In den vorangegangenen Ausarbeitungen bzw. Referaten wurden die asymptotische Darstellung, Entwicklung, Skala und Gleichheit neben den Landauschen Symbolen eingeführt. Daran schloss sich die Behandlung des Lemmas von Watson und seine Anwendungen an. Dabei wurde die Laplace- Methode für Randmaxima und innere Maxima im ein- und mehrdimensionalen Raum herausgearbeitet. Nachdem die Theorien erörtert wurden und Beispiele für große Abweichungen für Wahrscheinlichkeiten eindimensionaler Zufallsvariablen als Konsequenz der Anwendung der Laplace- Methode gegeben wurden, ist nun Ziel dieser Ausarbeitung, Beispiele für große Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren zu geben.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlegende Begriffsbildung und Hilfsmittel
2.1 Mehrdimensionale Normalverteilung
2.2 Kugelkoordinaten
2.3 Verallgemeinerte Kugelkoordinaten
2.4 Laplace- Methode angewendet auf mehrdimensionale Integrale
3 Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren
3.1 Beispiel 1
3.2 Beispiel 2
3.3 Beispiel 3
3.4 Beispiel 4
3.5 Beispiel 5
3.6 Beispiel 6
3.7 Vergleich der Ergebnisse - Nachtrag
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für große Abweichungen bei mehrdimensionalen normalverteilten Zufallsvektoren unter Verwendung asymptotischer Methoden.
- Mathematische Grundlagen der mehrdimensionalen Normalverteilung.
- Einsatz von Kugelkoordinaten zur Lösung mehrdimensionaler Integrale.
- Anwendung der Laplace-Methode auf verschiedene Kovarianzstrukturen.
- Vergleichende Analyse der Konvergenzgeschwindigkeiten bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsdichten.
Auszug aus dem Buch
3.1 Beispiel 1
Die Komponenten, also Zufallsvariablen, xi für i = 1,...,n des Gaußvektors X seien unabhängig standardnormalverteilt. Die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors ist gegeben durch B = (Cov(x1, x1) . . . Cov(x1, xn) ... ... ... Cov(xn, x1) . . . Cov(xn, xn)) = (1 0 ... 0 0 1 0 ... ... ... ... 0 0 ... 0 1).
Das heißt mit anderen Worten, die Matrix enthält auf der Diagonalen die Varianzen der einzelnen Komponenten des Zufallsvektors. Da die Varianz das Quadrat der Standardabweichung und diese 1 beträgt (somit sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen nicht-negativ) und die einzelnen Zufallsvariablen unabhängig sind, sind alle weiteren Einträge 0 und es entsteht so die n-te Einheitsmatrix. Das betrachtete Integral hat dann folgende Gestalt: P(||X|| ≥ λ) = 1/(2π)^n/2 ∫||x||≥λ e^-1/2 ||x||^2 dx.
Durch die Variablensubstitution x = λx ergibt sich folgende Darstellung des Integrals: P(||X|| ≥ λ) = 1/(2π)^n/2 λ^n ∫||x||≥1 e^-1/2 λ^2 ||x||^2 dx. Betrachte die Funktion S(x) = -1/2 ||x||^2 genauer.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Problemstellung ein und erläutert die Zielsetzung der Arbeit unter Bezugnahme auf vorangegangene Arbeiten zur Laplace-Methode.
2 Grundlegende Begriffsbildung und Hilfsmittel: In diesem Kapitel werden wesentliche mathematische Konzepte wie die mehrdimensionale Normalverteilung und verschiedene Formen von Kugelkoordinaten für die späteren Berechnungen rekapituliert.
3 Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren: Das Hauptkapitel analysiert in sechs konkreten Beispielen die Wahrscheinlichkeiten für große Abweichungen bei variierenden Kovarianzmatrizen und schließt mit einem Vergleich der Ergebnisse.
Schlüsselwörter
Wahrscheinlichkeit, große Abweichungen, normalverteilter Zufallsvektor, Laplace-Methode, Kovarianzmatrix, mehrdimensionale Normalverteilung, Kugelkoordinaten, asymptotische Darstellung, Integral, Konvergenz, Gaußvektor, Standardnormalverteilung, stochastische Unabhängigkeit, Korrelation, Eigenwerte.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Herleitung und asymptotischen Auswertung von Wahrscheinlichkeiten für große Abweichungen bei n-dimensionalen normalverteilten Zufallsvektoren.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder umfassen die Statistik, mehrdimensionale Analysis, Transformationstechniken (wie Kugelkoordinaten) und die asymptotische Integration mittels der Laplace-Methode.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, Beispiele für Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen für verschiedene Normalverteilungsmodelle anzugeben und die asymptotischen Ergebnisse systematisch miteinander zu vergleichen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird primär die Laplace-Methode zur asymptotischen Auswertung von mehrdimensionalen Integralen angewendet, ergänzt durch Koordinatentransformationen und Eigenschaften der Kovarianzmatrix.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in sechs Beispiele, die von der unabhängigen Standardnormalverteilung bis hin zu komplexen Modellen mit stochastischer Abhängigkeit (Korrelation) reichen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen, Laplace-Methode, Normalverteilung, Kovarianzmatrix und asymptotische Konvergenz.
Warum spielt die Invertierbarkeit der Kovarianzmatrix eine Rolle?
Die Kovarianzmatrix muss invertierbar (regulär) sein, damit die Dichtefunktion des normalverteilten Zufallsvektors korrekt definiert werden kann und die Laplace-Methode angewendet werden kann.
Wie unterscheidet sich Beispiel 6 von den vorangegangenen?
Im Gegensatz zu den anderen Beispielen wird hier keine Diagonalmatrix vorausgesetzt, da die Komponenten des Gaußvektors stochastisch abhängig sind, was eine Transformation mittels Eigenwerten erforderlich macht.
Was zeigt der Vergleich am Ende der Arbeit?
Der Vergleich analysiert die unterschiedlichen Konvergenzgeschwindigkeiten gegen Null für λ gegen Unendlich und stellt fest, welches Modell unter welchen Bedingungen am schnellsten konvergiert.
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- Felix Kasten (Author), 2012, Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/209479
