Leseprobe
Inhaltsverzeichnis
Danksagung
Vorwort
1) Allgemeines
1.1) Mathematische Zahlen und Symbole
Dezimalbezeichnungen
Römische Ziffern und Zahlen
Mathematische Symbole
1.2) Mengenlehre
Begriff
Mengenalgebra
Potenz- und Wurzelrechnung
2) Folgen, Reihen und Finanzmathematik
Folgen
Reihen
Finanzmathematik
Berechnung von Barwerten und Endwerten etc
Abweichung vom Standardfall
Zinseszinsrechnung bei regelmäßigen Zahlungen
Barwert und Dauer von Rentenzahlungen
Barwert
Dauer, Ausgleichszahlung
Tilgung einer Schuld durch konstante Tilgungsbeträge und durch konstante Annuitäten
Tilgung mit konstanter jährlicher – Annuität
Tilgung mit konstanten Annuitäten
3) Gleichungssysteme
Lineare algebraische Gleichungen
4) Differentialrechnung
Begriffe
Scheitelpunktform
Ordnung von Nullstellen
Bestimmung von nicht-definierten Punkten
Monotonie
Extrem- und Wendepunkte
5) Preiselastizität
vollkommen elastisch
sehr elastisch
proportional elastisch
unelastisch
vollkommen unelastisch
isoelastisch
6) Lösungen
Quellenverzeichnis:
Danksagung
Bedanken möchte ich mich insbesondere bei Herrn Prof. Dr. D. Greiner, der mir bei dieser Ausarbeitung zur Seite Stand und mit Rat dieses Skript unterstützte.
Vorwort
In diesem Skript sollen speziell die Inhalte der Mathematik im Bereich der Wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge abgestimmt vermittelt werden. Es richtet sich an Studierende, die nicht-„bodenständige“ Studiengänge absolvieren.
Die unter dem Punkt „1a“ aufgeführten mathematischen Zahlen und Symbole dienen der Wiederauffrischung der mathematischen Voraussetzung und sind erforderlich für dieses Skript.
Der Aufbau des Skriptes ist so konzipiert, dass es möglich ist, in der Selbstlernphase diese Inhalte zu erlernen.
Nach einigen Teilbereichen befinden sich Übungsaufgaben, die zur Selbstüberprüfung dienen. Die Lösungen befinden sich am Ende des Skriptes.
1) Allgemeines
1.1) Mathematische Zahlen und Symbole
Dezimalbezeichnungen
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Römische Ziffern und Zahlen
Die Zeichen I, X, C, M dürfen höchstens dreimal, V, L, D, A nur einmal nebeneinander verwendet werden. Die Zeichen werden von links nach rechts addiert (VII=7), steht eine kleinere Ziffer vor einer größeren, so wird diese abgezogen.
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1.2) Mengenlehre
Begriff
Mengen, Elemente:
Die Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Dingen zu einem Ganzen nennt man eine Menge. Diese Dinge heißen Elemente. Man bezeichnet Mengen mit großen Buchstaben wie z.B.: A, B, C. Elemente hingegen mit kleinen Buchstaben wie z.B.: a, b, c. Will man aussagen, dass ein Element a zu einer Menge M gehört, so schreibt man . Gehört ein Element b nicht zur Menge M, so schreibt man . Elemente können gegenständliche oder gedachte Dinge sein wie z.B. Zahlen.
Beispiel:
Gegeben sei die Menge: M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} und die Elemente a={6} und b={8}, dann ist a ein Element von M. In der Mengenschreibweise sieht dies wie folgt aus: , jedoch ist das Element aus b keine Teilmenge von M und wird in der Mengenschreibweise wie folgt dargestellt:
bedeutet, dass a ein Element von B ist.
ist eine einelementarige Menge, bestehend aus nur einem Element.
ist eine zweielementarige Menge, bestehend aus den Elementen a und b.
Gleichheitsrelation
A = B
Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben, d.h. wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt, d.h. jedes Element von B auch Element von A ist.
Wenn A = B ist, dann folgt daraus auch B = A.
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Teilmengenrelation
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Eine Menge ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und wenn gleichzeitig die Menge A B ist, d.h. wenn in B Elemente existieren, die nicht Elemente von A sind, dann ist A eine echte Teilmenge von B (A B).
Bsp.:
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Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge:
Schnittmenge
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Vereinigungsmenge
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Komplementmengen
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Wenn A Teilmenge von E ist, dann ist die Komplementmenge die Menge aller Elemente die zu E gehören aber nicht zu A.
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Differenzmenge
Die Differenzmenge A \ B ist die Menge aller Elemente, die nicht zur Durchschnittsmenge von A und B gehören:
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Produktmenge
Die Produktmenge A x B ist die Menge aller Paare, deren erstes Element zu A und deren zweites Glied zu b gehören.
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Potenzmenge P(a)
Die Potenzmenge P(a) ist die Menge aller Teilmengen einer Menge A.
Bsp.:
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Mengenalgebra
Wenn A, B, C Teilmengen einer Grundmenge E sind, dann gelten folgende Gesetze:
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Übersicht der mengentheoretischen Sprechweisen und Operationen
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Aufgaben Mengenlehre
1) Welche der folgenden Mengen ist gleich der Nullmenge?
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2) U sei die Universalmenge {}. Bestimmen Sie das Kompliment folgender Mengen:
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3) Gegeben seien die Mengen
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a) Welche beiden dieser Mengen sind einander gleich?
b) Die Menge C ist die Teilmenge welcher Menge?
4) Gegeben seien die Mengen
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Man bilde:
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1.3) Zahlenbereiche, Arithmetik, Algebra
= {1, 2, 3, 4,} ist die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null. Gelegentlich wird auch hier die Null mit hinzugezogen. Um Unklarheiten zu vermeiden, sollte man deshalb folgende Präzisierung schreiben.
= = {0, 1, 2, } ist die Menge der natürlichen Zahlen mit Null.
= {..,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .} ist die Menge der ganzen Zahlen.
die Menge der rationalen Zahlen (alle Brüche, wobei „a“ und „b“ ganze Zahlen sind und „b“ nicht Null ist)
die Menge der reellen Zahlen (alle rationalen Zahlen und alle irrationalen Zahlen, wie z.B. 3,1459265, was die Zahl darstellt).
die Menge der komplexen Zahlen (alle Zahlen, die in der Form geschrieben werden können, wobei „ “ die imaginäre Einheit bezeichnet und „a“ sowie „b“ reelle Zahlen sind).
Es besteht folgende Beziehung zwischen den Zahlenbereichen:
Potenz- und Wurzelrechnung
Potenz
Potenz ist eine Kurzschreibweise für Multiplikationen, die nur aus gleichen Faktoren bestehen. Z.B. bedeutet, dass die Zahl 2 insgesamt 4- mal mit sich selbst multipliziert wird. Dieses Produkt wird dann abgekürzt mit der Schreibweise , Potenz genannt und „ 2 hoch 4“ ausgesprochen. Eine Potenz besteht immer aus der Grundzahl (oder Basis), der Hochzahl (oder Exponenten) und das Ergebnis wird Potenzwert genannt.
Potenzieren mit Null ergibt immer den Potenzwert 1.
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Potenzieren mit 1 ergibt immer den Wert der Basis.
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Potenzregeln
Ein Produkt aus zwei gleichen Grundzahlen mit verschiedenen Exponenten kann in eine Potenz aus der Grundzahl mit der Summe der Exponenten umgewandelt werden und umgekehrt.
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Ein Produkt aus zwei verschiedenen Grundzahlen mit dem gleichen Exponenten kann in eine Potenz mit dem Produkt der Grundzahlen mit dem gemeinsamen Exponenten umgewandelt werden und umgekehrt.
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Wurzel
Die n-te Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, deren n-te Potenz wiederum die Zahl a ergibt.
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So ergibt die dritte Wurzel aus 8 die Zahl 2, die dritte Potenz von 2 ist wiederum 8.
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In diesem Beispiel stellt die Zahl acht den Radikanten dar und die drei ist der Wurzelexponent.
Bei der Quadratwurzel wird der Wurzelexponent (zwei) oft auch weggelassen.
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Die Definition der Wurzel legt fest, dass die Wurzel eines positiven Radikanten wieder eine positive Zahl ist.
Das Ergebnis wohingegen das Ergebnis einer entsprechenden Gleichung zwei Lösungen haben kann.
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Schreibweise der Wurzel als Potenz
Eine Wurzel kann auch als Potenz mit einem Bruch als Exponent geschrieben werden.
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