Schon seit vielen Hunderten Jahren ist es eine Herausforderung gewesen, sich in unbekannten Orten oder Gegenden zurechtzufinden. Im Mittelalter wurden Skizzen, und somit auch Karten zur Zielbeschreibung oder allgemein zur Orientierung eingesetzt. Mit der Entwicklung der Navigation Satellite Timing and Ranging, kurz NAVSTAR, ist der Traum für die genaue Positionierung auf jedem Punkt der Erde, zu jeder Zeit und bei jedem Wetter Wirklichkeit geworden[1, 2, 3]. Welchen unvorstellbaren Nutzen das GPS hat, wird durch die Blitzschlagortung verdeutlicht. Das GPS wird als Uhrzeit-Synchronisierer verwendet, damit alle Blitzdetektoren die genaue Uhrzeit besitzen, womit die Blitze zur einheitlichen Zeit registriert werden. Die Karten wurden immer weiter entwickelt und so wurden bedeutsame Handelsrouten auf dem Land gekennzeichnet. Zumal die Erde eine Kugel ist, erweist es sich als unmöglich, sie auf einem Blatt Papier so darzustellen, dass gleichzeitig Winkel-, Abstands- und Flächenverhältnisse erhalten bleiben. Somit entstand ein neuer Wissenschaftsbereich: „Die Kartografie“[4].
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[1] Farrell, Jay: Magnetometer/GPS/INS Demo 2002 Support and Mitigation of
GPS Signal Blockage Research. In: Journal (2004)
[2] Kaplan, Elliott D. ; Hegarty, Christopher J.: Understanding GPS: principles
and applications. Artech House Publishers, 2006
[3] Gilbert, Stephen W. ; Janiczek, P.M: Global Positioning System: : papers published
in Navigaton. Alexandria, VA : The Institut of Navigation, 1986
[4] Tschamler, Ignaz: Leitfaden der Kartographie. Bd. / Von Ignaz Tschamler, Wien
; T. 2: Karten-Projektion. Als Ms. gedr. Mähr.-Neustadt : Fehr, 1905
Inhaltsverzeichnis
1 Global Positioning System (GPS)
1.1 Einleitung
1.2 Fakten über das GPS
1.3 Drei Segmente des GPS
1.3.1 Raumsegment
1.3.2 Kontrollsegment
1.3.3 Nutzersegment
2 Positionsbestimmung
2.1 Auswahl der Achsen des Koordinatensystems
2.2 Berechnung der Position ohne Uhrenfehler
2.3 Praktische Schwierigkeiten
2.3.1 Auswahl der Satelliten
2.4 Anwendung des GPS
2.4.1 Die Luftfahrt
2.4.2 Die Seefahrt
2.4.3 Der Straßenverkehr
2.5 Fehlerquellen bei GPS
2.5.1 Satellitenfehler
2.5.2 Signalausbreitungsfehler
2.5.3 Empfängerfehler
2.6 Das Prinzip der Blitzschlagortung
2.6.1 Verwendung eines GPS-Empfängers als Zeitreferenz
2.6.2 Ortung von Blitzschlägen
3 Kartografie
3.1 Projektion auf eine Tangentialebene einer Kugel
3.1.1 1. Variation: Gnomonische Projektion
3.1.2 2. Variation: Stereografische Projektion
3.1.3 3. Variation: Orthografische Projektion
3.2 Horizontale Zylinderprojektion
3.3 Mercatorprojektion
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit analysiert die mathematischen und technischen Grundlagen der globalen Positionsbestimmung mittels GPS sowie deren praktische Anwendung in der Navigation und Messtechnik. Ein besonderer Fokus liegt dabei auf der mathematischen Herleitung der Positionsberechnung und der notwendigen Fehlerkorrekturen.
- Aufbau und Funktionsweise des Global Positioning Systems (GPS)
- Mathematische Modellierung der Positionsbestimmung mittels Kugelkoordinaten
- Analyse praktischer Herausforderungen wie Uhrenfehler und Signalausbreitung
- Anwendungsbeispiele in der Luftfahrt, Schifffahrt und Blitzschlagortung
- Grundlagen kartografischer Projektionsverfahren
Auszug aus dem Buch
2.3.1 Auswahl der Satelliten
Es stellt sich die Frage, welchen Satelliten der Empfänger wählt, falls mehr als vier Satelliten in Sicht sind. Natürlich versucht der Empfänger die bestmöglichen Ergebnisse zu liefern. D.h. der Empfänger wählt die Konstellation der Satelliten so aus, dass der Fehler der Positionsbestimmung so weit wie möglich gering gehalten wird. Geometrisch betrachtet folgt: Je größer der Winkel zwischen den Oberflächen zweier sich schneidender verdickter (ungenauer) Kugeln ist, desto kleiner ist das Volumen dieses Durchschnitts.[9] Anschaulich wird dies durch die Abbildungen 2.7 und 2.8 dargestellt. Schneiden sich die Kugeln fast tangential, dann ist das Schnittvolumen (und somit die Unsicherheit) größer. Also werden die Kugeln so gewählt, dass sie einander in einem möglichst großen Winkel schneiden[7, 19]. Algebraisch ist zu erkennen,dass, je kleiner der Nenner der Werte x, y und z ist, desto größer ist der Fehler. Also müssen die Satelliten so gewählt werden, dass die Determinante: 2(a4 - a1) 2(b4 - b1) 2(c4 - c1) ; 2(a4 - a2) 2(b4 - b2) 2(c4 - c2) ; 2(a4 - a3) 2(b4 - b3) 2(c4 - c3) maximal wird, damit eine hohe Genauigkeit der Positionsbestimmung erzielt werden kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Global Positioning System (GPS): Einführung in die Geschichte und den technischen Aufbau des GPS, unterteilt in Raum-, Kontroll- und Nutzersegment.
2 Positionsbestimmung: Mathematische Herleitung der Standortbestimmung durch Kugelkoordinaten, inklusive der mathematischen Korrektur von Uhrenfehlern durch einen vierten Satelliten und Anwendungsbeispiele wie die Blitzschlagortung.
3 Kartografie: Untersuchung mathematischer Projektionsverfahren, um die gekrümmte Erdoberfläche auf eine zweidimensionale Ebene abzubilden, mit Analyse von Gnomonischer, Stereografischer, Orthografischer und Mercator-Projektion.
Schlüsselwörter
Global Positioning System, GPS, Positionsbestimmung, Satellitenkonstellation, Kugelkoordinaten, Uhrenfehler, Cramer’sche Regel, Blitzschlagortung, Kartografie, Projektion, Gnomonische Projektion, Mercatorprojektion, Navigation, Triangulation, Signalgeschwindigkeit
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich mit der theoretischen und praktischen Realisierung der Positionsbestimmung mittels GPS-Technologie sowie der mathematischen Abbildung von Geodaten auf Karten.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Felder umfassen die GPS-Architektur, die mathematische Berechnung der Erdoberflächenposition und kartografische Projektionsmethoden.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die mathematisch fundierte Darstellung des GPS-Ortungsverfahrens und die Veranschaulichung, wie durch mathematische Korrekturen eine präzise räumliche Orientierung ermöglicht wird.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden lineare Gleichungssysteme, Determinantenrechnung, die Cramer’sche Regel sowie differentialgeometrische Konzepte für die Projektionsberechnungen angewendet.
Was deckt der Hauptteil ab?
Der Hauptteil behandelt detailliert die GPS-Segmente, die mathematische Herleitung der Positionskoordinaten bei vorhandenen Uhrenfehlern sowie verschiedene kartografische Abbildungstypen.
Welche Schlüsselbegriffe definieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär über die Begriffe GPS, Positionsbestimmung, Kugelkoordinaten und kartografische Projektionen definieren.
Warum ist ein vierter Satellit für die Ortung notwendig?
Da die Empfänger in GPS-Geräten keine hochpräzisen Atomuhren besitzen, entsteht eine Zeitabweichung. Der vierte Satellit ermöglicht es, diesen Uhrenfehler als zusätzliche mathematische Unbekannte zu berechnen.
Wie trägt die mathematische Auswahl der Satelliten zur Genauigkeit bei?
Durch die Wahl einer Satellitenkonstellation mit großen Schnittwinkeln der Distanzkugeln wird das geometrische Volumen der Positionsunsicherheit minimiert, was die Genauigkeit des berechneten Standortes erhöht.
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- Hakan Demirel (Author), 2013, GPS: Positionsbestimmung auf der Erde und im Raum, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/215642
