⁷⁸ Vgl. Alexander (1998), S. 79; Eisele (2004), S. 124f.

⁷⁹ Vgl. Christoffersen (2009), S. 754.

⁸⁰ Vgl. J.P.Morgan/Reuters (1996) ; Scherpereel (2005), S. 45.

⁸¹ Vgl. Bonke (2007), S. 97; Steiner, Bruns (2002), S. 59.

⁸² Vgl. Jockusch (2001), S. 47.

⁸³ Vgl. Hull (2011), S. 197; Jorion (2007), S. 111; Penza, Bansal (2001), S. 69.

⁸⁴ Vgl. Hull (2011), S. 320.

⁸⁵ Vgl. Alexander (1998), S. 80; Jorion (2007), S. 111, 128.

⁸⁶ Vgl. Beinker, Deutsch (1999), S. 159.

⁸⁷ Vgl. Alexander (1998), S. 81; Dowd (1998), S. 47; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 11; Jockusch (2001), S. 48; Jorion (2007), S. 162, 261.

⁸⁸ Vgl. Alexander (1998), S. 203.

⁸⁹ Vgl. Bonke (2007), S. 102.

⁹⁰ Für die Beschreibung des Delta-Gamma-Ansatzes sei auf die Literatur verwiesen, u.a. in: Alexander (1998), S. 85ff; Bizjak (2011), S. 32f; Dowd (1998), S. 68ff; Hull (2011), S. 331ff; J.P.Morgan/Reuters (1996), S. 13f.

⁹¹ Jockusch (2001), S. 51.

⁹² Vgl. Bonke (2007), S. 103.