Deconvolución de las señales ultrasónicas en la evaluación no destructiva


Tesis Doctoral / Disertación, 2006

148 Páginas, Calificación: Summa cum laude


Extracto

ÍNDICE

AGRADECIMIENTOS

SÍNTESIS

LISTA DE TABLAS

LISTA DE FIGURAS

GLOSARIO
0.1. Acrónimos y Terminolog
0.2. Operadores xi
0.3. S´ımbolos xi

INTRODUCCIÓN

1. ACTUALIDAD EN LA DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES ULTRASÓNICAS
1.1. Introducción
1.2. El sistema ultrasónico
1.3. Modelo convolucional
1.4. Discusión sobre la deconvolución de señales ultrasónicas .
1.4.1. Formulación discreta de la deconvolución
1.4.2. Técnicas para la estimación del pulso ultrasónico
1.4.3. Análisis espectral de orden superior: HOSA
1.4.4. Del filtro de Wiener al concepto ForWaRD
1.5. Conformación de imágenes acústicas
1.5.1. El algoritmo SAFT
1.6. Conclusiones parciales

2. DESARROLLO DEL MÉTODO DE DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES ULTRASÓNICAS
2.1. Introducción
2.2. Método de estimación del pulso ultrasónico
2.2.1. Estimación del pulso: simulaciones
2.2.2. Estimación sobre un pulso variante en el tiempo
2.3. Deconvolución usando el filtro de Wiener clásico . .
2.4. Modelo de deconvolución propuesto
2.4.1. Deconvolución de Fourier regularizada
2.4.2. El desarrollo wavelet
2.4.3. Encogimiento wavelet y ForWaRD
2.4.4. El algoritmo ForWaRD
2.5. Estimación de la respuesta del medio: simulaciones
2.5.1. Estimación basada en ForWaRD
2.6. Prueba de gaussianidad de la función de reflexividad
2.7. Cuantificación de la ganancia de resolución axial . .
2.8. Desarrollo del método SAFT
2.8.1. El algoritmo SAFT: simulaciones
2.9. Conclusiones parciales

3. DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES EN LA END
3.1. Introducción
3.2. Estimación del pulso ultrasónico: caso real
3.3. Deconvolución en señales ultrasónicas en metales .
3.4. Sistema experimental para la estimación del pulso
3.4.1. Estimación del pulso en matrices
3.5. Sistema experimental
3.5.1. Experimento SAFT
3.6. Discusión y conclusiones parciales

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANEXOS
A. Sobre el estado del arte
A.1. Sistema ultrasónico básico
A.2. Demostración de la ecuación (1.4.9)
B. Costo computacional
B.1. Reportes algoritmo HOSA
B.2. Reportes algoritmo ForWaRD
B.3. Reportes algoritmo SAFT
C. Estimación del parámetro de regularización
D. Sistema experimental
D.1. Ensayos sobre patrón fabricado
D.2. Experimentos SAFT
D.2.1. Pasos intermedios en la estimación del pulso
D.2.2. Etapas del algoritmo de conformación

AGRADECIMIENTOS

Mi más sincero agradecimiento al Dr. Howland, por su apoyo e interés en el desarrollo de esta investigación; al Dr. Eduardo Moreno, por su gu´ıa en el campo de la f´ısica y al Dr. Rubén Orozco, quien ha sido ya con este trabajo el tutor de mi carrera cient´ıfica

A la Dirección de Desarrollo Tecnológico del MICONS, por el financiamiento de esta investigación

A los colaboradores del Laboratorio de metales CENEX, por proporcionar las muestras en metales y los casos prácticos

Agradezco a los amigos del Dpto. de Informática de la UCf, por su apoyo; a los del CEETI y el ICIMAF, por hacerme sentir siempre como uno más de ellos

Al Dr. Julián Luciano Cárdenas, por su ayuda en cada consulta y a los revisores, Dr. Alberto Taboada y Dr. Manuel Rodr ıguez, por su cr ıtica educativa, exhaustiva y acertada.

Finalmente deseo agradecer a mi esposa y a los amigos, que me han ayudado en los momentos de tensión.

Cienfuegos, Cuba. Enero del 2006 Roberto Henry Herrera

SÍNTESIS

En este trabajo se presenta una aplicación del procesamiento digital de señales en la Evaluación no Destructiva, espec´ıficamente en los ensayos por ultrasonidos a metales.

El objetivo se orienta a brindar técnicas de procesamiento digital de señales ultrasónicas que permitan mejorar la estimación de la respuesta del medio, facilitando la interpretación de los ensayos, centrado en la obtención de parámetros que permitan una determinación más precisa de los defectos, como la resolución y la relación señal a ruido. El análisis de los métodos reportados en la literatura conduce a la generación de imágenes acústicas como objetivo de las investigaciones actuales. Una de las etapas fundamentales en la conformación de imágenes, por su relación con la resolución axial, es la deconvolución de las señales tomadas por los arreglos de transductores; en este bloque del sistema de conformación se reporta la novedad de esta investigación: la parametrización wavelet del filtro inverso, que recupera la información del medio ensayado a partir de la señal obtenida.

El método de deconvolución propuesto mejora la resolución temporal, y la incorporación de la etapa de estimación del pulso permite el trabajo en ambiente de deconvolución ciega, mostrando ventajas en relación con otros métodos reportados en la literatura especializada. Estos resultados crean las bases para una nueva perspectiva en los ensayos ultrasónicos en nuestro pa ıs, brindando algoritmos y métodos susceptibles de escalado a nivel de campo.

LISTA DE TABLAS

2.1. Pseudo-código para la estimación del pulso

2.2. Comparación de valores MSE en la estimación del pulso

2.3. Pseudo-código del algoritmo ForWaRD

2.4. Valores MSE e incremento de la SNR (ISNR)

2.5. Prueba de gaussianidad de la función de reflexividad

2.6. Ganancia de resolución axial después de la deconvolución

2.7. Ganancia de resolución axial y lateral

LISTA DE FIGURAS

1.1. Sistema eco-impulso

1.2. Esquema del modelo convolucional

1.3. Deconvolución Wavelet-Vaguellete

1.4. Deconvolución Fourier-Wavelet regularizada

1.5. Modelos de focalización

1.6. Proceso de suma coherente

1.7. Principio SAFT

2.1. Pulso modelado y su espectro de potencia

2.2. Simulación del pulso y la función de reflexividad

2.3. Pulsos estimados usando HOSA

2.4. Simulación del pulso y la función de reflexividad

2.5. Valores MSE de los pulsos estimados sobre 1 000 señales

2.6. Señal simulada para el proceso de deconvolución

2.7. Deconvolución usando el filtro de Wiener y ASE

2.8. Deconvolución usando el filtro de Wiener parametrizado y ASE

2.9. Deconvolución con SNR = 7 dB, usando Wiener y ASE

2.10. Espectros de potencia de la estimación Wiener y del modelo propuesto.

2.11. Función de reflexividad estimada por Wiener + wavelet

2.12. Funciones wavelets DB12 y DB4

2.13. Autocovarianza de las señales

2.14. Principio básico del SAFT

2.15. Procesamiento SAFT

2.16. Funciones de autocovarianza de las imágenes

3.1. Señal adquirida del patrón STBA1

3.2. Pulso estimado usando HOSA sobre la señal del patrón STBA1

3.3. Estimación de la respuesta del medio. Patrón STBA1

3.4. Estimación de tres ecos cercanos

3.5. Señales RF A-scan de la matriz

3.6. Respuesta impulsiva estimada

3.7. Imagen original del patrón

3.8. Segmento de la señal y 300 y la deconvolucionada

3.9. Funciones de autocovarianza de la señal y 300 y la deconvolucionada.

3.10. Imagen deconvolucionada y con procesamiento SAFT

3.11. Funciones wavelets creadas del pulso estimado.

A.1. Sistema ultrasónico básico

B.1. Reporte función bicepstrum

B.2. Reporte de pasos internos bicepstrum

B.3. Reporte de ForWaRD

B.4. Reporte de pasos internos SAFT

C.1. Valores MSE vs parámetro τ

D.1. Sistema experimental en los ensayos

D.2. Patrón STAB1

D.3. Dimensiones del patrón STAB1

D.4. Posiciones del transductor para la evaluación. .

D.5. Esquema del patrón fabricado

D.6. Resultado de la deconvolución de dos reflectores a 60 y 70 mm

D.7. Patrón para el análisis SAFT

D.8. Sistema de adquisición de señales

D.9. Fotograf´ıa del sistema de adquisición de señales.

D.10.Biespectro de la señal RF-300

D.11.Cumulante de tercer orden, biespectro y cepstrum

D.12.Etapas de conformación del sistema SAFT

GLOSARIO

0.1. Acrónimos y Terminolog ıa

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nota: En general las palabras en otro idioma irán en cursiva y subrayadas, pero algunos términos y acrónimos en inglés se han mantenido para no perder su sentido original y porque en la literatura especializada son de uso común, por otra parte, los términos de

PDS, tales como: cepstrum, wavelets, aliasing, denoising, cepstrales, etc.; se escribirán en cursiva.

0.2. Operadores

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

0.3. S´ımbolos

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

INTRODUCCI ÓN

El propósito primario del ensayo ultrasónico en la evaluación no destructiva (END) de materiales, es extraer información de una señal modificada por las caracter´ısticas internas del medio de propagación. Un mejoramiento en los procesos y procedimientos para la extracción de parámetros de interés en la señal, que reporten mayor exactitud y fiabilidad, conduce al empleo de técnicas computacionales en la END. El principal factor de cambio en el control ultrasónico, lo constituye la aplicación de conceptos avanzados de Procesamiento Digital de Señales (PDS) a los principios originales de control, lo que brinda nuevas fuentes de información que pueden explotarse. La forma de acceder a estas fuentes de información y la obtención de nuevos detalles, caracterizan la capacidad de procesamiento de cada técnica.

En este trabajo se presenta un nuevo procedimiento para tratamiento de señales unidimensionales y la generación de imágenes acústicas bidimensionales, el cual aventaja a los reportados en la literatura especializada (Honarvar, Sheikhzadeh, Moles, & Sinclair, 2004; Yamani, Bettayeb, & Ghouti, 1997), en cuanto al incremento de la estimación temporal.

En Cuba el control ultrasónico forma parte de los ensayos convencionales tanto a metales como al hormigón, siendo este control el principal método de ensayo aplicado en la Industria Básica, ocupando también un lugar importante en los ensayos que ejecuta el Ministerio de la Construcción, en el control de la calidad e inspecciones. En los ensayos ultrasónicos se obtiene una señal de observación y (t), que es el resultado de la excitación de un pulso ultrasónico h (t), generado por un transductor piezoeléctrico, que se propaga en el material como una onda mecánica y que es modificado por las caracter´ısticas internas del medio de propagación x (t). La señal observada se obtiene por la propiedad piezoeléctrica de convertir una onda mecánica en eléctrica. Planteando este problema como un sistema lineal e invariante en el tiempo, se tendr´ıa que[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], donde el operador , identifica el proceso de convolución en el tiempo. En este trabajo se desarrollan algoritmos y métodos para extraer x (t) del modelo convolucional planteado. Los diferentes casos tratados incluyen el conocimiento o no del pulso ultrasónico emitido y la contribución del ruido a la observación.

La temática de la extracción de la función respuesta del material a partir de la señal ultrasónica, por técnicas de deconvolución, constituye una cuestión de interés en muchas investigaciones actuales (Adam & Michailovich, 2002; Donoho & Raimondo, 2005; Neelamani, Choi, & Baraniuk, 2004; Wan, Raju, & Srinivasan, 2003). Los resultados más importantes en este campo tienen como objeto de estudio la ultrasonograf´ıa médica (Taxt, 1995, 1997; Taxt & Frolova, 1999), en cambio son extrapolables a la END (Honarvar et al., 2004; Kaaresen & Bølviken, 1999). Se desarrolla, en la tesis, un algoritmo de deconvolución ciega (blind deconvolution), o sea, sin el conocimiento a priori del pulso h (t) que se aplica a las señales ultrasónicas en la evaluación no destructiva, donde h (t) se estima por estad´ısticos de orden superior. Los resultados alcanzados muestran un incremento de la resolución axial de las señales, que superan los reportes anteriores (Honarvar et al., 2004; Yamani et al., 1997). El algoritmo propuesto en este trabajo para el proceso de deconvolución, partiendo del pulso estimado, tiene su precedente en recientes investigaciones dentro del campo de la estad´ıstica matemática y las wavelets, las que han sido publicadas principalmente en (Donoho & Raimondo, 2005; Neelamani et al., 2004; Kalifa & Mallat, 2003), y en (Kalifa, Mallat, & Rougé, 2003); por lo que estamos proponiendo un aporte sustancial con la aplicación de estas investigaciones teóricas a una situación práctica, que incluye las señales unidimensionales y el procesamiento de imágenes acústicas.

La generación de imágenes acústicas, además de un profundo terreno en el campo de la f´ısica, es un tema donde el PDS se inserta como medio de mejoramiento de los parámetros influyentes en la calidad de la imagen, como la resolución y la relación señal a ruido (SNR). En este trabajo se propone un algoritmo de conformación de las imágenes obtenidas en el ensayo de Focalización por Apertura Sintética (SAFT: Synthetic Aperture Focusing Testing) (Doctor, Hall, & Reid, 1986), basado en el principio f´ısico de la propagación y reflexión del pulso ultrasónico, que incluye además técnicas de detección de envolvente y deconvolución.

A partir de lo planteado se asume como: Problema Cient ıfico

¿Cómo mejorar el proceso de obtención de la función respuesta del medio en los ensayos no destructivos por ultrasonido?

Objeto de Investigación

Procesamiento digital de señales en los ensayos no destructivos por ultrasonido. Campo de acción

Las técnicas de deconvolución para mejorar la estimación de la respuesta del medio en los ensayos no destructivos por ultrasonido.

Objetivo General

Obtener un algoritmo de deconvolución que permita mejorar la estimación de la respuesta del medio estudiado en los ensayos no destructivos.

Hipótesis

Un algoritmo de deconvolución basado en wavelets, unido a la estimación del pulso ultrasónico por análisis espectral de orden superior, permitirá mejorar la estimación de la respuesta del medio estudiado, en los ensayos no destructivos.

Objetivos espec´ıficos

- Determinar las tendencias teóricas del objeto de estudio a partir de la revisión bibliográfica.
- Elaborar técnicas de estimación del pulso ultrasónico.
- Caracterizar la respuesta del medio al pulso ultrasónico.
- Elaborar los algoritmos para la conformación de imágenes.
- Validar el algoritmo de deconvolución sobre señales unidimensionales y en imágenes acústicas.

Aportes Cient´ıficos

- Se desarrolla un algoritmo de deconvolución de las señales A-scan basado en wavelets, propuesto por primera vez en ambiente de deconvolución ciega.
- Se realiza la conformación de las imágenes B-scan, usando la deconvolución de las señales RF.

La tesis está estructurada en S ıntesis, Introducción, tres Cap´ıtulos, Conclusiones y Recomendaciones, Referencias Bibliográficas y Anexos.

Cap ıtulo 1: ACTUALIDAD EN LA DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES ULTRASÓNICAS

En este Cap´ıtulo se exponen los temas actuales en la estimación del pulso ultrasónico, desarrollados tanto para el campo médico, como en la END. Se analiza la deconvolución ciega cómo método robusto, en cuanto a la presencia de ruido y a la estimación del pulso. La deconvolución se plantea desde el modelo clásico, basado en la transformación homomórfica usando el cepstrum, hasta el empleo del filtro de Wiener con parametrización basada en wavelets. El Cap´ıtulo termina con los estudios teóricos de conformación de imágenes usando SAFT.

Cap ıtulo 2: DESARROLLO DEL MÉTODO DE DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES ULTRASÓNICAS

El Cap ıtulo 2 se dedica al análisis espectral por estad´ıstica de alto orden, como método de estimación del pulso ultrasónico, y a la deconvolución con parámetro de regularización en el filtro inverso. Se comparan los resultados usando el filtro de Wiener con extraprolación espectral autorregresiva (ASE) y la parametrización usando wavelets. Se emplean señales simuladas que describen el ensayo ultrasónico. El método de deconvolución propuesto se utiliza para deconvolucionar las señales A-scan, que conforman las matrices B-scan simuladas usando el programa FIELD II (Jensen, Mathorne, Gravesen, & Stage., 1993). Los resultados mostrados se han reportado por el autor (Herrera, Moreno, Calas, & Orozco, 2005a; Herrera, Orozco, Moreno, & Calas, 2005b).

Cap´ıtulo 3: DECONVOLUCIÓN DE SEŃALES EN LA END En el Cap ıtulo 3, se validan los algoritmos desarrollados para estimación del pulso y deconvolución en el caso de los metales. Se emplea un patrón internacional, para la comprobación de la capacidad de detección de ecos. La segunda parte de este Cap´ıtulo se centra en el análisis bidimensional de las imágenes acústicas, usando primeramente las etapas de estimación del pulso y deconvolución de las señales RF; y como paso siguiente, se presenta el método de conformación de imágenes acústicas usando SAFT. Esta parte se expone sobre experimentos, basados en medios homogéneos, que describen completamente el proceso.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Las Conclusiones brindan el análisis del alcance de los resultados de este trabajo y se comparan con lo propuesto anteriormente, haciendo énfasis en el cumplimiento de los objetivos planteados. Las Recomendaciones se centran en futuras l´ıneas de trabajo y resultados que pudieran aplicarse en otros campos de la ciencia.

Este trabajo es el resultado de siete años de investigación (1998-2005), donde se reportan 16 art ıculos cient´ıficos, publicados en revistas cubanas y extranjeras, la participación en 22 eventos cient´ıficos nacionales e internacionales de la especialidad y se han recibido once distinciones cient´ıfico-técnicas, por logros relacionados con la temática presentada en la tesis.

CAP Í TULO 1 ACTUALIDAD EN LA DECONVOLUCI Ó N DE SE Ń ALES ULTRAS Ó NICAS

En este cap´ıtulo se hace un análisis bibliográfico del estado actual del PDS aplicado a la END, espec´ıficamente a la deconvolución de señales, para el mejoramiento de la resolución temporal y la relación señal a ruido (SNR). Se analiza un conjunto de técnicas que se han empleado en este campo y las implementadas en Cuba. Se conduce, a través del análisis de los reportes de actualidad, al enfoque de la deconvolución basada en wavelets y a la generación de imágenes usando SAFT. Los algoritmos seleccionados se tratarán en los cap´ıtulos dos y tres.

1.1. Introducción

El control ultrasónico es una de las técnicas más usadas actualmente en la END de materiales (Chen, 2003), marcando sus inicios los trabajos pioneros resumidos en (Krautkrämer & Krautkrämer, 1990). Aproximadamente un cuarto de siglo atrás, los mayores esfuerzos en la END por ultrasonidos se centraban en el incremento de la resolución en la instrumentación. Para detectar los defectos más pequeños posibles, se enfatizaba en la electrónica asociada con el procesamiento analógico de la señal y en el incremento de la sensibilidad del transductor (Ramos, Sanz, & Montero, 1987). En los últimos años se ha cambiado la óptica hacia la identificación de procedimientos y procesos, que mejoren la capacidad de detección de fallas y la interpretación cuantitativa de la señal obtenida por END convencional. Una gran parte de estos cambios se basa en la aplicación de conceptos avanzados de procesamiento de señales, que se emplean en otros campos, tales como radar, sonar, ultrasonido médico y geof´ısica.

En ultrasonidos, la l´ınea fundamental del procesamiento digital de la señal está en los siguientes aspectos (Pagodinas, 2003): detección de defectos, inspección de materiales, caracterización del defecto, caracterización del transductor y el sistema ultrasónico y en generar información acerca de las propiedades del material.

La preservación de la fidelidad de la señal, entre la versión analógica y su contraparte digitalizada, requiere dedicar una cuidadosa atención a la capacidad de cuantificación, la frecuencia de muestreo y la presencia de ruido. El PDS está unido a los factores antes citados, por ejemplo: acople del transductor al sistema de adquisición; per´ıodo de muestreo y niveles de cuantificación de la señal; calibración y nivel de atenuación del material. Una incorrecta manipulación o interpretación de alguno de estos factores trae consigo la pérdida de información. La señal recibida por un transductor de END está contaminada por ruido proveniente del propio transductor, la instrumentación empleada y los efectos de propagación de la onda en el material. Las consideraciones de muestreo deben estar relacionadas con el criterio de Nyquist, fs ≧ 2 fm á x, cuando la igualdad se cumple, fs es la frecuencia m´ınima de muestreo con la cual se puede representar la señal con máximo componente de frecuencia fm á x. En ultrasonidos, fm á x está relacionada con la frecuencia central del transductor, el ancho de banda, el número de muestras a almacenar y la profundidad que se desea explorar. Los dos primeros son parámetros que brinda el fabricante; la capacidad de almacenamiento depende del sistema de adquisición de datos y el último forma parte de las dimensiones del material. El error de cuantificación se atenúa con las posibilidades del convertidor análogo-digital (C A/D) de elevada resolución.

Una evolución cronológica de los ensayos no destructivos puede encontrarse en el trabajo de Carino (1994) y su relación con lo desarrollado en Cuba se ha resumido en (Herrera & Moreno, 2004).

1.2. El sistema ultrasónico

El sistema ultrasónico básico, mostrado en la Sección A.1, presenta el inconveniente de que no permite observar la forma del pulso que llega al receptor, por lo que no se conoce la forma de la onda recibida, parámetro que en el hormigón resulta de especial interés (NC231, 2002).

La relación entre la velocidad de propagación del pulso y la resistencia a compresión del hormigón es un tema ampliamente tratado en la literatura (Ferreira & Castro, 2000; Kovler & Schamban, 1997; Popovics, Komlos, & Popovics, 1997; Sutan & Meganathan, 2003), que no será abordado en este trabajo, puesto que otros investigadores en Cuba lo han estudiado (Moreno, Garc ıa, & Castillo, 1999; Rodr´ıguez, 2000). La Regulación del Ministerio de la Construcción RC9002 (2000) y la Norma Cubana NC231 (2002) establecen estas propiedades y los factores influyentes en la velocidad de propagación. También se ha tratado recientemente en (Herrera, Gayoso, & Calás, 2002; Fadragas, Rodr´ıguez, & Bonalz, 2003). En cambio, en este cap´ıtulo se exponen las técnicas desarrolladas para mejorar la exactitud en la determinación del tiempo de propagación del pulso ultrasónico.

Otro de los métodos de interés y que será la base de la mayor´ıa de las aplicaciones que se reportan en este trabajo, es el pulso-eco o eco-impulso. Las técnicas de pulsoeco se usan para la detección de fallas por ultrasonidos en la mayor´ıa de los instrumentos comerciales (Krautkrämer & Krautkrämer, 1990).

En principio la onda ultrasónica, generada por un transductor piezoeléctrico (que puede realizar doble función: emisión y recepción) acoplado a un material, se propaga a través de la estructura y parte de su energ´ıa se refleja, si la onda encuentra una no homogeneidad o discontinuidad en su camino, mientras que la energ´ıa restante es reflejada por la cara posterior de la muestra.

Un oscilograma t´ıpico se ilustra en la Fig. 1.1. El primer pulso está asociado con la tensión inicial aplicada al transductor para generar la onda, los ecos sucesivos representan la tensión generada por la onda reflejada en la falla y en el borde del material. El eco de la falla da información de que la onda ha encontrado una discontinuidad. Por ejemplo, el tiempo medido, entre el tiempo de llegada del eco de la falla y de la frontera, se puede usar para determinar la profundidad del defecto o para medir espesor (Lazo, 1997).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figura 1.1: Sistema eco-impulso.

En realidad, las reflexiones ocurren siempre que la onda encuentre un cambio de impedancia acústica Z; y la magnitud y fase de la reflexión están dadas por el coeficiente de reflexión R, que para dos medios diferentes de propagación se toma como (McRae, 1990):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

donde Z 1, es la impedancia acústica en el medio de propagación inicial y Z 2, es la impedancia acústica del segundo medio de propagación. De esta forma, el coeficiente de reflexión R es negativo, y la onda reflejada invierte la fase con respecto a la inicial, si Z 1 es mayor que Z 2. En (Kino, 1989), se brinda una descripción detallada de los valores de impedancia acústica para diferentes medios.

La detección de ecos usando técnicas de PDS no es un concepto nuevo. El promediado de la señal, la autocorrelación y correlación cruzada, el análisis espectral y el análisis autorregresivo se han usado para el estudio de la señal ultrasónica (Herrera, 1998; Pagodinas, 2003, ver texto y referencias). Si la forma de la señal esperada de la falla se puede estimar, usando el filtro adaptado con una respuesta impulsiva que modele el eco de la falla, se obtendr´ıa una detección óptima, tema que se deriva del tratamiento analógico de las señales (Kino, 1989).

En la detección de fallas por ultrasonidos, la señal del transductor es usualmente un pulso de banda ancha modulado a la frecuencia central del dispositivo. La señal transiente está limitada en tiempo y en frecuencia, por esta razón el uso de un análisis bidimensional puede ser más apropiado (Ullate, Mart´ınez, Izquierdo, & Parrilla, 1998). El empleo de la representación en tiempo-frecuencia, constituye una herramienta potente para la caracterización de la señal simultáneamente en ambos dominios, en particular para detectar y caracterizar los efectos dispersivos y los ecos de las fallas en materiales no homogéneos como el hormigón (Malik & Saniie, 1993). Las transformaciones lineal y bilineal también se han usado para describir la señal ultrasónica en el plano tiempo- frecuencia; entre ellas, la transformada Gabor, como caso particular de la transformada corta de Fourier (STFT) (Aussel & Monchalin, 1989).

Hace poco más de una década la técnica más usada en ultrasonidos era el procesamiento por espectro particionado (Split Spectrum Processing, SSP) (Aussel, 1990; Aussel & Monchalin, 1989), antecesora de la transformada W avelet. El SSP se basa en la descomposición en tiempo-frecuencia a través de la STFT. En esta técnica, la señal ultrasónica se divide en un conjunto de señales de banda estrecha usando un banco de filtros paso-banda, y un post-procesamiento no lineal para reducir la contribución de ruido y extraer la información de la falla (Xin, Murthy, Li, & Bilgutay, 1992). El SSP se ha tomado como un método efectivo en la detección de fallas y en la supresión de ruido de grano (Abbate, Koay, Frankel, Schoeder, & Das, 1997). Los filtros paso-banda usados en la descomposición SSP tienen un ancho de banda absoluto constante, lo cual en muchos casos no es la representación óptima de la señal ultrasónica obtenida empleando transductores de banda ancha en el modo eco-impulso. Una ventana igual en cada filtro provoca diferentes valores de resolución en las bajas y altas frecuencias. Por ello se sugiere el SSP con filtros de razón frecuencia-ancho de banda constante (ancho de banda relativo constante), por ser más eficientes para analizar señales de banda ancha (Aussel, 1990). La transformada W avelet mejora el problema del análisis tiempo-frecuencia con un ancho de banda relativo, principio de Q-constante. Se emplea un ancho de banda diferente en cada banda de frecuencias bajo análisis, este tópico se ha tratado en (Kercel, Klein, & Pouet, 2001; Lam & Leung, 2001), como solución al problema del análisis en tiempo- frecuencia.

Los problemas asociados a la aplicación de la transformada W avelet, están relacionados con la elección de la función wavelet que describa el pulso ultrasónico, aunque se han mostrado sus ventajas en la supresión de ruido, campo de estudio que incluye este trabajo. Para el análisis de la señal ultrasónica es común el uso de un modelo lineal, describiendo el proceso como el resultado de la convolución de varios elementos que resultan en la observación final. Este tema se trata en la siguiente sección.

1.3. Modelo convolucional

Tomando el material heterogéneo como un conjunto de puntos dispersores, inmerso en un medio homogéneo con determinado coeficiente de absorción, se puede describir la señal ecográfica, que se forma de las reflexiones de los elementos dispersores, usando la siguiente cadena de convolución propuesta por Delebarre (1987):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

donde el s´ımbolo representa el operador de convolución. La suma se hace sobre todos los dispersores, cuya posición con respecto al transductor se da por los vectores ri.

En la ecuación (1.3.1): e (t), es el impulso eléctrico aplicado al transductor; i (t), es la respuesta electroacústica del transductor; g (ri, t), es la respuesta impulsiva de difracción y a (ri, t), caracteriza la atenuación acústica, ambas con dependencia cuadrática a la profundidad (Delebarre, 1987) y μ (ri, t), es la función de dispersión. Si se trabaja en una ventana temporal suficientemente corta, tendiendo a una distancia media d desde el transductor, la atenuación se puede considerar independiente de la posición, o sea, a (ri, t) = a (d, t); y si el transductor es suficientemente pequeño, la difracción se puede asumir también como constante en el espacio. Entonces, en primera aproximación, (1.3.1) queda de la siguiente forma (Delebarre, 1987):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Este es el modelo convolucional general para aplicaciones ultrasónicas en medios heterogéneos, tratado por Abeyratne et al. (1995), donde también se considera la condición bidimensional de la convolución, pero el resultado final conduce al mismo modelo, aún cuando las condiciones de absorción del medio son ignoradas.

Entonces partiendo de (1.3.2), se tiene que s (t), la señal de salida del sistema, es la convolución del impulso eléctrico e (t), que se aplica al transductor, con una función k (t) que contiene información de la respuesta al impulso de ese transductor (respuesta electro- acústica) y de las propiedades del medio. Todo esto a su vez está convolucionado con la última función μ (d, t), que es la portadora de la ubicación de los elementos reflectores o dispersores del medio. En lo adelante se referirá este último término como función de reflexividad. Se plantea el problema inverso convolucional: obtener la última función en (1.3.2) a partir de las otras conocidas.

Este tema va a tener una atención especial en el presente trabajo. En principio se plantea como un problema deconvolucional, cuyo caso más representativo, la deconvolución homomórfica, se describe en (Oppenheim & Schafer, 1989).

Para aislar μ (d, t) de la convolución, la primera idea ser ıa aprovechar la propiedad de

que convolución en el dominio del tiempo es igual a multiplicación en el dominio de la frecuencia, entonces aplicando transformada de Fourier a (1.3.2) se obtiene:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

donde, F { · } representa la transformada de Fourier y S (f), E (f), K (f) y M (d, f), son las respectivas transformadas de Fourier de s (t), e (t), k (t) y μ (d, t).

La ecuación (1.3.3) está compuesta por un espectro constante asociado al transductor (E (f) K (f)), multiplicado por una función de filtrado M (d, f) que aporta información del medio bajo estudio. Para caracterizar el medio basta con aislar la última función, dando esta los parámetros principales de la distribución de los elementos reflectores o dispersores.

1.4. Discusión sobre la deconvolución de señales ultrasónicas

De los análisis anteriores surge un tema recurrente en la evaluación no destructiva, que es objeto de investigaciones actuales (Honarvar et al., 2004; Olofsson, 2000; Pagodinas, 2003), la extracción de la función del medio a partir de una señal de salida. Este es considerado un problema inverso porque conociendo la salida del sistema y estimando o midiendo la entrada se debe obtener la función del medio, o sea, cómo se comporta el medio de propagación ante el est´ımulo generado por un transductor piezoeléctrico. Resolverlo implica usar técnicas de deconvolución.

La deconvolución de señales unidimensionales se ha usado con éxito en el procesamiento de la voz (Oppenheim & Schafer, 1989); en señales s´ısmicas, desde épocas tan tempranas como los reportes en (Tribolet, 1979; Ulrych, 1971) y recientemente en (Stefan, Garnero, & Renaut, 2005); ha encontrado un amplio campo de desarrollo en las aplicaciones médicas (Abeyratne et al., 1995; Taxt, 1995, 1997; Wan et al., 2003). El método comúnmente usado es la deconvolución homomórfica (Oppenheim & Schafer, 1989; Taxt, 1995), que parte del concepto matemático de transformación homomórfica para convertir el producto de dos señales en la suma de ellas. Si estas señales resultantes están localizadas en bandas diferentes y cumplen el principio de señales lineales e invariantes en la frecuencia (Oppenheim & Schafer, 1989), entonces se pueden separar por un filtrado lineal simple (liftering). Cada una de las señales separadas puede recuperarse por la transformación inversa. Dentro de la deconvolución homomórfica las técnicas basadas en el cepstrum son las de mayor aceptación (Adam & Michailovich, 2002), pero estas técnicas tienen el inconveniente de que el cepstrum complejo de una señal de duración finita siempre se extiende al infinito (Oppenheim & Schafer, 1989), y su cálculo mediante DFT produce errores de aliasing que no se resuelven con aumentar la frecuencia de muestreo, porque se incrementan los efectos del ruido en los componentes cepstrales (Taxt, 1997). También es dif´ıcil fijar los parámetros para un filtro ideal (lifter) en el dominio del cepstrum (quefrency), si este tiene que cambiarse sistemáticamente para obtener buenos resultados en la deconvolución.

Los avances en la medicina, tanto en la deconvolución unidimensional como en imágenes (Adam & Michailovich, 2002), no pueden ser extrapolados directamente a los ensayos de materiales. Los medios biológicos muestran mayor homogeneidad y mejor acoplamiento de impedancia con las propiedades del transductor, que en el caso de materiales compuestos (Kaaresen & Bølviken, 1999). Por otra parte, el proceso de deconvolución se ve afectado por los cambios de la forma de onda y el ancho de banda del pulso ultrasónico que tienen lugar dentro del material; esto ocurre en cualquier medio, pero se acentúa en los materiales heterogéneos, donde el canal de transmisión acústico entre el transductor y el defecto provoca distorsiones desconocidas en la señal ultrasónica. En (Jensen et al., 1993) se explica este fenómeno para el caso de imágenes médicas.

La deconvolución homomórfica necesita el conocimiento a priori del núcleo de la transformación (Adam & Michailovich, 2002) o kernel de la convolución. El kernel en ultrasonidos es el pulso ultrasónico que insonifica el material; y si este muestra propiedades cambiantes, la deconvolución sólo conducirá a estimaciones inapropiadas, es por ello que se plantea la necesidad de estimar el pulso como etapa previa a la deconvolución.

Jensen et al. (1993), plantean un modelo ARMA unidimensional y estiman los parámetros del modelo por un algoritmo de predicción de error; para la deconvolución usan un filtro Kalman que implica un alto costo computacional.

Estos estudios se han conducido sobre medios biológicos, pero en general se encuentran las mismas dificultades en los ensayos no destructivos, donde en principio un pulso ultrasónico de corta duración se transmite dentro del objeto y debido a los cambios de impedancia internos, parte de la energ ıa incidente se refleja; esta energ´ıa es utilizada para determinar las propiedades del objeto bajo estudio. Los cambios de impedancia acústica, se asocian a elementos reflectores, geometr´ıas planas, u otras irregularidades de dimensiones igual o mayor que la longitud de onda del pulso, también se encuentran elementos dispersores de tamaño menor que la longitud de onda (Adam & Michailovich, 2002). La deconvolución se orienta a remover, de la señal capturada, los efectos del pulso, que de igual manera que en los medios biológicos es un pulso cambiante, donde los componentes de alta frecuencia son más atenuados que los de baja frecuencia (Kaaresen & Bølviken, 1999), entonces hay que estimar tanto la función de reflexividad como el pulso, llegando a lo que se conoce como deconvolución ciega (blind deconvolution) (Kaaresen & Bølviken, 1999; Taxt & Frolova, 1999).

Una alternativa para la deconvolución es estimar el pulso de los cumulantes de alto orden (Abeyratne et al., 1995; Michailovich & Adam, 2003; Petropulu, 1999) de la señal de salida y después aplicar un filtrado inverso, por ejemplo a través de un clásico filtro de Wiener (Hayward & Lewis, 1989; Honarvar et al., 2004; Kino, 1989; Taxt & Frolova, 1999). La aplicación del análisis espectral de alto orden (Higher Order Spectral Analysis, HOSA) (Petropulu, 1999) se fundamenta en la inmunidad al ruido, porque el cumulante de tercer orden del ruido gaussiano es cero, por consiguiente se puede estimar el pulso, sin tener en cuenta los efectos contaminantes introducidos por el sistema en el modelo convolucional (Kino, 1989; Taxt & Frolova, 1999).

La estimación del pulso usando HOSA es un método probado en medios biológicos, ver (Abeyratne et al., 1995) y (Wan et al., 2003). Se propone en este trabajo su aplicación en los ensayos no destructivos, partiendo del trabajo de Yamani et al. (1997), donde se estudian la ventajas de los estad´ısticos de orden superior en la estimación de pulsos ultrasónicos.

Después de estimar el pulso, la deconvolución se puede realizar por el cepstrum, pero ya conocidos los problemas enumerados anteriormente, se tratará en este trabajo una nueva tendencia, basada en la regularización del filtro de Wiener, usando la transformada Wavelet. Este tema tiene su fundamento en los trabajos pioneros de Donoho (1992, 1995a), Donoho, Johnstone, Kerkyacharian, y Picard (1995), y ha ido evolucionando hasta el presente con nuevas soluciones propuestas por Neelamani, Choi, y Baraniuk (1999), Neelamani et al. (2004). La discusión teórica de estos algoritmos incluye el campo de la deconvolución unidimensional y bidimensional, brindando las fuentes y códigos necesarios para implementar las aplicaciones. Se ha presentado por Wan et al. (2003) una aplicación del algoritmo de Neelamani et al. (1999), pero la nueva propuesta basada en el concepto ForWaRD (Fourier Wavelet Regularized Deconvolution) (Neelamani et al., 2004) no se ha reportado en los ensayos no destructivos. Este tema es de actualidad, apareciendo novedades teóricas en (Donoho & Raimondo, 2005; Figueiredo & Nowak, 2005; Johnstone, Kerkyacharian, & Raimondo, 2004; Johnstone & Raimondo, 2004; Kerkyacharian, Picard, & Raimondo, 2005). La aplicación de este método se ha reportado por el autor en (Herrera et al., 2005a).

El objetivo de la deconvolución de las señales es eliminar los efectos del pulso ultrasónico de la respuesta del medio, este proceso genera una compresión de los pulsos en el tiempo, lo que conduce a una mejora en la resolución axial (Adam & Michailovich, 2002) de las señales A-scan. En los métodos basados en wavelets se realiza el proceso de deconvolución, incluyendo una etapa previa de supresión de ruido (denoising), temática tratada en la segunda parte de esta tesis.

1.4.1. Formulación discreta de la deconvolución

Se define la deconvolución de las señales ultrasónicas como la solución del problema inverso de obtener la función de respuesta del medio x (n), a partir de una señal de salida del sistema y (n) y una señal de entrada, el pulso ultrasónico h (n) y se expresa por (Abeyratne et al., 1995, 1997; Taxt & Strand, 2001):

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donde: n es el tiempo discreto, y (n) es la señal medida, denota la operación de convolución y η (n) es el ruido aditivo inherente al sistema de medición.

En la literatura se emplean diferentes terminolog´ıas al referirse a x (n) y h (n); comparando con el modelo convolucional genérico planteado en (1.3.2); h (n), en (1.4.1), representa el pulso ultrasónico y en este término se incluyen la respuesta del transductor al impulso eléctrico y la atenuación en el acoplamiento (e (t) y k (t)), la función respuesta del medio es, en el mencionado modelo, la función de reflexividad del medio (μ (d, t)) que mantiene el mismo sentido representando las no homogeniedades acústicas en la dirección de propagación del pulso. Abeyratne et al. (1995, 1997) se refieren a x (n) como la respuesta del tejido (tissue response), por su aplicación en medicina; Carotenuto, Sabbi, y Pappalardo (2002) denominan esta función como distribución espacial de la reflexión (spatial reflectance distribution) y en (Adam & Michailovich, 2002; Michailovich & Adam, 2003) le nombran función de reflexividad (reflectivity function), término que presenta mayor correspondencia con la evaluación no destructiva. En este trabajo, la función respuesta del medio y función de reflexividad tienen el mismo sentido en todos los casos en que se usen. Para h (n) se incluyen: la respuesta impulsiva (Jensen et al., 1993), la función de dispersión del punto (point spread function, PSF) (Michailovich & Adam, 2003) y la respuesta del sistema ultrasónico (ultrasound system response) (Abeyratne et al., 1995). Dentro del modelo convolucional (1.4.1), puede considerarse la señal recibida y (n) como una versión distorsionada de la función respuesta del medio x (n), donde el núcleo de la distorsión es el pulso ultrasónico (Michailovich & Adam, 2003). Como la degradación se debe a la convolución con h (n), una mejor representación de x (n) se puede obtener por deconvolución. En las décadas del 70 y 80 se inician los estudios para mejorar la resolución de las imágenes ultrasónicas en la medicina. Se reportan el filtrado inverso gaussiano (Hundt & Trautenberg, 1980), filtrado Kalman (Kuc, 1979) y el uso del filtro de Wiener (Fatemi & Kak, 1980; Loupas, Pye, & McDicken, 1989). Loupas et al. (1989), indicaron los artefactos introducidos por la deconvolución cuando se realizaba sobre la envolvente de las señales A-scan y encontraron que sólo se pod´ıan obtener resultados satisfactorios sobre señales RF.

Los intentos por mejorar la resolución actuando sobre el sistema ultrasónico, incrementando la frecuencia del pulso para disminuir su ancho de banda y, por consiguiente, evitar que el pulso se expanda muchos ciclos en el tiempo, no resultó en la práctica (Cho, Jones, & Singh, 1993), porque el coeficiente de atenuación se incrementa linealmente con la frecuencia y el pulso no pod´ıa alcanzar la profundidad requerida. En los sistemas ultrasónicos, los pulsos son en esencia funciones pasa-banda. Algunos de los componentes de frecuencia fuera de la banda de paso son virtualmente eliminados de las señales RF, entonces pequeños cambios en los datos observados pueden causar desviaciones significativas en los resultados de la deconvolución (Neelamani et al., 1999). La deconvolución ultrasónica se convierte en un problema mal-condicionado (ill-conditioned problem o ill-posed) (Kalifa & Mallat, 2003) bajo una incorrecta estimación del pulso.

Esta última aclaración ligada a lo planteado en la Sección 1.4, sobre la naturaleza cambiante del pulso ultrasónico, por ser su amplitud y forma dependiente de la profundidad, cuando se propaga en un medio dispersivo y con función de atenuación dependiente de la frecuencia (Kaaresen & Bølviken, 1999), hace imposible la aplicación directa del modelo (1.4.1) (Michailovich & Adam, 2002). Esto explica las caracter´ısticas no estacionarias de las señales RF. Una forma de resolver este problema es dividir la señal RF

en segmentos, que pueden solaparse. La longitud del segmento debe ser tal que se pueda considerar cuasi-estacionario, lo que significa que los efectos de la atenuación permanezcan casi constantes para el segmento dado (Abeyratne et al., 1997). La señal RF y (n) se corta en secuencias yk (n), con k = 1 , 2 , ...K, donde K es el número total de segmentos. En esta tendencia pseudo-estacionaria (Michailovich & Adam, 2002), se modela cada secuencia yk (n) por (1.4.1). Consecuentemente, se puede reformular el problema de recuperar la función respuesta del medio en términos de deconvolución ciega (deconvolución sin el conocimiento exacto del pulso ultrasónico) (Taxt & Frolova, 1999), o sea, se estima el pulso ultrasónico directamente de la señal RF como paso preliminar a la deconvolución. En el paradigma de la deconvolución en (Oppenheim & Schafer, 1989, Cap. 12), se define estimar x (n) a partir de un h (n) conocido como deconvolución homomórfica, usando el cepstrum real para señales de fase m´ınima o el cepstrum complejo para el caso más general. Este ha sido el punto de partida para investigaciones orientadas a la deconvolución ciega. Taxt (1997), compara siete métodos basados en el cepstrum para la deconvolución ciega (sin conocer h (n)), en la estimación de la función respuesta en medios biológicos. La mayor´ıa de los algoritmos basados en cepstrum asumen un pulso ultrasónico de fase m´ınima (Adam & Michailovich, 2002; Taxt, 1995, 1997), algo que en la práctica depende de la construcción de la cápsula del cristal piezoeléctrico y del acoplamiento de impedancia entre el transmisor y el cristal (Adam & Michailovich, 2002) y por consiguiente puede variar de un transductor a otro.

Muchos investigadores han trabajado en la deconvolución ciega (Abeyratne et al., 1995; Adam & Michailovich, 2002; Antoni, Guillet, Badaoui, & Bonnardot, 2005; Michailovich & Adam, 2002, 2003; Taxt, 1995, 1997; Taxt & Strand, 2001; Wan et al., 2003). Sus métodos difieren en la forma de estimar el pulso. Abeyratne et al. (1995) y Wan et al. (2003) emplean un método basado en análisis espectral de orden superior (HOSA) en medios biológicos, demostrando la inmunidad al ruido del modelo propuesto, sin tomar en cuenta la restricción inicial de fase m ınima del pulso. Taxt (1995, 1997) usa los basados en cepstrum y, en (Taxt & Strand, 2001), reporta las limitaciones propias del cepstrum. Antoni et al. (2005) emplean estad´ısticos de segundo orden basados en la suposición de señales cicloestacionarias como restricción al método propuesto, y en (Adam & Michailovich, 2002) se usan dilataciones lineales de las wavelets, que muestran similitudes con los pasos posteriores del modelo que se desarrolla en este trabajo.

En todos estos estudios para la deconvolución, después de obtenido el pulso, se empleó un filtro de Wiener, tema que también constituye un campo de investigación actual (Donoho & Raimondo, 2005; Johnstone & Raimondo, 2004; Johnstone et al., 2004; Neelamani et al., 2004) y será desarrollado en la Sección 1.4.4.

1.4.2. Técnicas para la estimación del pulso ultrasónico

La estimación del pulso en la ultrasonograf´ıa médica es un campo activo de investigación. Este tópico en la END, donde se trabaja sobre un medio más dispersivo que los tejidos y que incluye la naturaleza cambiante del pulso con el tiempo, implica mayores esfuerzos en cuanto al desarrollo de técnicas de estimación.

Existen varias formas de estimación del pulso para resolver el problema de la deconvolución. En (Gosálbez, Vergara, Miralles, & Fuente, 2001) se presenta un método paramétrico basado en un modelo ARMA y dos no paramétricos, que incluyen la estimación cepstral directa y la estimación mediante HOSA usando el bicepstrum. En (Kaaresen & Bølviken, 1999) se presenta otro modelo paramétrico que se analiza en la siguiente sección.

Modelos paramétricos de estimación del pulso

La estimación mediante un modelo ARMA, implica modificar (1.4.1) con los coeficientes del modelo. En (Gosálbez et al., 2001) no se toma en cuenta el ruido, representando en forma simplificada la estimación, a través de la relación B (z) A (z) :

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El algoritmo se basa en la estimación, por m´ınimos cuadrados, de los coeficientes B y A incluidos en el vector θ T = [ a 1 , a 2 , . . . , an a , b 1 , b 2 , . . . , bn b ]. Se parte de una primera aproximación simulando un proceso AR (bk = 0, con k = 1 , 2 , . . . , nb); donde los coeficientes predictores son [ a 1 , a 2 , . . . , an a ], y se obtienen por minimización del error cuadrático medio (MSE). Con estos coeficientes se regresa al modelo ARMA, donde se sigue el mismo sentido MSE, para obtener los coeficientes [ b 1 , b 2 , . . . , bn b ] y finalmente el pulso ultrasónico.

Este algoritmo es computacionalmente eficiente, pero se necesita el ajuste de muchos parámetros para obtener estimaciones correctas. Se debe ajustar el orden del modelo, na y nb, se requiere que la respuesta del material sea de media cero y blanca, y finalmente la estimación es de fase m´ınima (Gosálbez et al., 2001), algo que se ha tratado anteriormente en este trabajo como una propiedad del transductor piezoeléctrico, lo que se considera una limitación del método, por la incapacidad de estimar la fase del pulso.

En (Kaaresen & Bølviken, 1999) se propone un método complejo para la extracción del pulso h (n), a partir de la observación y (n). El método se basa en la aproximación iterativa y minimización del error de estimación, partiendo de una función respuesta del medio, que se considera como una distribución probabil´ıstica a prior i. En esencia se combina la información a priori y la observación, usando una estimación del máximo a posteriori (MAP). Esto no es más que maximizar la función esperada, que se define como la densidad probabil´ıstica condicional de la desconocida, teniendo la observada. Este cálculo es un problema de optimización dif´ıcil, que implica un proceso iterativo hasta lograr la convergencia.

El mismo autor se refiere a los métodos adaptativos basados en estad´ısticos de orden superior, como métodos eficientes para la estimación del pulso, pero les señala la gran cantidad de datos que se necesitan para una estimación precisa; y en particular, que el error puede ser mayor en casos variantes en el tiempo, donde solo pequeños segmentos se pueden considerar estacionarios.

Bajo este último principio es que opera el modelo HOSA propuesto en este trabajo, tomar segmentos cortos para poder asumir la condición estacionaria y que finalmente fue el mismo empleado en (Kaaresen & Bølviken, 1999) para la estimación iterativa del pulso. El modelo desarrollado en el Cap´ıtulo 2 con señales simuladas y en el 3 con señales reales, brinda parámetros de error cuantificados por el MSE, que superan los propuestos en (Kaaresen & Bølviken, 1999; Adam & Michailovich, 2002) y comparables con los reportados en la actualidad (Michailovich & Adam, 2003).

Modelos no paramétricos de estimación del pulso

El modelo no paramétrico más extendido, como se ha explicado anteriormente con referencias a los art´ıculos (Taxt, 1995, 1997; Taxt & Strand, 2001), se basa en la deconvolución homomórfica mediante el cepstrum. La formulación básica (ver Oppenheim & Schafer, 1989) para el cepstrum real es:

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donde: c y (m), es el cepstrum real de y (n); F 1 { · }, representa el operador de la transformada inversa de Fourier y Y (f), H (f) y X (f), son las respectivas transformadas de Fourier de y (n), h (n) y x (n) del modelo convolucional (1.4.1). En el art´ıculo de referencia (Gosálbez et al., 2001), la ecuación (1.4.5) y las definiciones posteriores no están correctamente planteadas.

El principio de este método se basa en la propiedad logar´ıtmica de transformar el producto de dos funciones en su suma, donde ser´ıa más factible la separación de sus componentes. En el caso del sistema ultrasónico, se parte de que el espectro del pulso ultrasónico debe ser más suave y limitado en banda, esto significa que presente menos picos o cambios abruptos y centrado a la frecuencia del transductor; por lo que ocupar´ıa los primeros componentes cepstrales. El espectro asociado a la función del medio, debe contener mayores variaciones porque ha sido afectado por los cambios de impedancia internos y por consiguiente debe estar distribuido en una banda de frecuencias mayor; sus componentes cepstrales deben estar ubicados después de los del pulso.

El cepstrum complejo ĉ x, se obtiene del cepstrum real cy, por la siguiente transformación

(Gosálbez et al., 2001):

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El parámetro en la ecuación anterior que define el filtrado es Nc, según se explica en las aplicaciones en END desarrolladas en (Gosálbez et al., 2001). Realmente el lifter se realiza sobre el cepstrum real y el parámetro Nc = N/ 2, por lo que (1.4.6) es un transformador de Hilbert que permite recuperar la parte imaginaria del cepstrum complejo partiendo sólo de la parte real. Finalmente se obtiene el pulso estimado hest = F 1 { exp(F { ĉ y }) }, como se describe en (Oppenheim & Schafer, 1989).

La extracción del pulso a partir del cepstrum real, tiene los inconvenientes de que se asume que la señal observada es de fase m´ınima, algo que ya se ha referido en este trabajo, y por otra parte, que el l´ımite real en los componentes cepstrales, de que parte corresponde a cada señal en la sumatoria, no está claramente definido, por consiguiente se corre el riesgo de tomar partes de la señal en el pulso o viceversa.

Este algoritmo se ha probado, sobre señales simuladas, brindando excelentes resultados cuando la SNR es alta, en cambio sobre señales reales de END, el método suele fallar aún para métodos iterativos de búsqueda de la longitud óptima del lifter (Herrera, 1998; Herrera, Moreno, Calas, & Borroto, 2004).

Otro de los modelos no paramétricos basado en el cepstrum y que evita el problema de desenrollado de la fase, realiza la separación de los componentes cepstrales de la función de autocorrelación de la señal original, en lugar de aplicar el cepstrum directamente. La función de autocorrelación se emplea clásicamente en el análisis de la señal ecográfica para describir la estructura interna, en términos del factor de correlación entre secuencias de igual duración que ocurren en tiempos diferentes, o bien para estimación del tiempo de propagación (Pagodinas, 2003) o para determinar el espacio medio entre elementos dispersores (Delebarre, 1987). En esta sección se describe su empleo para la deconvolución de señales.

La expresión caracter´ıstica de la autocorrelación es como sigue (Delebarre, 1987):

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donde Css es la función de autocorrelación y E[ · ] es el operador de esperanza matemática. En la ecuación (1.4.7) se trabaja sobre el modelo convolucional en el tiempo continuo (1.3.2), por ello mantenemos s (t) para identificar la señal observada, que es una función real. Si el problema se estudia usando aproximación a un sistema lineal (Delebarre, 1987), se puede escribir el modelo inicial (1.3.2) como:

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donde k y μ son funciones reales transientes identificables como la respuesta impulsiva de sistemas lineales. Se demuestra en el Anexo A.2, que de (1.4.8) puede llegarse a:

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Si las tres funciones del miembro derecho están bien separadas en el quefrency, se puede obtener la información de los dispersores mediante un filtrado lineal (lifter) (Oppenheim & Schafer, 1989), la cual está libre de la influencia del sistema de medición y, de igual forma, manteniendo los componentes cepstrales iniciales, se obtiene el pulso ultrasónico. La principal dificultad de este método está en la determinación de la ventana para la separación de los componentes asociados a cada una de las respuestas. Esta variante fue analizada previamente en (Herrera, 1998), brindando resultados satisfactorios sobre señales ultrasónicas simuladas, con alta relación señal a ruido. La aplicación de estad´ısticos de segundo orden (SOS), como la autocorrelación, tienen el inconveniente de no identificar sistemas de fase no m ınima y su alta sensibilidad al ruido gaussiano (Adam & Michailovich, 2002; Yamani et al., 1997).

La aplicación del cepstrum no queda descartada en este trabajo. En lo adelante se expone un método no paramétrico basado en HOSA que emplea el cepstrum en la estimación final del pulso.

Modelo no paramétrico basado en el bicepstrum

En ultrasonidos no existe una referencia a priori de que la señal del pulso ultrasónico y la función respuesta del medio sean independientes, algo que llevar´ıa a resultados erróneos en la deconvolución (Wan et al., 2003). Taxt (1997), propone otras realizaciones basadas en cepstrum, con mejores prestaciones que la discutida anteriormente; entre ellas, el uso del espectro de orden superior, que se presenta en este trabajo, como otro método no paramétrico de estimación del pulso.

Este nuevo método emplea estad´ısticos de orden superior para estimar el cepstrum complejo del pulso (Gosálbez et al., 2001), y exige menos restricciones al pulso que los anteriores. Para ello se ha de cumplir que los dispersores del material sean estacionarios, independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.)(ver Abeyratne et al. (1997)). A este método no paramétrico se le dedica la siguiente sección.

1.4.3. Análisis espectral de orden superior: HOSA

El término HOSA es el análisis asociado al espectro de orden superior (Higher Order Spectra, HOS) y este se refiere a orden mayor que dos, el cual se define en términos de los cumulantes de alto orden de los datos (Petropulu, 1999). As ı el espectro de tercer orden se conoce como biespectro, el de cuarto orden como triespectro y el más conocido, espectro de potencia de segundo orden, también pertenece a la clase de espectros de alto orden (Abeyratne et al., 1997; Petropulu, 1999).

Petropulu (1999) cita tres motivaciones fundamentales para el empleo del HOSA en el procesamiento de señales, relacionadas con: la supresión de ruido gaussiano, cuyos cumulantes de orden mayor que dos son cero; la reconstrucción de la fase, por la habilidad de los cumulantes de preservar la fase de Fourier, y la detección y caracterización de no linealidades en los datos.

En este trabajo se emplea el biespectro para obtener el bicepstrum, fundamentado en las propuestas anteriores. O sea, bajo la suposición de ruido gaussiano con biespectro igual a cero y una señal no gaussiana estacionaria con biespectro constante, entonces se puede estimar el cepstrum ĥ (n) sin la contribución del ruido en (1.4.1) y sin tener que definir expl´ıcitamente un filtro pasa-bajo ideal en el dominio del cepstrum (Taxt, 1997). En relación con la habilidad del HOSA de preservar la fase se considera que la reconstrucción de señales de fase no m´ınima sólo puede realizarse en el dominio HOS (Petropulu, 1999).

Del biespectro al cepstrum

Para el análisis del biespectro del modelo (1.4.1), y (n) = h (n) ∗ x (n) + η (n), se debe partir de las siguientes condiciones iniciales (Abeyratne et al., 1995; Wan et al., 2003):

1. h (n) es un filtro FIR determin´ıstico y causal.
2. x (n) es estacionaria, con media cero y distribución no gaussiana.
3. η (n) es un ruido gaussiano de media cero e independiente de x (n).

El cumulante de tercer-orden de la señal de media cero y (n) se representa por (Abeyratne et al., 1995):

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donde E[ · ] se mantiene como el operador de valor esperado. Sustituyendo y (n) y aplicando el operador en (1.4.10) se tiene (Wan et al., 2003):

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donde: γ x 3 = E[ x [3](n)], es una constante igual al tercer cumulante de x (n). En (1.4.11) se asume la gaussianidad del ruido η (n), por consiguiente, su tercer cumulante c η 3 = 0. Aplicando transformada Z bidimensional (Z2) a (1.4.11) se obtiene el espectro

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bidimensional (biespectro) (Petropulu, 1999):

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El bicepstrum by (m 1 , m 2), se obtiene siguiendo los pasos descritos en (Oppenheim & Schafer, 1989), logaritmo del biespectro y transformación Z inversa para llegar al dominio del quefrency bidimensional, como se expresa a continuación:

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donde Z 12 es la transformada Z inversa bidimensional.

Para evitar el problema del desenrollado de la fase (phase unwrapping) generado por el cálculo del logaritmo complejo, se usa el algoritmo propuesto en (Pan & Nikias, 1988), en este caso, el bicepstrum se enuncia como:

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donde F2 y F 12 son las Transformadas bidimensionales de Fourier directa e inversa, respectivamente.

El bicepstrum se define como el cepstrum del biespectro (Abeyratne et al., 1995) y, descomponiendo en la suma de sus componentes, se expresa por (Wan et al., 2003):

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donde bx (m 1 , m 2) es el bicepstrum de x (n) y bh (m 1 , m 2), el de h (n).

Si x (n) es estacionaria e independiente de η (n), su espectro de tercer orden es plano e igual a su asimetr ıa γ x 3, entonces su bicepstrum será un impulso localizado en el origen (Abeyratne et al., 1995). El cepstrum complejo se obtiene evaluando el bicepstrum a lo largo de los ejes principales bx (m 1 , 0) o bx (0 , m 2), o en la diagonal m 1 = m 2, excepto para m 1 = m 2 = 0. El cepstrum ĥ (n) de h (n) se puede obtener a partir del bicepstrum

por la relación inversa (Petropulu, 1999):

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Entonces, de (1.4.16) se puede obtener el estimado de h (n) a partir de ĥ (n), evaluando el bicepstrum en la diagonal principal m 1 = m 2 mediante:

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Donde: F y F 1 son las transformadas de Fourier directa e inversa respectivamente, en una dimensión.

Una vez que se ha estimado el pulso ultrasónico hest (n), se obtiene la respuesta del medio por deconvolución, usando por ejemplo el clásico filtro de Wiener (Hayward & Lewis, 1989; Neal, Speckman, & Enright, 1993).

El empleo del HOSA se ha reportado por (Yamani et al., 1997), para aplicaciones de END. Los modelos paramétricos expuestos anteriormente se basan en un conocimiento a priori de estad´ısticos de segundo orden (SOS), del ruido y de la señal observada. Esto constituye una limitación, porque en la práctica el ruido estructural no tiene una estad´ıstica conocida. El citado art´ıculo se refiere además a que se ha demostrado que el pulso ultrasónico es un sistema de fase no m´ınima (ver Yamani et al. (1997)), entonces estos modelos no pueden dar una estimación precisa de la respuesta impulsiva.

En (Yamani et al., 1997) se emplea el bicepstrum para obtener directamente bx (m 1 , m 2) de (1.4.15). En este trabajo, a diferencia de los reportados anteriormente, se estima el pulso a partir de by (m 1 , m 2) y con este resultado, que supera las limitaciones antes citadas, es que se aplica la deconvolución, usando el filtro de Wiener.

La implementación del filtro de Wiener no se realiza por las variantes convencionales antes citadas, sino empleando una parametrización basada en wavelets (Herrera et al., 2005a, 2005b), que supera las limitaciones asociadas a la inversión del kernel de la convolución, tal como se explica en lo adelante.

1.4.4. Del filtro de Wiener al concepto ForWaRD

Retornando al modelo (1.4.1), donde y (n) se corresponde con un trazo A-scan de una imagen acústica bidimensional o a una señal en el caso unidimensional, el problema se establece tomando la señal deseada x (n) como la entrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) con respuesta impulsiva h (n)(pulso ultrasónico) (Herrera, 1998; Wan et al., 2003), cuya salida está contaminada con ruido blanco gaussiano (GWN) η (n) de varianza σ 2, ver Fig. 1.2, donde se emplea un término no convencional (X en lugar de H), para representar la respuesta del sistema en correspondencia con la literatura especializada en el campo de los ultrasonidos (Abeyratne et al., 1995; Honarvar et al., 2004; Taxt & Frolova, 1999).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figura 1.2: Esquema del modelo convolucional.

Con la idea inicial planteada en (1.3.3), ahora en el dominio del tiempo discreto partiendo de (1.4.1), se tiene en el dominio de la frecuencia:

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donde: Y (f), H (f) y N (f) son las respectivas transformadas de Fourier de y (n), h (n) y η (n). Si la respuesta de frecuencia del sistema H (f) no tiene ceros, se puede obtener un estimado de F {x (n) } como: X 1(f) = H − 1 (f) Y (f) = X (f) + H − 1 (f) N (f).

[...]

Final del extracto de 148 páginas

Detalles

Título
Deconvolución de las señales ultrasónicas en la evaluación no destructiva
Universidad
Central University "Marta Abreu" de Las Villas  (CEETI)
Calificación
Summa cum laude
Autor
Año
2006
Páginas
148
No. de catálogo
V200708
ISBN (Ebook)
9783656268284
ISBN (Libro)
9783656270867
Tamaño de fichero
6406 KB
Idioma
Español
Etiqueta
deconvolución
Citar trabajo
Roberto Herrera Marrero (Autor), 2006, Deconvolución de las señales ultrasónicas en la evaluación no destructiva, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/200708

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Título: Deconvolución de las señales ultrasónicas en la evaluación no destructiva



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