Eine Variante zur numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung

Lösung als Aufgabe mit festen Grenzen über Linearkombination


Diplomarbeit, 1978

11 Seiten, Note: 1


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung und Grundlagen
1.1. Aufgabenstellung
1.2. Einschränkung an die Aufgabenstellung
1.3. Aussagen über die Lösungen der Differentialgleichung

2. Das Verfahren
2.1. Aussagen über die Lösung der Randwertaufgaben mit festen Rand
2.2. Analytische Betrachtung des Verfahrens
2.3 Aussagen über die Lösbarkeit der freien Randwertaufgabe

3. Numerische Realisierung des Verfahrens*
3.1. Berechnung der Lösungen der Randwertaufgaben
3.2. Aussagen über die Lösungen der Differenzenschemas (1) und (2)
3.3. Die Berechnung der Funktion Ti (i=0,..., N)
3.4. Die Berechnung der Nullstellen der Funktion T(t)
3.5. Die Berechnung der Lösung der freien Randwertaufgabe
3.6. Möglichkeiten zur Verbesserung einer errechneten Näherungslösung

4. Die Konvergenzuntersuchung bei der numerischen Lösung*
4.1. Die Approximationsordnung der Differenzenschemas (1) und (2)
4.2. Die Konvergenzuntersuchung der Differenzenschemas (1) und (2)
4.3. Die Konvergenzordnung der Funktion Ti (i=0,...,N)
4.4. Die Konvergenz bei der Nullstellensuche
4.5. Die Konvergenz der Lösung der freien Randwertaufgabe

5. Bemerkung zur Anwendbarkeit des Verfahrens*
5.1. Zur Konvergenz der Näherung b
5.2. Eine Möglichkeit zur Anwendung des Verfahrens bei de >

6. Die numerische Testung des Verfahrens*
6.1. Die Aufgabenstellung der getesteten Beispiele und die Eigenschaften bezüglich des Verfahrens
6.1.1. Erstes Beispiel
6.1.2. Zweites Beispiel
6.2. Ergebnisse der Rechnungen und Auswertung derselben

7. Zusammenfassung

8. Literaturnachweis

Anlage: Maschinenausdrucke (R300) der numerischen Testung*

* Abschnitte 3-6 und Anlage sind in dieser Version nicht enthalten.

1. Einleitung und Grundlagen

In der mathematischen Praxis treten Probleme auf, die die Lösung einer freien Randwertaufgabe benötigen. Ist es nicht möglich, diese Lösung auf analytischen Weg zu finden, macht sich eine numerische Berechnung der Lösung erforderlich. Diese Berechnung wird durch die freie Grenze wesentlich erschwert. In dieser Arbeit wird die freie Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung betrachtet. Mit einem Trick wird die freie Randwertaufgabe auf die Lösung zweier Randwertaufgaben mit festen Grenzen reduziert. Offen bleibt die Frage, ob sich dieses Verfahren der Reduktion auch mehrdimensional anwenden läßt. Ein Anwendungsfall ist das Verbrennen des Hitzeschildes bei Raumflugkörpern.

1.1. Aufgabenstellung

Gegeben seien die Zahlen x1 und x2 (mit x2 > x1), u0, u1, u2, d und e (mit d2 + e2 > 0).
Gegeben seien weiterhin die Koeffizienten der Differenzialgleichung -(k(t)* y´(t))´ + p(t) * y(t) = f(t) im Intervall [x1,x2]. Gesucht sind alle Werte b aus dem Intervall [x1,x2], wobei zu jedem Wert b eine Funktion y(t) existiert, welche Lösung der Differentialgleichung ist und den folgenden Randbedingung genügt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Problem wird als freie Randwertaufgabe bezeichnet. Der Wert b und dazugehörige Funktion y(t) gelten als Lösung der freien Randwertaufgabe.

1.2. Einschränkung an die Aufgabenstellung

Um die Stetigkeitseigenschaften der Lösungen der Differentialgleichung und die Konvergenz des angewandten Näherungsverfahrens zur Berechnung dieser Lösungen sichern zu können, machen sich Einschränkungen an die Aufgabenstellung erforderlich.

Die Funktion k(t), k'(t), p(t)und f(t) seien im Intervall [x1,x2] stetig und im selben Intervall sei p(t) ≥ 0 und k(t) ≥ k0 > 0 (k0 ist eine positive Konstante).

Für die Koeffizienten der Bedingung am linken Rand gelte d * e ≤ 0. Diese Einschränkungen werden im weiteren als vorausgesetzt angenommen. In den meisten Anwendungsfällen sind diese Einschränkungen erfüllt. Also sind die Einschränkungen eigentlich keine.

1.3. Aussagen über die Lösungen der Differentialgleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis: Die Stetigkeitsvoraussetzungen des Satzes lassen sich durch den Polynomsatz auf das Intervall [x1 - ε,x2 + ε] mit ε > 0 erweitern. Die Differentialgleichung ist darstellbar in der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach Literatur 1 folgt die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung y(t) der Differentialgleichung mit den Bedingungen y(x) = C0 und y'(x)= C1. Außerdem gilt y(t) = C(2) [x1 - ε, x2 + ε]. Die Gleichung 1 schrittweise differenziert zeigt die Stetigkeit der Funktionen y(3)(t), y(4)(t), .. y(i+2)(t).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beweis

Die Funktion r(t) löse die inhomogene Differentialgleichung und erfülle die Randbedingungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Funktion s(t) löse die homogene Differentialgleichung -(k(t) * y'(t))' + p(t) * y(t) = 0 und erfülle die Randbedingungen s(x1) = e und s'(x1) = -d

Nach dem Satz 1 existieren beide Lösungen, sind eindeutig und enthalten in C(i)[x1,x2]

Für die Funktion s(t) gilt s(x2) ≠ 0, denn sei s(x2) = 0, dann existiert ein Punkt x ∈ [x1,x2] mit s'(x) = 0 (die Randbedingungen ergeben s(x1) * s'(x1) = - d * e ≥ 0). Das heißt, in x hat die Funktion s(t) ein lokales Extremum, welches wegen s(x2) = 0 entweder ein positives Maximum oder ein negatives Minimum ist. Im Punkt x lautet die Differentialgleichung k(x) * s''(x) = p(x) * s(x) und ist damit nur erfüllbar für s(t) identisch Null. Dem stehen aber die Randbedingungen im Widerspruch. Somit ist die Funktion y(t) = r(t) + (f-r(x2)) / s(x2)* s(t) existent.

Die Funktion y(t) löst die inhomogene Differentialgleichung und ist enthalten in C(i)[x1,x2], da y(t) eine Linearkombination der Funktionen r(t) und s(t) ist. Außerdem erfüllt y(t) die Randbedingungen

d * y(x1) + e * y'(x1) = d * r(x1) +e * r'(x1) + (f - r(x2)) / s(x2) * d * s(x1) e * s'(x1) = g und y(x2) = r(x2) + f - r(x2) = f

Damit ist der Satz 2 bewiesen bis auf die Eindeutigkeit der Lösung. Es ist noch zu zeigen, daß die Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

nur die triviale Lösung hat. Sei also die Funktion w(t) eine Lösung der Gleichung 2. Es gelte max w(t) = w(x) > 0 . Dann gilt wegen der Randbedingungen x ∈ [x1,x2] und somit w'(x) = 0. Mittels der Differentialgleichung ergibt sich im Punkt x ein Widerspruch. Also ist max. w(t) = 0. Bei min w(t) < 0 ergibt sich ebenfalls ein Widerspruch.

[...]

Ende der Leseprobe aus 11 Seiten

Details

Titel
Eine Variante zur numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung
Untertitel
Lösung als Aufgabe mit festen Grenzen über Linearkombination
Note
1
Autor
Jahr
1978
Seiten
11
Katalognummer
V210639
ISBN (eBook)
9783668089662
ISBN (Buch)
9783668089679
Dateigröße
671 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Abschnitte 3-6 sowie der Anhang sind in dieser Version nicht enthalten. Diese Abschnitte wurden wegen des Aufwandes nicht digital erfaßt. Es ist mathematische Routine. Die Reduktion auf Randwertaufgaben mit festen Grenzen ist das Besondere an dieser Diplomarbeit.
Schlagworte
eine, variante, berechnung, randwertaufgabe, wärmeleitgleichung, lösung, aufgabe, grenzen, linearkombination
Arbeit zitieren
Stefan Pschera (Autor), 1978, Eine Variante zur numerischen Berechnung der freien Randwertaufgabe der eindimensionalen Wärmeleitgleichung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/210639

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