Preisbildung von Stromforwards

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen der Forward Curve

3 Grundmodell einer Forward Curve
3.1 Dynamik der Forward Curve
3.2 Schätzung der Volatilitätsfunktionen
3.2.1 Historische Schätzung
3.2.2 Volatilitätsfunktionen unter Einbeziehung saisonaler Effekte

4 Mehrfaktorenmodelle
4.1 Beziehung zwischen Forward Curve und ”Spot“-Preis-Modellen
4.2 Alternative stochastische Prozesse
4.2.1 Mean Reverting Prozesse
4.2.2 Sprungprozesse

5 Marktbewertete Optionspreise
5.1 Optionen auf den ”Spot“-PreisfürEnergie
5.2 Optionen auf Forwards für Energie
5.3 Modellkalibrierung

6 Zusammenfassende Erläuterungen

A Abkürzungsverzeichnis I

B Abbildungsverzeichnis II

C Mathematischer Apendix III
C.1 Beschreibung der Principal Components Analysis: PCA III
C.2 Bestimmung des Forwardkurses (zum Zeitpunkt t mit Fälligkeit T) VII
C.3 Herleitung des ”Spot-Preis-Prozesses“imEin-Faktor-ModellVIII

D Literatur X

1 Einleitung

Mit der Entstehung der Europäischen Union und einer damit seit Anfang der 90-er Jahre verbundenen Deregulierung von Energiemärkten, ist eine Verschärfung der Konkurrenz um die Erzeugung und Verteilung von Strom zu beobachten. Unabhängig von länderspezifischen Methoden und Umfang von Deregulierungsmaßnahmen treten immer wieder eine Reihe von typischen Problemen eines Strommarktes auf. Hierzu zählen unter anderem eine hohe Volatilität und sprunghafte sowie relativ kurzzeitige Steigerungen in den Forward- Preisen für Strom, die die Preisbestimmung wesentlich erschweren. Solche Effekte haben einen negativen Einfluß auf den Stromhandel, da die Termingeschäfte durch ein hohes Geschäftsrisiko belastet werden und somit ein ökonomisch sinnvoller Energieaustausch zwischen den Marktteilnehmern verhindert wird.

Zu den Ursachen der Effekte zählen u. a. die Nichtlagerfähigkeit von Energie und die Preisunempfindlichkeit des Bedarfs.^[1] Es ist wichtig, sich zu verdeutlichen, daß eine Speicherung nur indirekt, durch die Lagerung der notwendigen Brennstoffe, wie z.B. Gas und Öl, gewährleistet werden kann. Diese Brennstoffe beeinflussen wiederum, in Abhängigkeit von ihrer Effizienz (Heat Rate), den Angebotspreis für Elektrizität (Strom).^[2] Insbesondere bei Gaspreisen zeigt sich eine starke Korrelation zu den Elektrizitätspreisen. Dieser Umstand war besonders in den ersten Phasen des Handels von besonderer Bedeutung, da regulierte Märkte bzw. Strombörsen, an denen Kontrakte jeglicher Art hätten gehandelt werden können, fehlten. Existiert z.B. kein Terminmarkt für das entsprechende Produkt (wie z.B. in Ländern ohne Strombörse), kann eine näherungsweise Absicherung durch einen Kauf bzw. Verkauf von Futures auf Waren mit hoher Preiskorrelation zum Strompreis erfolgen. Für Länder mit hohem Gasanteil bei der Stromerzeugung, könnten dies z.B. Gasfutures sein. Eine solche Vorgehensweise wird als Cross- Hedging bezeichnet.^[3] So kann man in Deutschland erst ca. seit 2000 vom Handel an der EEX sprechen. Ein wesentliches Problem besteht also darin, daß auf langfristige Zeitreihen (für Strom) nicht zurückgegriffen werden kann bzw. die Vergleichbarkeit zumindest über längere Zeiträume noch unzureichend gegeben ist. Vor diesem Hintergrund scheint es zumindest nicht völlig abwegig auch den Weg über andere Underlyings (eben solche mit hoher Preiskorrelation) zu beschreiten und zu beschreiben.

Zur Bestimmung der Preisentwicklung bieten sich zwei Wege an. Der erste Weg verwendet historische Zeitreihenanalysen, der zweite marktbewertete Optionspreise. In dieser Arbeit werden beide Wege aufgezeigt, der Schwerpunkt liegt allerdings bei der historischen Analyse und der damit verbundenen Modellierung einer Forward Curve.

Das größte Problem in diesem Zusammenhang besteht darin, daß die ForwardPreise endogen durch die

”Spot“-Preis-Dynamikgegebensindundsomit die theoretischen Forward- Preise nicht denen, die auf dem Markt beobachtet werden können, entsprechen. Ein Grund, der schon an dieser Stelle genannt werden soll, ist die Verwendung einer relativ geringen Anzahl von Einflußfaktoren für die Bestimmung der gesamten Forward Curve.

2 Grundlagen der Forward Curve

In dieser Arbeit wird die Forward Curve als Grundlage für das Einpreisen und Hedging von Energiederivaten angesehen. Speziell EVU‘s könnten diese Kurve dazu nutzen, Preise, die tatsächlich nahe an den Abgabepreisen für Strom an die Endkunden liegen, zu kalkulieren. Die Ergebnisse beruhen unter anderem auf Kursen von Forward/Future- Kontrakten, Erwartungen bezüglich des künftigen Niveaus der Kurse und saisonalen Mustern historischer ”Energiekurse“.DabeiwerdenhistorischeKursefürWarenbetrachtet, die wie beim Cross- Hedging gefordert, eine hohe Preiskorrelation mit Strompreisen aufweisen. Auf der anderen Seite werden aber auch historische Kurse direkt vom Gut Strom, was durch die Einführung verschiedener Stromhandelsplätze wie der EEX in Frankfurt und der ältesten Strombörse, der Nord Pool in Oslo, möglich geworden ist, betrachtet. Ergebnisse der Arbeiten von Clewlow/Strickland (Futures Curve auf Gas/ Öl) sowie auf der anderen Seite von Koekebakker/Ollmar (Futures Curve auf Strom) ergeben ähnliche Ergebnisse im Hinblick auf die Modellierung bzw. Form der Futures- bzw. Forward Curve.

Warum ist es aber wichtig, eine Struktur für die Preisentwicklung zu kennen? Die flächendeckende und schwankungsfreie Versorgung^[4] eines geöffneten Strommarktes ist ein wichtiger wirtschaftlicher Erfolgsfaktor für Energieversorgungsunternehmen (EVU). Die folgende Abbildung 1 auf Seite 5 soll dem Leser einen Überblick über die Absicherung des Strombezugs innerhalb eines Tages über verschiedene Kontraktformen näherbringen.

Wie zu erkennen ist, wird ein Großteil des Strombedarfs über langfristige OTC- Verträge abgewickelt. Somit sollte die Notwendigkeit einer möglichst genauen Bestimmung der Forward Curve besser verständlich sein, da über diese bestimmte Effekte besser zu erkennen sein sollen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Beispielhafte Strombezugsstruktur eines EVU im liberalisierten Strommarkt.

Wie schon beschrieben gibt es verschiedene Triebkräfte für die Forward Curve. Die internen Bewegungen sind Gegenstand des nächsten Abschnitts. Zu diesem Zeitpunkt sollen zunächst kurz die allgemeingültigen Charakteristika aufgezeigt werden. Zu diesen Charakteristika zählt zum einen ein sogenannter Mean Reverting Prozeß. Dieser ist ein zeitdiskreter Prozeß, der sich auf ein bestimmtes Intervall bezieht. Aus diesem Prozeß ist ein langfristiger Trend der Preise zu erkennen, die zu einem Mittelwert hin tendieren. Dieser kann sich im Laufe der Zeit allerdings verändern (verschieben). Der Mittelwert wird über Marktdaten bestimmt wie z.B., die Kosten der Produktion, dem Nachfrageniveau und der Stärke des Wettbewerbs. Bei der späteren Betrachtung der verschiedenen Modelle gibt der Mean Reverting Parameter darüber Auskunft, wie schnell sich die Preise (z.B. für eine MWh) wieder an einen Mittelwert anpassen. Empirische Untersuchungen haben gezeigt,^[5] daß dieser Parameter für unterschiedliche Länder auch unterschiedliche Werte annimmt.^[6]

Eine weitere Grundlage bildet die Heteroskedastizität, d.h. die Volatilität ist im Zeitablauf nicht konstant, sondern zeitabhängig. Grundsätzlich steigt die Volatilität mit dem Preis. Es gilt für die Volatilität von Forwardkursen, daß diese steigt, je weiter der Fälligkeitszeitpunkt des Kontraktes in der Zukunft liegt, bzw. sinkt je enger das Datum des Vertragsabschlusses und der Fälligkeitstermin zusammenliegen. Diese Aussagen müssen allerdings im jeweiligen Kontext betrachtet werden. So ist es ebenfalls möglich, daß kurzfristige Einflüsse die Volatilität von relativ kurzfristigen Kontrakten beeinflussen aber kaum Auswirkungen auf längerfristige Kontrakte bzw. deren Volatilität zeigen. Es kann außerdem empirisch gezeigt werden^[7], daß es saisonale Variationen in Preisniveau und Volatilität gibt, die unter anderem auf zyklische Fluktuationen in Angebot und Nachfrage zurückzuführen sind. Ein weiterer Punkt, den es evt. zu beachten gilt, sind sogenannte Sprünge (Jumps, Spikes), die den Verlauf der Forward Curve beeinflussen.^[8] Für die zeitliche Entwicklung der Preise kann von einem normalverteilten Random Walk ausgegangen werden, dessen zeitstetige Verallgemeinerung die Brownsche Bewegung darstellt. Für die Modellbildung ist es ebenfalls wichtig zu wissen, daß diese Bewegung einen Markov Prozeß darstellt. D.h. dieser Prozeß hat die Eigenschaft, kein Gedächtnis in die Betrachtung mit einzubeziehen. Somit werden die Verteilungseigenschaften der zukünftigen Wertentwicklung allein durch die aktuellen Werte und nicht durch vergangene Werte beeinflußt. Ein zeitdiskreter Markov Prozeß stellt dabei eine so genannte Markov Kette dar. Markov Ketten beschreiben ein System durch alle möglichen Zustände und zeitlichen Übergänge von einem Zustand in den Anderen.

Im nächsten Abschnitt werden grundlegende Methoden, sowie wesentliche Erkenntnisse, die für die Beschreibung der Forward Curve und der Frage nach den Preisen benötigt werden, vorgestellt. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die Bewegungen der Kurve und die diese verursachenden Faktoren gelegt. Auch dabei sind die Ergebnisse des Strommarktes auf den für Gas/Öl in wesentlichen Punkten zu übernehmen (bzw. umgekehrt).

3 Grundmodell einer Forward Curve

In diesem Abschnitt sollen die Grundlagen für die Enwicklung einer Formel gelegt werden, die die Forward Curve darstellen kann. Ziel ist es, über die Modellierung dieser Kurve Aussagen über Strukturen in den Preisen für Strom bzw. Gas/ Öl zu treffen, um damit eine bessere Aussage über künftige Strompreise zu ermöglichen. Zusätzlich bietet die Kurve eine Möglichkeit für die Stromerzeuger bzw. EVU‘s jährliche (bzw. u.U. tägliche) Schwankungen frühzeitig zu erkennen und mögliche Kosten evt. auf die Abnehmer umzulegen oder langfristige Kontrakte zur Preisabsicherung einzugehen. Zunächst werden dabei nur wenige Restriktionen verarbeitet, die später bei weiteren Granularisierungen des Problems, der Bestimmung der Kurve, immer mehr erweitert werden. Die Betrachtung erfolgt zuerst in einem risikoneutralen Umfeld um die Derivate einzupreisen. Dabei wird vorläufig keinerlei Drift der Kurve unterstellt. Für eine erste Betrachtung wird von folgender einfachen stochastischen Differentialgleichung ausgegangen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei gibt F(t, T) den Preis des Forward zum Zeitpunkt t mit Fälligkeit T an. σe−α(T−t) stellt die Volatilitätsfunktion dar^[9] und dz(t) eine vorerst unbestimmte Risikoquelle (Brownsche Bewegung), die ebenfalls den Verlauf der Kurve beeinflußt. Der Form der Volatilitätsfunktion ist eine negative exponentielle Entwicklung zu entnehmen, was impliziert, daß die Volatilität der Erträge aus kurzfristigen Terminkontrakten höher ist, als bei Erträgen aus längerfristig datierten Kontrakten. (Es wird davon ausgegangen, daß sich heutige Ereignisse zwar stark auf die kurzfristig anfallenden Kontrakte auswirken aber kaum auf solche, die ein Fälligkeitsziel von mehreren Jahren in der Zukunft haben.) σ gibt dabei vorläufig die Gesamtvolatilität der Forward Curve an, die aus Marktdaten bestimmt wird. α ist ein konstanter Faktor, der bestimmt, wie stark sich die Volatilität der Forward Curve mit steigender Fälligkeit verändert.

3.1 Dynamik der Forward Curve

Die Dynamik der Forward Curve beruht auf der, bzw. den entsprechenden Volatilitätsfunktionen.^[10] Um die Form und Qualität der Volatilitätsfunktionen bestimmen zu können, werden entsprechende Marktdaten für Terminkontrakte betrachtet.

In Abbildung 2 auf Seite 8 wird die Entwicklung der Struktur der Futures Curve (mit Underlying Rohöl) im Zeitraum zwischen Januar 1999 und Juni 1999 an der New York Mercantile Exchange (NYMEX) in Abhängigkeit von Endfälligkeiten der einzelnen Terminkontrakte betrachtet. Für diese Darstellung wird auf Futures zurückgegriffen, da diese im Gegensatz zu Forwards nicht individuell ausgehandelt werden, sondern standardisierte Terminkontrakte darstellen. Auf der ersten Achse (y) wird jeweils das Datum abge tragen, an dem die Kurve für die unterschiedlichen Fälligkeiten beobachtet wurde. Achse zwei (x) spiegelt die Fälligkeiten der Terminkontrakte zwischen einem und vierundzwanzig Monaten wider. Die horizontale Achse (z) gibt den entsprechenden Marktpreis des Termingeschäfts wider. Es ist deutlich zu erkennen, daß die Kontrakte mit kürzerer Fälligkeitsstruktur volatiler sind als die mit späterer Fälligkeit. Es ist ebenfalls zu erkennen, daß die Struktur der Bewegung der ”ForwardCurve“deutlichkomplexerseinmuß,alsdiesdie allgemeine Gleichung mit vermuten läßt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Entwicklung der Kontraktdaten für Öl an der NYMEX.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um diesen Eindruck zu verstärken, sei auf Abbildung [3] auf Seite [9] hingewiesen, die synonym zu Abbildung [2] die entsprechenden Terminkontrakte, hier jedoch mit Underlying Gas, betrachtet. Deutlich erkennbare saisonale Schwankungen deuten auch hier auf eine ausgeprägt komplexe Struktur hin. Bislang wurden lediglich die Forward Curves für Waren mit hoher Preiskorrelation zu Strom betrachtet. Die Abbildung [4] auf Seite [9] zeigt eine Forward Curve (Futures Curve) mit Underlying Strom.

Auch hier sind, wie bereits beim Underlying Gas zu sehen war, deutliche Schwankungen in den Preisen für Strom bei Terminkontrakten mit verschie denen Fälligkeiten zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Entwicklung der Kontraktdaten für Gas an der NYMEX.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Entwicklung der Kontraktdaten für Strom an der Nord Pool in Norwegischen Kronen.

Um die Schwankungen in den Futures Preisen für Strom noch deutlicher zu erkennen, sei auf Abbildung 5 auf Seite 10 hingewiesen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Entwicklung der Futures Preise f¨ur Strom an der Nord Pool in Norwegischen Kronen.

Der deutliche Einbruch der Preisentwicklung zu Beginn des Jahres 1997 ist mit der Deregulierung des Norwegischen bzw. Skandinavischen Marktes für Strom in diesem Jahr zu erklären. Der gesunkene Preis stellt eine mit der Deregulierung verbundene Möglichkeit dar, den Anbieter für Strom frei zu wählen. Außerdem ist wiederum eine deutliche, jahreszeitlich bedingte Struktur, mit hohen Winter- und niedrigen Sommerpreisen zu erkennen. Ein weiterer schon angesprochener Punkt ist ebenfalls der Darstellung zu entnehmen. Für langfristig datierte Verträge scheinen die kurzfristigen Volatilitätsschwankungen keinen übergroßen Einfluß zu haben. In der Abbildung 5 bedeutet dies, daß der Verlauf der

”Preisfunktion“fürlängerfristige

Kontrakte in einem engeren Range verläuft als bei den kurzfristig datierten

Kontrakten (gepunktete bzw. gestrichelte Linie).

Ein Blick auf die Erträge aus den Termingeschäften bzw. deren anualisierte Standardabweichungen in Bezug auf die Fälligkeitszeitpunkte, läßt einen Blick auf die Gesamtvolatilitätsstruktur zu.^[11]

[...]

^[1] siehe BRI02, Seite 1

^[2] vgl. Che99, Seite 4ff

^[3] vgl. Nab99, Seite 9

^[4] Schwankungsfrei bezieht sich sowohl auf zeitliche Indifferenzen, als auch auf Preisliche.

^[5] siehe Bla01 und Koe01

^[6] Eine ausführliche Beschreibung des Mean Reverting Prozesses findet sich in Abschnitt 4.2.1 auf Seite 18.

^[7] vgl. Koe01

^[8] vgl. Luc01, Seite 25

^[9] Gleichung 1 ist bereits die Spezialisierung einer allgemeinen Formel mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

^[10] Wie viele Volatilitätsfunktionen verwendet werden, hängt von der Wahl des Modells ab. Bereits in diesem Abschnitt wird erläutert, daß es voraussichtlich mehrerer Funktionen bedarf.

^[11] Hier wieder für Underlying Gas bzw. Öl.