In der mathematischen Praxis treten Probleme auf, die die Lösung einer freien Randwertaufgabe benötigen. Ist es nicht möglich, diese Lösung auf analytischen Weg zu finden, macht sich eine numerische Berechnung der Lösung erforderlich. Diese Berechnung wird durch die freie Grenze wesentlich erschwert. In dieser Arbeit wird die freie Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung betrachtet. Mit einem Trick wird die freie Randwertaufgabe auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert. Offen bleibt die Frage, ob sich dieses Verfahren der Reduktion auch mehrdimensional anwenden läßt.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung und Grundlagen
1.1. Aufgabenstellung
1.2. Einschränkung an die Aufgabenstellung
1.3. Aussagen über die Lösungen der Differentialgleichung
2. Das Verfahren
2.1. Aussagen über die Lösung der Randwertaufgaben mit festen Rand
2.2. Analytische Betrachtung des Verfahrens
2.3 Aussagen über die Lösbarkeit der freien Randwertaufgabe
3. Numerische Realisierung des Verfahrens*
3.1. Berechnung der Lösungen der Randwertaufgaben
3.2. Aussagen über die Lösungen der Differenzenschemas (1) und (2)
3.3. Die Berechnung der Funktion Ti (i=0,..., N)
3.4. Die Berechnung der Nullstellen der Funktion T(t)
3.5. Die Berechnung der Lösung der freien Randwertaufgabe
3.6. Möglichkeiten zur Verbesserung einer errechneten Näherungslösung
4. Die Konvergenzuntersuchung bei der numerischen Lösung*
4.1. Die Approximationsordnung der Differenzenschemas (1) und (2)
4.2. Die Konvergenzuntersuchung der Differenzenschemas (1) und (2)
4.3. Die Konvergenzordnung der Funktion Ti (i=0,...,N)
4.4. Die Konvergenz bei der Nullstellensuche
4.5. Die Konvergenz der Lösung der freien Randwertaufgabe
5. Bemerkung zur Anwendbarkeit des Verfahrens*
5.1. Zur Konvergenz der Näherung b
5.2. Eine Möglichkeit zur Anwendung des Verfahrens bei de > 0
6. Die numerische Testung des Verfahrens*
6.1. Die Aufgabenstellung der getesteten Beispiele und die Eigenschaften bezüglich des Verfahrens
6.1.1. Erstes Beispiel
6.1.2. Zweites Beispiel
6.2. Ergebnisse der Rechnungen und Auswertung derselben
7. Zusammenfassung
8. Literaturnachweis
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit widmet sich der Entwicklung eines numerischen Berechnungsverfahrens für die freie Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung. Das primäre Ziel ist es, dieses komplexe Problem durch einen mathematischen Kniff auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen zu reduzieren, für die eine numerische Lösung leichter zugänglich ist.
- Numerische Behandlung freier Randwertaufgaben
- Transformation in Randwertaufgaben mit festen Grenzen
- Konvergenzanalyse numerischer Differenzenschemata
- Theoretische Untersuchung der Lösbarkeit und Existenz
- Praktische Anwendung auf thermodynamische Prozesse
Auszug aus dem Buch
1.2. Einschränkung an die Aufgabenstellung
Um die Stetigkeitseigenschaften der Lösungen der Differentialgleichung und die Konvergenz des angewandten Näherungsverfahrens zur Berechnung dieser Lösungen sichern zu können, machen sich Einschränkungen an die Aufgabenstellung erforderlich.
Die Funktion k(t), k'(t), p(t)und f(t) seien im Intervall [x1,x2] stetig und im selben Intervall sei p(t) ≥ 0 und k(t) ≥ k0 > 0 (k0 ist eine positive Konstante).
Für die Koeffizienten der Bedingung am linken Rand gelte d * e ≤ 0. Diese Einschränkungen werden im weiteren als vorausgesetzt angenommen. In den meisten Anwendungsfällen sind diese Einschränkungen erfüllt. Also sind die Einschränkungen eigentlich keine.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung und Grundlagen: Einführung in das Problem der freien Randwertaufgabe bei der Wärmeleitgleichung und Festlegung der Aufgabenstellung sowie mathematischer Voraussetzungen.
2. Das Verfahren: Detaillierte Herleitung der Reduktion der freien Randwertaufgabe auf zwei einfacher zu berechnende Randwertaufgaben mit festen Rändern sowie analytische Absicherung.
3. Numerische Realisierung des Verfahrens*: Beschreibung des Differenzenverfahrens zur approximativen Lösung der Randwertaufgaben und der Bestimmung von Nullstellen.
4. Die Konvergenzuntersuchung bei der numerischen Lösung*: Mathematische Prüfung der Konvergenzordnung und Konvergenzeigenschaften der verwendeten Differenzenschemata.
5. Bemerkung zur Anwendbarkeit des Verfahrens*: Analyse der Anwendungsbedingungen, insbesondere der Konvergenz der Näherung und Möglichkeiten für spezielle Parameterkonstellationen.
6. Die numerische Testung des Verfahrens*: Validierung des Verfahrens anhand ausgewählter Rechenbeispiele und Auswertung der numerischen Ergebnisse.
7. Zusammenfassung: Abschließende Reflexion über die Leistungsfähigkeit, Universalität und die mathematischen Einschränkungen des entwickelten Lösungsansatzes.
8. Literaturnachweis: Auflistung der verwendeten fachwissenschaftlichen Literatur und Referenzwerke.
Schlüsselwörter
Wärmeleitgleichung, freie Randwertaufgabe, Differenzenverfahren, numerische Berechnung, Randwertaufgabe, Differentialgleichung, Konvergenz, Approximation, numerische Mathematik, Randbedingungen, mathematische Modellierung, Gitterpunkte
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die numerische Lösung der freien Randwertaufgabe bei einer eindimensionalen Wärmeleitgleichung.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die zentralen Themen sind die Transformation von Randwertproblemen, die numerische Lösung mittels Differenzenschemata und die mathematische Konvergenzanalyse.
Welches Ziel verfolgt der Autor primär?
Das Ziel ist die Vereinfachung der freien Randwertaufgabe durch die Überführung in Randwertprobleme mit festen Grenzen, um sie numerisch berechenbar zu machen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden angewendet?
Es wird primär ein analytisches Reduktionsverfahren in Kombination mit einem numerischen Differenzenverfahren zur näherungsweisen Lösung verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der theoretischen Absicherung der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen sowie der praktischen numerischen Realisierung und Konvergenzprüfung.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am besten?
Zu den Schlüsselwörtern zählen Wärmeleitgleichung, numerische Mathematik, Differenzenverfahren und Randwertaufgabe.
Warum ist die Wahl der festen Ränder für das Verfahren entscheidend?
Die Wahl der festen Grenzen ermöglicht erst die numerische Berechnung, da bei freien Grenzen die Berechnung wesentlich erschwert wäre.
Was ist eine Schwäche des vorgestellten Verfahrens?
Eine Schwäche liegt bei der Nullstellensuche der Hilfsfunktion T(t), da bei einem Verschwinden der ersten Ableitung T'(b)=0 die Konvergenz nicht mehr gesichert ist.
- Quote paper
- Stefan Pschera (Author), 1978, Eine Variante zur numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/210639
