In der mathematischen Praxis treten Probleme auf, die die Lösung einer freien Randwertaufgabe benötigen. Ist es nicht möglich, diese Lösung auf analytischen Weg zu finden, macht sich eine numerische Berechnung der Lösung erforderlich. Diese Berechnung wird durch die freie Grenze wesentlich erschwert. In dieser Arbeit wird die freie Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung betrachtet. Mit einem Trick wird die freie Randwertaufgabe auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert. Offen bleibt die Frage, ob sich dieses Verfahren der Reduktion auch mehrdimensional anwenden läßt.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung und Grundlagen
- 1.1. Aufgabenstellung
- 1.2. Einschränkung an die Aufgabenstellung
- 1.3. Aussagen über die Lösungen der Differentialgleichung
- 2. Das Verfahren
- 2.1. Aussagen über die Lösung der Randwertaufgaben mit festen Rand
- 2.2. Analytische Betrachtung des Verfahrens
- 2.3 Aussagen über die Lösbarkeit der freien Randwertaufgabe
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung. Ziel ist es, ein Verfahren zu entwickeln, das die freie Randwertaufgabe auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert, um die numerische Berechnung zu vereinfachen. Die Arbeit untersucht die Lösbarkeit und Konvergenz des vorgeschlagenen Verfahrens.
- Numerische Lösung der freien Randwertaufgabe
- Reduktion auf Randwertaufgaben mit festen Grenzen
- Analyse der Lösbarkeit und Eindeutigkeit
- Untersuchung der Konvergenz des Verfahrens
- Anwendbarkeit des Verfahrens
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung und Grundlagen: Dieses Kapitel führt in die Problematik der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung ein. Es wird die Aufgabenstellung präzise definiert, wobei die gegebenen Parameter und Randbedingungen detailliert beschrieben werden. Es werden Einschränkungen an die Aufgabenstellung formuliert, um die Stetigkeitseigenschaften der Lösungen und die Konvergenz des später vorgestellten Näherungsverfahrens zu gewährleisten. Schließlich werden wichtige Aussagen über die Existenz, Eindeutigkeit und Stetigkeitseigenschaften der Lösungen der zugrundeliegenden Differentialgleichung getroffen und mathematisch bewiesen, basierend auf Sätzen über die Lösbarkeit von Differentialgleichungen unter gegebenen Randbedingungen. Diese Grundlagen bilden die Basis für das Verständnis und die Analyse des im Folgenden vorgestellten Lösungsansatzes.
2. Das Verfahren: Dieses Kapitel beschreibt das Kernverfahren der Arbeit. Die zentrale Idee besteht darin, die komplexe freie Randwertaufgabe auf zwei einfachere Randwertaufgaben mit festen Grenzen zu reduzieren. Es wird erklärt, wie die Lösungen dieser beiden Randwertaufgaben linear kombiniert werden, um die Lösung der ursprünglichen freien Randwertaufgabe zu erhalten. Der Abschnitt geht detailliert auf die Eigenschaften der Lösungen der Randwertaufgaben mit festen Grenzen ein und liefert mathematische Beweise für deren Existenz, Eindeutigkeit und positive Eigenschaften unter verschiedenen Bedingungen. Diese mathematischen Begründungen sind essentiell für die Validität des gesamten Lösungsansatzes.
Schlüsselwörter
Freie Randwertaufgabe, eindimensionale Wärmeleitgleichung, numerische Berechnung, Randwertaufgaben mit festen Grenzen, Konvergenz, Lösbarkeit, Differentialgleichung, Approximationsordnung.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Arbeit: Numerische Lösung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung
Was ist der Gegenstand dieser Arbeit?
Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung. Das Hauptziel ist die Entwicklung eines Verfahrens, das diese komplexe Aufgabe vereinfacht, indem es sie auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert.
Welche Methode wird in der Arbeit vorgestellt?
Die Arbeit präsentiert ein Verfahren, welches die freie Randwertaufgabe auf zwei einfachere Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert. Die Lösung der ursprünglichen Aufgabe wird dann durch lineare Kombination der Lösungen dieser beiden einfacheren Aufgaben erhalten.
Welche Aspekte der Methode werden untersucht?
Die Arbeit untersucht die Lösbarkeit und Eindeutigkeit der resultierenden Randwertaufgaben mit festen Grenzen sowie die Konvergenz des vorgeschlagenen Verfahrens. Es wird analysiert, unter welchen Bedingungen das Verfahren anwendbar ist und wie die Genauigkeit der Approximation beurteilt werden kann.
Wie ist die Arbeit strukturiert?
Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptkapitel: Kapitel 1 befasst sich mit der Einleitung und den Grundlagen, einschließlich der Problemstellung, der Einschränkungen und der Eigenschaften der Lösungen der Differentialgleichung. Kapitel 2 beschreibt das Kernverfahren, analysiert dessen Eigenschaften und beweist die Lösbarkeit und Eindeutigkeit der zugehörigen Randwertaufgaben.
Welche Randbedingungen werden betrachtet?
Die Arbeit betrachtet eine freie Randwertaufgabe, bei der die Randbedingungen nicht im Voraus festgelegt sind, sondern Teil des Problems darstellen. Das vorgeschlagene Verfahren reduziert diese Aufgabe auf Randwertaufgaben mit festen, vorgegebenen Grenzen.
Welche mathematischen Konzepte werden verwendet?
Die Arbeit verwendet Konzepte aus der Theorie der Differentialgleichungen, insbesondere im Zusammenhang mit der Lösbarkeit und Eindeutigkeit von Randwertaufgaben. Weiterhin werden numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt und deren Konvergenz untersucht.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Freie Randwertaufgabe, eindimensionale Wärmeleitgleichung, numerische Berechnung, Randwertaufgaben mit festen Grenzen, Konvergenz, Lösbarkeit, Differentialgleichung, Approximationsordnung.
Für wen ist diese Arbeit relevant?
Diese Arbeit ist relevant für Wissenschaftler und Ingenieure, die sich mit der numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen, insbesondere der Wärmeleitgleichung, befassen. Sie bietet einen neuen Ansatz zur Lösung freier Randwertaufgaben und liefert detaillierte mathematische Beweise und Analysen.
- Quote paper
- Stefan Pschera (Author), 1978, Eine Variante zur numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/210639
