Trigonometrie. Einführung des Kosinus eines Winkels

Ausarbeitung für das Proseminar der Didaktik der Mathematik


Hausarbeit, 2011

30 Seiten


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Darstellung der Überlegungen für das Stoffgebiet Kosinus eines Winkels
2.1 Einordnung der Ziele in langfristige Entwicklungsprozesse
2.2 Notwendiges Wissen und Können der Schüler, das reaktiviert werden muss
2.3.1 Sicheres Wissen und Können
2.3.2 Reaktivierbares Wissen und Können
2.3.3 Exemplarisches Wissen und Können

3 Planung einer Unterrichtsstunde im Bereich der trigonometrischen Berechnungen
3.1 Ziele der Stunde
3.2 Didaktische Vorbetrachtungen
3.2.1 Sachanalyse
3.2.2 Didaktische Analyse
3.2.3 Methodische Überlegungen zur Unterrichtsgestaltung
3.3 Stundenplanung – Grobplanung
3.4 Stundenplanung - Feinplanung
3.5 Aufgaben und Unterrichtsmittel
3.6 Tafelbild

4. Literaturverzeichnis:

1 Einleitung

Ich habe mich für die Einführung des Begriffs Kosinus eines Winkels entschieden. Dies ist eine Thematik, die in das Stoffgebiet der Trigonometrie bzw. trigonometrische Berechnungen zu gliedern ist, also in das übergeordnete Gebiet der Geometrie. In diesem Beleg wird explizit auf die Überlegungen eingegangen die der Stundenplanung vorangestellt sind. Anschließend wird letztlich ein Stundenverlaufsplan erstellt und erörtert.

Die allgemeine Klassensituation stellt sich wie folgt da. In der Klasse befinden sich etwa 28 Schülerinnen und Schüler. Davon weisen wenige Lernende eine Leistungsstärke in dem Fach Mathematik auf. Etliche Schülerinnen und Schüler sind zu den leistungsschwachen Schülern zu zählen. Alle Lernenden besitzen das Arbeitsheft und das Arbeitsbuch Mathematik 10. Gymnasium. Mecklenburg-Vorpommern. Für die geplante Stunde sind farbige Kreide, Tafel-Geodreieck und eine Tafel mit einer großen und vier kleinen Flächen notwendig.

Die Schülerinnen und Schüler haben in den vorangegangenen Unterrichtsstunden ihr Wissen und Können zu den Dreiecken reaktiviert und es wurde der Begriff des Sinus eines Winkels im Dreieck erarbeitet.

2 Darstellung der Überlegungen für das Stoffgebiet Kosinus eines Winkels

2.1 Einordnung der Ziele in langfristige Entwicklungsprozesse

Diesem Abschnitt liegen die Rahmenpläne von Mecklenburg Vorpommern für die Klassen 1 - 10 zu Grunde (siehe Literaturverzeichnis), d.h. sie werden explizit als Quelle in diesem Kapitel nicht mehr genannt.

Jahrgangsstufe 1 bis 4:

Wissen und Können zu Zahlen und Größen:

Themenbereich „Zahlen und Operationen“: Schriftliches und mündliches Rechnen bis zum Zahlenraum 1.000.000, vier Grundrechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beherrschen sie sicher, situationsgemäße Anwendung der Operationen und beliebige Verknüpfung, Schätzungen und Überschlagen von Berechnungen.

Themenbereich „Größen und Messen“: Die Schülerinnen und Schüler kennen bestimmte Repräsentanten für ausgewählte SI- Einheiten, können Umrechnen, Wissen über Konventionen zu der Schreibweise von Einheiten.

Wissen und Können zu Variablen, Termen, Gleichungen und Ungleichungen:

Themenbereich „Zahlen und Operationen“: Die Lernenden können aus Handlungen und Sachverhalten Operationen herausnehmen und in einfachen Gleichungen darstellen.

Wissen und Können zu Funktionen:

Themenbereiche „Zahlen und Operationen“, „Größen und Messen“: Den Schülerinnen und Schülern sind einfache Zuordnungen bekannt und können einige wenige graphische Darstellungen von Sachverhalten anfertigen, anfängliches Verständnis für Symmetrie und Proportionalität.

Geometrisches Wissen und Können:

Themenbereich „Form und Veränderung“: Den Lernenden sind einige einfache Körper und ebene Figuren mit wenigen charakteristischen Eigenschaften bekannt. Insbesondere das Verständnis für Dreiecke beginnt in der Grundschulausbildung.

Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte Körper und ebene Figuren benennen sowie ihre Eigenschaften. Sie können Körper und Figuren darstellen und diese mit anderen vergleichen. Sie kennen die Kugel, den Würfel und den Quader als Körper. Vierecke, Rechtecke, Quadrate, Kreise und auch das Dreieck kennen sie als ebene Figuren.

Jahrgangsstufe 5 und 6:

Wissen und Können zu Zahlen und Größen:

Themenbereich Rechnen mit „natürlichen“, „gebrochenen“ Zahlen: Entwicklung des schriftliches Rechnens: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren natürlicher Zahlen, Nacheinander-Ausführung mehrerer Rechenoperationen unter Verwendung von Klammern und Rechengesetzen (Kommutativgesetze, Assoziativgesetze, Distributivgesetz), die Rechengesetze mit Anwendungen verstehen und für Begründungen heranziehen können, Vorzeichenbeachtung und Vorrangregel, Ausführbarkeit und Eindeutigkeit der Operationen und Umkehroperationen, Potenzen/Quadratzahlen (Schreibweise, Basis, Exponent), Rechnen mit gebrochenen Zahlen (gemeine Brüche, Dezimalbrüche, Kürzen, Erweitern), Behandlung von römischen Zahlen und damit rechnen, Teilbarkeitsregeln verwenden können (ggT und kgV), Einheiten (sinnvolle Genauigkeit bei Flächen-, Volumen-,Massen-, Zeit-, Längen- und Währungseinheiten).

Wissen und Können zu Variablen, Termen, Gleichungen und Ungleichungen:

Themenbereich „Algebraische Grundlagen“: Entwicklung des Variablenbegriffs (Einführung von Variablen als Platzhalter, Term und Wert eines Terms), Erkennen von mathematischen Strukturen und Umformungen von Termen, inhaltliches und algorithmisch-kalkülmäßiges Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, Lösbarkeit von Gleichungen und Ungleichungen, Berechnungen von Termen, Umsetzen von Wortvorschriften in Termschreibweise, Belegen von Variablen mit Zahlen.

Wissen und Können zu Funktionen:

Themenbereich „Abbildung“: Entwicklung des Funktionsbegriffs, Entwicklung funktionalen Denkens. Dabei soll insbesondere Zuordnungen und Proportionalität eine Rolle spielen. Graphische Darstellungen, Zusammenhänge oder Zahlenfolgen durch Gleichungen beschreiben bzw. aus Tabellen oder Diagrammen herausarbeiten. Das Koordinatensystem wurde eingeführt.

Geometrisches Wissen und Können:

Themenbereiche „Winkel“, „Grundkonstruktionen“, „Abbildungen“, „Dreiecke“, „Vierecke“: Entwicklung von Vorstellung und Kenntnissen über Merkmale, Eigenschaften und Inhaltsbestimmungen ebener Figuren (dabei insbesondere Dreiecke und Vierecke) unter inhaltlich-anschaulichen und formal-rechnerischen Aspekten, Skizzieren und Zeichnen ebener Figuren, Einführung des Begriffs Winkel, Klassifizierung eines Winkels (stumpf, rechtwinklig, spitz, (gestreckt)), Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel, Konstruktion von ebenen Objekten, Abbildungen (Verschiebung, Drehung, Spiegelung), Symmetrie.

Jahrgangsstufe 7 und 8:

Wissen und Können zu Zahlen und Größen:

Themenbereich „rationale Zahlen“: Es werden die Fähigkeiten des Rechnen- Könnens aus den vorherigen Jahrgangsstufen erweitert, insbesondere im Bereich der rationalen und ganzen Zahlen und Potenzen (und zugehörige Gesetze), Einführung der Quadratwurzel, der Taschenrechner wird eingeführt.

Wissen und Können zu Variablen, Termen, Gleichungen und Ungleichungen:

Themenbereich „Arbeiten mit Variablen“: Wiederholung und Festigung des Variablen- und Termbegriffs, Definition des Begriffs Gleichung, Erkennen und Bilden von Termen, Vereinfachung der Schreibweise von Termen, Übersetzen von Texten in Ausdrücke mit Zahlen und Variablen, Verwenden von Termen, Erkennen der Struktur von Termen, Belegen von Variablen, Wiederholen der Vorrangregeln, unterschiedliche Methoden zur Lösung von Gleichungen, Dreisatz, lineare Gleichungssysteme, Zusammenfassen von Gliedern einer Summe und Auflösen von Klammern um Summen, Erarbeitung und Festigung des Verfahrens zum Multiplizieren von Zahlen und Variablen, Primfaktorzerlegung, Überprüfen des Ausmultiplizieren durch Ausklammern und umgekehrt, geometrische Interpretation (Ausmultiplizieren und Ausklammern), Multiplizieren von beliebigen Summen, Binomische Formeln.

Wissen und Können zu Funktionen:

Themenbereiche „Zuordnungen“, „lineare Funktionen“: Wiederholung der vorangegangenen Betrachtungen der Zuordnungen, der Proportionalitäten und graphischen Darstellungen, Einführung der Funktionen als eindeutige Zuordnungen, Begriffe: Definitions- und Wertebereich, Argument, Funktionswert, lineare Funktionen mit den Parametern m und n als Anstieg und Achsenabschnitt, Nullstelle, Nullstellenberechnungen, Modelle realer Sachverhalte, Umkehrfunktionen.

Geometrisches Wissen und Können:

Themenbereiche „Planimetrie“, „Satzgruppe des Pythagoras“: Berechnen des Flächeninhalts von ebenen Figuren, insbesondere von Drei- und Vierecken. Genauere Betrachtung der Dreiecke, Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze, Satzgruppe des Pythagoras, Begriffe: Kathete, Hypotenuse, Einführung des Kreises, Begriffe: Tangente, Sehne, Sekante, Satz des Thales, Peripheriewinkel, Kreisring, Pi als Konstante.

Jahrgangsstufe 9:

Wissen und Können zu Zahlen und Größen:

Themenbereiche „Reelle Zahlen, Termumformungen“, „Potenz- und Wurzelfunktionen“: Betrachtung von irrationalen Zahlen und reellen Zahlen, exemplarisch kann die Intervallschachtelung erarbeitet werden, Systematisierung der Zahlenbereiche, Erweiterung der Potenzen auf rationale Exponenten, daraus resultierend auch der Zusammenhang zwischen Potenz und Wurzelschreibweise, als Zusatz kann die Polynomdivision betrachtet werden.

Wissen und Können zu Variablen, Termen, Gleichungen und Ungleichungen:

Themenbereiche „Systeme linearer Gleichungen“, „quadratische Gleichungen“: Lösungsverfahren zu linearen Gleichungssystemen, Lösbarkeitskriterium, Quadratische Gleichungen (Lösungsformel, Normalform, Lösbarkeit).

Wissen und Können zu Funktionen:

Themenbereiche „quadratische Funktionen“, „Potenz- und Wurzelfunktionen“: Quadratische Funktionen, Parabel, Normalparabel, Scheitelpunkt, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Potenz- und Wurzelfunktion (graphische Darstellung, Hyperbel, Asymptote, Eigenschaften).

Geometrisches Wissen und Können:

Themenbereich „Planimetrie“: zentrische Streckung, Strahlensätze und ihre Umkehrungen, Ähnlichkeit von ebenen Figuren (Hauptähnlichkeitssatz, Zusammenhang zur Kongruenz und zur Satzgruppe des Pythagoras).

Jahrgangsstufe 10:

Wissen und Können zu Zahlen und Größen:

Themenbereich „Exponential- und Logarithmusfunktionen“: Es wird näher auf den Zusammenhang zwischen Potenz, Wurzel und Logarithmus eingegangen, Logarithmus und Logarithmusgesetze.

Wissen und Können zu Variablen, Termen, Gleichungen und Ungleichungen:

Themenbereiche „Trigonometrie“, „Exponential- und Logarithmusfunktionen“: Exponential- und Logarithmusgleichungen, goniometrische Gleichungen.

Wissen und Können zu Funktionen:

Themenbereiche „Trigonometrie“, „Exponential- und Logarithmusfunktionen“: Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen (Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion), periodische Funktionen, Zerfallsprozesse und exponentielles Wachstum.

Geometrisches Wissen und Können:

Themenbereich „Trigonometrie“: Erweiterung des Winkelbegriffes, Erarbeitung Zusammenhang Hauptwert und Bogenmaß, Definition des Sinus, Kosinus, Tangens eines Winkels insbesondere durch Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Sinussatz, Kosinussatz, Flächeninhaltssätze, sin²( α) + cos²( α) = 1 (trigonometrischer Satz des Pythagoras).

In der Jahrgangsstufe 10 wird ein Computeralgebrasystem eingeführt. Grundlegende Berechnungen und Erklärungen werden im Laufe des Schuljahres gegeben.

Jahrgangsstufe 11 und 12:

Der Begriff der trigonometrischen Funktionen wird weiter ausgebaut. Sowie in der Analysis als Funktionen als auch in der analytischen Geometrie als Funktion oder auch dessen geometrische Interpretation zur Berechnung von Schnittwinkeln und Lagebeziehungen werden die Begriffe Sinus, Kosinus, Tangens weiterhin von Bedeutung sein.

2.2 Notwendiges Wissen und Können der Schüler, das reaktiviert

werden muss Für den Themenbereich der trigonometrischen Berechnungen: Explizit sollten die Lernenden das vorhandene Wissen zu rechtwinkligen, später auch allgemeinen Dreiecken, präsent haben. Die Reaktivierung ist Aufgabe des Lehrers. Insbesondere der Begriff des Winkels sollte reaktiviert werden. Dabei sollte insbesondere die Klassifikation der Winkel nochmals wiederholt werden. Im Bezug zum rechtwinkligen Dreieck müssen bestimmte Begrifflichkeiten wie Kathete und Hypotenuse Erläuterung finden. Strahlensätze sollten die Lernenden bereits verstanden haben und in Bezug auf die Wiederholung der Strahlen- ,Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze wiederholt haben.

Für den Themenbereich der Winkelfunktionen: Die Schülerinnen und Schüler sollten wissen, wie eine Funktion definiert ist, welche Eigenschaften im Wesentlich von Bedeutung sind und dass Parameter von Funktionen eine bestimmte Bedeutung (kovariables Denken) innehaben. Das Koordinatensystem sollte wiederholt werden. Die Lehrperson sollte auch die Grundlegenden Funktionen wiederholen, denn so kann auch ein Vergleich mit sogenannten periodischen Funktionen erfolgen.

2.3 Fachspezifische Ziele, die in dieser Unterrichtseinheit ausgebildet werden sollen

Die Entwicklung des Wissens und Könnens in der Geometrie soll vorangebracht werden im Stoffgebiet der Trigonometrischen Berechnungen. Das Erarbeiten dieser Thematik führt zur Erarbeitung des Sinus- und Kosinussatzes und später auch zu den Trigonometrischen Funktionen, wodurch diese Thematik auch einen Einfluss auf das Teilgebiet der Funktionen aufweist. Diesem Abschnitt liegen die frei zum Download stehenden Dateien vom Institut für Qualitätssicherung und Landesinstitut für Schule und Ausbildung sowie das Lehrbuch Mathematik 10. Gymnasium. Mecklenburg-Vorpommern. zu Grunde (siehe Literaturverzeichnis), d.h. sie werden explizit als Quelle in diesem Kapitel nicht mehr genannt.

2.3.1 Sicheres Wissen und Können

Die Schülerinnen und Schüler beherrschen den Begriff des Winkels und des Dreiecks. Insbesondere vermögen die Schülerinnen und Schüler beliebige Dreiecke zu zeichnen und zu beschriften. Die dabei zu beachtenden Konventionen beherrschen sie und können diese auf jede beliebige Figur anwenden. In diesem Sinne können sie auch sich in beliebiger Lage befindliche rechtwinklige, gleichschenklige, gleichseitige Dreiecke erkennen. Die Schülerinnen und Schüler wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreieckes 180° beträgt. Dieses Wissen können sie in Berechnungen anwenden. Die Begrifflichkeiten Kathete und Hypotenuse können die Heranwachsenden anwenden und in ein logischen Kontext wiedergeben. Die Lernenden wissen, dass Winkel beliebige Werte annehmen können d.h., dass es Winkel gibt, die kleiner als 0° oder größer als 360° sind. Dies kommt unter anderem durch den Drehsinn zustande. Die Heranwachsenden wissen, dass ein Winkel einen positiven (links herum) oder negativen (rechts herum) Drehsinn haben kann. Sie können jeden Winkel in zwei verschiedenen Formen darstellen. Einerseits in Gradmaß und andererseits im Bogenmaß. Jeder Winkel kann daher von ihnen aufgeschrieben werden als α = α`+ k ∙ 360° mit 0° ≤ α`≤ 360°, k Î Z bzw. α = α`+ k ∙ 2π mit 0 ≤ α`≤ 2π, k Î Z, wobei π dem Gradmaß 180° und 2π dem Gradmaß 360° entspricht. Der Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels unter 90° kann als Seitenlängenverhältnis in einem rechtwinkligen Dreieck gebildet werden. Bestimmte Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sind jetzt bereits präsent. Durch die Einführung der trigonometrischen Funktionen werden aber mehr charakteristische Werte bekannt sein. Ebenso sollte den Schülerinnen und Schülern geläufig sein, dass sin²( α) + cos²( α) = 1 ist. Das heißt, dass der trigonometrische Satz des Pythagoras gültig ist.

Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen und sollten auch als solches erkannt werden. Sie sollten sich die Sinusfunktion vorstellen können, dies ist allerdings nicht nötig bei der Kosinus- und Tangensfunktion. Des Weiteren sollten die Lernenden Wissen, dass ein Vergleich der Funktionsgraphen dieser Funktionen nur erfolgen kann, wenn die x- Achse mit Werten des Bogenmaßes beschriftet wird.

Die Quintessenz dieses Wissens ist also, dass die Schülerinnen und Schüler jederzeit mit hoher Wahrcheinlichkeit unterscheiden können, welche Anwendungen insbesondere zur Betrachtung der Trigonometrischen Berechnungen zu gliedern sind und welche insbesondere zur Beschreibung periodischer Vorgänge genutzt werden.

2.3.2 Reaktivierbares Wissen und Können

Nach einer Reaktivierung sollten die Schülerinnen und Schüler folgendes Wissen aufweisen. Ihnen sollte bewusst sein, wie sich die Berechnungen des Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck vollzieht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lernenden wissen, dass diese Seitenlängenverhältnisse nur im rechtwinkligen Dreiecke diese Werte angeben. Sie können daher Seiten und Winkel in solchen Dreiecken berechnen. In beliebigen Dreiecken gelten der Sinus- und der Kosinussatz bzw. der Satz zur Flächenberechnung von Dreiecken mithilfe des Sinus eines Winkels. Daher können jegliche Rechnungen von Seiten und Winkeln in einem beliebigen Dreieck vollzogen werden. Das Bogenmaß eines Winkels

Die goniometrische Gleichungen sin (x) = a, sin (α) = a, cos (x) = a, cos (α) = a, können von den Heranwachsenden gelöst werden. Sie geben die Lösungsmenge im Intervall
-90° ≤ α ≤ 360° bzw. -π ≤ x ≤ 2π an.

Die goniometrische Gleichung tan (α) = a, kann ebenfalls von diesen gelöst werden. Das anzugebende Intervall der Lösungsmenge ist dabei aber -90° ≤ α ≤ 90° bzw. –π/2 ≤ x ≤ π/2.

Im Bereich der Funktionen finden die Winkelfunktionen ebenfalls Anwendung. So entspricht der Anstieg des Graphen einer linearen Funktion m = tan (α). Dabei ist von den Lernenden aber zu beachten, dass α der Winkel zwischen dem positiven Teil der x-Achse und der Geraden ist. Bei späteren Betrachtungen wissen, die Schülerinnen und Schüler, dass die Sinusfunktion eine gerade Funktion darstellt, hingegen die Kosinusfunktion eine ungerade Funktion darstellt. Die Winkelfunktionen sollten in Skizzen erkannt werden. Charakteristische Eigenschaften wie die Periode, die Symmetrie, Nullstellen und Extremwerte sollten aus diesen herausgearbeitet werden können. Die Sinusfunktion genießt dabei aber eine besondere Stellung. Diese soll von den Schülerinnen und Schülern selbst auch skizziert werden können. Dabei spielen auch die Parameter eine Rolle, sodass die charakteristischen Eigenschaften aus der Zeichnung abgelesen werden können.

[...]

Ende der Leseprobe aus 30 Seiten

Details

Titel
Trigonometrie. Einführung des Kosinus eines Winkels
Untertitel
Ausarbeitung für das Proseminar der Didaktik der Mathematik
Hochschule
Universität Rostock  (Institut für Mathematik)
Veranstaltung
Grundvorlesung und Proseminar: Didaktik der Mathematik
Autor
Jahr
2011
Seiten
30
Katalognummer
V209556
ISBN (eBook)
9783656371106
ISBN (Buch)
9783656371663
Dateigröße
4362 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
trigonometrie, einführung, kosinus, winkels, ausarbeitung, proseminar, didaktik, mathematik
Arbeit zitieren
Felix Kasten (Autor:in), 2011, Trigonometrie. Einführung des Kosinus eines Winkels, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/209556

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