Nachweis der Erdbebensicherheit bei hohen Talsperren (Erddämme) mit numerischen Methoden

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Bodendynamik
1.1 Einführung Bodendynamik
1.2 Grundlagen der Dynamik - Schwingungen
1.2.1 Begriffe und Bewegungsdifferenzialgleichung
1.2.2 Einmassenschwinger
1.2.3 Mehrmassenschwinger
1.2.4 Nicht-lineare Massenschwinger
1.3 Wellenausbreitung
1.3.1 Wellentypen
1.3.2 Wellenausbreitung im elastischen Raum
1.3.3 Wellenausbreitung im elastischen Halbraum
1.3.4 Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten
1.3.5 Dämpfung der Wellenenergie
1.3.6 Energieanteil der Wellentypen

2 Materialverhalten von Böden bei dynamischen Einwirkungen
2.1 Einführung
2.2 Beschreibung des dynamischen Materialverhaltens - Stoffmodelle
2.2.1 Linear-äquivalente Stoffmodelle
2.2.2 Anwendung elastoplastischer Stoffmodelle in der Bodendynamik
2.2.3 Prinzipieller Aufbau elastoplastischer Stoffmodelle
2.2.4 Berücksichtigung kleiner Scherdehnungen
2.3 Dynamische Einflussgrößen
2.3.1 Bodenphysikalische Eigenschaften
2.3.2 Ansatz dynamischer Bodenkennwerte in numerischen Berech- nungen
2.4 Bodenverflüssigung
2.4.1 Das Phänomen der Bodenverflüssigung
2.4.2 Abschätzung des Verflüssigungspotenzials

3 Erdbeben
3.1 Einführung
3.2 Erdbebeneinwirkung
3.2.1 Entstehung von Erdbeben
3.2.2 Erdbebenstärke
3.3 Einfluss lokaler Standortbedingungen - Baugrundschichtung
3.3.1 Ausbreitung von Erdbebenwellen im geschichteten Untergrund
3.3.2 Verstärkungseffekte von Erdbebeneinwirkungen im geschich- teten Untergrund
3.4 Auswirkungen von Erdbeben auf Stauanlagen - Erddämme

4 Erdbebenbeanspruchung von hohen Erddämmen (Stand der Technik)
4.1 Einführung
4.2 Nachweis der Erdbebensicherheit bei hohen Erddämmen
4.2.1 Nachweise und Sicherheitskonzept nach DIN
4.2.2 Umfang erforderlicher Nachweise im Lastfall Erdbeben
4.3 Ermittlung der Erdbebeneinwirkung
4.3.1 Klassifizierung der Untergrundverhältnisse
4.3.2 Ermittlung der Bodenbeschleunigung nach DIN EN 1998-1
4.3.3 Ermittlung der Bodenbeschleunigung für die Wiederkehrperi- oden gemäß den Anforderungen der DIN
4.4 Dynamische Berechnungsverfahren bei hohen Erddämmen unter Erd- bebenbelastung
4.4.1 Antwortspektrenverfahren
4.4.2 Zeitschrittverfahren
4.4.3 Böschungsstabilität
4.4.4 Prinzipielle Vorgehensweise beim Nachweis der Erdbebensi- cherheit an hohen Erddämmen
4.5 Modellbildung bei dynamischen Berechnungsverfahren
4.5.1 Antwortspektrenverfahren
4.5.2 Zeitschrittverfahren
4.6 Spannungszustände von Erddämmen unter Erdbebeneinwirkung .
4.6.1 Dynamischer Spannungszustand
4.6.2 Einflüsse auf dynamische Spannungszustände
4.7 Schwingverhalten von hohen Erddämmen
4.7.1 Verwendung von Eigenfrequenzen
4.7.2 Ermittlung von Eigenfrequenzen von Erddämmen
4.7.3 Bandbreite der Eigenfrequenzen hoher Erddämme (h ≥ 40 m)
4.7.4 Eigenformen von Erddämmen
4.8 Zusammenfassung zum Stand der Technik zur Erdbebenbeanspru- chung von hohen Erddämmen
4.8.1 Nachweis der Erdbebensicherheit bei hohen Erddämmen
4.8.2 Ermittlung der Erdbebeneinwirkung
4.8.3 Dynamische Berechnungsverfahren bei hohen Erddämmen un- ter Erdbebenbelastung
4.8.4 Modellbildung bei dynamischen Berechnungsverfahren
4.8.5 Spannungszustände von Erddämmen unter Erdbebeneinwirkung152
4.8.6 Schwingverhalten von hohen Erddämmen

5 Parameterstudien
5.1 Untersuchungsprogramm
5.2 Grundlagen der Parameterstudien
5.2.1 Dammgeometrie und Untergrundverhältnisse
5.2.2 Berechnungsprogramm und Randbedingungen
5.2.3 Erdbebenbeanspruchung und -zeitverläufe
5.3 Parameterstudie - Modellbildung
5.3.1 Einführung
5.3.2 Mächtigkeit des Untergrundes
5.3.3 Modellbreite
5.3.4 Ansatz des spezifischen Eigengewichts im Untergrund
5.3.5 Überprüfung der erforderlichen Modellbreite
5.3.6 Zusammenfassung der Ergebnisse der Parameterstudie zur Mo- dellbildung
5.4 Parameterstudie - Netzdiskretisierung
5.4.1 Einführung
5.4.2 Einfluss des Detaillierungsgrades
5.4.3 Einfluss der Netzfeinheit
5.4.4 Zusammenfassung der Ergebnisse der Parameterstudie Netz- diskretisierung
5.5 Parameterstudien zu weiteren Ansätzen bei der Modellbildung
5.5.1 Einführung
5.5.2 Ansatz der Materialdämpfung
5.5.3 Ansatz einer Wassermasse
5.5.4 Zusammenfassung der Ergebnisse der Parameterstudie zu wei- teren Ansätzen bei der Modellbildung
5.6 Parameterstudie elastoplastische Stoffmodelle bei dynamischer Bean- spruchung
5.6.1 Einführung
5.6.2 Ansatz elastoplastischer Stoffmodelle
5.6.3 Empfehlung zum Ansatz elastoplastischer Stoffmodelle bei dy- namischen Berechnungen
5.7 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung
5.7.1 Einführung
5.7.2 Vorschlag eines alternativen Ansatzes der Erdbebenbeanspru- chung
5.7.3 Empfehlung zur Anregung des Berechnungsmodells
5.8 Wahl des Berechnungsmodells
5.8.1 Einführung
5.8.2 Berechnungsausschnitt und Randbedingungen
5.8.3 Berechnungsnetz
5.8.4 Materialdämpfung
5.8.5 Ansatz des Wasserstandes und Strömungskräfte
5.8.6 Materialverhalten und Erdbebenverläufe
5.9 Untersuchungen des dynamischen Verhaltens von hohen Erddämmen
5.9.1 Untersuchungen
5.9.2 Verteilung der Antwortbeschleunigungen im Dammkörper .
5.9.3 Verformungen
5.9.4 Spannungszustände

6 Nachweis der Erdbebensicherheit
6.1 Einführung
6.2 Vorschlag zur Vorgehensweise beim Nachweis der Erdbebensicherheit
6.2.1 Grundlagenermittlung
6.2.2 Modellbildung
6.2.3 Erdbebensimulation
6.2.4 Nachweis der Standsicherheit
6.2.5 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit
6.2.6 Nachweis der Betriebssicherheit
6.2.7 Nachweis der Erdbebensicherheit
6.3 Beispiel einer Erdbebensimulation an einem hohen Erddamm
6.3.1 Berechnungsgrundlagen
6.3.2 Berechnungsannahmen
6.3.3 Ergebnisse der numerischen Berechnung
6.3.4 Nachweis der Erdbebensicherheit
6.3.5 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit
6.3.6 Nachweis der Betriebssicherheit

7 Zusammenfassung

8 Glossar

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1.1 Harmonische ungedämpfte Schwingung einer Masse

1.2 Punkt auf sich drehender Scheibe - Kreisfrequenz

1.3 Allgemeiner Einmassenschwinger mit angreifender Kraft

1.4 Freier ungedämpfter Einmassenschwinger

1.5 Freier gedämpfter Einmassenschwinger

1.6 Schwingverhalten unterschiedlicher Dämpfungen (nach [48])

1.7 Harmonisch erregter Einmassenschwinger

1.8 Arten der Krafterregung (nach [73])

1.9 Darstellung der Vergrößerungsfunktion V in Abhängigkeit vom Ab- stimmverhältnis η und dem Dämpfungsverhältnis D (nach [35]) .

1.10 Fußpunkterregter Einmassenschwinger

1.11 Harmonisch erregter Einmassenschwinger

1.12 Darstellung möglicher Wellentypen (nach [48])

1.13 Spannungskomponenten eines Quaders im elastischen (Voll-) Raum (nach [32])

1.14 Wellenausbreitung im elastischen Halbraum an einem Kreisfunda- ment (nach [79])

1.15 Messtechnisch aufgenommene Bodenverschiebung bei einem Erdbe- benereignis mit Kennzeichnung des Eintretens unterschiedlicher Wel- lentypen (nach [32])

2.1 Schematische Darstellung einer Spannungs-Dehnungs-Beziehung un- ter statischer und zyklischer Belastung (in Anlehnung an [48] und [49])

2.2 Schematische Darstellung elastoplastischer Bodenmodelle im Spannungs- Dehnungs-Diagramm (nach [71])

2.3 Spannungs-Dehnungs-Beziehung eines Spannungspunktes in Abhän- gigkeit von der Fließbedingung f (nach [71])

2.4 Allgemeine zwei-dimensionale Darstellung der Zusammenhänge der Fließregel (nach [71])

2.5 Darstellung einer Fließfläche im p-q-Diagramm sowie im Hauptspan- nungsraum (nach [71])

2.6 Schematische Darstellung des möglichen Spannungs-Dehnungs-Verhaltens elastoplastischer Stoffmodelle (nach [71])

2.7 Darstellung des Verfestigungsverhaltens elastoplastischer Stoffmo- delle im Hauptspannungsraum (nach [68])

2.8 Charakteristisches Verhalten des Schubmoduls in Abhängigkeit ty- pischer Scherdehnungen γs (nach [63])

2.9 Darstellung der erforderlichen Bodenkennwerte zur Beschreibung der Steifigkeit in Abhängigkeit von der Scherdehnung γs (nach [23]) . .

2.10 Verstärkung des dynamischen Steifemoduls in Abhängigkeit des sta- tischen Steifemoduls bei Lockergesteinsböden (nach [33])

2.11 Größenordnung der sich ergebenden Scherdehnungen γs bei unter- schiedlichen dynamischen Belastungen (nach [40])

2.12 Schematische Darstellung des Zusammenhangs zwischen dynamischem Schubmodul Gd und der Schubdehnung γs (in Anlehnung an [83]) .

2.13 Verlauf der Abminderung des Schubmoduls in Abhängigkeit von der Plastizitätszahl IP (nach [22])

2.14 Abschätzung der Größe des bezogenen Schubmoduls in Abhängigkeit von der Schubdehnung γs (nach [33])

2.15 Einfluss von Porenzahl e und Normalspannung σ 3 auf den Schubmo- dul G 0 (nach [81])

2.16 Einfluss von Porenzahl e auf den bezogenen Schubmodul im Bereich 10 − [6] < γs < 10 − [3] (nach [81])

2.17 Schematische Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Materi- aldämpfung D und dem dynamischen Schubmodul Gd in Abhängig- keit von der Schubdehnung γs (nach [40])

2.18 Schematische Darstellung einer Hysteresenschleife (in Anlehnung an [33])

2.19 Abschätzung der Größe der Materialdämpfung D in Abhängigkeit von der Schubdehnung γs (nach [33])

2.20 Auswirkung der Bodenverflüssigung - Kippen von Gebäuden (aus [48])

2.21 Abschätzung der Gefahr einer Bodenverflüssigung anhand der Korn- verteilung mit Darstellung verflüssigungsempfindlicher Zonen (nach [16])

3.1 Verschiebungen der Plattenränder und Bereiche potenzieller Erdbe- ben im Bereich einer Subduktionszone (aus [48])

3.2 Begrifflichkeiten zur Beschreibung des Erdbebenherdes (nach [48])

3.3 Bruchbewegungen des Erdbebenherdes in der Verwerfungsfläche (nach [48])

3.4 Vergleich der unterschiedlichen Magnitudenverläufe (aus [48])

3.5 Aufnahme des Geschwindigkeits-Zeitverlaufs eines Erdbebens an zwei Messstationen auf unterschiedlichem Untergrund (nach [32])

3.6 Schematische Darstellung der Begrifflichkeit von Bodenbewegungen in Abhängigkeit von der Standortbedingung (nach [32])

3.7 Schematische Ausbreitung der Raumwellen vom Erdbebenherd zur Geländeoberfläche

3.8 Darstellung des vereinfachten Baugrundmodells zur Beschreibung des Verstärkungseffektes im geschichteten Boden (in Anlehnung an [50])

3.9 Schematische Darstellung des Verstärkungseffektes im geschichteten Baugrund mit Darstellung des Einflusses aus Dämpfung und Schicht- mächtigkeit (nach [50] und [15])

3.10 Beispielhafte Darstellung der Ergebnisse einer Modellrechnung mit unterschiedlichen Schichtmächtigkeiten des Lockergesteins in Form von Beschleunigungs-Zeitverläufen (nach [32])

3.11 Schematische Darstellung der Verstärkung der Beschleunigungsant- worten (in Form von Antwortspektren) bei unterschiedlichen Unter- grundverhältnissen (nach [13])

4.1 Grafische Darstellung der Erdbebengefährdungsgebiete für Nachwei- se an hohen Talsperren nach DIN 19700 (nach [43])

4.2 Darstellung der Untergrundklassen bezogen auf die Erdbebenzonen in Deutschland (nach [10])

4.3 Darstellung der Erdbebenzonen in Deutschland (nach [10])

4.4 Schematische Darstellung eines Antwortspektrums für eine Wieder- kehrperiode T = 2 . 500 a gemäß DIN 19700 (nach [60])

4.5 Beispielhafte Darstellung eines Antwortspektrums (Untergrundklas- se R) nach DIN 19700 im Vergleich mit einem eingehängten Antwort- spektrum (B-R) nach DIN EN 1998-1 - Wiederkehrperiode T = 500 a 114

4.6 Schematische Darstellung eines künstlich generierten Beschleuni- gungs- Zeitverlaufes

4.7 Schematische Darstellung der Überlagerung eines künstlich gene- rierten Beschleunigungs-Zeitverlaufes im Antwortspektrum mit dem Vorgabe-Antwortspektrum

4.8 Prinzipieller Ablauf beim Nachweis der Erdbebensicherheit mit dy- namischen Nachweisverfahren (nach [37])

4.9 Definition von V-förmigen Tälern (nach [37])

4.10 Geometrie des Modelldamms zur Untersuchung bestimmter Einflüsse auf die dynamischen Spannungszustände eines Erddammes (nach [59])127

4.11 Zeitverlauf der Scherdehnungen γs zur Untersuchung der ungünstigs- ten Spannungen im Dammkörper (nach [59])

4.12 Veränderung der Schubspannungsverteilung (in [ kN/m [2]]) im Damm- querschnitt unter Erdbebeneinwirkung (nach [59])

4.13 Einfluss der Lagerungsdichte auf die Schubspannungsverteilung (in [ kN/m [2]]) im Dammquerschnitt bei dynamischer Belastung (nach [59])130

4.14 Einfluss der Wasserauflast auf die Schubspannungsverteilung (in [ kN/m [2]]) im Dammquerschnitt bei dynamischer Belastung (nach [59])

4.15 Beispielhafte Darstellung eines Antwortspektrums mit Darstellung der Antwortbeschleunigungen in Abhängigkeit unterschiedlicher Ei- genwerte

4.16 Bestimmung der Grundfrequenz f 0 (nach [64])

4.17 Vergleich der 1. - 5. Eigenform ohne und mit Berücksichtigung des spezifischen Eigengewichts im Untergrund (nach [86])

5.1 Querschnitt des verwendeten Modelldammes und Darstellung der Untergrundsituation

5.2 Antwortspektrum mit einer Wiederkehrperiode T = 500 a für den gewählten Standort des Modelldammes (nach [60])

5.3 Antwortspektrum mit einer Wiederkehrperiode T = 2 . 500 a für den gewählten Standort des Modelldammes (nach [60])

5.4 Eingehängtes Antwortspektrum mit einer Wiederkehrperiode T = 500 a für den gewählten Standort des Modelldammes

5.5 Eingehängtes Antwortspektrum mit einer Wiederkehrperiode T = 2 . 500 a und 10%-iger Dämpfung für den gewählten Standort des Modelldam- mes

5.6 Künstlich erzeugter Erdbebenverlauf des im Rahmen der Parameter- studien verwendeten Testbebens

5.7 Künstlich erzeugter Erdbebenverlauf des im Rahmen der Parameter- studien verwendeten Betriebserdbebens

5.8 Künstlich erzeugter Erdbebenverlauf des im Rahmen der Parameter- studien verwendeten Bemessungserdbebens

5.9 Überlagerung des Antwortspektrums aus dem horizontalen Verlauf des Bemessungserdbebens mit dem zugehörigen eingehängten Ant- wortspektrum

5.10 Ergebnis der Untersuchung der Modelltiefe - Horizontale Verschie- bung Dammkrone

5.11 Ergebnis der Untersuchung der Modelltiefe - Horizontale Verschie- bung Dammsohle

5.12 Ergebnis der Untersuchung der Modelltiefe - Vertikale Verschiebung Dammkrone

5.13 Ergebnis der Untersuchung der Modelltiefe - Vertikale Verschiebung Dammsohle

5.14 Ergebnis der Untersuchung der Modelltiefe - Resultierende Beschleu- nigungen an der Dammsohle

5.15 Schematische Darstellung der Lage des Auswertungspunktes bei der Ermittlung der erforderlichen Modellbreite

5.16 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Horizontale Beschleu- nigung Modellbreite 3B

5.17 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Vertikale Beschleuni- gung Modellbreite 3B

5.18 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Horizontale Beschleu- nigung Modellbreite 4B

5.19 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Vertikale Beschleuni- gung Modellbreite 4B

5.20 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Horizontale Beschleu- nigung Modellbreite 5B

5.21 Ergebnis der Untersuchung der Modellbreite - Vertikale Beschleuni- gung Modellbreite 5B

5.22 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Ver- gleich der horizontalen Beschleunigung (5B A-40 F0)

5.23 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Ver- gleich der vertikalen Beschleunigung (5B A-40 F0)

5.24 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Ver- gleich der horizontalen Beschleunigung (5B A-40 F5)

5.25 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Ver- gleich der vertikalen Beschleunigung (5B A-40 F5)

5.26 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Horizon- tale Beschleunigung (Variation v01)

5.27 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Vertikale Beschleunigung (Variation v01)

5.28 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Horizon- tale Beschleunigung (Variation v02)

5.29 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Vertikale Beschleunigung (Variation v02)

5.30 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Horizon- tale Beschleunigung (Variation v03)

5.31 Ergebnis der Untersuchung des spezifischen Eigengewichts - Vertikale Beschleunigung (Variation v03)

5.32 Ergebnis der ergänzenden Untersuchung des spezifischen Eigenge- wichts - Horizontale Beschleunigung (Variation v01)

5.33 Ergebnis der ergänzenden Untersuchung des spezifischen Eigenge- wichts - Vertikale Beschleunigung (Variation v01)

5.34 Ergebnis der ergänzenden Untersuchung des spezifischen Eigenge- wichts - Horizontale Beschleunigung (Variation v03)

5.35 Ergebnis der ergänzenden Untersuchung des spezifischen Eigenge- wichts - Vertikale Beschleunigung (Variation v03)

5.36 Ergebnis der Überprüfung der Modellbreite - Horizontale Beschleu- nigung (Variation v02)

5.37 Ergebnis der Überprüfung der Modellbreite - Vertikale Beschleuni- gung (Variation v02)

5.38 Erforderliche Mindestabmessungen des Berechnungsmodells zur Si- mulation der Erdbebenbeanspruchung des Dammkörpers

5.39 Schematische Darstellung der Auswertungspunkte - Parameterstudie Einfluss des Detaillierungsgrades

5.40 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vergleich ho- rizontaler Beschleunigungen (Dammkrone Punkt A)

5.41 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vergleich ver- tikaler Beschleunigungen (Dammkrone Punkt A)

5.42 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Beschleunigung des Dammkörpers

5.43 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Be- schleunigung des Dammkörpers

5.44 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Verformung des Dammkörpers

5.45 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Ver- formung des Dammkörpers

5.46 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Beschleunigung der Dichtwand

5.47 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Be- schleunigung der Dichtwand

5.48 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Verformung der Dichtwand

5.49 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Ver- formung der Dichtwand

5.50 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Frequenzver- halten des Dammkörpers (horizontale Beschleunigung)

5.51 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Frequenzver- halten des Dammkörpers (vertikale Beschleunigung)

5.52 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Spannungen σxx - Referenzmodell (MD 5B A-40 F0 v01)

5.53 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Horizontale Spannungen σxx - Vereinfachtes Modell (MD 5B A-40 F0 v04)

5.54 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Span- nungen σyy - Referenzmodell (MD 5B A-40 F0 v01)

5.55 Ergebnis der Untersuchung des Detaillierungsgrades - Vertikale Span- nungen σyy - Vereinfachtes Modell (MD 5B A-40 F0 v04)

5.56 Ausschnitt des verwendeten finite Elemente Netzes zur Untersuchung der Netzfeinheit - Netz grob (ca. 1.500 Elemente)

5.57 Ausschnitt des verwendeten finite Elemente Netzes zur Untersuchung der Netzfeinheit - Netz mittelfein (ca. 1.700 Elemente)

5.58 Ausschnitt des verwendeten finite Elemente Netzes zur Untersuchung der Netzfeinheit - Netz fein (ca. 3.500 Elemente)

5.59 Ausschnitt des verwendeten finite Elemente Netzes zur Untersuchung der Netzfeinheit - Netz sehr fein (ca. 6.500 Elemente)

5.60 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Vergleich horizontaler Beschleunigungen (Dammkrone Punkt A)

5.61 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Vergleich vertikaler Beschleunigungen (Dammkrone Punkt A)

5.62 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Horizontale Beschleu- nigung des Dammkörpers

5.63 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Vertikale Beschleuni- gung des Dammkörpers

5.64 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Horizontale Verschie- bung des Dammkörpers

5.65 Ergebnis der Untersuchung der Netzfeinheit - Vertikale Verschiebung des Dammkörpers

5.66 Schematische Darstellung des Verlaufs der Rayleigh-Dämpfung nach [24]

5.67 Darstellung des Verlaufs der gewählten Rayleigh-Dämpfung - An- nahme der bisherigen Untersuchungen (5% Dämpfung)

5.68 Schematische Darstellung der Auswertungspunkte - Parameterstudie zum Ansatz der Materialdämpfung

5.69 Ergebnis der Untersuchung der Materialdämpfung - Angeregte Fre- quenzen (horizontale Beschleunigung)

5.70 Ergebnis der Untersuchung der Materialdämpfung - Angeregte Fre- quenzen (vertikale Beschleunigung)

5.71 Ergebnis der Untersuchung der Materialdämpfung - Angeregte Fre- quenzen - Ergänzende Untersuchung (horizontale Beschleunigung)

5.72 Ergebnis der Untersuchung der Materialdämpfung - Angeregte Fre- quenzen - Ergänzende Untersuchung (vertikale Beschleunigung) .

5.73 Verlauf der gewählten Rayleigh-Dämpfung im Betriebserdbeben (5% Dämpfung)

5.74 Verlauf der gewählten Rayleigh-Dämpfung im Bemessungserdbeben (10% Dämpfung)

5.75 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Angeregte Frequenzen (horizontale Beschleunigung) - Betriebserdbeben

5.76 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Angeregte Frequenzen (horizontale Beschleunigung) - Bemessungserdbeben

5.77 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Angeregte Frequenzen (vertikale Beschleunigung) - Betriebserdbeben

5.78 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Angeregte Frequenzen (vertikale Beschleunigung) - Bemessungserdbeben

5.79 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Dammkrone - Betriebserdbeben

5.80 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben

5.81 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Dammkrone - Betriebserdbeben

5.82 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben

5.83 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Wasserseite - Betriebserdbeben

5.84 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Wasserseite - Bemessungserdbeben

5.85 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Wasserseite - Betriebserdbeben

5.86 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Wasserseite - Bemessungserdbeben

5.87 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Luftseite - Betriebserdbeben

5.88 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Horizontale Beschleu- nigung an der Luftseite - Bemessungserdbeben

5.89 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Luftseite - Betriebserdbeben

5.90 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Vertikale Beschleuni- gung an der Luftseite - Bemessungserdbeben

5.91 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Betriebserdbeben (Wasserstand -2m)

5.92 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Bemessungserdbeben (Wasserstand -2m)248

5.93 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Betriebserdbeben (Wasserstand 20m)

5.94 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Bemessungserdbeben (Wasserstand 20m)249

5.95 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Betriebserdbeben (Stauziel ZV 35m) .

5.96 Ergebnis der Untersuchung der Wassermasse - Maximale Beschleu- nigung |a| im Dammkörper - Bemessungserdbeben (Stauziel ZV 35m)

5.97 Schematische Darstellung der Auswertungspunkte - Parameterstudie elastoplastische Stoffmodelle

5.98 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Angereg- te Frequenzen (horizontale Beschleunigung) - Bemessungs-erdbeben

5.99 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Angereg- te Frequenzen (vertikale Beschleunigung) - Bemessungserdbeben

5.100 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Horizon- tale Beschleunigung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben .

5.101 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Vertikale Beschleunigung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben

5.102 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Maxima- le Beschleunigung |a| im Dammkörper - Mohr-Coulomb Modell .

5.103 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Maxima- le Beschleunigung |a| im Dammkörper - Hardening-Soil Modell .

5.104 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Maxima- le Beschleunigung |a| im Dammkörper - HS-Small Modell

5.105 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Entwick- lung der Scherdehnungen γs an der Wasserseite über den Zeitverlauf- Bemessungserdbeben

5.106 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Entwick- lung der Scherdehnungen γs an der Luftseite über den Zeitverlauf -Bemessungserdbeben

5.107 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Horizon- tale Verschiebungen in der Dammachse - Bemessungserdbeben .

5.108 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Vertikale Verschiebungen in der Dammachse - Bemessungserdbeben

5.109 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Horizon- tale Verschiebungen an der Dammhaut - Bemessungserdbeben

5.110 Ergebnis der Untersuchung elastoplastischer Stoffmodelle - Vertikale Verschiebungen an der Dammhaut - Bemessungserdbeben

5.111 Beispielhafte Darstellung der Verteilung des initiierten Schubmoduls zum Zeitpunkt t = 2 , 5 s (HS-Small Modell) - Bemessungs- erdbeben

5.112 Künstlich erzeugter Erdbebenverlauf des Betriebserdbebens (auf der Grundlage des Antwortspektrums nach GFZ / DIN 19700)

5.113 Künstlich erzeugter Erdbebenverlauf des Bemessungserdbebens (auf der Grundlage des Antwortspektrums nach GFZ / DIN 19700) . .

5.114 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Horizontale Be- schleunigung an der Modellunterkante - Bemessungserdbeben

5.115 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Vertikale Beschleu- nigung an der Modellunterkante - Bemessungserdbeben

5.116 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Horizontale Be- schleunigung an der Dammsohle - Bemessungserdbeben

5.117 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Vertikale Beschleu- nigung an der Dammsohle - Bemessungserdbeben

5.118 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Horizontale Be- schleunigung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben

5.119 Alternativer Ansatz der Erdbebenbeanspruchung - Vertikale Beschleu- nigung an der Dammkrone - Bemessungserdbeben

5.120 Gewählter Ausschnitt zur Abbildung des Modelldammes im Berech- nungsmodell für die Simulation von Erdbebenereignissen

5.121 Ausschnitt des gewählten FE-Netzes mit ca. 6 . 500 Elementen

5.122 Maximale horizontale Antwortbeschleunigungen ax,max im Damm- körper

5.123 Minimale horizontale Antwortbeschleunigungen ax,min im Dammkörper290

5.124 Maximale vertikale Antwortbeschleunigungen ay,max im Dammkörper

5.125 Minimale vertikale Antwortbeschleunigungen ay,min im Dammkörper

5.126 Maximale resultierende Antwortbeschleunigung |amax| im Dammkörper292

5.127 Maximale horizontale Verschiebung ux,max im Dammkörper

5.128 Maximale Setzung uy,min des Dammkörpers

5.129 Schematische Darstellung der Auswertungspunkte zur Beschreibung der Verformung der Dichtwand

5.130 Relative horizontale Verformung ux der Dichtwand

5.131 Darstellung der relativen horizontalen Verformung ux der Dichtwand

5.132 Relative vertikale Verformung uy der Dichtwand

5.133 Schematische Darstellung der Auswertungspunkte zur Beschreibung der dynamischen Spannungszustände

5.134 Zeitlicher Verlauf der Scherdehnungen γs im Dammkörper und Mar- kierung der Bereiche zur Untersuchung der dynamischen Spannungs- zustände

5.135 Darstellung ausgewählter horizontaler Spannungszustände im Damm- körper und dem Untergrund

5.136 Detaillierte Darstellung ausgewählter horizontaler Spannungszustän- de im Dammkörper

5.137 Darstellung ausgewählter vertikaler Spannungszustände im Damm- körper und dem Untergrund

5.138 Detaillierte Darstellung ausgewählter vertikaler Spannungszustände im Dammkörper

5.139 Darstellung ausgewählter Schubspannungszustände im Dammkörper und dem Untergrund

5.140 Detaillierte Darstellung ausgewählter Schubspannungszustände im Dammkörper

5.141 Darstellung der Bereiche mit Festigkeitsüberschreitungen und plasti- sches Verformungsverhalten im Dammkörper zum Zeitpunkt t = 0 , 00 s 312

5.142 Darstellung der Bereiche mit Festigkeitsüberschreitungen und plasti- sches Verformungsverhalten im Dammkörper zum Zeitpunkt t = 1 , 46 s 312

5.143 Darstellung der Bereiche mit Festigkeitsüberschreitungen und plasti- sches Verformungsverhalten im Dammkörper zum Zeitpunkt t = 3 , 67 s 313

5.144 Darstellung der Bereiche mit Festigkeitsüberschreitungen und plasti- sches Verformungsverhalten im Dammkörper zum Zeitpunkt t = 5 , 72 s 313

6.1 Vorschlag zur Vorgehensweise beim Nachweis der Erdbebensicherheit an hohen Erddämmen

6.2 Empfehlung zu Wahl des Berechnungsausschnittes

6.3 Vergleich der Antwortbeschleunigungen eines hohen Erddammes mit und ohne Abgeminderten der Scherparameter

6.4 Querschnitt des Modelldammes für den beispielhaften Erdbeben- nachweis

6.5 Antwortspektren für den Standort des Modelldammes gemäß [60] .

6.6 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Betriebserdbe- bens - Satz

6.7 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Bemessungserd- bebens - Satz

6.8 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Betriebserdbe- bens - Satz

6.9 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Bemessungserd- bebens - Satz

6.10 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Betriebserdbe- bens - Satz

6.11 Künstlich erzeugter Beschleunigungs-Zeitverlauf des Bemessungserd- bebens - Satz

6.12 Ergebnis der Erdbebensimulation der Betriebserdbeben - Resultie- rende Verformung |u| des hohen Erddammes

6.13 Ergebnis der Erdbebensimulation der Bemessungserdbeben - Resul- tierende Verformung |u| des hohen Erddammes

6.14 Ergebnis der Erdbebensimulation der Betriebserdbeben - Resultie- rende Beschleunigungen |amax| des hohen Erddammes

6.15 Ergebnis der Erdbebensimulation der Bemessungserdbeben - Resul- tierende Beschleunigungen |amax| des hohen Erddammes

xxxi

Tabellenverzeichnis

1.1 Abweichung der Eigenfrequenz in Abhängigkeit der Dämpfung D.

1.2 Arten der dynamischen Krafterregung (in Anlehnung an [40])

1.3 Vergleich der Wellengeschwindigkeiten bei unterschiedlicher Dichte ρ

2.1 Übersicht erforderlicher und vorhandener Kennwerte zur Beschrei- bung des elastoplastischen Materialverhaltens (nach [23], [71] und [75])

2.2 Feld- und Laborversuche zur Ermittlung von dynamischen Boden- kennwerten (in Anlehnung an [48] und [90])

2.3 Mittlere Kennwerte zur Abschätzung des dynamischen Schubmoduls bei sehr kleinen Scherdehnung Gd 0 (nach [33])

2.4 Typische Querdehnzahlen ν ≈ νdyn unterschiedlicher Böden (nach [33])

3.1 Kurzform der makroseismischen Intensitätsskala EMS-98 inklusive Bodenverflüssigung und der Auswirkungen auf Böschungsinstabilitä- ten (nach [42])

3.2 Intensitäten mit zugeordneter Magnitude (nach [80])

3.3 Ergebnisse einer Modellrechnung mit unterschiedlicher Mächtigkeit der Lockergesteinsschicht (nach [32])

3.4 Auftretende Böschungsinstabilitäten bei minimaler lokaler Magnitude (nach [47] und [48])

4.1 Bemessungssituationen in Abhängigkeit von Lastfall und Tragwider- standsbedingung (nach [4])

4.2 Einwirkungskombinationen bei Erddämmen (nach [4])

4.3 Erdbebenzonen und zugeordnete Referenzwerte der Spitzen - Boden- beschleunigung (nach [10])

4.4 Anzusetzender Untergrundparameter zur Bestimmung der standorts- pezifischen Bodenbeschleunigung (nach [10])

4.5 Darstellung der Ergebnisse der Modalanalyse eines mehrstöckigen Rahmens (als Auszug nach [32])

4.6 Einfluss des Detaillierungsgrades des Dammkörpers und Schichtmäch- tigkeit der Lockergesteinsschicht auf die Eigenfrequenzen (nach [86])

4.7 Einfluss der Berücksichtigung des spezifischen Eigengewichts im Un- tergrund auf die Eigenfrequenzen (nach [86])

4.8 Antwortbeschleunigungen in Abhängigkeit von der Berücksichtigung des spezifischen Eigengewichts im Untergrund

5.1 Bodenkennwerte des Berechnungsmodells als Grundlage für die Pa- rameterstudien

5.2 Übersicht der Rechenschritte im Rahmen der Parameterstudien . .

5.3 Modellkonfiguration - Parameterstudie Mächtigkeit des Untergrundes

5.4 Modellkonfiguration - Parameterstudie erforderliche Modellbreite . .

5.5 Modellkonfiguration - Parameterstudie zum Ansatz des spezifischen Eigengewichts im Untergrund

5.6 Auswirkungen der Abminderung der Wichten des Untergrundes auf die Wellenausbreitung

5.7 Erläuterungen der Parametervariationen zur Untersuchung des Ein- flusses des Detaillierungsgrades im Berechnungsmodell

5.8 Angesetzte Bodenkennwerte für die vereinfachte Darstellung des Damm- körpers im Modell MD 5B A-40 F0 v04

5.9 Übersicht der im Rahmen der Parameterstudie zu untersuchenden Netzfeinheiten

5.10 Wahl der Dämpfungsparameter α und β zur Beschreibung der Mate- rialdämpfung nach Rayleigh

5.11 Parameterstudie zum Ansatz der Wassermasse im Berechnungsmodell Variation des Wassereinstaus

5.12 Zusammenstellung der ersten maßgeblich angeregten Frequenz des Frequenzspektrums (Grundfrequenz) - Variation des Wassereinstaus

5.13 Vergleich der Veränderungen der maximalen Beschleunigungen |a| im Dammkörper bei unterschiedlichen Wasserständen gegenüber dem Modell ohne Wassereinstau

5.14 Angesetzte Bodenkennwerte in den Berechnungsmodellen der Para- meterstudie elastoplastischer Stoffmodelle

5.15 Angesetzte Bodenkennwerte im gewählten Berechnungsmodell

6.1 Kombination der richtungsabhängigen Beschleunigungskomponenten beim Nachweis der Böschungssicherheit (nach [56])

6.2 Bodenkennwerte bei den Erdbebensimulationen am Modelldamm .

1 Grundlagen der Bodendynamik

1.1 Einführung Bodendynamik

In der Bodendynamik werden zeitabhängige Belastungen und die sich daraus ergebenden Reaktionen des Bodens berücksichtigt. Aufgrund dieser zeitabhängigen Belastungen des Bodens ergeben sich für unterschiedliche Zeitpunkte unterschiedliche Verschiebungen. Da ein physikalischer Zusammenhang zwischen der Verschiebung, der Geschwindigkeit sowie der Beschleunigung einer Masse besteht, ist bei Analysen der Dynamik, somit auch in der Bodendynamik, eine Berücksichtigung von Trägheitskräften erforderlich (vgl. [48]). Ebenso führen dynamische Einwirkungen zu wirksamen und neutralen Spannungszuständen im Boden.

Als eine der wesentlichen Beanspruchungen, mit denen sich die Bodendynamik befasst, sind Erschütterungen, die sich in Form von Wellen im Medium Boden ausbreiten, zu benennen. Neben lastinduzierten Ereignissen, die beispielsweise aus dem Verkehr oder aus Bauvorgängen stammen, sind in diesem Zusammenhang auch die Einflüsse aus Erdbebenereignissen zu berücksichtigen (vgl. [48]). Ebenso werden zyklische Belastungen, beispielsweise von Gründungsbauteilen, behandelt. Diese stellen in der Regel eine komplexe Problemstellung dar. Ferner kann es infolge von zyklischen Belastungen wasserführender Böden zu Porenwasserüberdrücken kommen. Ein bekanntes Phänomen, welches als Resultat auf induzierte Porenwasserüberdrücke auftreten kann, stellt die Bodenverflüssigung dar.

Im Allgemeinen ergeben sich die wesentlichen Herausforderungen der Problemstellungen in der Bodendynamik bei der Modellierung von Belastungsverläufen sowie der Abbildung der Materialeigenschaften (vgl. [48]). Um das dynamische Verhalten des Bodens abzubilden bzw. mathematisch zu beschreiben, ist es erforderlich spezielle Stoffmodelle in den bodendynamischen Anwendungsbereichen zu verwenden.

Diese Stoffmodelle müssen im Wesentlichen

a.) das Verhalten der Steifigkeit des Bodens unter dynamischer Belastung sowie b.) die Festigkeitseigenschaften des Bodens unter dynamischer Belastung und c.) die Wechselwirkung von wirksamen und neutralen Spannungen unter dynami scher Belastung beschreiben.

Da die Bodendynamik ein Teilgebiet der Bodenmechanik darstellt, gelten die gleichen Prinzipien wie in der Erdstatik. Die beschriebenen Komplexitäten, durch die Beanspruchungen in der Bodendynamik, führen in der Regel dazu, dass Einflüsse schwieriger abzuschätzen sind (vgl. [48]). Ein Beispiel hierfür stellt der Einfluss von Steifigkeiten dar. Je nach angesetzter Steifigkeit des Materials verändert sich das Frequenzverhalten (vgl. [48]) und somit die Beanspruchung gegenüber dynamischen Belastungen. Daher ist bei Analysen in der Bodendynamik, gegenüber denen in der Erdstatik, in der Regel ein noch sorgfältigeres Vorgehen bei der Abbildung der geologischen Verhältnisse erforderlich. Nach Studer [48] ist der Einsatz von Parameterstudien ein probates Mittel, um eine Aussage zur Empfindlichkeit des Materials gegenüber Parameteränderungen treffen zu können. Diese sind demnach vor Beginn einer Analyse durchzuführen, um Rückschlüsse zu erhalten, durch welche Parameter die Ergebnisse einer Untersuchung maßgeblich beeinflusst werden. Dementsprechend sind diese Parameter in der Modellbildung der Analyse mit Bedacht anzusetzen.

Weiterhin sind in der Bodendynamik in der Regel größere Einflussbereiche von Lasten und Deformationen gegenüber der Erdstatik zu berücksichtigen. Dies begründet sich durch die Wellenausbreitung im Boden. Nach [48] ist die Modelltiefe beispielsweise bei einer dynamischen Setzungsberechnung eines Fundamentes mit dem 5 bis 10-fachen der Fundamentbreite zu wählen. Bei einer statischen Berechnung hingegen beträgt die erforderliche Modelltiefe in etwa der 2 − bis 3 − fachen Fundamentbreite (vgl. [48]). Ferner müssen bestimmte Randbedingungen bei der Modellbildung verwendet werden, die die Wellenbewegung an den Modellrändern absorbieren, sodass keine ungewollten Reflexionen durch die Modellränder erzeugt werden.

Im Zusammenhang mit der Analyse bodendynamischer Untersuchungen wird seitens [48] eine prinzipielle Vorgehensweise angegeben, welche aber auch allgemein für numerische Analysen in der Bodenmechanik verwendet werden sollte. Diese prinzipielle Vorgehensweise setzt sich aus folgenden Schritten zusammen:

1. Bestimmung repräsentativer Bodenkennwerte
2. Sinnvolle Abstimmung des Berechnungsmodells bzw. -verfahrens auf die Ein gabegrößen, d. h., schlechte Kenntnisse über Bodenkennwerte können nicht durch eine komplexe Berechnung egalisiert werden.
3. Überprüfung der Ergebnisse auf ihre Plausibilität.

Diese prinzipielle Vorgehensweise basiert auf den in der Bodendynamik in der Regel nicht einfach zu treffenden Annahmen, durch die vielfach ein iterativer Prozess angeregt wird, bis beispielsweise durch die Variation der angesetzten Bodenkennwerte das Materialverhalten in der Realität ausreichend genau beschreiben werden kann. Der beschriebene Ablauf wird oft auch als Kalibrierung des Berechnungsmodells, anhand von am Standort durchgeführten Untersuchungen bezeichnet.

1.2 Grundlagen der Dynamik - Schwingungen

Die Berechnungsgrundlagen, die zur Lösung von Fragestellungen in der Bau- und Strukturdynamik Anwendung finden, gelten auch in ihren Grundzügen in der Bodendynamik. Probleme aus der Bodendynamik lassen sich in vielen Fällen mit guter Näherung auf einen Einmassenschwinger zurückführen (vgl. [48]). Daher werden die wesentlichen Grundlagen der Dynamik (Schwingungslehre) nachfolgend an einem Einmassenschwinger erläutert.

Probleme hingegen, die sich nicht mittels eines Einmassenschwingers abbilden lassen, werden in der Regel anhand von Mehrmassenschwingern, mit guter Näherung, beschrieben. Aus diesem Grund wird die Lösung eines Mehrmassenschwingers nachfolgend, anhand eines Zweimassenschwingers, erläutert. Da die Lösung von Mehrmassenschwingern, die mehr als zwei Massen beinhalten, sehr aufwendig bis nahezu händisch nicht mehr lösbar ist, werden solche Problemstellungen in der Praxis durch numerische Berechnungen gelöst.

Für die Erläuterungen am Ein- bzw. Mehrmassenschwinger (vgl. Abschnitt 1.2.2 und Abschnitt 1.2.3) wird ein linear-elastisches Materialverhalten angenommen. Plastische Anteile werden daher bei den nachfolgenden Betrachtungen nicht berücksichtigt.

1.2.1 Begriffe und Bewegungsdifferenzialgleichung

Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Bewegt sich ein Körper von einem definierten Punkt zu einem benachbarten Punkt, so wird für das Zurücklegen einer Strecke x eine bestimmte Zeit t benötigt (vgl. [62]). Die mittlere Geschwindigkeit v, mit der sich der Körper zwischen den beiden Punkten bewegt, ergibt sich nach Gl. 1.1 (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die allgemeine Beschreibung der Geschwindigkeit ergibt sich aus der Betrachtung eines Differenzials dx/dt zu Gl. 1.2 (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beschleunigung des Körpers wird in der Physik als Veränderung der Geschwindigkeit über die Zeit beschrieben. Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der Beziehung in Gl. 1.3 (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird eine an einer Feder hängende Masse m ausgelenkt und frei schwingen gelassen (keine Dämpfung des Systems), so kann bei der Aufzeichnung der Bewegung ein, wie in Abbildung 1.1 dargestellter, sinusförmiger Bewegungsverlauf der Masse festgestellt werden (vgl. [62]).

Abbildung 1.1: Harmonische ungedämpfte Schwingung einer Masse

Der sich ergebende maximale Ausschlag der Masse wird als Amplitude ŷ bezeichnet. Die Dauer für eine vollständige Schwingung wird als Schwingungsdauer oder Periode T benannt. Der reziproke Wert der Periode T [ s ] ist die Frequenz f [1 /s = Hz ] des Systems und gibt die Anzahl der Schwingungszyklen je Sekunde an (vgl. [44]).

Kreisfrequenz

Betrachtet man einen Punkt auf einer sich gleichmäßig drehenden Scheibe, so kann ebenfalls ein sinusförmiger Kurvenverlauf festgestellt werden (vgl. Abbildung 1.2).

Dabei dreht sich die Scheibe mit einer Winkelgeschwindigkeit ω, die auch als Kreisfrequenz bezeichnet wird. Die Schwingdauer für eine Umdrehung des betrachteten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.2: Punkt auf sich drehender Scheibe - Kreisfrequenz

Punktes ist T. Der zurückgelegte Winkel der vollen Umdrehung beträgt 2 π (vgl. [62]). Demnach ergibt sich der in Gl. 1.4 bis Gl. 1.6 dargestellte Zusammenhang.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bewegungsdifferenzialgleichung

Im nachfolgenden Teil dieses Abschnittes werden die Erläuterungen des dynamischen Verhaltens eines Einmassenschwingers mithilfe eines häufig verwendeten, rheologischen Modells, beschrieben. Über ein solches rheologisches Modell wird das Fließund Verformungsverhalten des verwendeten Materials durch mechanische Elemente abgebildet, deren Eigenschaften eine gute Übereinstimmung mit dem Stoffverhalten aufweisen. Durch diese Vorgehensweise lässt sich das Materialverhalten qualitativ veranschaulichen (vgl. [54] sowie [71]).

Das verwendete einfache Modell des Einmassenschwingers besteht aus einer Masse m, an die sowohl eine Feder, als auch ein Dämpfer angeschlossen sind. Belastet wird das System durch eine zeitvariable angreifende Kraft F (t) (vgl. Abbildung 1.3 links). Die in diesem System verwendete Feder beschreibt eine elastische Steifigkeit, welche einer Federkonstanten k entspricht. Der verwendete Dämpfer repräsentiert die

Dissipation mechanischer Arbeit infolge einer Dämpfungskonstanten d. Unter einer Dissipation ist ein physikalischer Prozess zu verstehen, durch welchen eine Energieumwandlung stattfindet. Ein typisches Beispiel für eine solche Umwandlung der Energie stellt das Freisetzen von Wärme infolge Reibung dar (vgl. [53], [70]).

Eine mögliche Annahme zur Beschreibung des Dämpfers bildet das Modell einer viskosen Dämpfung. Diese beschreibt ein Dämpfungsverhalten, bei dem sich die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit verhält. In diesem Fall spricht man von einer viskosen (geschwindigkeitsproportionalen) Dämpfung. Ein solches Dämpfungsverhalten ist in der Bodendynamik nur selten vorhanden. Vielmehr kann ein überwiegend nicht proportionales Dämpfungsverhalten beobachtet werden (vgl. [48]). Dieses Dämpfungsverhalten lässt sich nach [48] allerdings in vielen Fällen in guter Näherung durch eine proportionale, viskose Dämpfung beschreiben. In den nachfolgenden Erläuterungen wird daher von einer solchen viskosen Dämpfung ausgegangen.

Systemskizze System frei geschnitten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.3: Allgemeiner Einmassenschwinger mit angreifender Kraft

Schneidet man das in Abbildung 1.3 (links) darstellte System frei, so erhält man neben der, zeitlich variablen, angreifenden Kraft F (t), die Trägheitskraft FI, die Dämpferkraft FD sowie die Federkraft FF. Bildet man das Gleichgewicht der Kräfte, ergibt sich die in Gl. 1.7 enthaltene Bewegungsgleichung (vgl. [48]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch das Umformulieren der Trägheitskraft sowie der Dämpfungs- und Federkraft durch die Ausdrücke FI = m · x, FD = d · x sowie FF = k · x ergibt sich die in Gl. 1.8 beschriebene allgemeine Newton’sche Bewegungsgleichung (vgl. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2.2 Einmassenschwinger

Freie ungedämpfte Schwingung

Die einfachste Form eines Einmassenschwingers stellt der freie ungedämpfte Einmassenschwinger dar. Das System des freien ungedämpften Einmassenschwingers besteht aus einer auf einer Feder gelagerten Masse (vgl. Abbildung 1.4). Dabei bedeutet der Ausdruck „frei“, dass das System nicht durch eine äußere Kraft erregt wird. Um das System dennoch zum Schwingen zu bekommen, wird die freie Schwingung dadurch hervorgerufen, dass die Masse durch eine Anfangsauslenkung aus der Null- oder Ausgangslage verschoben und anschließend losgelassen wird (vgl. [44] und [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.4: Freier ungedämpfter Einmassenschwinger

Nach dem Aufstellen des Gleichgewichts am ausgelenkten System ergibt sich die in Gl. 1.9 abgebildete Differenzialgleichung (DGL) (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese kann durch Umformen (vgl. Gl. 1.10) und das nachfolgende Ersetzen durch

die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems ω [20] = k/m in die in Gl. 1.11 aufge-

zeigte Form gebracht werden. Dabei beschreibt die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems die Schwingfrequenz eines ungedämpften Einmassenschwingers.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die in Gl. 1.11 aufgeführte DGL kann nach den Angaben seitens [48] und [51] mithilfe der Euler’schen Gleichung gelöst werden. Demnach ergibt sich die allgemeine Lösung für x (t) aus der in Gl. 1.12 aufgezeigten Funktion. Durch Ableiten dieser ergeben sich die allgemeinen Lösungen für x (t) sowie für x (t).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um eine spezielle Lösung für x (t), x (t) sowie für x (t) in einem individuellen System zu erhalten, müssen die Konstanten A und B, durch das Einsetzen von Randbedingungen bestimmt werden (vgl. [62]).

Die Frequenz eines Einmassenschwingers kann durch das Bestimmen der Kreisfrequenz des ungedämpften Systems in Gl. 1.13 in Verbindung mit Gl. 1.5 ermittelt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ergänzt man das zuvor beschriebene System des gedämpften Einmassenschwingers um einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer, so ergibt sich das in Abbildung 1.5 dargestellte System (vgl. [62]).

Für das frei geschnittene System des gedämpften Einmassenschwingers lässt sich die in Gl. 1.14 aufgezeigte Bewegungsgleichung aufstellen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.5: Freier gedämpfter Einmassenschwinger

Die Lösung, der dargestellten DGL, kann nach [48] über den Ansatz in Gl. 1.15 erfolgen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man demnach den in Gl. 1.15 genannten Ansatz in die Gleichgewichtsbedingung aus Gl. 1.14 ein, so ergibt sich nachfolgender Term, der durch eine Umformung in die in Gl. 1.17 angegebene Form gebracht werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die sich ergebende Gleichung in Gl. 1.18 kann nur erfüllt werden, wenn t ≥ 0 ist. Demzufolge ist der Ausdruck Ceλt = 0. Somit ergibt sich die Lösung der DGL aus der für den Klammerausdruck aus Gl. 1.17 verbleibenden sogenannten charakteristischen Gleichung in Gl. 1.18 (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Lösung der quadratischen Gleichung in Gl. 1.18 ergibt sich der in Gl. 1.19 enthaltene Term. Das Ergebnis des enthaltenen Wurzelausdrucks kann positiv, negativ oder null werden. Aus diesem Grund werden für die Lösung des Ansatzes des gedämpften Einmassenschwingers (vgl. Gl. 1.15) drei typische Lösungsansätze unterschieden (vgl. [48] und [62]). Diese Lösungsansätze sind die:

1. überkritische Dämpfung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. kritische Dämpfung 4 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

3. unterkritische Dämpfung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Als ein überkritisch gedämpftes System bezeichnet man demnach ein System, welches bei einem Ausschwingversuch nach der Auslenkung ohne Schwingung in die ursprüngliche Lage bzw. Nulllage zurückkehrt.

Im Fall eines unterkritisch gedämpften Systems stellt sich nach der Auslenkung in einem Ausschwingversuch ein sogenannter Ausschwingvorgang ein. Das bedeutet, dass das System mit zeitlich exponentiell abklingenden Schwingungen (vgl. [48]) in die Nulllage zurückkehrt.

Die kritische Dämpfung beschreibt den Zustand am Übergang zwischen den vorgenannten gedämpften Systemen. Ist ein System kritisch gedämpft, entspricht das Schwingungsverhalten annähernd einem System mit überkritischer Dämpfung. Das System kommt folglich noch nicht zum Schwingen.

Das beschriebene Schwingverhalten der einzelnen Dämpfungen ist schematisch, in Anlehnung an [48], in Abbildung 1.6 dargestellt.

Für die Anwendung in der Bodendynamik sind in der Regel nur Systeme mit einer unterkritischen Dämpfung von Bedeutung (vgl. [48]). Dementsprechend beschränken sich die nachfolgenden Betrachtungen in diesem Zusammenhang ausschließlich auf unterkritisch gedämpfte Systeme.

Unter Berücksichtigung des sogenannten Lehr’schen Dämpfungsmaßes D, welches das Verhältnis vorhandener Dämpfung d zur kritischen Dämpfung dk beschreibt (vgl. Gl. 1.20), ergibt sich nach [48] und [62] nach dem Einsetzen und Auflösen der

Überkritisch gedämpftes System Kritisch gedämpftes System

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.6: Schwingverhalten unterschiedlicher Dämpfungen (nach [48])

charakteristischen Gleichung (vgl. Gl. 1.18) die in Gl. 1.21 aufgeführte Lösung. Diese wird über die Kreisfrequenz des gedämpften Systems ωD (vgl. Gl. 1.22) beschrieben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lösung der aus der Bewegungsgleichung des gedämpften Einmassenschwingers resultierenden DGL (vgl. Gl. 1.14) ergibt sich durch Einsetzen der Gl. 1.21 in Gl. 1.15 (vgl. [48]). Daraus ergibt sich, wie nach [48] beschrieben, nach dem Umformen die allgemeine Lösung für einen gedämpften Einmassenschwinger (vgl. Gl. 1.23 nach [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog zum ungedämpften Einmassenschwinger ergeben sich die allgemeinen Lösungen für x (t) und x (t) durch Ableitung der Gl. 1.23. Durch das Einarbeiten einer

Anfangsbedingung in Gl. 1.23 ergibt sich nach [62] die spezielle Lösung für x (t) sowie durch deren Ableitung für x (t) und x (t).

Je nach dem im gedämpften System berücksichtigten Lehr’schen Dämpfungsmaß bzw. dem Dämpfungsverhältnis D, kann es zu einer Veränderung der Eigenfrequenz des Systems kommen. Dies begründet sich über das in Gl. 1.22 beschriebene Verhältnis der Kreisfrequenz des gedämpften Systems ωD zur Kreisfrequenz des ungedämpften Systems ω 0 (vgl. [48]). Weiterhin wird seitens [48] darauf hingewiesen, dass für Dämpfungsverhältnisse D < 20% nur geringfügige Veränderungen der Eigenfrequenz festgestellt werden können. Dementsprechend darf bei gedämpften Systemen mit D ≤ 20% vereinfachend mit der Eigenkreisfrequenz bzw. der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems operiert werden. Die tabellarische Darstellung (vgl. Tabelle

1.1), in Anlehnung an [48] und [51], zeigt die Abweichungen der Eigenfrequenz in Abhängigkeit vom angesetzten Dämpfungsmaß, für den Bereich D ≤ 50%.

Tabelle 1.1: Abweichung der Eigenfrequenz in Abhängigkeit der Dämpfung D

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Erläuterung eines harmonisch erregten Einmassenschwingers (vgl. Abbildung 1.7), wird das bereits aus Abbildung 1.3 bekannte einfache System herangezogen, welches sich aus einer Masse, einer Feder sowie eines Dämpfers zusammensetzt. Als äußere Belastung wird von einer sogenannten kraftkonstanten Anregung F (t) ausgegangen (vgl. [48]). Die Erregung des Systems wird in diesem Fall durch eine harmonische erregte Kraft der Form F (t) = F 0 · sin(Ω · t) herbeigeführt, wobei die Kraft F 0 konstant ist (vgl.[62]). Diese wird durch die Erregerfrequenz Ω angeregt, die auch als Kreisfrequenz der harmonischen Belastung bezeichnet wird (vgl. [48]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.7: Harmonisch erregter Einmassenschwinger und [62]).

Eine solche harmonische Erregung tritt häufig bei einer Anregung durch rotierende Teile einer Maschine ein (vgl. [48]). Da diese Form der Erregung im Vergleich zu anderen möglichen Formen der Erregung relativ einfach beschrieben werden kann, dient die harmonische Erregung als Grundlage für unregelmäßige Belastungen, wie sie beispielsweise im Fall von Erdbeben erzeugt wird. Im Fall eines Erdbebens wird die Erregung nach [90] über eine Fourrierreihenzerlegung mathematisch in eine Vielzahl harmonischer Erregungen, unterschiedlicher Frequenzen, unterteilt. Neben der harmonischen Erregung sind in der Literatur weitere Formen einer Krafterregung bekannt. Diese sind in Anlehnung an [73] in Abbildung 1.8 aufgezeigt.

Um einen besseren Bezug zu den in Abbildung 1.8 genannten Arten der Krafterregung zu bekommen, ist den einzelnen Arten der Krafterregung in Tabelle 1.2 jeweils ein Beispiel für eine typische Ursache der jeweiligen Erregungsart zugeordnet.

Harmonisch erregte Kraft Periodisch erregte Kraft

Transient erregte Kraft Impulsförmig erregte Kraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.8: Arten der Krafterregung (nach [73])

Tabelle 1.2: Arten der dynamischen Krafterregung (in Anlehnung an [40])

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das System eines gedämpften harmonisch erregten Einmassenschwingers wurde bereits in Abbildung 1.7 dargestellt. Aus dem Gleichgewicht dieses frei geschnittenen Systems ergibt sich die in Gl. 1.24 aufgeführte Bewegungsgleichung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Lösung der Differenzialgleichung des harmonisch erregten Einmassenschwingers aus Gl. 1.24 wird nach [62] über eine Kombination aus dem Ansatz einer homogenen Lösung xh (t) und einem Ansatz einer partikulären Lösung xp (t) herbeigeführt. Dabei entspricht der Ansatz der homogenen Lösung nach [62] dem Lösungsansatz eines freien gedämpften Einmassenschwingers (aus Gl 1.23). Der partikuläre Ansatz stellt demnach den allgemeinen Lösungsansatz des Anteils der Krafterregung dar (vgl. Gl. 1.26).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die vollständige Lösung der Schwingungsdifferenzialgleichung des verwendeten harmonisch erregten Einmassenschwingers ergibt sich nach [62] durch die Kombination der Gl. 1.23 mit der Gl. 1.26 zu Gl. 1.27. Wobei sich die beinhalteten Konstanten a und b der Gl. 1.27, aus dem partikulären Lösungsansatz, über die in Gl. 1.28 bzw. Gl. 1.29 benannten Gleichungen bestimmen lassen (vgl. [62]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie bereits bei der Vorgehensweise bei den freien Schwingungen beschrieben wurde, ergeben sich die allgemeinen Lösungsansätze für x (t) und x (t) durch Ableitung von x (t). Durch das Einarbeiten einer Anfangsbedingung können die Konstanten A und B ebenso definiert werden und somit spezielle Lösungen für x (t), x (t) und x (t) herbeigeführt werden.

Dynamische Vergrößerung

Bei Vergleichen zwischen den Verformungen am System eines Einmassenschwingers, unter dynamischer Belastung, mit denen aus dem Fall einer statischen Belastung, kann ein Phänomen beobachtet werden, welches als dynamische Vergrößerung bezeichnet wird. Diese dynamische Vergrößerung führt zum Teil zu substanziellen Problemen in der Dynamik, wie auch bei bodendynamischen Aufgabenstellungen.

Bei einem solchen Vergleich an einem Einmassenschwinger unter dynamischer Belastung werden die Verformungen für den eingeschwungenen Zustand betrachtet (vgl.

Gl. 1.30 nach [62]). Dabei entspricht der eingeschwungene Zustand dem Zeitraum der Erregung, an dem ein anfängliches instationäres Schwingverhalten nicht mehr vorhanden ist. Die sich ergebenden dynamischen Verformungen umax werden mit den Ergebnissen aus dem statischen Fall ust (vgl. Gl. 1.31) ins Verhältnis gesetzt (vgl. Gl. 1.32 nach [62]). Dabei ergibt sich eine dimensionslose Größe. Das gebildete Verhältnis wird als sogenannter Vergrößerungsfaktor bzw. als dynamische Vergrößerungsfunktion V bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine wichtige Größe in Bezug auf den Verstärkungsfaktor V stellt das Abstimmverhältnis η = Ω /ω 0 dar, welches das Verhältnis der Erregerfrequenz Ω zur Kreisfrequenz des ungedämpften Systems ω 0 angibt. Nimmt das Abstimmverhältnis den Wert η = 1 an, so liegt der Sonderfall der Resonanz vor. Je näher sich das Abstimmverhältnis dem Resonanzfall annähert, desto größer werden die Antwortschwingungen des erregten Systems (vgl. [44]). Tritt der Fall der Resonanz ein, so schwingt das System mit der Erregerfrequenz. Hierdurch kommt es zu einem kritischen Zustand, in dem die Konstruktion starken Schaden nehmen kann, da die äußere Kraft F aufgrund des gleichen Schwingverhaltens der Konstruktion und der Erregerfrequenz maximal verstärkt wird (vgl. Abbildung 1.9 nach [35]).

Wie die Darstellung der Vergrößerungsfunktion in Abbildung 1.9 zeigt, hat diese im Resonanzfall eines ungedämpften Systems eine Unendlichkeitsstelle, wodurch eine zerstörende Vergrößerung der Erregung eintritt (vgl. [67]). Im Fall eines gedämpften Systems ergibt sich bei η = 1 ein endliches Maximum der Vergrößerungsfunktion V. Dementsprechend ist die Antwort des Systems im Resonanzfall um diesen Maximalwert der Vergrößerungsfunktion größer als der statische Fall mit der gleichen äußeren Kraft F.

Die Konsequenz der Verstärkungsfunktion ist demnach, wie beispielsweise unter [44]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.9: Darstellung der Vergrößerungsfunktion V in Abhängigkeit vom Ab stimmverhältnis η und dem Dämpfungsverhältnis D (nach [35]) beschrieben, dass die Eigenfrequenz des Systems und die mögliche oder geplante Erregerfrequenz möglichst weit voneinander entfernt liegen. Sofern dies nicht sichergestellt werden kann, besteht mittels einer Dämpfung des Systems die Möglichkeit eine Verminderung des Vergrößerungsfaktors V zu erwirkten, wie dies in Abbildung 1.9 verdeutlicht wird.

Fußpunkterregter Einmassenschwinger

Zusätzlich zu der zuvor genannten Erregung der Masse durch eine äußere Kraft, die auf die Masse des Systems wirkt, kann die Masse des betrachteten vereinfachten Systems eines Einmassenschwingers durch eine Erregung am Fußpunkt des Systems in Schwingung gebracht werden. Ein solcher Fall liegt beispielsweise bei einem Erdbebenereignis vor. Hierbei erfährt der Boden eine Beschleunigung, die in der Regel einen transienten Verlauf (vgl. Abbildung 1.8) aufweist. Infolge dieser Bodenbeschleunigungen kommt es an der Geländeoberfläche zu sich über die Zeit verändernden Bodenverschiebungen xB, wodurch eine auf dem Boden aufgelagerte Masse m zum Schwingen angeregt wird.

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Abbildung 1.10: Fußpunkterregter Einmassenschwinger

Betrachtet man den beschriebenen Vorgang an einem einfachen rheologischen Modell eines gedämpften Einmassenschwinger (vgl. Abbildung 1.10 in Anlehnung an [62]) ist festzustellen, dass sich die Gesamtverschiebung xT aus zwei Anteilen zusammensetzt. Diese sind die vorgenannte Bodenverschiebung xB sowie der Anteil der Relativverschiebung x der Masse m, welche im Abschnitt des harmonisch erregten Einmassenschwingers beschrieben wurde. Durch die Bodenverschiebungen xB wird das betrachtete System absolut aus der ursprünglichen Lage verschoben. Der Verschiebungsanteil, welcher ausschließlich durch den Schwingungsvorgang der Masse m auftritt, entspricht dem Anteil der Relativverschiebung x. Der im System vorhandene Dämpfer d sowie die Federsteifigkeit k werden dabei ausschließlich durch die relativen Verschiebungen der Masse m angeregt (vgl. [62]).

Das Gleichgewicht für das betrachtete frei geschnittene System (vgl. Abbildung 1.10) des fußpunkterregten Einmassenschwingers ist in Gl. 1.33 aufgestellt (vgl. [62]).

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Da die Beschleunigung während eines Erdbebenverlaufs stark über die Zeit variiert, wird im Allgemeinen ein Ansatz gewählt, bei dem angenommen wird, dass sich der Beschleunigungsverlauf zwischen zwei benachbarten Messpunkten linear verhält (vgl. Gl 1.34 nach [62]).

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Durch diese getroffene Vereinfachung wird der Mittelwert der Beschleunigung xm über das Intervall Δ t (es gilt: 0 ≤ t ≤ Δ t) gebildet. Der Ausgangswert der Bodenbeschleunigung im jeweiligen betrachteten Intervall wird durch den Parameter xB 0 ausgedrückt.

Ähnlich wie im Fall des harmonisch erregten Einmassenschwingers wird die Lösung der in Gl. 1.33 aufgestellten Gleichung über einen homogenen Lösungsansatz zur Lösung des Anteils des freien gedämpften Einmassenschwingers sowie einem partikulären Ansatz zur Lösung des Anteils aus der äußeren Einwirkung herbeigeführt (vgl. [62]). Der partikuläre Lösungsansatz beinhaltet nach [62] im Fall des fußpunkterregten Einmassenschwingers die in Gl. 1.35 bis Gl. 1.37 enthaltenen Lösungsansätze.

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Über die enthaltenen partikulären Lösungsansätze (vgl. Gl. 1.35 bis Gl. 1.37) ergibt sich die vollständige Lösung der DGL aus Gl. 1.33 für einen fußpunkterregten Einmassenschwinger nach [62] in Gl 1.38. Die enthaltenen Konstanten des partikulären Lösungsansatzes a und b lassen sich über die in Gl. 1.39 und in Gl. 1.40 genannten Ansätze bestimmen.

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Wie in den zuvor beschriebenen Fällen des Einmassenschwingers ergeben sich die vollständigen Lösungen für x (t) sowie für x (t) durch die Ableitung der Gl. 1.38. Die

spezielle Lösung ergibt sich jeweils durch Einsetzen einer Randbedingung, wodurch die Konstanten A und B bestimmt werden können.

1.2.3 Mehrmassenschwinger

Der Mehrmassenschwinger stellt die wesentliche Grundlage zur numerischen Lösung von komplexen bodendynamischen Fragestellungen dar. Dabei behalten die vorgenannten Grundsätze der harmonischen Erregung sowie des gedämpften und ungedämpften Einmassenschwingers ihre Gültigkeit bei. Die händische Lösung von Mehrmassenschwingern beschränkt sich dabei im Wesentlichen auf den Zweimassenschwinger, welcher der einfachste Vertreter dieser Schwingsysteme ist. Die Vorgehensweise bei allgemeinen Mehrmassenschwingern entspricht aber im Grunde der des Zweimassenschwingers. Im Folgenden wird daher die prinzipielle Vorgehensweise zur Lösung von Mehrmassenschwingern kurz behandelt. Hierzu wird beispielhaft der Fall eines harmonisch erregten Zweimassenschwingers herangezogen.

Harmonisch erregter Zweimassenschwinger

Betrachtet wird ein einfaches rheologisches Modell eines Zweimassenschwingers, welches aus zwei Massen besteht, die jeweils auf einer Feder sowie einem Dämpfer gelagert sind (vgl. Abbildung 1.11). Dabei sind die beiden Teilsysteme der jeweiligen Massen miteinander verbunden. Daher besteht neben der äußeren Beanspruchung die auf die Massen einwirkt eine Interaktion der beiden Teilsysteme, wodurch das Schwingverhalten ebenfalls beeinflusst wird. Das dargestellte System wird an den beiden enthaltenen Massen infolge einer kraftkonstanten Erregung harmonisch angeregt.

Wie dem verwendeten frei geschnittenen System entnommen werden kann, ergibt sich für jede der im System enthaltenen Massen eine Gleichgewichtsbedingung. Ferner ergibt sich daraus, dass für jede im System vorhandene Masse ein Gleichungssystem besteht. Zur besseren Übersicht der Gleichungssysteme ist es üblich, diese bei Mehrmassenschwingern, in Matrizenschreibweise zu formulieren (vgl. [62]). Aus dem betrachteten frei geschnittenen System ergeben sich demnach die in Gl. 1.41 aufgestellte Bewegungsgleichungen in Matrizenschreibweise. Diese können allgemein

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Abbildung 1.11: Harmonisch erregter Einmassenschwinger durch die in Gleichung Gl. 1.42 enthaltene Schreibweise ausgedrückt werden.

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Wie der Gleichung Gl. 1.41 zu entnehmen ist, liegen nach dem Aufstellen der Bewegungsgleichungen sogenannte gekoppelte Differenzialgleichungen vor (vgl. [44]). In dieser Form eines Differenzialgleichungssystems besteht eine Abhängigkeit zwischen den einzelnen Gleichungen, da diese durch mindestens eine Variable beschrieben werden, die in den einzelnen Gleichungen des Differenzialgleichungssystems enthalten ist. Im Fall des in Gl. 1.41 enthaltenen Differenzialgleichungssystems besteht eine Abhängigkeit der Lösung der 1. DGL auf die Lösung der 2. DGL. Diese besteht in diesem Fall durch die Kopplung der Feder k 2 sowie des Dämpfers d 2 in der Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix. Diese gekoppelten Differenzialgleichungen können auf händischem Weg nur mit großem Aufwand gelöst werden. Über den Ansatz der sogenannten Modalanalyse kann das vorliegende gekoppelte System entkoppelt werden. Dabei werden zunächst die Eigenwerte, also die Eigenfrequenzen des Systems, sowie die Eigenformen, welche die charakteristischen Verformungen der Eigenwerte beschreiben, für den vorliegenden Mehrmassenschwinger ermittelt. Dies erfolgt durch Lösung der Steifigkeitsmatrix am ungedämpften System. Im Weiteren wird die in Gl. 1.42 enthaltene Gleichung durch Multiplikation mit den Eigenvektoren, welche die Auslenkung des Systems als Vektor beschreibt, entkoppelt. Die sich ergebenden entkoppelten Systeme entsprechen Einmassenschwingern. Die sich ergebenden entkoppelten Einmassenschwinger werden in einem nächsten Schritt, unter Berücksichtigung der Dämpfung, wie im Abschnitt 1.2.2 beschrieben, gelöst. Durch anschließende Superpositionierung (Überlagerung) der Ergebnisse der einzelnen entkoppelten Einmassenschwinger ergibt sich die Gesamtlösung des betrachteten Mehrmassenschwingers. Bezüglich einer detaillierten Beschreibung der Modalanalyse sowie der Lösung von Mehrmassenschwingern wird unter anderem auf [35], [53] sowie [44] verwiesen.

1.2.4 Nicht-lineare Massenschwinger

Die für die in Abschnitt 1.2.2 sowie in Abschnitt 1.2.3 zugrunde gelegte Annahme eines linear-elastischen Materialverhaltens stellt für die Beschreibung des Bodenverhaltens eine Vereinfachung dar. Das Materialverhalten des Bodens weist vielmehr ein nicht-lineares und nicht-elastisches Verhalten auf, welches durch spezielle Stoffmodelle beschrieben werden muss (vgl. Abschnitt 2.2).

Bezogen auf eine bodendynamische Fragestellung, die durch die Abbildung eines Ein- oder Mehrmassenschwingers erfolgen soll, sind zur Beschreibung dieses Materialverhaltens numerische Methoden anzuwenden. Diese werden zur Lösung der komplexen Bewegungsgleichungen, bei der Beschreibung des nicht-linearen und nichtelastischen Materialverhaltens, erforderlich, da die Federsteifigkeit k sowie die Dämpfung d in diesem Fall über die Zeit variieren (vgl. [90]). Dieser Lösungsweg stellt dabei ebenso die Grundlage für komplexe numerische Berechnungen nach der finite Elemente Methode dar (vgl. [25]). Hierbei wird ein Berechnungsmodell durch eine

Vielzahl an einzelnen endlichen Elementen unterschiedlicher Größe unterteilt. Zur Lösung der sich daraus ergebenden Vielzahl an Differenzialgleichungen werden numerische Berechnungsmethoden eingesetzt.

Bei einer dynamischen Berechnung auf der Grundlage numerischer Methoden wird beispielsweise das Verformungsverhalten des Systems schrittweise, in einzelnen Zeitschritten, ermittelt. Um ein nicht-lineares Materialverhalten zu beschreiben, wird nach [48] eine sich am Ende jedes Zeitschrittes Δ t verändernde Federsteifigkeit berücksichtigt. Der Verlauf der Hysterese der Federsteifigkeit kann dabei je nach Materialmodell ein plastisches Verhalten beinhalten.

Für das verwendete einfache rheologische Modell eines harmonisch erregten und gedämpften Einmassenschwingers (vgl. Abbildung 1.7) ergibt sich die Bewegungsgleichung in Gl. 1.43.

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Aus dieser Betrachtung lässt sich nach [48] die Bewegungsgleichung für eine inkrementelle Erhöhung eines Zeitschrittes ableiten (vgl. Gl. 1.45). Durch Umformen der einzelnen Kräfte aus Gl. 1.44, wie für die allgemeine Bewegungsgleichung in Gl. 1.8 beschrieben, ergibt sich die in Gl. 1.46 aufgezeigte Form der sogenannten inkrementellen Bewegungsgleichung. Die angegebenen Dämpfungs- und Steifigkeitsparameter sind dabei als gemittelte Werte des betrachteten Zeitintervalls Δ t zu verstehen (vgl. [48]).

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Die Auswertung der in Gl. 1.46 aufgezeigten Differenzialgleichung der inkrementellen Bewegungsgleichung, eines harmonisch erregten und gedämpften Einmassenschwin- gers, wird über eine numerische Berechnung als sogenanntes Zeitschrittverfahren durchgeführt. Bei einem solchen Zeitschrittverfahren wird das Verhalten des betrachteten Systems über einem Zeitraum t ermittelt. Bei dieser Betrachtung wird der Zeitraum t in Zeitintervalle bzw. Inkremente Δ t unterteilt. Der Bewegungszustand des Systems ist für einen Zeitpunkt t 0 (Anfangszeitpunkt) bekannt. Das Verhalten des Systems wird für den darauffolgenden Zeitpunkt t 0 + Δ t durch Integration sogenannter diskreter Zeitpunkte bestimmt. Dabei setzt die Integration Annahmen, wie beispielsweise die Beschreibung eines sich linear verhaltenden Zeitverlaufs, für das betrachtete Zeitintervall voraus (vgl. [46]).

Zeitschrittverfahren, die die beschriebene Vorgehensweise beinhalten, werden daher auch Zeitintegrationsverfahren genannt. Eine gängige Methode zur Lösung der genannten Differenzialgleichung durch ein Zeitintegrationsverfahren, bei dem auch ein nicht-lineares sowie ein nicht-elastisches Verhalten berücksichtigt werden kann, stellt das Verfahren nach Newmark [55] dar. Bezüglich genauerer Erläuterungen dieses Verfahrens wird unter anderem auf [46] sowie auf [55] verwiesen.

1.3 Wellenausbreitung

Da die Ausbreitung von Erdbebenwellen, wie auch von anderen Störungsquellen, für Problemstellungen in der Bodendynamik von Bedeutung ist, werden die wesentlichen Grundlagen der Wellenausbreitung nachfolgend erläutert.

Infolge von Erdbeben oder anderen Quellen einer dynamischen Einwirkung auf dem bzw. im Boden kommt es zu einer Ausbreitung der induzierten Störung im Untergrund, in Form von Wellen. Diese Wellen breiten sich durch Schwingung im Boden aus, wodurch sich das Medium aus der ursprünglichen Lage verschiebt. Weiterhin kommt es nach [33] und [79] bei einer Wellenausbreitung zum ausschließlichen Transport von Energie durch das von der Welle durchlaufene Medium.

Die bei einem Erdbeben, infolge der Wellenausbreitung, auftretenden Verformungen sind in der Regel so groß, dass es zu einem nicht-linearen Verhalten des Bodens kommt. Da die Beschreibung des genannten Sachverhaltes sehr komplex ist, wird in der Praxis in der Regel vereinfacht von einem elastischen Materialverhalten ausgegangen. In diesem Fall wird das Materialverhalten durch einen linearen Zusammenhang zwischen Spannungen σ und Dehnungen ε beschrieben. Das mögliche Vorhandensein von plastischen Anteilen wird hierbei nicht berücksichtigt. Gleiches gilt auch für die Berücksichtigung der Materialdämpfung. Ein solches, vereinfachtes Modell, welches den Boden als elastisches, ungedämpftes und unendlich ausgedehntes Medium abbildet, wird auch als elastischer (Voll-) Raum bezeichnet (vgl. [32] und [48]).

1.3.1 Wellentypen

Im Bezug auf die Wellenausbreitung im Boden werden die folgenden vier Wellentypen unterschieden (vgl. [48]):

1. Kompressions- bzw. Primärwelle (P-Welle)
2. Scher- bzw. Sekundärwelle (S-Welle)
3. Rayleigh-Welle
4. Love-Welle.

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